close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Программные критерии устойчивости по Ляпунову решения нормальной системы дифференциальных уравнений применительно к САПР.

код для вставкиСкачать
Материалы Международной конференции
Интеллектуальные САПР”
“
Раздел 3
Автоматизация проектирования сложных систем и
объектов
УДК 517.91: 518.1
Я.Е. Ромм
ПРОГРАММНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ
РЕШЕНИЯ НОРМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К САПР
В системах автоматического управления требуется формально строгая характеристика устойчивости, роста и величины погрешности программно реализуемого
решения системы дифференциальных уравнений. Прикладную значимость имела
бы возможность динамического получения такой характеристики. Это позволяло
бы конструировать программу с автоматической коррекцией решения, либо с его
своевременным, в случае неустойчивости, остановом. На этой основе можно совершенствовать автоматическое управление системой в целом.
В частности, конструируемая автоматическая программная коррекция устойчивости могла бы найти применение в САПР при определении параметров системы, модель которой описывается в форме нормальной системы дифференциальных уравнений.
Ниже искомый программный критерий представлен в случае решения задачи
Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной
форме
dY
= F ( x,Y ) ,
dx
Y ( x 0 ) = Y0 ,
(1)
где Y ( x) = ( y1 ( x), y 2 ( x),..., y n ( x) ) , F – вектор-функция n + 1 переменных,
x ∈ [ x0 , ∞) . Устойчивость по Ляпунову (кратко – устойчивость) рассматривается
как устойчивость справа в традиционном определении [1]. Ее исследование первоначально будет опираться на методы численного интегрирования, в частности, на
метод Эйлера
Yi +1 = Yi + F ( xi ,Yi ) h ,
или
y j ( xi +1 ) = y j ( xi ) + f j ( xi ,Yi ) h;
j = 1, 2, K , n;
(2)
i = 0, 1, K .
Конструируемые критерии, в отличие от качественной теории, как правило,
предполагают решение заданным с помощью некоторого дискретного приближе-
91
Известия ТРТУ
Тематический выпуск
ния. Вместе с тем такое предположение не необходимо и решение может быть
точным и иметь аналитический вид, как будет оговорено в дальнейшем.
Итак, пусть вначале по виду приближения, в частности, по виду (2) требуется
определить характер устойчивости, либо наличие неустойчивости решения задачи
(1).
Пусть возмущенным начальным данным Y (x0 ) = Y0 соответствуют прибли~
женные значения решения Y ( x ) этой задачи
~
(
~
)
~
~
~
Yi +1 = Yi + F xi ,Yi h .
(3)
Разность на i -м шаге между возмущенным и невозмущенным решениями
можно представить в виде
~
y j ( xi +1 ) − y j (xi +1 ) = (1 + d ji h ) (~
y j (xi ) − y j ( xi ) ) + Θ0 ji ,
где
(
(4)
)
~
f j xi ,Yi − f j ( xi ,Yi )
d ji = ~
, xi +1 = xi + h , i = 0, 1, K , j = 1, 2, K , n , (5)
y j ( xi ) − y j ( xi )
~
Θ0 ji = Θ ji − Θ ji - разность остаточных членов рядов Тейлора, соответствен-
ных (2) и (3).
Здесь и ниже предполагается, что ( x, Y ) из (1) принадлежат некоторому
множеству S , где x ∈ ( x 0 , ∞ ) ; для всех ( x, Y ) ∈ S вектор-функция F ( x, Y )
определена и непрерывна по всем своим аргументам, удовлетворяет условию
Липшица,
F ( x, y ) ≤ C 0 = const ; предполагается также, что F ( x, y ) диффе-
Fx′ ≤ C1 = const при всех x ∈ ( x 0 , ∞ ) ; норма понимается
ренцируема по x и
как каноническая норма вектора.
Имеет место следующая теорема 1.
Теорема 1. Пусть в рассматриваемых условиях существует ∆0 > 0 , такое,
~
( ~)
~
~
что для всех решений Y = Y ( x ), x,Y ∈ S , Y ≠ Y , выполняются соотношения
min inf ~
y j ( x) − y j ( x) = τ > 0 ,
1≤ j ≤ n
max
n ≥l ≥ 1 ≤ j ≤ n
S
sup
S
~
y l ( x) − y l ( x)
~
y ( x) − y ( x)
j
= τ0 < ∞ ,
j
~
лишь только 0 < Y0 − Y0 ≤ ∆0 . Тогда для устойчивости по Ляпунову решения
Y = Y ( x ) задачи (1) необходимо и достаточно, чтобы существовало ∆ > 0 , та~ ~
кое,
что
для
любых
Y = Y ( x) , удовлетворяющих ограничению
~
0 < Y0 − Y0 ≤ ∆ , и для каждого j = 1, 2, K, n соотношение
92
Материалы Международной конференции
i
lim ∏ (1 + h d jl ) ≤ C
i→∞
l=0
Интеллектуальные САПР”
“
( 0)
,C
( 0)
= const ,
(6)
x ∈ ( x0 , ∞) . При этом для каждого произвольно фиксированного x , переменных i и h априори определена взаимозависимость вида
x − x0
(0)
x = xi +1 , xl +1 = xl + h, l = 0,1, ..., i, h =
. B (6) C
не зависит от x ,
i +1
~
а также от Y0 в пределах рассматриваемых ограничений на начальные данные.
выполнялось бы при всех
Критерий асимптотической устойчивости определен теоремой 2.
Теорема 2. В условиях теоремы 1, включая взаимозависимость x , i и h ,
для асимптотической устойчивости рассматриваемого решения необходимо и достаточно существование
∆ > 0 , такого, что соотношение
i
lim lim ∏ (1 + h d jl ) = 0
x→∞ i →∞
выполняется при каждом
Следствие
1.
~
0 < Y 0 −Y 0 ≤ ∆
(7)
l =0
~
j = 1, 2, ..., n , лишь только 0 < Y0 − Y0 ≤ ∆ .
Если в тех же условиях найдется ∆ > 0 , такое, что
для
каждого
j = 1, 2,K, n
влечет
lim d jl ≤ δ < 0 , δ = const , при всех x ∈ ( x0 , ∞) , то рассматриваемое решеh→0
ние асимптотически устойчиво. Если для тех же j выполняется lim d jl < 0 при
h→0
всех x ∈ ( x0 , ∞) , то решение устойчиво. Если для любого ∆ > 0 и для любого
~ ~
N ∈ ( x 0 , ∞) существует δ1 > 0 , δ1 = const , такое, что найдется Y = Y ( x) ,
~
0 < Y0 − Y0 ≤ ∆ , и найдется x ≥ N , для которого будет выполнено
lim d jl ≥ δ > 0 хотя бы при одном j , j = 1, 2, ..., n , то решение неустойчи1
h→0
во.
Непрерывными аналогами соотношений следствия 1 будут неравенства
~
f j ( x, Y ( x ) ) − f j ( x, Y ( x ) )
Dj ≤ δ < 0, Dj < 0, Dj ≥ δ > 0; Dj =
. (8)
~
1
y ( x) − y ( x)
j
j
Легко видоизменить следствие на случай условий, соответственных (8).
Для программной реализации целесообразны следующие логарифмические
разновидности критериев (6), (7).
Следствие 2. Утверждение теоремы 1 не изменится, если в условиях этой
теоремы
соотношение
(6)
заменить
на
соотношение
i
~
lim ∑ ln (1 + h d jl ) ≤ C ( 0 ) = const , при этом из утверждения исключается
i→∞
l =0
93
Известия ТРТУ
Тематический выпуск
случай асимптотической устойчивости. В отношении последнего теорема 2 сохраняется при замене (7) на соотношение
i
lim lim ∑ ln (1 + h d jl ) = −∞ .
x→ ∞ i → ∞ l = 0
Аналоги данных критериев конструируются для различных пошаговых методов. Например, аналог (5) для метода Рунге-Кутта записывается в виде
(
)
~
K xi ,Yi − K ( xi ,Yi )
, j = 1, 2, ..., n ,
d ( )= ~
ji P − K
y j ( xi ) − y j ( xi )
где
(9)
K ( xi , Yi ) - векторное выражение, в соответствии с которым
Yi +1 = Yi + K (xi , Yi ) , K ( xi , Yi ) =
1
(K1i + 2 K 2i + 2 K 3i + K 4i ) .
6
Корректная программная реализация критериев (6), (7) осуществима на той
основе, что в случае устойчивости решения и только в этом случае метод Эйлера,
преобразованный к форме (4), (5), имеет не более чем линейный по x рост погрешности приближения.
Точнее, имеет место следующая теорема.
Теорема 3. В условиях теоремы 1 для устойчивости решения Y = Y (x) зада-
∆ > 0 , такое, что для любого
~
~ ~
решения Y = Y ( x ) , удовлетворяющего 0 < Y0 − Y0 ≤ ∆ , разность приближечи (1) необходимо и достаточно, чтобы нашлось
ний, вычисляемых из (4), (5) при
Θ0 ji = 0 , на промежутке [ x0 , x] для произволь-
ного x ≥ x0 имела бы рост не больший, чем ограничиваемый из неравенства
~
~
Y ( x) − Y ( x) ≤ c0 Y0 − Y0 + c1 x − x0 h ,
(10)
~
где c0 , c1 - постоянные, не зависящие от x и Y0 , и для каждого x ∈ ( x0 , ∞) существует hx > 0 , такое, что в границах указанной в теореме 1 взаимозависимости
x , i и h неравенство (10) выполняется при любых h ≤ hx , h > 0 .
Экспоненциальный коэффициент при h в оценке, известной для разностных
методов в общем случае [2], в условиях устойчивости и при эквивалентном преобразовании метода (2), используемом в (4), (5), заменяется, таким образом, на линейный, что позволяет строить приближение на промежутке большой длины с корректным моделированием асимптотического поведения решения. При использовании (9) оценка (10) существенно усиливается.
По построению итерации (4), (5) и их аналоги для других методов могут выражать рост погрешности от различных возмущений решения. Поэтому конструкция данных критериев с соответственными ограничениями применима для анализа
устойчивости в смысле некоторых других определений. Наглядность соотношений
(8) упрощает поиск устойчивого управления.
Предложенные критерии апробировались для различных F из (1). По ходу
приближенного решения легко отслеживается наличие (отсутствие) ограничения
сверху произвольной постоянной для частичных произведений из (6), их стремле94
Материалы Международной конференции
Интеллектуальные САПР”
“
ние к нулю или более наглядное стремление к − ∞ частичных сумм логарифмического ряда из следствия 2, что эквивалентно (7); аналогично выявляется нарушение
(7). Одновременно с помощью (4), (5) (или с соответственной заменой этих соотношений при использовании других методов) ведется контроль погрешности, рост
которой свыше линейного при произвольно малых h на основании теоремы 3
служит дополнительным признаком неустойчивости. Значения параметров из условий представленных теорем и следствий на практике выбираются без принципиальных затруднений, смысл работы критериев не нарушается при варьировании
этих значений в рамках формальных ограничений.
Очевидно, в изложенных рассуждениях невозмущенное решение можно априори считать заданным не приближенно, а точно, и это не отразится на форме
критериев устойчивости, а также на результатах их работы. Программная реализация критериев устойчивости в данном случае допускает не обязательно представление невозмущенного решения в форме (2), но, например, можно представить
решение в аналитической форме.
Доказательства данных утверждений содержатся в [ 3 ]. Там же приведены
тексты программ для анализа устойчивости решений различных систем уравнений
и результаты их работы, иллюстрирующие правильность и практическую целесообразность предложенных критериев.
В заключение можно отметить, что рассмотренный программный анализ устойчивости целесообразно использовать в системах автоматического управления и
в САПР для определения параметров проектируемой системы, математическая
модель которой имеет вид системы дифференциальных уравнений в нормальной
форме.
1.
ЛИТЕРАТУРА
Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкно-венных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964. 478 с. (Lamberto Cesari. Asymptotic behavior and
stability problems in ordinary differential equations. Springer verlag. Berlin Göttingen Heidelberg. 1959.)
2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. М.: Физматгиз, 1962. 640 с.
3. Ромм Я.Е. Итерационные критерии устойчивости по Ляпунову на основе методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Таганрог: Издво ТГПИ, 1999. 132 с. ДЕП в ВИНИТИ 13.10.99, № 3064-В99.
УДК 681.3.06
Е.В. Нужнов, А.В. Барлит
ТРЕХМЕРНАЯ УПАКОВКА НА ОСНОВЕ ЭВРИСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕДУР
Известная задача плотной упаковки трехмерных объектов для их транспортировки в контейнерах, грузовиках, вагонах и трюмах постоянно расширяет области
своего применения. Проблема трехмерной упаковки становится все более актуальной в современной промышленности, особенно при использовании hi-tech технологий. Общая тенденция к микроминиатюризации требует более плотной упаковки
и видоизменения компонентов в ограниченном объеме. Эта задача востребована и
в машиностроении, где требования к компактности сборки узлов автомобилей стоят на первых местах. Трехмерная упаковка применяется и при разработке новых
концепций построения и взаимного расположения узлов транспортных средств в
95
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа