close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Доказательство теорем Либмана и Рембса о скользящих бесконечно малых изгибаниях сферических сегментов с помощью варьированных уравнений Гаусса-Петерсона-Кодацци.

код для вставкиСкачать
Раздел I.
Алгебра и геометрия
С.Б. Климентов, Н.Г. Перлова
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ ЛИБМАНА И РЕМБСА О СКОЛЬЗЯЩИХ
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ИЗГИБАНИЯХ СФЕРИЧЕСКИХ СЕГМЕНТОВ
С ПОМОЩЬЮ ВАРЬИРОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ
ГАУССА-ПЕТЕРСОНА-КОДАЦЦИ
1. История вопроса. Формулировка результатов. Давно известен следующий результат
Г. Либмана [1].
Теорема 1. Существует счѐтное множество сферических сегментов, больших полусферы,
допускающих единственное линейно независимое нетривиальное аналитическое скользящее бесконечно малое изгибание первого порядка, то есть такое бесконечно малое изгибание, при котором край сегмента остаѐтся в своей плоскости (с точностью до малых первого порядка).
В 1935 г. Э. Рембс в работе [2] сформулировал утверждение, развивающее вышеприведѐнную теорему Либмана.
Теорема 2. Устанавливаемые в теореме Либмана сегменты сферы, большие полусферы, допускают единственное линейно независимое нетривиальное аналитическое скользящее бесконечно малое изгибание второго порядка, то есть такое бесконечно малое изгибание, при котором край
сегмента остаѐтся в своей плоскости (с точностью до малых второго порядка).
Приведѐнное в [2] доказательство теоремы 2 содержит два дефекта. Первый − использование без обоснования варьированного уравнения Бианки-Дарбу. Этот пробел хоть и не совсем просто, но можно устранить, используя результаты П.Е. Маркова [3] и С.Б. Климентова [4] (см. [5]).
Второй дефект − использование уравнения Бианки-Дарбу для непроектирующихся поверхностей.
Возможность такого использования − вопрос открытый по сей день. Насколько нам известно, исправленное доказательство теоремы 2 никем не было опубликовано и остаѐтся открытым вопрос:
верна ли теорема 2?
В предлагаемой работе теоремы 1 и 2 доказываются единым (новым) методом с помощью
варьированных уравнений Гаусса-Петерсона-Кодацци.
2. Отыскание первых вариаций приведенных коэффициентов второй квадратичной
формы сферы. Известно [3, 4], что первые вариации приведѐнных коэффициентов второй квадратичной формы при бесконечно малом изгибании регулярной поверхности удовлетворяют системе
уравнений
L
2M
v
u
u
v
2
2
M
,
g
где
Зададим
r
N
1
11
2
11
0,
1
12
2
12
1
22
2
22
L
,
g
единичную
( r cos v, r sin v, u ) ,
где
(1)
,
,
N
, g - дискриминант метрической формы.
g
сферу
r
без
южного
u (2 u ) , 0 u
полюса
2.
параметризацией
Тогда коэффициенты первой
и второй квадратичных форм и символы Кристоффеля второго рода имеют следующие выражения:
1
11
2
22
E
1
,
u(2 u )
L
u 1
,
u(2 u )
1
12
0,
1
22
F
u (u 1)( 2
M
u ),
G
0,
2
12
N
1 u
,
u (2 u )
u2 u
2
11
,
0,
0.
45
Вестник ТГПИ
Естественные науки
Система (1) для рассматриваемой параметризации сферы принимает вид
u 2 (2 u) 2
0,
2(u 1) .
v)
v
u( 2 u )(
0,
(2)
u
u
(u, v)
Исключая из уравнений (2) неизвестные функции
2u (1 u)(2 u)
uu
полу-
(u, v) :
чим уравнение относительно функции
u 2 (2 u ) 2
(u, v),
и
u
vv
0.
(3)
Методом разделения переменных нетрудно найти гладкое на сфере без южного полюса решение уравнения (3):
k
1
2
u
u
(2 u )
k
2
2
u
u
k 4, k
люсом u 0 .
k
2
k
2
u ) sin kv. Следовательно, функции
(2
k
1
2
(2 u )
k
2
cos kv,
k
2
2
(4)
sin kv,
k
2
(2 u ) sin kv,
N, представляют решение системы (2), непрерывное на сфере с удалѐнным по-
3. Выражение вариации кручения параллели сферы при бесконечно малом изгибании
первого порядка через вариации приведѐнных коэффициентов второй квадратичной формы.
Известно [6], что кручение координатной линии u const (без точек распрямления) регуляр3
ной поверхности класса C выражается через коэффициенты первой и второй квадратичных
форм следующим образом:
1
g (GN
N (g(
2
1
22 ) v
g(
FN
1
2
22 ) )
2
(g
1
1
22 ( 12 N
Nv
1
22 M
)
GMN )) .
Переходя в этом выражении к приведѐнным коэффициентам второй квадратичной формы,
получим с учѐтом формулы Фосса-Вейля, что
M
g
1
G(
N 2
)
g
(((
(
1
2
22 )
1
22 ) v
1
22
2
22 )
N
g
F(
N 3
)
g
1
22 (
. (5)
N
)v )
g
Варьируя выражение (5) и полагая
0 , получим выражение первой вариации кручения
плоской координатной линии u const регулярной поверхности:
1
G(
46
N 2
)
g
(((
(
1 2
22 )
1
22 ) v
1
2
22 22
3F (
N 2
)
g
2G
M N
)
g g
Раздел I.
Алгебра и геометрия
1
22
v ),
откуда следует, что для параллели
u 1
u(2 u )
u
const сферы
.
v
(6)
4. Доказательство теоремы Либмана. Из равенства (6) следует, что для параллели
u
const
0 равносильно равенству
сферы условие
u (2
u)
(u 1)
0.
v
(7)
Подставляя выражения функций (4 1 ) и (4 3 ) в равенство (7), получим:
k
2
u
k
2
0 , откуда следует, что
(2 u ) (1 k (u 1)) cos kv
u
1 . Это означаk
1
ет, что сферический сегмент
(r cos v, r sin v, u ) ,
r
r
u (2
1
k
1
u) ,
u
k
2,
4,
k
N,
допускает нетривиальное бесконечно малое изгибание первого порядка, при котором граничная
параллель
u
1 остаѐтся плоской кривой (с точностью до малых выше первого порядка).
k
1
Вследствие уравнений (1) выражение
dy
( ru
rv )du ( ru
rv )dv
есть полный дифференциал, интегрируя который найдѐм поле вращений
y
k 1
2
1
(
u
2(k 1)
1
u
2(k 1)
1
u
k
k
2
(2
k 1
2
u)
(2
z
1
u
2k
k 1
2
(2
k
2
1)
u)
1)v
sin( k
1)v
k 1
2
1
u
2(k 1)
1
u
2(k 1)
k 1
2
(2
(2
u)
u)
k 1
2
k 1
2
cos( k
1)v,
sin( k
1)v,
cos kv).
dz
(2 u )
(2 u )
1
k (k 2
k 1
2
cos( k
k 1
2
Интегрируя выражение
1
( u
2k
u)
k 1
2
k 1
2
(
[ y dr ],
k 1
2
(
1
k 1
1
k 1
(1 k (u 1))u
k
2
найдѐм поле скоростей
1
sin( k 1)v
cos( k 1)v
k 1
1
k 1
sin( k 1)v),
cos( k 1)v),
k
2
( 2 u ) sin kv).
Так как на граничной параллели u
1
1 сферического сегмента
k
(z k )
0 , где k
–
нормальный вектор плоскости параллели, найденное бесконечно малое изгибание сегмента является скользящим.
Единственность следует из единственности решения задачи Дирихле для эллиптического
47
Вестник ТГПИ
Естественные науки
уравнения второго порядка (3) (подробности ввиду ограниченности объѐма статьи, опускаем).
Об аналитичности найденного бесконечно малого изгибания в окрестности северного полюса см. замечание 2 в конце статьи.
Теорема 1 доказана.
5. Отыскание вторых вариаций приведѐнных коэффициентов второй квадратичной
формы сферы. Известно [3, 4], что вторые вариации приведѐнных коэффициентов второй квадратичной формы регулярной поверхности удовлетворяют системе уравнений
L
2M
N
v
u
u
v
2
где
2
2 g(
1
2 12
2
2 12
1
11
2
11
1
22
2
22
2
M
,
g
) 0,
,
,
2
L
,
g
N ,
g
(8)
, ,
– решение системы (1).
Для рассматриваемой параметризации сферы система (8) принимает вид
u 2 (2
u(2
u) 2
v
u
u )(
u
где
2
2u ( 2 u )
0,
2(u 1) ,
2(u 1) ,
v)
(9)
.
(u, v)
Исключая из уравнений (9) неизвестные функции
(u, v)
уравнение относительно функции
u 2 (2
u) 2
2u (2
2u (1
uu
u )((u (2
u
чим выражение
u )(2
u)
2(1
, ,
Возьмѐм в качестве
k 2
(u, v) , получим
и
u)
u
vv
2
u) )
u (u
1)(2
u)
u
vv )
.
(10)
функции (4). В результате несложных преобразований полу-
(2 u ) k
2
.
Подставив выражение
в правую часть уравнения (10), методом разделения переменных
найдѐм множество решений уравнения (10), гладких на сфере без южного полюса:
Cu
(k
C
k
u ) k cos 2kv
(2
1)u
k 1
(2
u) k
1
1
4(k 2
1)
((k
1)u
k 1
(2
– произвольная постоянная. Тогда функции
где
N,
C
1
0
4(k
2
1)
((k
1)u
k 1
(2 u ) k
1
(11)
(k 1)u
k 1
(2 u ) k 1 ), k
4,
– произвольная постоянная, представляют множество решений системы уравнений (9),
гладких на сфере без полюса
48
1
),
Cu k 1 ( 2 u ) k 1 sin 2kv ,
1
2u k 3 ( 2 u ) k 3 ,
2
2
u (2 u)
Cu k ( 2 u ) k cos 2kv
0,
k
u) k
u
0.
Раздел I.
Алгебра и геометрия
6. Выражение второй вариации кручения параллели сферы при бесконечно малом изгибании второго порядка через вариации приведѐнных коэффициентов второй квадратич-
0
ной формы. В результате двукратного варьирования выражения (5) с учѐтом равенств
0 получается выражение второй вариации
const с нулевой первой вариацией кручения:
и
u
1
N 2
G(
)
(
g
2
1
22
(6 F
v
1
22 ) v
(((
1
2
22 )
N
g
2G
M
)
g
2
кручения плоской координатной линии
1
22
4G
2
22
N 2
)
g
3F (
N
g
)
2G
M
g
,
откуда следует, что для параллели u const сферы
u 1
2
4
.
v
u(2 u )
u
(12)
7. Доказательство теоремы Рембса. Из выражений (6) и (12) следует, что для параллели
2
const сферы условия
0 равносильны равенствам (7) и
u (2 u )
(u 1)
4u (2 u )
v
C (1
2k (u
1))
2
(13)
,
из (4) и
из (11). Получим
0.
(14)
1 , найденных в пункте 4 из условия (7), равенство (14) выполняетk
2 . Таким образом, функции (4) и (11) при C
2 определяют нетривиальное
На параллелях
ся при C
бесконечно
u
1
малое
изгибание
(r cos v, r sin v, u ), r
1
k
1
0.
,
Подставим в равенство (13) выражения
r
N
)
g
u
2, k
второго
порядка
сферического
сегмента
u (2 u ) ,
4, k
N, при котором граничная параллель
u 1
1
k
остаѐтся
плоской кривой (с точностью до малых выше второго порядка).
Вследствие уравнений (8) выражение
2
dy
[ y dy ] ( ru
rv )du
( ru
rv )dv
2
есть полный дифференциал, интегрируя который найдѐм поле вращений
y
бесконечно ма-
2
лого изгибания второго порядка. Для отыскания поля вращений
y
используется выражение
2
yv
[ y yv ]
[ y yv ]
ru
rv . Приведѐм координаты [ y y v ]
1
(
u
2( k 1)
1
u
2( k 1)
k
1
2
(2
k
1
2
(2
u)
k
u)
1
2
k
1
2
sin( k
sin( k
и
ru
rv .
1)v sin kv
1)v sin kv
49
Вестник ТГПИ
1
u
2k
k
Естественные науки
1
2 (2
u)
1
u
2( k 1)
k
k
1
2
(2
u)
1
2
2( k
1)
ru
C
u
2
k
Cu
k
k
k
u
1
2
k
u)
(2
1
2 (2
1
2 (2
u)
u)
u)
1
2
k
1
2
1
2
k
cos( k
1
2
k
(2
u)
cos( 2k
sin( 2k 1)v
u)
k
1
2
k
1
2
cos( k 1)v cos kv ,
1)v sin kv
1
u
2k
k
1
2
(2
u)
sin( k
1)v cos kv ,
0 ),
1
2
cos( 2k
1)v
C
u
2
0r
k
1)v
cos v,
1
2 (2
u)
k
1
2
sin( 2k 1)v
0r
sin v,
0 ).
2
Интегрируя затем выражение
k
1
2 (2
k
1)v sin kv
1)v cos kv
u) k cos 2kv
(2
cos( k
u ) k cos 2kv
(2
k
1
2
k
sin( k
C
( u
2
rv
C
u
2
1
2
k
1
u
2k
cos( k 1)v cos kv
1
2 (2
k
1
u
2( k 1)
1
u
2k
1
2
dz
2
2
[ y dr ] [ y dz ],
z , третья
найдѐм поле ускорений
компонента которого имеет следующее выражение:
2
(z k )
где
( zu ) 2 .
1
2k ( k 2
0 (u )
1)
(1
k (1 u ))u
k
(2
u ) k cos 2kv
0 (u ),
получается интегрированием нулевого коэффициента Фурье функции
Выберем значение аддитивной произвольной постоянной в выражении
чтобы имело место равенство
0 (1
1
)
k
0 . Тогда на граничной параллели u
2
рического сегмента выполняется равенство ( z k )
0 (u ) так,
1
1
k
сфе-
0 , то есть найденное бесконечно малое
изгибание второго порядка является скользящим.
Единственность следует из единственности решения задачи Дирихле для эллиптического
уравнения второго порядка (10) (подробности, ввиду ограниченности объѐма статьи, опускаем).
Об аналитичности найденного бесконечно малого изгибания в окрестности северного полюса см. ниже замечание 2.
Теорема 2 доказана.
Замечание 1. Из формул (4) и (11) следует, что при найденных бесконечно малых изгибаниях сегментов северный полюс сферы является точкой конгруэнтности.
Замечание 2. Рассматриваемая параметризация сферического сегмента не является регу-
2 , так как в этой точке r (u) обращается в бесконечность.
Если перейти в окрестности северного полюса к параметрам x, y , полагая
лярной в окрестности полюса
50
u
Раздел I.
Алгебра и геометрия
x
cos v
x
2
y
2
y
, sin v
x
2
y
2
, u
1
x2
1
y2 ,
и, таким образом, устранить особенность параметризации, то найденные выше векторные
2
z
функции
и
z
будут аналитичны по
x
и
y
в окрестности полюса
u
2.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Liebmann H. Bedingte Flächenverbiegungen, insbesondere Gleitverbiegungen // Münchener Berichte.
1920. S. 21−48.
2. Rembs E. Über Gleitverbiegungen // Math. Ann. 1935. Bd. 111, № 4. S. 587−595.
3. Марков П.Е. Бесконечно малые изгибания высших порядков многомерных поверхностей в пространствах постоянной кривизны // Мат. сборник. 1987. Т. 133. № 1. С. 64−85.
4. Климентов С.Б. О продолжении бесконечно малых изгибаний высших порядков односвязной поверхности положительной кривизны // Мат. заметки. 1984. Т. 36. в. 3. С. 393−403.
5. Климентов С.Б. Варьированное уравнение Бианки-Дарбу // Настоящий сборник. С. 41–44.
6. Моденов П.С. Сборник задач по дифференциальной геометрии. М.: Учпедгиз, 1949. С. 230.
О.Б. Кожевников
ВПОЛНЕ ПРОСТЫЕ ПОЛУГРУППОИДЫ
В.В. Вагнер для геометрических целей ввел и подробно исследовал понятие полугруппоида,
как нулевого ограничения [1] произвольной полугруппы с нулем. Иными словами, полугруппоид –
это частичный группоид S, (заданный в мультипликативной терминологии), удовлетворяющий
следующему условию сильной ассоциативности
( x, y , z
S ) ( xy ) z
x( yz )
( xy) z
x( yz )
Для любой полугруппы S обозначим
S
S \{0}, если S содержит ноль, не являющийся внешним,
S , если S содержит внешний ноль, либо нуля не содержит.
Тогда S – полугруппоид.
Для любого полугруппоида S обозначим
S
S0
{0}, нулевое расширение S , если операция в S не всюду определена,
S , в противном случае.
Тогда S 0 – полугруппа.
Операторы (*),  взаимно обратны в следующем смысле: S
S и S0
*
0
S для любой полугруппы
S для любого полугруппоида S.
Полугруппы – это в точности те полугруппоиды, операция в которых всюду определена.
При изучении полугруппы S при помощи соответствующего полугруппоида S часто возникающий вопрос: содержит S нуль или нет, становится не существенным. Рассматривая, например, так
называемые вполне простые полугруппоиды, мы одновременно рассматриваем вполне простые
полугруппы с нулем и вполне простые полугруппы без нуля.
51
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа