close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О теореме Гельмгольца для почти-периодических в среднем квадратичном векторных полей.

код для вставкиСкачать
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. ќ26(169). Вып. 33 99
MSC 81P20
О ТЕОЕМЕ ЕЛЬМОЛЬЦА
ДЛЯ ПОЧТИ-ПЕИОДИЧЕСКИХ В СЕДНЕМ КВАДАТИЧНОМ
ВЕКТОНЫХ ПОЛЕЙ
Л.Т. Фат, Ю.П. Вирченко
Белгородский государственный университет,
ул. Победы, 85, Белгород, 308015, оссия, e-mail: virhbsu.edu.ru
Аннотация. Теорема ельмгольца о разложении векторного поля Ai (x), x ? R3 , i = 1, 2, 3
на сумму потенциального и соленоидального векторных полей обобщается на случай, когда
поле Ai (x) не стремится к нулю при |x| ? ?, а, наоборот, принадлежит пространству почти
периодических в среднем квадратичном вектор-ункций на R3 , которое является пополнением
линейного многообразия периодических ункций на R3 в метрике, порождаемой скалярным
R
произведением lim??R3 |?|?1 ? (·, (·)? )dx.
Ключевые слова: потенциальное поле, соленоидальное поле, ункции почти периодиче-
ские в среднем квадратичном, теорема ельмгольца.
1. Введение. В математической изике часто используется важное утверждение о
векторных полях, которое называют теоремой ельмгольца. Оно состоит в том, векторное поле R3 может быть представлено в виде суммы двух слагаемых потенциального
и соленоидального векторных полей, причем, при некоторых дополнительных условиях такое представление векторного поля однозначно (или, с точностью до постоянного
вектора). Это утверждение, хотя и является довольно понятным с изической точки
зрения, однако, при проявлении его точного математического смысла, оно оказывается стесненным ограничениями, которые носят, по видимому, технический характер. Во
всяком случае, авторам неизвестен такой контрпример, когда гладкое векторное, заданное на R3 , не обладало бы указанным свойством. Существенно также то, что для
гладкого поля, заданного в компактной области в R3 , доказательство теоремы ельмгольца очень просто и не требует дополнительных ограничений на поле Ai (x), i = 1, 2, 3
для ее справедливости.
При распространении теоремы ельмгольца на некомпактные области и, в частности, на все пространство R3 в литературе, обычно, используется такое математическое
уточнение этого утверждения, при котором требуется, чтобы поле Ai (x) достаточно
быстро стремилось к нулю на бесконечности при |x| ? ? [1, 2, 3?. Однако, для многих
постановок задач математической изики, связанных с векторными полями на R3 , это
требование является сильно ограничительным, что обесценивает содержание теоремы
ельмгольца. В этом сообщении мы покажем, что утверждению теоремы ельмгольца
можно придать точный математический смысл для таких векторных полей на R3 , которые составляют специальное гильбертово пространство (см., по этому поводу [4?.), образованное пополнением линейного многообразия всевозможных периодических полей
100 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. ќ26(169). Вып. 33
на R3 . Мы называем их векторные поля почти-периодические в среднем квадратичном.
2. Теорема ельмгольца. Пусть Ai (x), i = 1, 2, 3 гладкое векторное поле на R3.
Оно представимо в виде суммы двух полей
Ai (x) = Bi (x) + ?i ?(x) ,
i = 1, 2, 3 ,
(1)
где ?i Bi (x) = 0.
Доказательство утверждения, составляющее содержание теоремы ельмгольца, основано на однозначном определении потенциальной составляющей ?i ?, i = 1, 2, 3 при
каких-то дополнительных ограничениях на поле Ai (x), i = 1, 2, 3. Из разложения (1)
следует, что
f (x) = ??(x) ,
(2)
где введено обозначение f (x) = (?, A(x)). Тогда потенциал ?(x) может быть определен
как решение этого уравнения, если таковое существует на всем R3 .
При стандартном доказательстве теоремы ельмгольца этот подход реализуется в
случае, когда поле Ai (x) достаточно быстро стремится к нулю при |x| ? ? вместе со
своими производными, то есть, когда |f (x)| ? 0. Это позволяет применить преобразование Фурье в R3 к обеим частям уравнения (2), определяя его для ункций f (x) и
?(x),
Z
Z
1
1
Ї
f (x) exp(?i(?, x))dx ,
??(?) =
?(x) exp(?i(?, x))dx ,
f (?) =
(2?)3
(2?)3
R3
R3
так, что при этом выполняется
fЇ(?) = ??2 ??(?)
Z
R3
|fЇ(?)|
d? < ? .
|?|2
(3)
Последнее позволяет применить обратное преобразование Фурье и восстановить однозначным образом потенциал ?(x) в виде
Z Ї
Z
f (?)
1
f (y)
?(x) = ?
exp(i(?, x))d? = ?
dy ,
(4)
2
|?|
4?
|x ? y|
R3
R3
причем скалярное поле ?(x) является гладким и имеет место
Z
fЇ(?)
??(x) = ?i ?
exp(i(?, x))d? .
|?|2
R3
После этого, Bi (x) = Ai (x) ? ?i ?(x) и ?i Bi (x) = 0 по построению. Ясно, что выполненное при таком подходе разбиение (1) можно видоизменять, добавляя к ункции ?(x),
определяемой (4), произвольную гармоническую ункцию ?(x), ??(x) = 0.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. ќ26(169). Вып. 33 101
3. Почти-периодические в среднем квадратичном векторные поля. Введем
пространства полей на R3 (скалярных и векторных), которые не стремятся к нулю при
|x| ? ?, а, наоборот, ведут себя ѕквазипериодическим образомї. Пространство скалярных полей такого типа мы обозначим посредством L2 (R3 ), соответственно, аналогичные векторные поля составляют пространство L2 (R3 ) Ч L2 (R3 ) Ч L2 (R3 ). Элементы этих
пространств мы будем называть, соответственно, скалярными и векторными полями,
почти-периодическими в среднем квадратичном.
Пусть комплекснозначная ункция u(x) такова, что для нее существует некомпланарный набор векторов e1 , e2 , e3 такой, относительно которых она обладает свойством
u(x + n1 e1 + n2 e2 + n3 e3 ) = u(x) ,
nj ? Z, j = 1, 2, 3 .
(5)
Такую ункцию мы будем называть 3-периодической с набором векторов e1 , e2 , e3 периодов этой ункции.
На линейном многообразии T3 всех 3-периодических ункций на R3 введем билинейный ункционал
Z
1
(u, v) = lim3
u(x)v ?(x)dx ,
(6)
??R |?|
?
где ? произвольный расширяющийся набор самоподобных друг другу относительно
некоторого центра в R3 параллелепипедов и |?| объемы этих параллелепипедов. Легко проверяется, что этот ункционал представляет собой невырожденное скалярное
произведение на T3 .
Определение.
Пространство L2 (R3 ) является пополнением линейного многообразия T3 всех 3-периодических на R3 полей u(x) в топологии, порождаемой скалярным
произведением (6).
Это пространство несепарабельно.
Для векторных комплекснозначных полей U(x) на R3 определения свойства 3-периодичности
и скалярного произведения на линейном многообразии T3 ЧT3 ЧT3 всех 3-периодических
векторных полей даются аналогичным образом,
U(x + n1 e1 + n2 e2 + n3 e3 ) = U(x) ,
1
(U, V) = lim3
??R |?|
Z
nj ? Z, j = 1, 2, 3 ;
Ui (x)Vi? (x)dx .
(7)
(8)
?
В соответствии с данными определениями и базовыми утверждениями теории гильбертова пространства [4?, любая комплекснозначная ункция u(x) из L2 (R3 ) представима в виде разложения по набору взаимноортогональных относительно скалярного
произведения (6) ункций exp(i(?, x)), ? ? K(u),
u(x) =
X
??K(u)
u?(?) exp(i(?, x)) ,
(9)
102 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. ќ26(169). Вып. 33
в котором суммирование ведется по не более чем счетному набору векторов K(u), определяемому ункцией u(x). При этом коэициенты ряда
Z
1
u?(?) = lim3
u(x) exp(?i(?, x))dx
(10)
??R |?|
?
удовлетворяют условию
X
??K(u)
|u?(?)|2 < ? .
(11)
Существенно, что коэициенты u?(?) не равны нулю только лишь для векторов ? из
набора K(u) [4?.
яд (9) сходится в смысле метрики пространства L2 (R3 ), порождаемой скалярным
произведением (6). Наоборот, если ункция u(x) определяется рядом (9), в котором
коэициенты удовлетворяют условию (11), то она принадлежит пространству L2 (R3 ).
Аналогично, любое векторное поле U(x) из L2 (R3 ) Ч L2 (R3 ) Ч L2 (R3 ) представимо в
виде сходящегося в метрике этого пространства ряда
X
U(x) =
U?(?) exp(i(?, x))
(12)
??K(U)
с квадратично суммируемым по набору векторов K(U) рядом коэициентов компекснозначных вектор-ункций
Z
X
1
U?(?) = lim3
U(x) exp(?i(?, x))dx ,
|U?(?)|2 < ? .
(13)
??R |?|
??K(U)
?
4. Теорема ельмгольца в [L2 (R3)]3. Покажем, что утверждение теоремы ельм-
гольца справедливо для векторных полей из пространства [L2 (R3 )]3 . Пусть поле A(x)
гладкое и принадлежит [L2 (R3 )]3 вместе со своими частными производными. В частности, это означает, что имеет место
X
A(x) =
A?(?) exp(i(?, x)) ,
??K(A)
где коэициенты
обладают свойством
1
A?(?) = lim3
??R |?|
X
??K(A)
Z
A(x) exp(?i(?, x))dx
?
|A?(?)|2 < ? .
Кроме того, их этого предположения следует, что (?, A(x)) ? L2 (R3 ). Следовательно,
справедливо разложение
X
f (x) = (?, A(x)) =
(k, A?(?)) exp(i(?, x))
(14)
??K(A)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. ќ26(169). Вып. 33 103
такое, что коэициент ряда равен нулю при k = 0 и
X
|(k, A?(?))|2 < ? .
??K(A)
Будем искать теперь компоненты разложения (1) поля A(x) в пространстве [L2 (R3 )]3 .
Тогда представим искомый потенциал ?(x) в виде ряда
X
?(x) =
??(?) exp(i(?, x)) ,
(15)
??K(?)
в котором коэициенты ??(?) обладают свойством
X
?2 |??(?)|2 < ? .
(16)
??K(?)
Подстановка разложения (15) в уравнение ??(x) = f (x) и сравнение полученного выражения с разложением (14) дает
??(?) = ?
(?, A?(?))
,
?2
так как коэициент разложения при ? = 0 по построению равен нулю. Таким образом,
в пространстве L2 (R3 ) уравнение ??(x) = f (x) однозначно разрешимо и при этом
векторное поле
X
??(x) =
???(?) exp(i(?, x)) ,
??K(?)
ввиду (16), принадлежит пространству [L2 (R3 )]3 .
Заметим теперь к полю ??(x) можно добавить постоянный вектор (слагаемое с
? = 0), что не изменит его потенциальности и при этом результирующее поле снова
содержится в [L2 (R3 )]3 .
После определения потенциала ?(x) определим поле
X B(x) = A(x) ? ??(x) =
A?(?) ? ???(?) exp(i(?, x)) ,
??K(?)
которое, по построению, является соленоидальным. Изменение поля ??(x) на постоянный вектор оставляет поле B(x) быть соленоидальным. Таким образом, мы убедились
в справедливости следующего утверждения.
Теорема. Если векторное поле A(x) гладкое вместе со своими частными производными и принадлежит пространству [L2 (R3 )]3 , то оно представимо однозначным образом
в виде суммы A(x) = B(x) + C(x) с точностью до постоянного слагаемого, составляющие которой принадлежат пространству [L2 (R3 )]3 и поле B(x) соленоидальное, а поле
C(x) = ??(x) потенциальное.
104 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2013. ќ26(169). Вып. 33
Литература
1. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного анализа / М.: Наука, 1965. 428 .
2. Корн .А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров /
М.: ѕНаукаї, 1981. 720 .
3. Ли Цзун Дао Математические методы в изике /пер. с англ./ М.: Мир, 1965. (Lee T.D. Mathematial methods of physis / New York: Columbia university, 1963. 296 .)
4. Ахиезер Н.И., лазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / М.: Наука, Физматлит, 1966. 544 .
ON HELMHOLTZ's THEOREM
OF AVERAGE QUADRATICALLY ALMOST-PERIODIC VECTOR FIELDS
Lam Tan Phat, Yu.P. Virhenko
Belgorod State University,
Studenheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail:virhbsu.edu.ru
R3 ,
Abstrat. The Helmholtz theorem onerned to the deomposition of vetor eld Ai (x), x ?
i = 1, 2, 3 on the sum potential eld and solenoidal one is generalized in the ase when
the eld Ai (x) does not tend to zero at |x| ? ?, but, onversely, it belongs to the spae of
quadratially averaged almost periodi vetor funtions on R3 . The spae is the ompletion of
the linear manifold of all periodi
funtions on R3 aording to the metris generated by salar
R
?1
?
omposition lim??R3 |?|
? (·, (·) )dx.
Key words: potential eld, solenoidal eld, quadratially average almost periodi funtions,
Helmholtz's theorem.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
312 Кб
Теги
почта, поле, средней, теорема, векторных, квадратичної, гельмгольц, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа