close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Иерархические игры с неполной информацией первого игрока о выборе второго.

код для вставкиСкачать
1
1
v(x) = z3 x ?
при x ? [ , 1],
2
2
z1 , z3 первая и третья компоненты вектора z(x), удовлетворяющего
системе (3), (4). Обратно, если ? таково, что однородная краевая задача для (3), (4) имеет только нулевое решение, то R? существует и
определяется по формуле (5).
Теперь можем сформулировать основной результат статьи.
Пусть существует A?1 , ядро A(x, t) удовлетворяет
условиям из леммы 3. Тогда в S? для любой f (x) ? L[0, 1]
Теорема 4.
lim kSr (f, x) ?
r??
4
X
?1j ?r|?j | (?j , x)k[?, 21 ??] = 0,
j=1
4
X
1
k[ 21 +?,1??] = 0,
lim kSr (f, x) ?
?3j ?r|?j | ?j , x ?
r??
2
j=1
где Sr (f, x) частичная сумма ряда Фурье по с.п.ф. оператора A для
тех характеристических чисел ?k , для которых |?k | < r, ?r (f, x) частичная
сумма тригонометрического ряда Фурье на [0, 21 ] по системе
e4k?ix для тех k , для которых |4k?| < r, ?ij (?ij ) компоненты марицы ?(??1 ), ?j (x) = ?j1 f (x) + ?j2 f ( 21 ? x) + ?j3 f ( 21 + x) + ?j4 f (1 ? x).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Хромов А. П. Интегральные операторы с ядрами, разрывными на ломаных
линиях. Мат. сб. ќ11. 2006. С. 115142.
УДК 519.2
И. А. Кузнецова
ИЕРАРХИЧЕСКИЕ ИГРЫ
С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ ПЕРВОГО ИГРОКА
О ВЫБОРЕ ВТОРОГО
Данная работа относится к теории иерархических игр [14]. Основная
особенность таких игр состоит в том, что первый игрок обладает правом первого хода и возможностью организовывать обмен информацией
между игроками. Оптимальный способ обмена информации при точном
знании первым игроком выбора второго рассмотрен в [5]. В настоящей
работе предполагается наличие ограничений на информированность первого игрока о выборе второго и найден оптимальный способ организации
обмена информации при данном предположении.
29
Определение 1.
Иерархической игрой называется система ? =
= (X, Y, F, µ), где X множество стратегий первого игрока, Y множество стратегий второго игрока, F : X ? Y ? R функция
выигрыша первого игрока, µ правила выбора, то есть отображение
2X?Y в 2X?Y такое, что при любом T ? X ? Y µ(T ) 6= и µ(T ) ? T .
С помощью правила выбора задајтся информированность первого
игрока об интересах второго. Первый игрок знает, что если второму игроку предоставить возможность выбирать исходы из множества T , то
выбранный исход будет обязательно находиться в µ(T ).
Для упрощения изложения считаем, что множество стратегий игроков конечно.
Пусть ? = (X, Y, F, µ) иерархическая игра. Наибольший гарантированный результат первого игрока в данной игре обозначается ?(?) и определяется равенством
Определение 2.
?(?) = max
min
x?X y:(x,y)?µ({x}?Y )
F (x, y).
Организация первым игроком обмена информации между игроками
формализуется с помощью понятия квазиинформационного расширения.
Пусть ? = (X, Y, F, µ) иерархическая игра. Квазиинформационным расширением данной игры называется игра
? = (X, Y , F , µ) такая, что существует отображение
Определение 3.
? : X ? Y ?? X ? Y,
удовлетворяющие условиям
?x ? X ?x ? X ?y ? Y pr1 ?(x, y) = x,
?y ? Y ?y ? Y ?x ? X pr2 ?(x, y) = y,
?x ? X ?y ? Y F (x, y) = F (?(x, y)),
?T ? X ? Y ?(µ(T )) = µ(?(T )).
Первые два условия означают сохранение в расширении исходных
стратегий. Следующие два условия показывают связь интересов игроков
в расширении и в исходной игре.
Справедливо равенство
Теорема 1.
?(?) = max
Tx ??X
min F (x, y).
(x,y)?Tx
30
Определение 4.
Расширение ?0 называется оптимальным в некотором классе расширений, если для всех расширений ? из данного класса
верно неравенство ?(?) ? ?(?0 ).
В [5] описано расширение, оптимальное в классе всех квазиинформационных расширений.
Будем говорить, что в расширении ? игры ? первый игрок не имеет самостоятельной информации о выборе y , если
выполняется условие
Определение 5.
?x ? X ?x ? X ?y ? Y ?y ? Y ?(x, y) = (x, y).
Это условие отражает отсутствие у первого игрока возможности реагировать в своих стратегиях на выбор y .
Положим ??1 = (?1 , ?, F , µ), где ?1 семейство
подмножеств T ? X ? Y , удовлетворяющих условию
Определение 6.
?x ? X ?y ? Y (x, y) ? T,
? семейство отображений ? : 2X?Y ?? X ?Y , обладающих свойством
?T ? X ? Y ?(T ) ? T , отображение ? : ?1 ? ? ?? X ? Y задајтся
равенством ?(T, ?) = ?(T ).
Игра ??1 является квазиинформационным расширением
игры, в котором первый игрок не имеет самостоятельной информации
о выборе y .
Пусть ?1 = (X 1 , Y 1 , F 1 , µ1 ) и ?2 = (X 2 , Y 2 , F 2 , µ2 ) два
квазиинформационных расширения игры ? = (X, Y, F, µ). Тогда включение ?X 1 ? ?X 2 влечјт за собой неравенство ?(?1 ) ? ?(?2 ).
Имеем
Теорема 2.
Лемма.
Доказательство.
?(?1 ) = max
T ??X
1
min
F (x, y) ? max
T ??X
(x,y)?µ(T )
2
min
(x,y)?µ(T )
F (x, y) = ?(?2 ),
что и требовалось доказать.
Лемма доказана.
Для любого квазиинформационного расширения ? игры ?, в котором первый игрок не имеет самостоятельной информации
о выборе y , справедливо неравенство ?(?) ? ?(??1 ).
Для доказательства утверждения теоремы достаточно показать, что для любого квазиинформационного расширения ?
игры ?, в котором первый игрок не имеет самостоятельной информации о выборе y , справедливо включение ?X ? ?1 . Возьмјм некоторое
такое расширение ? и стратегию x ? X в нјм. Справедливо соотношение ?x ? X ?y ? Y ?y ? Y ?(x, y) = (x, y), равносильное с учјтом
Теорема 3.
Доказательство.
31
определения Tx условию ?x ? X ?y ? Y (x, y) ? Tx , которое и означает
принадлежность Tx к ?1 . Таким образом, действительно ?X ? ?1 , что и
требовалось доказать.
Теорема доказана.
Итак, F ?1 является оптимальным в классе всех расширений, в которых первый игрок не имеет самостоятельной информации о выборе y . Эквивалентной формой игры ??1 является, например, игра ??10 =
((2X )Y ?X, Y ???Y, F , µ) , где ? множество отображений ? : 2X ?? X ,
удовлетворяющих условию ?T ? X ?(T ) ? T , ?10 ((T (y), x(y)), (y, ?)) =
(?(T (y), y), ?10 ((T (y), x(y)), y) = (x(y), y). Здесь первый игрок предоставляет второму игроку возможность, выбрав y , выбрать так же и x
в указанных первым игроком пределах. Если же второй игрок не хочет
использовать эту возможность, то он выбирает просто y , делая тем самым исход игры равным (x, y). Таким образом, первый игрок использует
интересы второго игрока, точно их не зная.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гермейер Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами. М. : Наука, 1976.
-326 с.
2. Кукушкин Н. С., Морозов В. В. Теория неантагонистических игр М. : Изд-во
Моск. ун-та, 1977. -104 с.
3. Родюков А. В., Тараканов А. Ф. О решении иерархической игры при неопределјннсти с суммарным риском игроков // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. ќ 5. С. 1117.
4. Кузнецова И. А. Иерархические игры с неопределјнными факторами // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2013. Вып. 15.
С. 2124.
5. Шолпо И. А. Исследование операций. Теория игр. Саратов : Изд-во Сарат.
ун-та, 1983. -42 с.
УДК 517.96; 517.984
В. П. Курдюмов, А. П. Хромов
ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ ДЛЯ ВОЛНОВОГО
УРАВНЕНИЯ ПРИ МИНИМАЛЬНЫХ ТРЕБОВАНИЯХ
НА ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
В настоящей работе методом контурного интегрирования резольвенты оператора, порожденного спектральной задачей, соответствующей
смешанной задаче для волнового уравнения с комплексным потенциалом
и закрепленными концами дается обоснование метода Фурье при ненулевых начальных функциях и минимальных требованиях на их гладкость
32
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
348 Кб
Теги
первого, игры, игрок, иерархических, выбор, неполной, информация, второго
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа