close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Алгоритм вычисления спектров предфрактальных графов с полной трехвершинной затравкой старые ребра которых в траектории не пересекаются.

код для вставкиСкачать
ISSN 2410-3225 Ежеквартальный рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 1 (176) 2016
УДК 519.1
ББК 22.174.2
Б 18
Байрамукова З.Х.
Старший преподаватель кафедры математики Северо-Кавказской государственной гуманитарнотехнологической академии, Черкесск, тел. (8782) 293582, e-mail: zuhra_bayramukova@mail.ru
Кочкаров А.М.
Доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой математики Северо-Кавказской государственной гуманитарно-технологической академии, Черкесск, тел. (8782) 293582, e-mail: ahmat_kochkarov@mail.ru
Хапаева Л.Х.
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики и информационных технологий
Северо-Кавказской государственной гуманитарно-технологической академии, Черкесск, e-mail: Lelia.kazalieva@yandex.ru
Алгоритм вычисления спектров предфрактальных графов с полной
трехвершинной затравкой, старые ребра которых в траектории не пересекаются*
(Рецензирована)
Аннотация. Впервые исследуется задача вычисления спектров предфрактальных графов, старые ребра
которых в траектории не пересекаются. Для предфрактального графа с полной трехвершинной затравкой
получена рекуррентная формула, позволяющая определить характеристический многочлен и значительно упростить вычисление спектра.
Ключевые слова: спектр предфрактального графа, старые ребра которого в траектории не пересекаются.
Bayramukova Z.Kh.
Senior Lecturer of Department of Mathematics, the North Caucasus State Academy of Humanities and Technology, Cherkessk, ph. (8782) 293582, e-mail: zuhra_bayramukova@mail.ru
Kochkarov A.M.
Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of Department of Mathematics, the North Caucasus State
Academy of Humanities and Technology, Cherkessk, ph. (8782) 293582, e-mail: ah-mat_kochkarov@mail.ru
Khapaeva L.Kh.
Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Informatics and Information Technologies Department, the North Caucasus State Academy of Humanities and Technology, Cherkessk, e-mail: Lelia.kazalieva@yandex.ru
An algorithm for calculating the spectra for prefractal graphs
with the full three-vertex primers with the non-crossed path old edges
Abstract. In this paper, the problem of calculating the spectra of prefractal graphs, the old edges of which are
not crossed on the path, was investigated for the first time. The recurrent formula was obtained for prefractal graph
with the full three-vertex primer, which allows us to define the characteristic polynom and significantly simplify the
spectrum calculation.
Keywords: the spectrum of the prefractal graph, the old edges of which are not crossed on the path.
В последнее время активизировалось изучение математики в области фракталов и
фрактальной геометрии. Как известно, фракталы пронизывают окружающую природу повсюду. Например, они прослеживаются в структуре облаков, рек, рисунках листьев. К настоящему времени известно огромное количество объектов фрактальной структуры [1], как,
например, фрактальные антенны, структуры порождения. Поэтому возникла необходимость
создания математической теории [2] исследования поведения фракталов (фрактальных
структур), которая будет позволять классифицировать фракталы, определить их суть, то есть
чем они порождены, понимать плотность вещества, заполняющего определенную часть пространства (вычисляя размерности фракталов) [3]. В настоящее время в направлении создания
математической теории получены результаты в работах [2-4].
Как известно, теория графов [5] позволяет моделировать объекты дискретной структуры, связи между ними. Но когда исследуемый процесс является детерминированным, как
*
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-07-00231а.
– 25 –
ISSN 2410-3225 Ежеквартальный рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 1 (176) 2016
только исследуемый объект является объектом фрактальной структуры, изменяющимся во
времени, его невозможно моделировать с помощью теории графов. Для этого необходима
специальная теория фрактальных и предфрактальных графов. Эта теория развивается в нескольких направлениях: распознавание структуры [6, 7]; исследование топологических, метрических характеристик [6, 7]; использование линейной алгебры, в частности теории матриц
для определения спектров предфрактальных графов и за счет этого выявление различных
свойств их структуры [8]. В направлении изучения спектров графов – спектральной теории
графов, опубликована работа [9]. Вычислению спектров предфрактальных графов, сохраняющих смежность старых ребер, посвящены работы [10-12].
В настоящей работе впервые исследуется задача вычисления спектров предфрактальных графов, старые ребра которых в траектории не пересекаются.
Приведем основные определения, используемые в данной работе, и систему обозначений.
Термином затравка условимся называть какой-либо связный граф H  (W , Q ) . Для определения фрактального (предфрактального) графа [6, 10, 13] потребуется операция замены вершины затравкой (3В3). Суть операции 3В3 заключается в следующем. В данном графе
~
G  V , E  у намеченной для замещения вершины v~ V выделяется множество V  v~j   V ,
~
j  1,2,..., V , смежных ей вершин. Далее из графа G удаляется вершина v~ и все инцидент~
~
ные ей ребра. Затем каждая вершина v~j  V , j  1,2,..., V , соединяется ребром с вершиной
затравки H  (W , Q) . В случае, когда смежность старых ребер сохраняется, все вершины
~
~
v~  V , j  1,2,..., V , соединяются с одной и той же вершиной затравки H  (W , Q) , а если
j
старые ребра не пересекаются, то с различными вершинами.
Предфрактальный граф будем обозначать через GL  VL , E L  , где VL – множество вершин графа, а EL – множество его ребер. Определим его рекуррентно, поэтапно, заменяя каждый раз в построенном на предыдущем этапе l  1,2,..., L  1 графе Gl  Vl , El  каждую его
вершину затравкой H  (W , Q) . На этапе l  1 предфрактальному графу соответствует затравка G1  H . Об описанном процессе говорят, что предфрактальный граф GL  VL , EL 
порожден затравкой H  (W , Q) [6, 10, 13]. Процесс порождения предфрактального графа
GL , по существу, есть процесс построения последовательности предфрактальных графов
G1, G2 ,..., GL , называемый траекторией. Фрактальный граф G  V , E  , порожденный затравкой H  (W , Q) , определяется бесконечной траекторией. Для предфрактального графа GL ,
ребра, появившиеся на l -м, l  1,2,..., L , этапе порождения, будем называть ребрами ранга
l . Новыми ребрами предфрактального графа GL назовем ребра ранга L , а все остальные
ребра назовем старыми.
Рассмотрим предфрактальный граф G L  VL , E L  с трехвершинной полной затравкой
H  (W , Q) , старые ребра которого в траектории не пересекаются. Граф-затравка H  (W , Q )
– предфрактальный граф первого этапа траектории G1  H , имеет матрицу смежности
0 1 1


A1   1 0 1  . Характеристический многочлен графа затравки [9]
1 1 0


2
PG1    I  A1  3  3  2    1   2 .
(1)
Для того чтобы выявить закономерность, как траектория предфрактального графа GL
отражается на характеристических многочленах, будем последовательно по этапам траектории находить характеристические многочлены предфрактальных графов G2 , G3 ,..., G L .
– 26 –
ISSN 2410-3225 Ежеквартальный рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 1 (176) 2016
Представим характеристический многочлен графа G2 в виде
C1
PG2    I 2  A2   I1
 I 1
 I 1
 I 1
I 1
B1  I1 ,
B  I 1
I 1
(2)
T
1
где I1 – единичная матрица порядка 3; I 2 – единичная матрица порядка 9 (в общем случае
I l – единичная матрица порядка nl ; n – число вершин затравки; l – номер этапа траектории
 0 1 0 


предфрактального графа); C1  I1 ; B1   0 0  1 ;   1 .
 1 0 0 


Используя обобщенный алгоритм Гаусса [14], приведем определитель (2) к нижнему
1
квазитреугольному виду. Умножим третью блочную строку на матрицу  B1  I1   I1 
1
1
слева и прибавим ко второй строке. Ясно, что I1   I1 . Затем третью строку умножим на

1  
матрицу I1    I1   I1 слева и прибавим к первой строке. В результате этих преобразо  
ваний получим:
2
 T
B1  I1   I1
0
I1



1
PG    B1  I1   I1  B1  I1  B1T  I1   I1 0 .


 I1
B1T  I1
I1
C1 
2
Вынесем множитель
1

из второй блочной строки и упростим выражение:
2
 T
B1     I1  .
I1
PG    I1  3 


  B     I  2 I  B  I   B T  I 
1
1
1
1
1
1
1
1
C1 
2
Преобразуем произведение
B1  I1   B1T  I1   B1  B1T   B1  B1T    2 I1  I1  A1   2 I1 ,
поскольку
B1  B1T   A1 ,
 0  1 0   0 0  1  1 0 0 
 


 
B1  B1T   0 0  1    1 0 0    0 1 0   I1 .
 1 0 0   0 1 0   0 0 1 
 


 
(3)
Таким образом,
PG2     3
C1 
2
I1

B1     I1 
 T
B1     I1 

.
2  1   2
I1  A1

Применяя обобщенный алгоритм Гаусса, приведем матрицу в последнем выражении к
нижнему квазитреугольному виду, для чего умножим вторую блочную строку слева на матрицу

 2  1   2

 B1T     I1  
I1  A1 




и прибавим к первой:
– 27 –
1
ISSN 2410-3225 Ежеквартальный рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 1 (176) 2016
PG2   
1
 2  1   2

2

C1 
I1  B1T     I1  
I1  A1   B1     I1 





3
B1     I1 
0
2  1   2
I1  A1


1
 2  1   2

2  1   2
2


I1  A1  C1 
I1  B1T     I1  
I1  A1   B1     I1  .






3
Найдем
2  1   2

I1  A1 ,


 2  1   2

I1  A1 



1
и
упростим
выражение
1

 2  1   2
 T
I1  A1   B1     I1  . Чтобы избежать излишней громозд B1     I1  




кости преобразуемых выражений, введем обозначение
2  1  2
a
.
(4)

Итак,
1
 a 2 1 a  1 a  1 
 a  1  1



  1  

1
1

I1  A1   aI1  A1     1 a  1   a  1 a 2  1 a  1  





2
 1 1 a 


 a  1 a  1 a  1
1 
 a 1 1


a 1
1
a  1I1  A1 ,


1
a
1
1


2
a  1a  2
a  1 a  2 

1
a  1
 1
2
1
2

2  1   2
2
I1  A1  aI1  A1  PG a   a 3  3a  2  a  1 a  2 

1
1
 2  1   2


 B1T     I1  
I1  A1   B1     I1  





B1T     I1  a  1I1  A1   B1     I1 .
 a  1a  2
Упростим произведение матриц в последнем выражении, раскрыв скобки:
a  1B1T  B1T A1     a  1I1     A1 B1     I1  





 a  1B1T B1  B1T A1B1     a  1B1     A1B1 
    a  1B1T     B1T A1      a  1I1      A1 
2



2

 a  1B1T B1  B1T A1B1     a  1 B1  B1T      A1B1  B1T A1      a  1I1      A1.
2
2
Вычислим значение выражений B1T A1 B1 и A1 B1  B1T A1 , учитывая формулы (3).
B1T A1 B1   B1T B1  B1T B1   B1T B1  B1T  B1T B1   B1T B1 B1  B1T B1T B1   B1  B1T  A1 ,
A1 B1  B1T A1   B1  B1T B1  B1T B1  B1T   B1 B1  B1T B1!  B1T B1!  B1T B1T 











 
 2 I1  B1 B1  B1T B1T  2 I1  B1T  B1  2 I1  A1
поскольку
 0 1 0   0 1 0   0 0 1 

 
 

B1 B1   0 0  1   0 0  1   1 0 0    B1T ,
 1 0 0   1 0 0   0 1 0

 
 

– 28 –

ISSN 2410-3225 Ежеквартальный рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 1 (176) 2016
 0 0  1  0 0  1  0 1 0 
 


 
B B    1 0 0     1 0 0    0 0 1    B1 .
 0 1 0   0 1 0   1 0 0
 


 
Таким образом,
T
1
T
1
PG2     3 a  1 a  2  | C1 
2



2

a  1  2        2 a  1 I1 
I1 

 a  1a  2
1     a  1           A | .
 a  1a  2

2
1
Учитывая, что C1  I1 , замечаем, что выражение под знаком определителя имеет вид
1 I1  1 A1 , где
1  f  ,     
а
1  g  ,   


2

a  1  2        2 a  1 ,

  a  1a  2
(5)
1     a  1           .
 a  1a  2
(6)

2
Вынесем множитель 1 за знак определителя и по формуле (1) получим
 
2
2
2
PG2     3 a  1 a  2   13  PG1  1    3 a  1 a  2   1  1  1  21  .
 1 
Упростим выражения (5)-(7). С учетом (4) получаем
1

 f  ,   
2


  2 2  1   2       1   2     1      1   3     1
,
 2  1   2       1
1  g  ,   
Найдем также
1  1 
Следовательно,

(7)

2
 2     1
.
 2  1   2       1
3  3 2    1  2 3   2
2     1  2 2
.
,


2


1
1
2  1   2  
   1

PG2    3  3 2    1   2 3   2
Вспоминая что,   1 , получаем

     1
2

2


    1  2 2  PG2  ,   .
(8)

PG2    3  3  1   2  2  2  2 .
2
Таким образом, задача вычисления спектра предфрактального графа G2 , то есть собственных значений матрицы смежности – корней характеристического уравнения (уравнения
девятой степени) – сведена к решению алгебраического уравнения третьей степени.
Перейдем к рассмотрению предфрактального графа G3 и определению его характеристического многочлена PG3   .
Характеристический многочлен PG3    I 3  A3 , где I 3 – единичная матрица порядка
3  27 , A 3 – матрица смежности графа G3 , можно представить в виде
3
C2
 I 2
 I 2
I 2
B  I 2
PG3    I 3  A3   I 2
– 29 –
T
2
 I 2
B2  I 2 .
I 2
(9)
ISSN 2410-3225 Ежеквартальный рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 1 (176) 2016
0 
0 
 0  I1
 С1 0




Здесь B2   0
0  I1  , С 2   0 I1 B1  ,   1 .
 I
 0 B T I 
0
0 
1
1
 1

Можно заметить, что определитель (9) схож с определителем (2) и, естественно, будем
его находить, выполняя те же самые преобразования, что и при определении PG2   . Здесь
необходимо учитывать, что блоки матрицы в (9) имеют порядок 9. В результате получаем


PG3     9 a  1 a  2   C 2 
3
2


2

a  1  2        2 a  1 I 2 
I2 

 a  1a  2
1     a  1           A  .
 a  1a  2


2
2
Здесь мы учли то, что если в квадратной матрице каждый элемент заменить его произведением на единичную матрицу порядка k (в данном случае k=3), то ее определитель будет
равен k-й степени определителя исходной матрицы. Матрица A2  получена из матрицы A1 ,
заменой ее элементов на их произведения с единичной матрицей I1 . Очевидно, ее порядок
равен 9, а также A2  отличен от A2 . Подставляя матрицу C2 в последнюю формулу, получим
PG3    
9
 1 I1
C1
a  1 a  2    I
3
2
 1 I1
1 I1
B1   1 I1 .
B  1 I1
1 I1
1 1
 1 I1
(10)
T
1
Сравнивая определитель в (10) с формулой (2), видим, что он получится из (2), если заменить  на 1 , а  на  1 . Естественно, выполнить такую же замену в формуле (7) и подставить в формулу (10). Таким образом,


PG3     9 a  1 a  2    13 a1  1 a1  2   2   2  2  2 2  ,
3
2
2
2
(11)
где
a1 
12  1  12
,
1
 2  g 1 , 1   g  f  ,  , g  ,   .
2  f 1 , 1   f  f  ,  , g  ,   ,
Можно заметить, что при получении формулы (11), операция приведения к нижнему
квазитреугольному виду фактически была выполнена дважды.
Упростив формулу (11), получаем

PG3    2  1   2  


 
6
2

3
 1   2  2 

 1  1  1 13  3 12  1  1   2 13  12
то есть

PG3    2  1   2  
 
6
2
 
2
2
1

 1  1  1  212 ,

 1   2  2 PG2 1 , 1 .  PG3 1 , 1  .
3
Рассмотрим предфрактальный граф G4 и найдем его характеристический многочлен
C3
 I 3
 I 3
I 3
B  I 3
PG4    I 4  A4   I 3
T
3
 I 3
B3  I 3 .
(12)
I 3
0
0 
0 
 0  I2
 С2




Здесь B3   0
0  I 2  , С 3   0 I 2 B2  ,   1 .
 I
 0 B T I 
0
0 
2
2
 2

Сравнивая выражение (12) с (10), видим, что операция приведения к нижнему квазитреугольному виду должна применяться трижды. В результате чего, с учетом порядков блоков, получим
– 30 –
ISSN 2410-3225 Ежеквартальный рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 1 (176) 2016




PG4     27 a  1 a  2   19 a1  1 a1  2    23 a2  1 a2  2   3   3  3  2 3  ,
9
2
3
2
2
2
где
a2 
22  1   22
,
2
3  f 2 ,  2  ,
 3  g 2 ,  2  .
После упрощения получаем
18
9
6
3
PG4    2  1   2    2  1   2  2  12  1  12  1  12  1  12  21  



 
 2   2  1 32  3 22   2  1   2 23   22
Отсюда

PG4    2  1   2  
 
18
2
2

 2  2  1  2 22 .
2
2

 1   2  2 PG3 2 ,  2   PG4 2 ,  2  .
9
PG3 2 ,  2  равен PG3 1 , 1  при замене  на 1 ,  на 1 , 1 на 2 , 1 на  2 .
Предфрактальный граф GL имеет характеристический многочлен PGL    I L  AL ,
который можно представить в виде
 I L 1
C L 1
PGL     I L 1
 I L 1
 I L 1
I L 1
BL 1  I L 1 .
BLT1  I L 1
I L 1
(13)
 I L2
0 
0
0 
 0
 С L 2




Здесь BL 1   0
 I L  2  , C L 1   0
0
I L  2 BL  2  ,   1 .
 I
 0
0
0 
BLT- 2 I L  2 
 L2

Используя обобщенный алгоритм Гаусса для приведения определителя к нижнему квазитреугольному виду L-1 раз, получаем для определения характеристического многочлена
PGL    I L  AL рекуррентную формулу


3 L  2 i 
 L2 L 1i
2
2
PGL       i3 ai  1 ai  2
L1   L 1  L 1  2 L1  .

 i 0
2
2
  1  i
 L 1  f  L  2 ,  L  2  ,  L 1  g  L  2 ,  L  2  ,
,
Здесь принято ai  i
i
(14)
a0  a ,
0    1.
Преобразовав (14), имеем

 L2
   2  1   i2   i
 i 1
Или

PGL    2  1   2  
 
2
2

23 L 2
 1   i2  2 i

PGL    2  1   2  
 
2 3 L  2
2


2
3 L  2i
 1   2  2

3 L 2


2
 L 1   L 1   L 1  2 L 1 .

 1   2  2

3L  2
PGL 1 L 2 ,  L 2  .
PGL 1 L2 ,  L2  равен PGL1 L3 ,  L3  при замене  на 1 ,  на 1 , i на i 1 ,  i на  i 1 ,
i  1,..., L  1 .
Таким образом, доказана
Теорема. Характеристический многочлен предфрактального графа GL с полной трехвершинной затравкой, с непересекающимися в траектории старыми ребрами, определяется
по формуле

PGL    2  1   2  
 
23 L  2
2
 1   2  2

3L  2
PGL 1 L2 ,  L 2  ,
где PGL 1 L 2 ,  L 2  равен PGL1 L3 ,  L3  при замене  на 1 ,  на 1 , i на i 1 ,  i на  i1 ,
– 31 –
ISSN 2410-3225 Ежеквартальный рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 1 (176) 2016
i  1,..., L  1 , PG2    3  3 2    1  2 3   2      12     1  2 2   PG2  ,   ,
2
 L 1  f  L  2 ,  L  2  ,  L 1  g  L  2 ,  L  2  ,





  2 2  1   2       1   2     1      1   3     1
,
 2  1   2       1
 2     1
,   1.
1  g  ,   
 2  1   2       1
Доказанная теорема представляет алгоритм вычисления характеристического многочлена рассмотренного предфрактального графа и упрощает вычисление его спектра.
1  f  ,   
2


2
Примечания:
References:
1. Фракталы в физике: труды Шестого междунар.
симпозиума по фракталам в физике. 1985. М.:
Мир, 1988. 672 с.
2. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 261 с.
3. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы.
М.: Ин-т компьютерных исследований, 2002. 656 с.
4. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. М.:
Мир, 1993. 176 с.
5. Лекции по теории графов / В.А. Емеличев, О.И.
Мельников, В.И. Сарванов, Р.И. Тышкевич. М.:
Наука, 1990. 384 с.
6. Кочкаров А.М. Распознавание фрактальных графов. Алгоритмический подход. Нижний Архыз:
РАН САО, 1998. 170 с.
7. Кочкаров А.А. Структурная динамика: свойства и
количественные характеристики предфрактальных
графов. М.: Вега-Инфо, 2012. 120 с.
8. Байрамукова З.Х., Кочкаров А.М., Кунижева Л.А.
Оценка диаметра области распространения вирусов по моделям на предфрактальных графах // Научный журнал КубГАУ. 2014. № 09 (103). С. 1-10.
9. Цветкович Д., Дуб М., Захс Х. Спектры графов:
теория и применение. Киев: Наукова Думка, 1984.
384 с.
10. Байрамукова З.Х., Кочкаров А.М. Спектры предфрактальных графов с затравками – циклами, сохраняющими смежность старых ребер // Научный
журнал КубГАУ. 2012. № 81 (07). С. 1-10.
11. Байрамукова З.Х., Кочкаров А.М. Спектры предфрактальных графов с полными затравками, в
которых смежность старых ребер сохраняется //
Перспективные системы и задачи управления:
материалы Шестой науч.-практ. конф. Таганрог,
2011. С. 291-294.
12. Байрамукова З.Х., Кочкаров А.М. Определение
спектров предфрактальных графов определенных
структур для принятия управленческих решений
// Перспективные системы и задачи управления:
материалы Девятой науч.-практ. конф. Таганрог,
2014. С. 326-335.
13. Байрамукова З.Х., Кочкаров А.М. Алгоритм вычисления определителей матриц смежностей
предфрактальных графов с полными затравками,
сохраняющих смежность старых ребер в траектории // Научный журнал КубГАУ. 2013. № 81 (07).
С. 1-10.
14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.
552 с.
1. Fractals in Physics: proceedings of the Sixth International Symposium on fractals in Physics. 1985. M.:
Mir, 1988. 672 pp.
2. Feder E. Fractals. M.: Mir, 1991. 261 pp.
3. Mandelbrot B. Fractal Geometry of Nature. M.: Institute of computer research, 2002. 656 pp.
4. Peitgen H.-O., Richter P.H. The beauty of fractals. M.:
Mir, 1993. 176 pp.
5. Lectures on the theory of graphs / V.A. Emelichev,
O.I. Melnikov, V.I. Sarvanov, R.I. Tyshkevich. M.:
Nauka, 1990. 384 pp.
6. Kochkarov A.M. Recognition of fractal graphs. An
algorithmic approach. Nyzhny Arkhyz: RAS SAO,
1998. 170 pp.
7. Kochkarov A.A. Structural dynamics: properties and
quantitative characteristics of prefractal graphs. M.:
Vega-Info, 2012. 120 pp.
8. Bayramukova Z.Kh., Kochkarov A.M., Kunizheva
L.A. Estimation of viruses distribution area diameter
using models on prefractal graphs // Scientific Journal
of KubSAU. 2014. No. 09 (103). P. 1-10.
9.Cvetković D., Doob M., Sachs H. Spectra of Graphs:
Theory and Application. Naukova Dumka, 1984.
384 pp.
10. Bayramukova Z.K., Kochkarov A.M. Spectra of prefractal graphs with the priming cycles, keeping edges
of old contiguity // Scientific Journal of KubSAU.
2012. No. 81 (07). P. 1-10.
11. Bayramukova Z.Kh., Kochkarov A.M. Spectra of the
pre-fractal graphs with full primers in which contiguity of old edges is retained // Prospective systems and
control problems: proceedings of the Sixth scientific
and practical. conf. Taganrog, 2011. P. 291-294.
12. Bayramukova Z.Kh., Kochkarov A.M. Definition of
spectra in pre-fractal graphs of certain structures for
taking control decisions // Prospective systems and
control problems: proceedings of the Ninth scientific
and practical. conf. Taganrog, 2014. P. 326-335.
13. Bayramukova Z.Kh., Kochkarov A.M. Algorithm of
calculation of determinants of matrices contiguity of
prefractal graphs with full primers, keeping old edges
contiguity in trajectory // Scientific Journal of KubSAU. No. 2013. 81 (07). P. 1-10.
14. Gantmakher F.R. Theory of matrices. M.: Nauka,
1988. 552 pp.
– 32 –
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа