close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О гладкости решений объемного сингулярного интегродифференциального уравнения электрического поля.

код для вставкиСкачать
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 517.3
Ю. Г. Смирнов
О ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИЙ ОБЪЕМНОГО СИНГУЛЯРНОГО
ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ1
Аннотация.
Актуальность и цели. Целью работы является изучение свойств гладкости
решений объемного сингулярного интегродифференциального уравнения
электрического поля, к которому сводится решение задачи дифракции электромагнитной волны на локально неоднородном диэлектрическом ограниченном теле.
Материалы и методы. Основным методом исследования является метод
псевдодифференциальных операторов, действующих в пространствах Соболева. Применяется также теория эллиптических краевых задач и задач сопряжения.
Результаты. Доказывается, что при гладких данных задачи решение из
пространства квадратично-суммируемых функций будет непрерывным вплоть
до границ тела и гладким внутри и вне тела.
Выводы. Полученные результаты о гладкости решений объемного сингулярного интегродифференциального уравнения электрического поля позволяют решить вопросы об эквивалентности краевой задачи и уравнения.
Ключевые слова: задача дифракции электромагнитной волны, сингулярное интегродифференциальное уравнение, диэлектрическое тело.
Yu. G. Smirnov
ON THE SMOOTHNESS OF SOLUTIONS
OF ELECTRIC FIELD VOLUME SINGULAR
INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATION
Abstract.
Background. The goal of this paper is to study the smoothness of solutions of a
volume singular integro-differential equation of electric field arising in the diffraction problem of an electromagnetic wave on a local bounded inhomogeneous dielectric body.
Material and methods. The main method of the research was the method of
pseudodifferential operators acting in Sobolev spaces. The theory of elliptic boundary value problems and transmission problems was also used.
Results. It is proved that if the data of the problem is smooth then the squareintegrable solution of the equation will be continuous up to the boundary and
smooth inside and outside the body.
Conclusions. Smoothness properties of solutions of the electric field volume singular integro-differential equation allow to investigate the equivalence of the
boundary value problem and the equation.
Key words: diffraction problem of electromagnetic wave, singular integrodifferential equation, dielectric body.
1
Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда, проект № 1411-00344.
46
University proceedings. Volga region
№ 2 (34), 2015
Физико-математические науки. Математика
Рассмотрим объемное сингулярное интегродифференциальное уравнение электрического поля, к которому сводится решение задачи дифракции
электромагнитной волны на локально неоднородном диэлектрическом
ограниченном теле Q [1–3]. Пусть Q – ограниченная область в R 3
с границей ∂Q класса C ∞ ; k02 = ω2 ε0μ0 , ε0 > 0 , μ0 > 0 , ω > 0 – известные
константы; ε( x ) и E0 ( x ) – известные скалярная вещественная и векторная
комплекснозначная функции соответственно. Физический смысл перечисленных функций и констант описан в [1–3].
Пусть E ∈ L2 (Q ) – решение интегродифференциального уравнения
задачи дифракции [1–3]:

E( x ) = E0 ( x ) + ( k02 + grad div) G ( x, y ) ( εr ( y ) − 1) E( y )dy ,
x ∈ Q,
(1)
Q
где G ( x, y ) =
eik0 |x − y |
, εr ( y ) = ε( y ) / ε0 . Положим вне Q
4π | x − y |

E( x ) = E0 ( x ) + ( k02 + grad div) G ( x, y ) ( ε r ( y ) − 1) E( y )dy , x ∈ R 3 \ Q.
(2)
Q
Обозначим через V ( x ) объемный потенциал

V ( x ) = G ( x, y )( ε r ( y ) − 1)E( y )dy.
(3)
Q
По решению E ∈ L2 (Q ) определим функцию H по формуле
H( x ) = H0 ( x ) − iωε0 rotV ( x ), x ∈ R 3 ,
где H0 ( x ) = −iωε0 rotE0 ( x ), x ∈ R 3 .
Целью настоящей работы является
резальтата.
доказательство
(4)
следующего
( )
Теорема 1. Пусть ε( x ) ∈ C ∞ Q , E0 ( x ) ∈ C ∞ ( R 3 ) , ε( x ) > ε0 при
x ∈ Q , ∂Q класса C ∞ и E ∈ L2 (Q ) – решение уравнения (1). Тогда функции
E, H , определенные формулами (1)–(4), будут принадлежать классам
функций
E, H ∈ C ∞ (Q )  C ∞ ( R 3 \ Q )  C 0,α (Q )  C 0,α ( R 3 \ Q ),0 < α ≤ 1 / 2.
Здесь C 0,α (Q ) – пространство функций, удовлетворяющих условию
Гельдера с показателем α [4].
Замечание. Мы сразу предполагаем, что функция E0 ( x ) определена
в R 3 . Но можно было бы считать, что она определена только в Q ,
E0 ( x ) ∈ C ∞ (Q ) , и потом доопределить ее до функции E0 ( x ) ∈ C ∞ ( R 3 ) .
Physical and mathematical sciences. Mathematics
47
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Доказательство:
1. Гладкость функций E, H внутри области Q следует из результатов
работ [2, 3]. В этих работах показано, что оператор
AJ :=
1
J ( x ) − ( k02 + grad div) G ( x, y ) J ( y )dy
εr ( x ) − 1

Q
s
s
(Q ) → H loc
(Q ) является
представим в виде суммы A = A1 + A2 , где A1 : H comp
эллиптическим псевдодифференциальным оператором (ПДО) порядка 0
(при сделанных предположениях относительно ε( x ) ), а оператор
s
s+2
A2 : H comp
(Q ) → H loc
(Q ) – ПДО порядка −2 , s ≥ 0 . Тогда, выполняя
стандартную процедуру сглаживания (с помощью построения параметрикса),
2
4
(Q ) , J ∈ H loc
(Q ) и т.д., что влечет
получаем последовательно J ∈ H loc
1
J ∈ C ∞ (Q ) . Откуда для E( x ) =
J ( x ) получаем E ∈ C ∞ (Q ) .
εr ( x ) − 1
Гладкость функций E, H вне Q очевидна, так как при y ∈ Q ,
x ∈ R 3 \ Q имеем | x − y |≠ 0 , ядро G ( x, y ) интегрального оператора в (1)
бесконечно дифференцируемо, и можно вычислять производные любого
порядка от функции E( x ) под знаком интеграла при x ∈ R 3 \ Q .
2
2. Для объемного потенциала имеем V ∈ H loc
( R 3 ) [5]. Тогда из (4)
1
( R 3 ). Вычисляя rot от обеих частей равенства (4),
получаем, что H ∈ H loc
получим
rotH = rotH0 ( x ) − iωε0 rot rotV ( x );
rotH = rotH0 ( x ) − iωε0 (grad div − div grad) V( x ).
Из (1) и (2) подстановкой получаем
rotH = −iωε0E + iωε0 ( k02 + Δ ) V.
Так как, используя свойства объемного потенциала [6],
( k02 + Δ ) V = −( εr − 1)E,
то
rotH = −iωε 0E − iωε 0 ( ε r − 1)E .
Таким образом, получаем первое из уравнений Максвелла для
электромагнитного поля
rotH = −iωεE, x ∈ R 3 ,
(5)
где обозначено
48
University proceedings. Volga region
№ 2 (34), 2015
Физико-математические науки. Математика
 ε( x ), x ∈ Q ,
ε=
3
ε0, x ∈ R \ Q.
Вычисляя rot от (1)–(2), получим
rotE = rotE0 + k02 rotV ,
rotE = iωμ0H0 + k02
1
( H0 − H ) ,
iωε0
rotE = iωμ0H0 + iωμ0 ( H − H0 ),
откуда выводим второе уравнение Максвелла:
rotE = iωμ0H, x ∈ R 3.
(6)
div( εE) = 0 в R 3 ,
(7)
divH = 0 в R 3 ,
(8)
Из (5) вытекает
а из (6) –
в смысле распределений.
Из (7) и тождества
div( εE) = gradε ⋅ E + εdivE
получим
1
divE = − gradε ⋅ E,
ε
(9)
откуда следует, что divE ∈ L2 (Q ).
Получим условия сопряжения на ∂Q. Из (7), интегрируя по Q , имеем
для всех v ∈ C0∞ ( R 3 )



0 = div( εE)vdx = div( vεE)vdx − εE ⋅ gradvdx =
Q
Q
=
Q
 vεE ⋅ nds − εE ⋅ gradvdx ,
∂Q
Q
следовательно,
εE ⋅ gradvdx =  v ( εEn ) ds ,
Q
∂Q
где En = E ⋅ n , n – внешняя нормаль к ∂Q.
направления нормали имеем
Physical and mathematical sciences. Mathematics
Аналогично с учетом
49
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион


εE ⋅ gradvdx = − v ( εEn ) ds .
3
∂Q
R \Q
Тогда, суммируя эти два выражения, получаем
 εE ⋅ gradvdx =  v[εEn ]ds.
R3
∂Q
Здесь [⋅] = [⋅]∂Q – разность следов с разных сторон ∂Q. С другой
стороны, из (5) находим, что

−iω εE ⋅ gradvdx =
R
3
 rotH ⋅ gradvdx =  v div rotHdx = 0,
R3
R3
(см. [7, с. 9]).
Из последнего равенства следует, что
 v[εEn ]ds = 0.
∂Q
Варьируя v на ∂Q , получим
[εEn ]∂Q = 0
(10)
в смысле следов из H −1/2 (∂Q ) [8].

Определим p := divV = div G ( x, y )( ε r ( y ) − 1)E( y )dy.
Q
1
Имеем p ∈ H loc
( R 3 ).
Вычисляя div от (1) и (2), получим
divE = divE0 + k02divV + ΔdivV = divE0 + ( Δ + k02 ) p .
Образуем функцию
f ( x ) = divE( x ) − divE0 ( x ) .
(11)
Имеем, f ∈ L2,loc ( R 3 ). Для p получаем уравнение
( Δ + k02 ) p( x ) = f ( x ), x ∈ Q ∪ ( R 3 \ Q )
с условием
[ p ]∂Q = 0 ,
понимаемым в смысле следов из пространства H 1/2 (∂Q ).
Умножим (1)–(2) на n скалярно:

n ⋅ E = n ⋅ E0 + k02n ⋅ G ( x, y )( ε r ( y ) − 1)E( y )dy +
Q
50
University proceedings. Volga region
№ 2 (34), 2015
Физико-математические науки. Математика
+
∂
div G ( x, y )( ε r ( y ) − 1)E( y )dy .
∂n

Q
С каждой стороны ∂Q выполняется равенство
εn ⋅ E |∂Q = εn ⋅ E0 |∂Q + k02εn ⋅ V |∂Q +ε
∂p
.
∂n ∂Q
Из (10) получаем
 ∂p 
0 = [ε]∂Q n ⋅ E0 |∂Q + k02 [ε]∂Q n ⋅ V |∂Q +  ε  .
 ∂n  ∂Q
(12)
Таким образом,
 ∂p 
2
3
 ε ∂n  = ϕ |∂Q , ϕ ∈ H loc ( R ),
∂Q
(13)
где ϕ |∂Q = −[ε]∂Q n ⋅ E0 |∂Q −k02 [ε]∂Q n ⋅ V |∂Q .
Для удобства образуем область Q1 = B \ Q , где B – (открытый) шар
с центром в нуле такой, что Q ⊂ B . Обозначим p0 = p |∂B , ϕ0 = ϕ |∂Q . Ясно,
что p0 ∈ C ∞ (∂B ) . Тогда имеем краевую задачу для p ∈ H 1 ( B ) :
( Δ + k02 ) p = f , x ∈ Q  Q1,

[ p ]∂Q = 0,



 ∂p 

 ε ∂n  = ϕ0 ,
∂Q


p |∂B := p0 .

(14)
Отсюда (см. [9, с. 243, 246]) следует, что p ∈ H 2 (Q )  H 2 (Q1 ) и
E ∈ H 1 (Q )  H 1 (Q1 )
(15)
(но, вообще говоря, E ∉ H 1 ( B ) ).
На этом заканчивается первый этап сглаживания функций. Ниже
описывается второй этап.
∂
от потенциала (3):
Вычислим частную производную
∂xi
 ∂

∂V
∂
=
G ( x, y )( ε r ( y ) − 1)E( y )dy = − 
G ( x, y )  ( εr ( y ) − 1)E( y )dy =
∂xi ∂xi
∂y

Q
Q i


= G ( x, y )
Q

∂
( (εr ( y ) − 1)E( y ) ) dy −
∂yi
 G( x, y )(εr ( y ) − 1)E( y )cos(n, ei )ds ,
∂Q
Physical and mathematical sciences. Mathematics
51
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где ei ( i = 1,2,3 ) – орт системы координат. Так как
∂
( (εr ( y ) − 1)E( y ) ) ∈ L2 (Q ),
∂yi
то
∂
G( x, y ) ∂yi ( (εr ( y ) − 1)E( y ) ) dy ∈ H loc ( R
2
3
).
Q
Пусть
ψ = ( ε r − 1)E |∂Q cos( n, ei )
(след E |∂Q вычисляется с внутренней стороны Q ). Тогда ψ ∈ H 1/2 (∂Q ).
Рассмотрим потенциал простого слоя:
u( x ) :=
 G( x, y )ψ( y )ds,
∂Q
обозначим:
ψ0 := Aψ =
 G( x0 , y )ψ( y )ds;
x0 ∈ ∂Q .
∂Q
Тогда A : H 1/2 (∂Q ) → H 3/2 (∂Q ) – эллиптический ПДО порядка −1 [10].
Для u имеем следующие краевые задачи:
( Δ + k02 )u = 0, x ∈ Q ,

u |∂Q = ψ0 ,
2
( Δ + k0 )u = 0, x ∈ Q1,

u |∂B = p0 ,
u |∂Q = ψ0 ,
причем ψ ∈ H 3/2 (∂Q ). Но тогда [11]:
u ∈ H 2 (Q )  H 2 (Q1 ),
откуда
V ∈ H 3 (Q )  H 3 (Q1 ).
(16)
H ∈ H 2 (Q )  H 2 (Q1 ),
(17)
H ∈ C 0,α (Q )  C 0,α ( R 3 \ Q ), 0 < α ≤ 1 / 2.
(18)
Поэтому из (4) имеем
что влечет [4]:
52
University proceedings. Volga region
№ 2 (34), 2015
Физико-математические науки. Математика
На третьем этапе осуществим дополнительное сглаживание E. Имеем
3
( R 3 ) (в силу (12)) и
задачу (14) с «новыми» (сглаженными) данными ϕ ∈ H loc
f ∈ H 1 (Q )  H 1 (Q1 ).
Рассмотрим две функции Грина:
( Δ − 1)G1 ( x − y ) = −δ( x − y ), x, y ∈ Q ,

 ∂G1
= 0;
 ∂n
∂Q

(19)
( Δ − 1)G2 ( x − y ) = −δ( x − y ), x, y ∈ Q1,

 ∂G2
= 0.
 ∂n
∂Q1

(20)
Так как Q и Q1 – ограниченные области с гладкой границей, то такие
функции Грина существуют [12, 13] и имеют особенность
1
e −| x − y | .
4π | x − y |
Применяя формулу Грина в областях Q и Q1 с функциями Грина G1 и
G2 соответственно, получим

p( x ) = − G1 ( x, y ) f 0 ( y )dy +

x ∈ Q,
∂p
∂p
 G2 ( x, y ) ∂n ds +  G2 ( x, y ) ∂n ds,
∂Q
Q1
(21)
∂Q
Q
p( x ) = − G2 ( x, y ) f 0 ( y )dy −
∂p
 G1( x, y ) ∂n ds,
x ∈ Q1, (22)
∂B
где f 0 ( x ) = f ( x ) − ( k02 + 1) p( x ) , f 0 ∈ H 1 (Q )  H 1 (Q1 ) ; направление вектора
нормали в обоих соотношениях одно и то же.
∂p
Введем χ( x0 ) := ε( x0 )
( x0 ) , x0 ∈ ∂Q , где след берется изнутри
∂n ∂Q
∂p
1
 ∂p 
области Q . Так как  ε  = ϕ0 , то тогда
( x0 ) =
χ( x0 ) , если
∂n ∂Q
ε( x0 )
 ∂n ∂Q
∂p
1
1
след брать из Q , и
( x0 ) = χ( x0 ) + ϕ0 ( x0 ) , если след брать из Q1 .
∂n ∂Q
ε0
ε0
Из (21), (22) и условия сопряжения [ p ]∂Q = 0 получаем
Lχ :=
 1

1
G1 ( x0 , y ) + G2 ( x0 , y )  χ( y )ds = η( x0 ), x0 ∈ ∂Q ,

ε( y )
ε0

∂Q 

(23)
где
Physical and mathematical sciences. Mathematics
53
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
η = η1 + η2 + η3 ,


η1 ( x0 ) = G1 ( x0 , y ) f 0 ( y )dy − G2 ( x0 , y ) f 0 ( y )dy ,
Q
η2 ( x0 ) =
Q1
∂p
1
 G2 ( x0 , y ) ∂n ∂B ( y )ds , η3 ( x0 ) =  ε0 G2 ( x0 , y )ϕ0 ( y )ds .
(24)
∂Q
∂B
Так как f ∈ H 1 (Q ) , то
G1( x, y ) f ( y )dy ∈ H
3
(Q ).
Q
Действительно, имеем
∂
∂
G1 ( x, y ) f ( y )dy = G1 ( x, y )
f ( y )dy −
∂xi
∂yi


Q
Q

− G1 ( x, y ) f ( y )cos( n, ei )dy = I1 − I 2 .
∂Q
Так как
∂
f ( y ) ∈ L2 (Q ), то I1 ∈ H 2 (Q ). Из свойств оператора типа
∂yi
потенциала простого слоя и того, что f |∂Q ∈ H 1/2 (∂Q ), получаем, так же как
и выше, что I 2 ∈ H 2 (Q ).
Так как f ∈ H 1 (Q1 ), аналогично доказывается, что
 G2 ( x, y ) f ( y )dy ∈ H
3
(Q1 ).
Q1
Из теоремы о следах [4] имеем η1 ∈ H 5/2 (∂Q ). Очевидно, что
3
η2 ∈ C ∞ (∂Q ) , так как ∂Q  ∂B = ∅ . Так как ϕ ∈ H loc
( R 3 ) , то ϕ0 ∈ H 5/2 (∂Q )
и η3 ∈ H 7/2 (∂Q ) . Таким образом, η∈ H 5/2 (∂Q ).
Уравнение
Lχ = η
(25)
есть уравнение с эллиптическим ПДО порядка −1 [10], поэтому
χ ∈ H 3/2 (∂Q ) (мы знаем, что такое решение существует). Подставляя χ
в (21) и (22), получаем p ∈ H 3 (Q )  H 3 (Q1 ).
Таким образом,
E ∈ H 2 (Q )  H 2 (Q1 ) ,
(26)
и, в силу теорем вложения [4],
54
University proceedings. Volga region
№ 2 (34), 2015
Физико-математические науки. Математика
E ∈ C 0,α (Q )  C 0,α ( R 3 \ Q ),0 < α ≤ 1 / 2.
(27)
Теорема доказана.
Заключение
Полученный выше результат важен при доказательстве эквивалентности краевой задачи и интегродифференциального уравнения [2, 3]. Вместе
с тем рассматривать уравнение (1) удобно в пространстве L2 (Q ) с точки зрения применимости численных методов, так как такой подход позволяет выбирать в качестве базисных и тестовых функций в методе Галеркина, например, кусочно-непрерывные функции.
Список литературы
1. С а м о х и н , А . Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / А. Б. Самохин. – М. : Радио и связь, 1998. – 160 с.
2. В а л о в и к , Д . В. Метод псевдодифференциальных операторов для исследования объемного сингулярного интегрального уравнения злектрического поля /
Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2009. – № 4 (12). – С. 70–84.
3. В а л о в и к , Д . В. Метод псевдодифференциальных операторов в задаче дифракции электромагнитной волны на диэлектрическом теле / Д. В. Валовик,
Ю. Г. Смирнов // Дифференциальные уравнения. – 2012. – Т. 48, № 4. – С. 509–
515.
4. Т е й л о р , М . Псевдодифференциальные операторы / М. Тейлор. – М. : Мир,
1985. – 470 с.
5. М и х л и н , С . Г . Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения / С. Г. Михлин. – М. : Физматгиз, 1962.
6. В л а д и м и р о в, B . C . Уравнения математической физики / B. C. Владимиров. −
М. : Наука, 1981. – 256 с.
7. Бых о в с к и й , Э . Б. Об ортогональном разложении пространства векторфункций, квадратично-суммируемых по заданной области и операторах векторного анализа / Э. Б. Быховский, Н. В. Смирнов // Труды МИАН СССР. − 1960. −
Т. 59. − С. 5–36.
8. C o s t a b e l , M . A Remark on the Regularity of Solutions of Maxwell’s Equations on
Lipschitz Domains / M. Costabel // Math. Methods Appl. Sci. – 1990. – Vol. 12. –
P. 365–368.
9. Л а д ы ж е н с к а я, О . А . Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического
типа / О. А. Ладыженская, Н. Н. Уральцева. − М. : Наука, 1964. – 756 с.
10. И л ь и н с к и й , А . С . Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких
экранах / А. С. Ильинский, Ю. Г. Смирнов. − М. : ИПРЖР, 1996. – 177 с.
11. Лио н с , Ж . - Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионс, Э. Мадженес. – М. : Мир, 1971. – 372 с.
12. М и з о х а та , С . Теория уравнений с частными производными / С. Мизохата. –
М. : Мир, 1977. – 504 с.
13. К у р а н т, Р . Методы математической физики / Р. Курант, Д. Гильберт. – М. :
Гостехиздат, 1951. – 2 т.
References
1. Samokhin A. B. Integral'nye uravneniya i iteratsionnye metody v elektromagnitnom
rasseyanii [Integral equations and iteration methods in electromagnetic dissipation].
Moscow: Radio i svyaz', 1998, 160 p.
Physical and mathematical sciences. Mathematics
55
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2. Valovik D. V., Smirnov Yu. G. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy
region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical
and mathematical sciences ]. 2009, no. 4 (12), pp. 70–84.
3. Valovik D. V., Smirnov Yu. G. Differentsial'nye uravneniya [Differential equations].
2012, vol. 48, no. 4, pp. 509–515.
4. Teylor M. Psevdodifferentsial'nye operatory [Pseudodifferential operators]. Moscow:
Mir, 1985, 470 p.
5. Mikhlin S. G. Mnogomernye singulyarnye integraly i integral'nye uravneniya [Multidimensional singular integrals and integral equations]. Moscow: Fizmatgiz, 1962.
6. Vladimirov B. C. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow: Nauka, 1981, 256 p.
7. Bykhovskiy E. B., Smirnov N. V. Trudy MIAN SSSR [Proceedings of MIAN USSR].
1960, vol. 59, pp. 5–36.
8. Costabel M. A Math. Methods Appl. Sci. 1990, vol. 12, pp. 365–368.
9. Ladyzhenskaya O. A., Ural'tseva N. N. Lineynye i kvazilineynye uravneniya ellipticheskogo tipa [Linear and quasilinear equations of elliptic type]. Moscow: Nauka,
1964, 756 p.
10. Il'inskiy A. S., Smirnov Yu. G. Difraktsiya elektromagnitnykh voln na provodyashchikh
tonkikh ekranakh [Diffraction of electromagnetic waves on conducting thin screens].
Moscow: IPRZhR, 1996, 177 p.
11. Lions Zh.-L., Madzhenes E. Neodnorodnye granichnye zadachi i ikh prilozheniya [Heterogeneous boundary problems and applications thereof]. Moscow: Mir, 1971, 372 p.
12. Mizokhata S. Teoriya uravneniy s chastnymi proizvodnymi [Theory of equations with
partial derivatives]. Moscow: Mir, 1977, 504 p.
13. Kurant R., Gil'bert D. Metody matematicheskoy fiziki [Methods of mathematical physics]. Moscow: Gostekhizdat, 1951, vol. 2.
Смирнов Юрий Геннадьевич
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
математики и суперкомпьютерного
моделирования, Пензенский
государственный университет (Россия,
г. Пенза, ул. Красная, 40)
Smirnov Yuriy Gennad'evich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of mathematics and supercomputer
modeling, Penza State University
(40 Krasnaya street, Penza, Russia)
E-mail: mmm@pnzgu.ru
УДК 517.3
Смирнов, Ю. Г.
О гладкости решений объемного сингулярного интегродифференциального уравнения электрического поля / Ю. Г. Смирнов // Известия
высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические
науки. – 2015. – № 2 (34). – С. 46–56.
56
University proceedings. Volga region
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
418 Кб
Теги
решение, уравнения, электрической, сингулярного, объемного, гладкости, поля, интегродифференциальных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа