close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Распространение одной теоремы Магилла со случая компактов на случай совершенных (=компактных) отображений.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 18, вып. 5, 2013
Для уравнений (1) с небольшим числом параметров область G0 допускает аналитическое и графическое описание. В этих случаях применение теоремы 2 оказывается особенно
эффективным.
П р и м е р 1. Пусть в уравнении (1) n = 1. Приведем условия однозначной разрешимости
в D0 (R) уравнения
ẋ(t) = −ax(t − h), t ∈ R.
(4)
С л е д с т в и е 1. Уравнение (4) имеет в D0 (R) только тривиальное решение тогда и
только тогда, когда параметры a = |a|eiψ и h таковы, что − π2 6 ψ 6 π2 , 0 6 |a|h 6 π2 − |ψ|.
П р и м е р 2. Пусть в уравнении (1) n = 2, h1 = 0. Приведем условия однозначной
разрешимости в D0 (R) уравнения
ẋ(t) = −ax(t) − bx(t − h),
t ∈ R,
(5)
где a, b ∈ R.
С л е д с т в и е 2. Уравнение (5) имеет в D0 (R) только тривиальное решение тогда и только тогда, когда параметры ah и bh таковы, что −ah 6 bh 6 sinθ θ , где θ —
наименьший положительный корень уравнения ah = −θ ctg θ, 0 6 θ < π.
Область G0 для примера 1 получена в [2], для примера 2 в [3].
ЛИТЕРАТУРА
1. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.
2. Рехлицкий З.И. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с
запаздывающим аргументом в банаховом пространстве // ДАН СССР. 1956. Т. 111. № 1. С. 29-32.
3. Андронов А.А., Майер А.Т. Простейшие линейные системы с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1946. Т. 7. № 2, 3. С. 95-106.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 13-01-96050).
Balandin A.S. ON SOLVABILITY SOME CLASSES OF DIFFERENTIAL-DIFFERENCE EQUATIONS ON THE LINE
The solution of some differential-difference equations on the line is obtained. For this equations the
solvability on the line problem is associated with stability on the half-line problem.
Key words: differential-difference equations; solvability; stability.
УДК 515.12
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ОДНОЙ ТЕОРЕМЫ МАГИЛЛА СО СЛУЧАЯ
КОМПАКТОВ НА СЛУЧАЙ СОВЕРШЕННЫХ (= КОМПАКТНЫХ)
ОТОБРАЖЕНИЙ
c
⃝
И.В. Блудова
Ключевые слова: совершенное (компактное) отображение; гомеоморфизм.
В 1968 г. Магилл доказал (неявно), что компакты X и Y гомеоморфны тогда и только
тогда, когда частично упорядоченные множества всех их непрерывных отображений на
компакты изоморфны. Эта теорема распространяется на компактные (= совершенные)
отображения в категориях треугольных и четырехугольных коммутативных диаграмм
непрерывных отображений.
2451
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 18, вып. 5, 2013
Результаты этого сообщения получены совместно с Э.Н. Беляновой.
Ниже под пространством понимается топологическое T2 -пространство, под непрерывным отображением – непрерывное отображение пространств.
Непрерывные отображения «на» λ и µ пространства X будут отождествляться при
помощи (однозначно определенного) гомеоморфизма h : λX → µX, если таковой существует.
После такого отождествления мы получаем множество C(X), элементы которого также
будут называться непрерывными отображениями "на" рассматриваемого пространства X.
Для λ ∈ C(X) положим Im(λ) = λ(X).
Для λ, µ ∈ C(X) будем считать λ < µ, если существует непрерывное отображение
h : Im(µ) → Im(λ), такое, что λ = h ◦ µ. Очевидно, C(X) есть частично упорядоченное
(=ЧУ) множество. В дальнейшем P(X) обозначает ЧУ подмножество всех совершенных
отображений из C(X).
В 1968 г. К.Д. Магилл (неявно) доказал теорему (кратко, ТМ) о том, что два компакта X и Y гомеоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны ЧУ множества C(X)
и C(Y ) . Ниже ТМ распространяется на компактные (= совершенные) отображения как в
категории T OPZ (треугольных коммутативных диаграмм), так и в категории M AP (четырехугольных коммутативных диаграмм).
Напомним, что взаимно однозначное (возможно, не непрерывное) отображение пространств g : X → X ′ называется k -гомеоморфизмом, если для любых компактов C ⊂ X
и D ⊂ Y ограничения g|C и g −1 |D являются топологическими вложениями. Напомним
еще, что пространство X называется k -пространством, если замкнутость F ⊂ X в X
равносильна тому, что для любого компакта C в X пересечение F ∩ C замкнуто в C.
Очевидно, любой k -гомеоморфизм k -пространств является гомеоморфизмом.
В 2001 г. Блудова, Нордо и Пасынков, обобщая ТМ, доказали следующее утверждение:
Для пространств X1 , X2 существует k -гомеоморфизм hi : X1 → X2 , если существует
изоморфизм ЧУ множеств i : P(X1 ) → P(X2 ). Для гомеоморфных пространств X1 , X2
ЧУ множества P(X1 ), P(X2 ) изоморфны. Гомеоморфность k -пространств X1 и X2
равносильна изоморфности ЧУ множеств P(X1 ) и P(X2 ).
Пусть Y есть подпространство пространства Z.
Напомним, что для отображения λ ∈ C(Z) a) коограничение cor(λ|Y ) его ограничения
на Y есть отображение Y на λY, такое, что cor(λ|Y )(z) = λ(z) для всех z ∈ Y, а b) его
кограничение corλ есть cor(λ|Z ).
Для замкнутого множества Y в Z определим отображение cor(|ZY ) : P(Z) → P(Y ),
полагая cor(|ZY )(λ) = cor(λ|Y ), λ ∈ P(Z).
Пусть отображение F : X → Z совершенно. Тогда для любого λ ∈ P(Z) определено отображение F ∗ (λ) = cor(λ ◦ F ) из P(X) и, следовательно, определено отображение F ∗ : P(Z) →
→ P(X). (Отметим, что F ∗ (λ) = λ ◦ F ), если F есть отображение "на".) Положим
P(X, F ) = F ∗ (P(Z)) и iF = corF ∗ .
Объектами категории M AP являются все непрерывные отображения и для непрерывных отображений fi : Xi → Yi , i = 1, 2, морфизм f1 в f2 есть пара (λ, µ) непрерывных
отображений λ : X1 → X2 и µ : Y1 → Y2 , таких, что µ ◦ f1 = f2 ◦ λ. Пара (λ, µ) (k−) гомеоморфизмов λ : X1 → X2 и µ : Y1 → Y2 называется (k−) гомеоморфизмом f1 на f2 в M AP,
если µ ◦ f1 = f2 ◦ λ.
Объектами категории T OPZ являются все непрерывные отображения в пространство
Z и для непрерывных отображений fi : Xi → Z, i = 1, 2, морфизм f1 в f2 есть непрерывное отображение λ : X1 → X2 , такое, что f1 = f2 ◦ λ. Соответственно, (k−) гомеоморфизм
λ : X1 → X2 есть (k−) гомеоморфизм f1 на f2 в T OPZ , если f1 = f2 ◦ λ.
2452
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 18, вып. 5, 2013
Непрерывные отображения f1 и f2 называются (k−) гомеоморфными в M AP (соответственно, в T OPZ ), если существует (k−) гомеоморфизм f1 на f2 в M AP (соответственно, в T OPZ ).
Т е о р е м а 1. Пусть отображения Fi : Xi → Zi совершенны Yi = Fi (Xi ), fi = cor(Fi ),
i = 1, 2, и min{|Y1 |, |Y2 |} > 2. Тогда
(α) F1 и F2 k -гомеоморфны в M AP, если
(⋆) существует изоморфизмы ЧУ множеств i12X : P(X1 ) → P(X2 ), i12Z : P(Z1 ) →
→ P(Z2 ) и i12Y : P(Y1 ) → P(Y2 ), такие, что
(1) i12Y ◦ cor(|Z1 Y1 ) = cor(|Z2 Y2 ) ◦ i12Z и
(2) i12X ◦ f1∗ = f2∗ ◦ i12Y .
(β) Гомеоморфизм отображений f1 и f2 в M AP влечет условие (⋆).
(γ) Если Y1 и Y2 – k -пространства, то f1 и f2 гомеоморфны в M AP тогда и
только тогда, когда выполняется условие (⋆).
Для Z1 = Z2 = Z и i12Z = idP(Z) из теоремы 1 вытекает
Т е о р е м а 2. Пусть отображения Fi : Xi → Z совершенны, Yi = Fi (Xi ), fi = cor(Fi ),
i = 1, 2, и min{|Y1 |, |Y2 |} > 2. Тогда
(α′ ) F1 и F2 – k -гомеоморфны в T OPZ , если
(⋆′ ) существуют изоморфизмы ЧУ множеств i12X : P(X1 ) → P(X2 ) и i12Y : P(Y1 ) →
→ P(Y2 ), такие, что
(1′ ) i12Y ◦ cor(|ZY1 ) = cor(|ZY2 ) и
(2) i12X ◦ f1∗ = f2∗ ◦ i12Y .
(β ′ ) Гомеоморфизм отображений f1 и f2 в T OPZ влечет условие (⋆′ ).
(γ ′ ) Если Y1 , Y2 – k -пространства (это так для k -пространства Z ), то гомеоморфизм f1 и f2 в T OPZ равносилен выполнению условия (⋆′ ).
Bludova I.V. EXTENSION OF MAGILL’S THEOREM FROM SPACES TO MAPPINGS
In 1968 Magill proved (implicitly) that compacta X and Y are homeomorphic iff the partially ordered
sets of all their continuous maps onto compacta are isomorphic. This theorem is extended to compact
(=perfect) maps in categories of triangular and quadrangular commutative diagrams of continuous maps.
Key words: perfect (= compact) mapping; homeomorphism.
УДК 517.929
МИНИМАЛЬНЫЕ ПЕРИОДЫ РЕШЕНИЙ НЕАВТОНОМНЫХ
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С
ЛИПШИЦЕВЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
c
⃝
Е.И. Бравый
Ключевые слова: минимальные периоды; функционально-дифференциальные уравнения; уравнения высших порядков.
Получены неулучшаемые оценки минимальных периодов периодических решений
функционально-дифференциальных уравнений высших порядков.
2453
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
207 Кб
Теги
теорема, одной, магилла, отображений, распространение, компактных, компактор, совершенный, случай
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа