close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Построение общего решения вырожденной системы полмейера-лунда-редже.

код для вставкиСкачать
Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2009. — № 1 (18). — С. 271–275
УДК 517.956.3, 517.957
ПОСТРОЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДЕННОЙ
СИСТЕМЫ ПОЛМЕЙЕРА—ЛУНДА—РЕДЖЕ
А. М. Гурьева
Уфимский государственный авиационный технический университет,
450000, Уфа, ул. Карла Маркса, 12.
E-mails: adel-guryeva@mail.ru
Показано, что вырожденная система Полмейера—Лунда—Редже является системой лиувиллевского типа, получены формулы для x- и y-интегралов в первом
и во втором порядке. Показано, как с их помощью построить общее решение
этой системы уравнений.
Ключевые слова: инварианты Лапласа, уравнение лиувиллевского типа, интегралы.
Введение. В настоящее время в научной литературе имеется огромное количество работ, посвященных гиперболическим интегрируемым уравнениям, что и указывает на важность данных исследований (см., например, [1, 2]).
Определение точно интегрируемых гиперболических уравнений
uxy = F (x, y, u, ux , uy )
(1)
было дано Ж. Г. Дарбу.
Определение. Уравнение (1) называется интегрируемым по Дарбу, если у него
существуют нетривиальные x- и y-интегралы.
Будем называть функцию w(x, y, u, ux , uxx , . . .), не зависящую от y на всех решениях уравнения (1), его x-интегралом. Аналогично определяется y-интеграл.
Данная работа посвящена построению общего решения вырожденной системы
Полмейера—Лунда—Редже

vux uy

,
uxy =
uv + c
(2)
uv
v
x y

vxy =
uv + c
(c — ненулевая постоянная) с использованием x- и y-интегралов.
Общее решение системы уравнений (2). Известно, что система уравнений (2) является системой лиувиллевского типа, для которой обобщённые инварианты Лапласа первого порядка есть вырожденные матрицы, а обобщённые инварианты Лапласа
второго порядка равны нулю (см. [1, 3]).
Далее для удобства изложения материала введём следующие обозначения:
u1 = ux , u2 = uxx , . . . , v1 = vx , v2 = vxx , . . . ,
u1 = uy , u2 = uyy , . . . , v 1 = vy , v 2 = vyy , . . . .
Построение интегралов — задача не из лёгких, так как порядок интеграла заранее неизвестен. Решением этой проблемы может служить гипотеза, высказанная
А. В. Жибером: порядки интегралов и индексы, при которых происходит падение
ранга обобщённых инвариантов Лапласа для систем уравнений, совпадают.
Гурьева Адель Минивасимовна — доцент кафедры математики; к.ф.-м.н.
271
Г у р ь е в а А. М.
Таким образом, система уравнений (2) имеет интегралы в первом порядке:
w(x) =
u1 v1
,
uv + c
w(y) =
u1 v 1
;
uv + c
(3)
и во втором порядке:
W (x) =
u2
uv1
−
,
u1
uv + c
W (y) =
u2
uv 1
−
.
u1
uv + c
С учётом (3) соотношения (4) могут быть переписаны в виде
lu2 − uw(x) = u1 W (x),
u2 − uw(y) = u1 W (y).
(4)
(5)
Относительно замены переменных x = X(x′ ), y = Y (y ′ ) система уравнений (2)
инвариантна, поэтому в новых переменных x′ и y ′ система уравнений (5) принимает
такой вид:
 2
∂u X ′′
∂u 1
∂ u 1


W (X),
 ′ 2 ′ 2 − ′ ′ 3 − uw(X) =
′ X′
∂x
∂x
∂x X
X
2
′′
∂u Y
∂ u 1
∂u 1



2
2 − ∂y ′
3 − uw(Y ) = ∂y ′ Y ′ W (Y ).
′
′
′
∂y Y
Y
В дальнейшем у переменных x′ и y ′ штрихи опустим, тогда последняя система примет вид

i
h X ′′
2
′

u 2 − u 1
+
W
(X)X
− uX ′ w(X) = 0,
X′
(6)
h ′′
i

u − u Y + W (Y )Y ′ − uY ′ 2 w(Y ) = 0.
2
1
Y′
Выберем функции X(x) и Y (y) такими, что
2
X ′ w(X) =
i
d h X ′′
′
,
+
W
(X)X
dx X ′
2
Y ′ w(Y ) =
i
d h Y ′′
′
.
W
(Y
)Y
+
dy Y ′
Тогда система уравнений (6) переписывается так:

h X ′′
i
′

u 1 −
u = A(y),
+
W
(X)X
X′
i
h
′′

u − Y + W (Y )Y ′ u = A(x).
1
Y′
(7)
Условие совместности системы (7) в виде двух обыкновенных дифференциальных уравнений
′′
′′
Y
X
′
′
′
′
+ W (Y )Y A(y) = c1 , A (x) −
+ W (X)X A(x) = c1
A (y) −
Y′
X′
позволяет определить функции A(x) и A(y):
Z
dx
′
A(x) = c1 X Ψ(X)
+ c2 X ′ Ψ(X),
X ′ Ψ(X)
Z
dy
′
+ c3 Y ′ Ψ(Y ),
A(y) = c1 Y Ψ(Y )
Y ′ Ψ(Y )
272
где ci = const, i = 1, 2, 3, а Ψ(X) и Ψ(Y ) — функции, которые удовлетворяют таким
соотношениям:
Ψ(X) = eΥ(X) ,
Υ′ (X) = W (X),
′
Υ (Y ) = W (Y ),
Ψ(Y ) = eΥ(Y ) .
Решая последовательно обыкновенные дифференциальные уравнения в системе
(7), определим u:
Z

dx
′

u = A(y)X Ψ(X)
+ B(y)X ′ Ψ(X),

X ′ Ψ(X)
Z
dy


+ B(y)Y ′ Ψ(Y ).
u = A(x)Y ′ Ψ(Y )
Y ′ Ψ(Y )
Полученные формулы для u должны совпадать. Приравнивая их, определим
функции B(x) и B(y):
Z
dx
′
+ c4 X ′ Ψ(X),
B(x) = c3 X Ψ(X)
′
X Ψ(X)
Z
dy
′
+ c4 Y ′ Ψ(Y ),
B(y) = c2 Y Ψ(Y )
Y ′ Ψ(Y )
где c4 = const. Таким образом, можно выписать формулу для нахождения функции u:
Z
Z
Z
Z
dx
dy
dx
dy
u = X ′ Ψ(X)Y ′ Ψ(Y ) c1
+c
+c
+c
2
3
4 . (8)
X ′ Ψ(X) Y ′ Ψ(Y )
X ′ Ψ(X)
Y ′ Ψ(Y )
Введём в рассмотрение функции Φ(x) и Φ(y), удовлетворяющие условиям
Φ′ (x) =
1
,
X ′ Ψ(X)
′
Φ (y) =
1
,
Y ′ Ψ(Y )
тогда соотношение (8) запишется в компактной форме:
u=
1
′
Φ′ (x)Φ (y)
c1 Φ(x)Φ(y) + c2 Φ(y) + c3 Φ(x) + c4 .
(9)
Подставляя найденное значение u в первое уравнение (2), определяем функцию v:
′′
′′
Φ (x)Φ (y)
c
c1 Φ(x)Φ(y) + c2 Φ(y) + c3 Φ(x) + c4 −
v=
′
c2 c3 − c1 c4 Φ′ (x)Φ (y)
−
′
′′
Φ (y)Φ′ (x)
Φ′′ (x)Φ (y)
′
′
Φ(y)
+
c
Φ
(x)Φ
(y)
. (10)
c
+
c
c
+
c
Φ(x)
−
1
3
1
2
1
′
Φ′ (x)
Φ (y)
Подстановка (9) и (10) в последнее уравнение системы (2) даёт тождество. Поэтому (9) и (10) составляют частное решение системы уравнений (2), где Φ(x) и Φ(y)
являются произвольными функциями.
Замена
u → αu,
v→
v
,
α
Φ(x) → εΦ(x) + β,
Φ(y) → λΦ(y) + δ,
273
Г у р ь е в а А. М.
где α, β, δ, ε, λ — ненулевые постоянные, позволяет считать, что
когда c1 6= 0;
когда c1 = 0.
c1 = c4 = 1 и c2 = c3 = 0,
c2 = c3 = 1 и c1 = c4 = 0,
Тогда формулы (9) и (10) при c1 6= 0 примут вид
u=
1
′
Φ′ (x)Φ (y)
v = −c
Φ(x)Φ(y) + 1 ,
′′
′
Φ′′ (x)Φ (y)
+
1
−
Φ(x)Φ(y)
Φ(x)+
′
Φ′ (x)
Φ′ (x)Φ (y)
Φ′′ (x)Φ (y)
′
′
+ Φ (x)Φ (y) −
′′
Φ (y)Φ′ (x)
′
Φ (y)
(11)
Φ(y) ,
а при c1 = 0 —
u=
1
′
Φ′ (x)Φ (y)
Φ(y) + Φ(x) ,
′
′′
Φ′′ (x)Φ (y) Φ (y)Φ′ (x)
−
v=c
Φ(y) + Φ(x) −
.
′
′
Φ′ (x)
Φ′ (x)Φ (y)
Φ (y)
′′
Φ′′ (x)Φ (y)
(12)
После преобразования x → F (x) и y → F (y) соотношения (11) и (12) переписываются в виде
u=
′
F ′ (x)F (y) ′
Φ(x)Φ(y) + 1 ,
Φ′ (x)Φ (y)
′
′
1
F ′′ (x)
F (x)F (y) ′′
′
Φ (x) ′ 2
v = −c
×
− Φ (x) ′ 3
′
F (x)
F (x)
Φ′ (x)Φ (y)
′′
F (y)
1
′
′′
× Φ (y) ′ 2
− Φ (y) ′ 3
Φ(x)Φ(y) + 1 −
F (y)
F (y)
′
1
F ′′ (x) F ′ (x)Φ (y)
− Φ′′ (x) ′ 2
− Φ′ (x) ′ 3
Φ(x)+
′
F (x)
F (x) Φ′ (x)F (y)
′
′′
′
F (y) Φ′ (x)F (y)
Φ′ (x)Φ (y)
1
′′
′
− Φ (y) ′ 3
+
Φ(y)
− Φ (y) ′ 2
′
′
F ′ (x)F (y)
F (y)
F (y) Φ (y)F ′ (x)
при c1 6= 0;
u=
′
F ′ (x)F (y) ′
Φ′ (x)Φ (y)
Φ(y) + Φ(x) ,
F ′′ (x)
1
1
′′
′
v=c
− Φ (x) ′ 3
Φ (x) ′ 2
Φ (y) ′ 2 −
′
′
F (x)
F (x)
Φ (x)Φ (y)
F (y)
′′
F (y)
F ′′ (x)
1
′
− Φ′ (x) ′ 3
×
− Φ (y) ′ 3
Φ(y) + Φ(x) − Φ′′ (x) ′ 2
F (x)
F (x)
F (y)
′
′′
′
F ′ (x)Φ (y)
F (y) Φ′ (x)F (y)
1
′′
′
−
×
−
Φ
(y)
Φ
(y)
′
′
′2
′3
Φ′ (x)F (y)
F (y)
F (y) Φ (y)F ′ (x)
274
′
(13)
F ′ (x)F (y)
′′
(14)
при c1 = 0, соответственно.
Таким образом, общее решение системы уравнений (2) может быть описано как
формулой (13), так и формулой (14), поскольку они сводятся друг к другу заменой
′
(x)
1
и выбором функции F (x) такой, чтобы F ′ (x) = − ST (x)
.
функции Φ(x) на T (x)
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Жибер А. В., Соколов В. В. Точно интегрируемые гиперболические уравнения лиувиллевского типа // Успехи математ. наук, 2001. — Т. 56, № 1(337). — C. 63–106.
2. Жибер А. В., Соколов В. В., Старцев С. Я. О нелинейных гиперболических уравнениях,
интегрируемых по Дарбу // Докл. РАН, 1995. — Т. 343, № 6. — C. 746–748.
3. Гурьева А. М. Системы уравнений uxy = ϕ(u, v, ux , uy ), vxy = φ(u, v, vx , vy ) с нулевыми
обобщёнными инвариантами Лапласа второго порядка / В сб.: Международн. Уфимская зимняя шк.-конф. по математ. и физике для студент., аспирант. и молодых
учёных: Т. 1: Математика. — Уфа: БашГУ, 2005. — C. 195–205.
Поступила в редакцию 14/I/2009;
в окончательном варианте — 20/II/2009.
MSC: 35L70, 35C15
CONSTRUCTION OF GENERAL SOLUTION OF DEGENERATING
POLMEIRE–LUNDA–REDGE SYSTEM
A. M. Guryeva
Ufa State Aviation Technical University,
12, Karla Marksa st., Ufa, 450000.
E-mails: adel-guryeva@mail.ru
It is demonstrated that degenerating Polmeire–Lunda–Redge system is a Liovielle-type
system, formulas were obtained for x- and y-integrals at the first and the second orders.
It was demonstrated how they can be used in order to construct a general solution on
this equation system.
Key words: invariants of Laplace, equation of Liovielle type, integrals.
Original article submitted 14/I/2009;
revision submitted 20/II/2009.
Guryeva Adel Minivasimovna, Ph. D. (Phys. & Math.), Dept. of Mathematics.
275
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
280 Кб
Теги
построение, решение, лунда, полмейера, система, вырожденных, редже, общего
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа