close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Распространение ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном анизотропном слое.

код для вставкиСкачать
№ 4, 2007
Физико-математические науки. Математика
УДК 517.6
Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТМ-ПОЛЯРИЗОВАННЫХ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНОМ
АНИЗОТРОПНОМ СЛОЕ*
Рассматривается распространение ТМ-поляризованных электромагнитных волн через нелинейный однородный, анизотропный, немагнитный
диэлектрический слой, расположенный между двумя однородными изотропными полупространствами. Нелинейность в слое выражается законом Керра.
Получено дисперсионное уравнение для собственных значений (постоянных
распространения) задачи.
Введение
Задачи распространения электромагнитных волн в нелинейных средах интенсивно изучаются в течение нескольких десятилетий [1–5]. К таким задачам относится распространение волн в волноведущих структурах
и, в частности, распространение волн в диэлектрическом слое. Математические модели для таких задач и некоторые результаты представлены в
работе [1].
Наиболее изучены явления распространения ТЕ-поляризованных электромагнитных волн. Результаты, связанные с распространением ТЕ-поляризованных волн в нелинейном диэлектрическом слое, представлены в статье [2].
В работах [3, 4] изложены результаты по распространению ТМ-поляризованных волн в нелинейном диэлектрическом полубесконечном слое. В статье
[5] получен первый интеграл исследуемой в настоящей работе системы дифференциальных уравнений, описывающий закон сохранения. Однако полного
аналитического решения задачи распространения ТМ-поляризованных волн в
нелинейном диэлектрическом слое не было получено. Не было найдено дисперсионное уравнение для постоянных распространения ТМ-поляризованных
электромагнитных волн.
1. Постановка задачи
Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через однородный,
анизотропный, немагнитный диэлектрический слой с нелинейностью типа
Керра, расположенный между двумя полубесконечными полупространствами
x < 0 и x > h в декартовой системе координат Oxyz . Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянную диэлектрическую проницаемость ε1 ≥ ε0 и ε3 ≥ ε0 , соответственно, где
ε0 – диэлектрическая проницаемость вакуума. Считаем, что всюду μ = μ0 ,
где μ0 – магнитная проницаемость вакуума.
Электрическое поле гармонически зависит от времени t:
E ( x, y, z , t ) = E+ ( x, y, z ) cos ωt + E− ( x, y, z ) sin ωt .
*
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 06-07-89063а.
51
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Электромагнитное поле удовлетворяет уравнениям Максвелла:
rotH = −iωεE,
rotE = iωμH,
(1)
где E ( x, y, z ) = E+ ( x, y, z ) + iE− ( x, y, z ) и H ( x, y, z ) есть комплексные амплитуды. Диэлектрическая проницаемость внутри слоя описывается диаго⎛ ε xx
0
0 ⎞
⎟
⎜
2
2
нальным тензором ε = ⎜ 0 ε yy 0 ⎟ , где ε xx = ε 2 + b E x + a E z ,
⎜
⎟
0 ε zz ⎠
⎝ 0
2
2
ε zz = ε 2 + a E x + b E z и a , b и ε 2 > max ( ε1 , ε3 ) – положительные константы. Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.
Временной множитель везде ниже опущен.
Электромагнитное поле E , H удовлетворяет уравнениям Максвелла
(1), условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на
границе раздела сред x = 0 , x = h и условию излучения на бесконечности:
электромагнитное поле экспоненциально затухает при x → ∞ в областях
x<0 и x>h.
{
}
Рассмотрим ТМ-поляризованные волны E = { E x , 0, E z } , H = 0, H y , 0 .
Предполагая, что компоненты поля гармонически зависят от z,
H y = H y ( x ) eiγz , E x = E x ( x ) eiγz , E z = E z ( x ) eiγz , из (1) получаем систему
уравнений [1, 6]:
⎧ γ iE x ′ − E ′′ x = ω2με E x ;
⎪ ( x ( ))
z( )
zz z ( )
⎨
⎪⎩ γ 2 ( iE x ( x ) ) − γE z′ ( x ) = ω2με xx ( iE x ( x ) ) .
(2)
Здесь γ – неизвестный спектральный параметр – постоянная распространения электромагнитной волны. Введем обозначения k 2 = ω2με0 с
μ = μ0 и выполним нормировку в соответствии с формулами x = kx ,
εj
d
d
γ
a
b
(j = 1, 2, 3), a =
, b =
. Переобозначим
= k , γ = , ε j =
ε0
k
dx
dx
ε0
ε0
E z ≡ Z ( x ) , iE x ≡ X ( x ) и, опуская значок тильды, систему (2) приведем к
виду
d 2Z
dX
= ε zz Z ;
dx
dx
dZ
1
−
+ γX = ε xx X .
γ
dx
−
2
+γ
(3)
Будем искать действительные решения X ( x ) , Z ( x ) для системы (3),
полагая γ действительным (так что E x
52
2
и Ez
2
не зависят от z).
№ 4, 2007
Физико-математические науки. Математика
Также будем полагать, что функции X ( x ) , Z ( x ) дифференцируемы в
слое так, что
X ( x ) ∈ C ( −∞; 0] ∩ C [ 0; h ] ∩ [ h; +∞ ) ∩ C1 ( −∞; 0 ) ∩ C1 ( 0; h ) ∩ C1 ( h; + ∞ )
и
Z ( x ) ∈ C ( −∞; + ∞ ) ∩ C 2 ( −∞; 0 ) ∩ C 2 ( 0; h ) ∩ C 2 ( h; + ∞ ) .
Будем искать такие γ, что max ( ε1 , ε3 ) < γ 2 < ε 2 .
Подробный вывод уравнений (3) из уравнений (1) представлен в работе [6].
2. Решение системы дифференциальных уравнений
В полупространствах x < 0 и x > h диэлектрическая проницаемость ε
в уравнениях (1) имеет постоянное скалярное значение ε1 и ε3 , соответственно. Учтем это при выводе уравнений (3) для этих полупространств из системы (1).
Для ε = ε1 в полупространстве x < 0 получаем общее решение:
⎧
⎛
⎞
2
⎪ X ( x ) = A exp ⎜⎝ x γ − ε1 ⎟⎠ ;
⎪
⎨
γ 2 − ε1
⎪
Z
x
A exp ⎛⎜ x γ 2 − ε1 ⎞⎟ ,
=
(
)
⎪
γ
⎝
⎠
⎩
(4)
где принято во внимание условие на бесконечности.
Для ε = ε3 в полупространстве x > h имеем
⎧
⎛
⎞
2
⎪ X ( x ) = B exp ⎜⎝ − ( x − h ) γ − ε3 ⎟⎠ ;
⎪
⎨
γ 2 − ε3
⎪
Z
x
=
−
B exp ⎛⎜ − ( x − h ) γ 2 − ε3 ⎞⎟ ,
(
)
⎪
γ
⎝
⎠
⎩
(5)
в соответствии с условием на бесконечности. В решениях (4) и (5) константы
A и B будут определяться граничными условиями.
Внутри слоя 0 < x < h система (3) принимает вид
d 2Z
(
)
dX
= ε 2 + aX 2 + bZ 2 Z ;
dx
dx
dZ
1
−
+ γX = ε 2 + bX 2 + aZ 2 X .
dx
γ
−
2
+γ
(
)
(6)
Систему (6) можно привести к виду
(
γ ε2 + 3bX 2 + aZ 2
) dXdx = γ 2 ( ε2 + aX 2 + bZ 2 ) Z + 2a (ε2 + bX 2 + aZ 2 − γ 2 ) X 2Z ;
dZ
−γ
= ( ε 2 + bX 2 + aZ 2 − γ 2 ) X .
(7)
dx
53
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Из системы (7) получаем обыкновенное дифференциальное уравнение:
(
− ε 2 + 3bX 2 + aZ 2
)
ε 2 + aX 2 + bZ 2 Z
dX
= 2aXZ + γ 2
.
dZ
ε 2 + bX 2 + aZ 2 − γ 2 X
(8)
Уравнение (8) является уравнением в полных дифференциалах, его решение таково:
((
)(
)
)
X 2 2 ε 2 + bX 2 + aZ 2 ε 2 + bX 2 + aZ 2 − γ 2 − γ 2bX 2 +
(
)
(9)
+ γ 2 2ε 2 + bZ 2 Z 2 = 4C.
Введем новые переменные:
τ( x) =
ε2 + b ( X ( x ) ) + a ( Z ( x ) )
2
γ2
обозначим τ0 = ε 2 γ 2 . Тогда X 2 =
2
, η( x ) = γ
γ 2 ( τ − τ0 ) η2
X ( x)
Z ( x)
, Z2 =
bη2 + aγ 2 τ2
ма (7) и уравнение (9) в этих переменных примут вид
τ( x) ,
(10)
γ 4 ( τ − τ0 ) τ 2
bη2 + a γ 2 τ2
⎧dτ
ητ2 ( τ − τ0 )
⎪ = 2γ 2
×
⎪ dx
bη2 + a γ 2 τ2 τ bη2 + a γ 2 τ2 + 2b ( τ − τ0 ) η2
⎪
⎪
2
2 2
2
2 2
⎨× τ bη + a γ τ ( b − a ( τ − 1) ) + b ( a − b ) ( τ − τ0 ) η − γ τ ;
⎪
⎪ dη τ −1 2
aη2 + bγ 2 τ2
=
η + γ 2 τ0 + γ 2 ( τ − τ 0 )
;
⎪
τ
bη2 + a γ 2 τ2
⎪ dx
⎪⎩
(
((
)
)( (
)
)
(
(
+
(
2
2
γ τ b ( τ − τ0 ) ( 2aτ0 + b ( τ − τ0 ) ) − a C1 − τ0
4 4
b2
(11)
)
2
2 γ 2 τ2 ( τ − τ0 ) ( aτ ( τ − 1) + bτ0 ) − a C1 − τ0 2
η =
η +
b
C1 + 3τ2 − 2τ3 − 2τ ( 2 − τ ) τ0
4
))
, систе-
C1 + 3τ2 − 2τ3 − 2τ ( 2 − τ ) τ0
),
(12)
γ6
C1 − τ02 .
4b
Уравнение (12) является общим уравнением шестой степени относительно τ и биквадратным относительно η .
где C =
(
)
3. Граничные условия и дисперсионное уравнение
Для того чтобы выписать дисперсионные уравнения для постоянных
распространения электромагнитных волн, необходимо найти значения
η( 0) , η( h ) .
54
№ 4, 2007
Физико-математические науки. Математика
Из непрерывности касательных составляющих полей E и H получаем
h
0
Z ( h ) = E z ( h + 0 ) = E z( ) ; Z ( 0 ) = E z ( 0 − 0 ) = E z( ) ;
h
0
γX ( h ) − Z ′ ( h ) = iωμH y ( h + 0 ) = H (y ) ; γX ( 0 ) − Z ′ ( 0 ) = iωμH y ( 0 ) = H (y ) , (13)
h
где константа E z( ) считается известной, и тогда
ε3
h
h
H (y ) = − E z( )
γ 2 − ε3
ε1
0
0
, H (y ) = E z( )
.
γ 2 − ε1
(14)
В соответствии с (6) в слое
− Z ′ ( x ) + γX ( x ) =
(
)
1
ε 2 + bX 2 ( x ) + aZ 2 ( x ) X ( x ) .
γ
Комбинируя (10), (12), (13) и (15), получаем
(
)
(15)
2
2γ 2 τ2 ( τ − τ0 ) ( aτ ( τ − 1) + bτ0 ) − a C1 − τ0 γ 2 X 2 τ2
=
+
4
2
b
h)
h)
C1 + 3τ2 − 2τ3 − 2τ ( 2 − τ ) τ0
(
(
Ez
Ez
γ 4 X 4 τ4
( )
+
γ 4 τ 4 b ( τ − τ0 ) ( 2 a τ0 + b ( τ − τ 0 ) ) − a
b2
где X = X ( h ) , τ = τ ( h ) ;
2
(
C1 − τ02
C1 + 3τ2 − 2τ3 − 2τ ( 2 − τ ) τ0
( )
),
( )
1⎛
(h) 2 ⎞ X ( h) = H (h) ,
2
ε
+
bX
h
+
a
E
(
)
⎜ 2
⎟
z
y
γ⎝
⎠
где
X (h) =
h
H (y )
γτ ( h )
(16)
(17)
.
(18)
Решая (17) относительно X ( h ) , получаем
X 3 (h) +
Величина
( )
h
ε 2 + a E z( )
( )
h
ε 2 + a E z( )
b
2
X (h) −
h
γH (y )
b
=0.
(19)
2
неотрицательна, и, следовательно, уравнение
b
(19) имеет, по крайней мере, один действительный корень, который мы и будем рассматривать:
13
⎛ ( h)
3
2
2⎞
γH y
1 ⎛ ε2 a ( h ) 2 ⎞ 1 ⎛ γ ⎞
h) ⎟
⎜
(
X (h) = ⎜
+
⎜ + Ez
⎟ + ⎜ ⎟ Hy
⎟
27 ⎝ b b
4⎝b⎠
⎜ 2b
⎟
⎠
⎝
⎠
( )
( )
+
55
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
13
3
⎛ (h)
2
2⎞
γH y
1 ⎛ ε2 a ( h ) 2 ⎞ 1 ⎛ γ ⎞
h) ⎟
(
⎜
+⎜
−
⎜ + Ez
⎟ + ⎜ ⎟ Hy
⎟
27 ⎝ b b
4⎝b⎠
⎜ 2b
⎟
⎠
⎝
⎠
( )
Таким образом, τ ( h ) =
h
H (y )
( )
.
. Используя (14) и (18), найдем
γX ( h )
X (h) = −
ε3
E z( )
.
2
γτ ( h ) γ − ε
3
h
(20)
Из (16) и (20) имеем
⎛
⎜
ε34
×
C1 =
⎜
ε34
γ 4 τ4 2 ⎜⎜ γ 2 − ε 2
2 γ 2 τ2 ε32
+
a+ 2 a ⎝
3
2
b γ 2 − ε3
b
γ 2 − ε3
1
(
( )
2 γ 2 τ2 ε32
× ( −3τ2 + 4τ0 τ + 2τ2 ( τ − τ0 ) ) +
×
b γ 2 − ε3
× ( ( τ − τ0 ) ( aτ ( τ − 1) + bτ0 ) + aτ02 ) +
⎞
γ 4 τ4
+
b ( τ − τ0 ) ( 2aτ0 + b ( τ − τ0 ) ) + a 2 τ02 ) ⎟ ,
(
⎟
b2
⎠
)
(21)
где τ = τ ( h ) .
Известно, что составляющие электромагнитного поля εX ( x ) и Z ( x )
непрерывны на границе раздела сред. Тогда функция η ( x ) также непрерывна
на границе раздела сред в точках x таких, что Z ( x ) ≠ 0 . Тогда, используя (4)
и (5), имеем
η( 0) =
η( h) = −
ε1
2
γ − ε1
ε3
γ 2 − ε3
>0;
<0.
(22)
Ввиду того, что правая часть второго уравнения системы (11) больше
нуля, ясно, что функция η ( x ) монотонно возрастает на интервале ( 0; h ) . Учи-
тывая знаки выражений (22), получаем, что функция η ( x ) не может быть
дифференцируемой на всем интервале ( 0; h ) , а имеет точку разрыва. Пусть это
( )
будет x∗ ∈ ( 0; h ) . Из (12) ясно, что x∗ таково, что τ∗ = τ x∗ является корнем
56
№ 4, 2007
Физико-математические науки. Математика
( )
( )
(
)
(
)
2
3
уравнения C1 + 3 τ* − 2 τ* − 2τ* 2 − τ* τ0 = 0 . Причем η x* − 0 → +∞ и
(
)
η x* + 0 → −∞ .
Обозначим
f ≡ f ( η) =
(( τ − 1) η
2
)(
2
(
τ bη2 + aγ 2 τ2
2
2 2
+ γ τ0 τ bη + a γ τ
)
) + γ τ ( τ − τ0 ) ( aη2 + bγ 2τ2 )
2
,
где τ = τ ( η ) , выраженное из уравнения (12). В общем случае функция η ( x )
на промежутке [ 0, h ] имеет несколько точек x0 , x1 , ..., xN , в которых она обращается в бесконечность, причем
η ( x0 − 0 ) = η ( x1 − 0 ) = ... = η ( xN − 0 ) = +∞
и
η ( x0 + 0 ) = η ( x1 + 0 ) = ... = η ( xN + 0 ) = −∞ .
(23)
Ниже будет доказано, что число таких точек конечно для любого h.
Будем искать решения на каждом отрезке [ 0, x0 ] , [ x0 , x1 ] , ..., [ xN , h ] :
η( x0 )
−
∫
η( x )
fd η = x + c0 , 0 ≤ x ≤ x0 ;
η( x )
∫
η( xi )
fd η = x + ci +1 , xi ≤ x ≤ xi +1 , где i = 0, N − 1 ;
(24)
η( x )
∫
η( xN )
fd η = x + cN +1 , xN ≤ x ≤ h .
Из уравнений (24), учитывая (23), подставляя x = 0 , x = xi +1 , x = xN в
первое, второе и третье уравнения (24), найдем необходимые константы
c1 , c2 , ..., cN +1 :
+∞
c0 = −
∫
fd η ;
η( 0 )
+∞
ci +1 =
∫
fd η − xi +1 , где i = 0, N − 1 ;
(25)
−∞
η( h )
cN +1 =
∫
fd η − h .
−∞
57
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
С учетом (25) уравнения (24) примут вид
η( x0 )
∫
+∞
fd η = − x +
η( x )
η( x )
∫
∫
η( 0 )
fd η , 0 ≤ x ≤ x0 ;
+∞
fd η = x +
η( xi )
∫
fd η − xi +1 , xi ≤ x ≤ xi +1 , где i = 0, N − 1 ;
(26)
−∞
η( x )
∫
η( h )
fd η = x +
η( xN )
∫
fd η − h , xN ≤ x ≤ h .
−∞
+∞
∫
Введем обозначение
fd η = T . Из формул (26) следует, что
−∞
xi +1 − xi = T > 0 , где i = 0, N − 1 . Отсюда следует, что число точек, в которых
функция η ( x ) обращается в бесконечность, конечно на интервале ( 0; h ) . Те-
перь, полагая в уравнениях (26) x таковым (т.е. подставляя x = x0 , x = xi ,
x = xN в первое, второе и третье уравнения (26)), чтобы все интегралы слева
обратились в нуль, сложим все уравнения (26), получим
η( h )
+∞
0 = − x0 +
∫
η( 0 )
fd η + x0 + T − x1 + ... + xN −1 + T − xN + xN +
∫
fd η − h . (27)
−∞
Из формулы (27) окончательно получаем
ε1
γ 2 −ε1
−
−
∫
ε3
fd η + ( N + 1) T = h ,
(28)
γ 2 −ε3
где N ≥ 0 и является целым числом.
Формула (28) есть дисперсионное уравнение, справедливое для любого h. Надо отметить, что когда N ≠ 0 , то возникает несколько уравнений при различных значениях N . Необходимо решать относительно γ
каждое из получающихся уравнений. Все полученные γ будут составлять
множество постоянных распространения, на которых и только на которых
будут распространяться волны в слое при данном h . На самом деле, N
⎡h⎤
будет принимать все целые значения от 0 до ⎢ ⎥ , где [⋅] – целая часть
⎣T ⎦
числа.
58
№ 4, 2007
Физико-математические науки. Математика
Заключение
Настоящая статья посвящена изучению распространения ТМ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном анизотропном диэлектрическом слое. Основным результатом работы является дисперсионное уравнение
для постоянных распространения электромагнитных волн. Эта работа продолжает исследования, начатые авторами в [6]. Здесь посредством подходящего выбора переменных удалось преодолеть принципиальные трудности,
которые не позволяли выписать дисперсионное уравнение для слоя произвольной, но конечной толщины. Авторам не известны аналогичные результаты в отечественной и зарубежной литературе.
Список литературы
1. E l e o n s k i i , P . N . Cylindrical Nonlinear Waveguides / P. N. Eleonskii, L. G. Oganes’yants, V. P. Silin // Soviet Physics Jetp. – 1972. – V. 35. – № 1. – P. 44–47.
2. S c h u r m a n n , H . W . Reflection and transmission of a plane TE-wave at a
lossless nonlinear dielectric film / H. W. Schurmann, V. S. Serov, Yu. V. Shestopalov //
Physica D. – 2001. – V. 158. – Р. 197–215.
3. L e u n g , K . M . p-polarized nonlinear surface polaritons in materials with intensitydependent dielectric functions / K. M. Leung // Physical Review B. – 1985. – V. 32. –
№ 8. – P. 5093–5101.
4. J o s e p h , R . I . Exact field decomposition for TM waves in nonlinear media / R. I. Joseph, D. N. Christodoulides // Optics Letters. – 1987. – V. 12. – № 10. – P. 826–828.
5. L e u n g , K . M . Scattering of transverse-magnetic waves with a nonlinear film: formal
field solutions in quadratures / K. M. Leung, R. L. Lin // Physical Review B. – 1991. –
V. 44. – № 10. – P. 5007–5012.
6. В а л о в и к , Д . В . Распространение ТМ-поляризованных электромагнитных волн
в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Керра / Д. В. Валовик,
Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2007. – № 3. – С. 35–45.
59
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
287 Кб
Теги
нелинейные, поляризованного, волна, распространение, слоев, электромагнитная, анизотропные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа