close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О решении вариационных задач для уравнений с разрывными правыми частями зависящими от промежуточных значений фазовых координат и от дискретных величин.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
ТОМ
УДК
ЗАПИСКИ
ЦАГИ
1971
Il
оМl
517.933
О РЕШЕНИИ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
С РАЗРЫВНЫМИ
ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ,
ЗАВИСЯЩИМИ
ОТ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ФАЗОВЫХ
КООРДИНАТ И ОТ ДИСКРЕТНЫХ ВЕЛИЧИН
В. п. Моuсеенко
Рассматривается задача оптимизации для системы обыкновенных
дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, зави­
сящими от промежуточных значений фазовых координат и времени
и от дискретных величин. С помощью вспомогательного о-управления
типа
о-функции Дирака исходная зада ча сводится к постановке,
позволяющей сформулировать необходимые условия оптимальности
в форме принципа максимума.
Приводится необходимое условие
оптимальности о-управления.
К указанной выше постановке могут быть сведены как задачи,
подобные исследованным в работах В. А. Троицкого, так и аналогич­
ные задачи, но с разрывами фазовых координат, величина которых
может
зависеть от промежуточных значений фазовых координат
и
времени
и
от
дискретных величин.
1.
Будем
с
помощью
описывать
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
поведение
следующих
непрерывно-дискретной
обыкновенных
системы
дифференциальных
урав­
нений:
dx
;\ -
-
* ;\
*
ar=!i[X(t), x(ts ), YHl, u (t), t, t s ], i=l, ... , n; 8=0,1, ... , i-l. (1)
Здесь
и
далее
индекс
i
последовательно
во
времени принимает
указанные значения, x(t) - т-мерная непрерывная, а u(t) - г-мер­
ная
кусочно-непрерывная
кретная
l-мерная
управляющая
величина,
/\
вектор-функции, У
удовлетворяющая
-
дис-
соотношению
f\
_
•
/\
*
Yi+l=X/[x(f s ), УС, t s ], i=l, ... , n-l; 8=0,1, ... , ё; с=I, ... , i, (2)
х(t;)-значения фазовых координат в точке t;(i=l, ... , n-l),
73
соответствующей
(1)
моменту
перехода
фазовой траектории системы
через гиперповерхность
- * /\
*
gj[x(t), x(ts), УН], t, t 8 ]=0, ё=1, "', n-1; s=O, 1, ... , i-1. (3)
В указанные моменты ~ вектор-функция
/\ - *
1\
*
fl [х (t), х (ts), Ys+I, и (t), t, t5 ]
в общем случае терпит разрыв 1-го рода (соответственно изменяется
индекс
ё).
Требуется найти управление и (t) (t o<,.
водя систему (1) из начального положения
0-/\
<,. t 1 ),
которое,
.
'fj[x(to), Yt, to]=O,
в
t
J=1, ... , J<,.l-t-m
пере­
(4)
конечное
1
*
-
1\
Ч>k [x(t s ), Ус'
k
=
к
1, ... ,
< тn;
s
= О,
t~=to,
•
(5)
t s] =0,
1, ... , n;
t:
==
с
=
1, ... , n;
t],
доставляет минимум функционалу
_ •
*
t s ],
л
Ф=Ф[:с(ts ), Ус'
s=O, 1, ... , n; с=l, ... , n.
(6)
2. ИСКЛЮЧЕНИЕ КОНЕЧНblХ СВЯЗЕЙ И ПРИВЕДЕНИЕ
РАССМАТРИВАЕМОЙ ЗАДА ЧИ К ЗАДАЧЕ МАЙЕРА
Чтобы
сформулировать
необходимые
условия оптимальности
в форме принципа максимума, сведем поставленную в разд. 1
задачу к задаче Майера, исключив предварительно конечные связи
и промежуточные значения фазовых координат и времени
в выражениях (1)-(6).
Введем:
1) фазовую переменную Х m +l, удовлетворяющую уравнению
(2), (3)
dXm +l
-----;[г
=
(7 )
1, X m +l(to)=t o, X m +l(tl)= t],
что соответствует сведению неавтономной
системы
(1)
к автоном­
ной;
2) кусочно-постоянную вектор-функцию у (t), такую, что
..
/\.
y(t)=Yi' t i- 1 <t-<tj, Е= 1, ... , n;
(8)
=
3) кусочно-постоянные вектор-функции Ра (а
1, ... , n), запо­
минающие
промежуточные
значения
т
1-мерного
вектора
х ='(х, х m +l) последовательно в точках
такие,
+
t; (ё = О,
1, ... , n - 1) и
что
(9)
г де p~- (t;) = liт Ра. (t; - е);
..... +0
кусочно,постоянные вектор-функции q~ (~= 1, .. "
n - 1),
запоминающие промежуточные значения '-мерного вектора У в YI{aзанных в выражении (3) точках и такие, что
4)
•
*
1\
qf:(tj)=y-(ti-~)=Yi-~,
74
Ё=2, ... , n;
(10)
5)
кусочно-непрерывную фазовую переменную Уо
ряющую
(t),
у довлетво­
уравнению
dyo
dW (х, у, р .. , q~)
dТ=
dt
уо (to)
[х (t o), У (to), р .. (to), q~ (to)]
- W
= 0= cyg,
(11 )
,
- * /\
*
W[x(t), у (t), p .. (t), q~(t)]lt=tl=Ф[х(tsl, УС, tsJ;
где
6) кусочно-постоянные переменные ZI (1 = 1, ... , n - 1), обес­
печивающие выполнение соотношения (3) в точках
(i = 1, ... ,
n-1);
7) управляющую функцию 8(t) типа о-функции Дирака [1], такую,
t;
что
_
o(t) =
где
{О при
t
00 при
t
( t
*t;
( ,;)+
S• f(t)dt=1,
*;
ti
=
*,.)+
f
(12)
ti
*
ti+1
Нт
f(t)dt=
I~+O
•
'/
f
dt .
е
*
ti
С учетом выражений
можно
сформулировать
поставленную в разд. 1 задачу
следующую задачу Майера:
для
(7) - (12)
как
системы уравнений
х = fi (х, У, р .. , q~, и);
[Xi(X, у-, р-;, q~) - у-1 а;
_V =
Ри. = (Р;-l - р;) 1;
q~ = (q~-l - q~) 8;
ZI=Q/(X, у-, р;,
.
Уо
(13)
qi3)81i ;
dW(x, У, Pu., q~)
=
dt
-< <
найти такие управления и (t), a(t) (to t
t\), которые, переводя
систему (13) из начального положения
CfiЗ [х ио У (to), Уо (to)] = О; р .. (to) = х (to);
\,
q~ (to)
j=O, 1, ... ,
в
= У (t o);
ZI(tO)
J-<l+т; а=1,
=
О;
) (14)
~,1=1,
... , n;
.. " n-l
конечное
cpl[x(t1), y(t 1), p .. (f\), q~(t1)]=0; ZI(t\)=O; k= 1, •.. , К-<mn, (15)
доставляют минимум функционалу Уо (t\).
В системе (13):
q;
р;=х;
0/= {
l
при
dt
=
l=i
*
.
О при 1
i '
aW(x, у' р .. , q~) f
1
dW(x, у, Р ... q~)
=у-;
дх
i
(
Х, У, р .. ,
75
=
t>
Если положить Pa.(t)
х (t:),
ta., то третье уравнение в (13)
примет следующий вид: Ра.
хОа./&, Ра. (tO) = о. Аналогично, если
q~ (t) = у- (t;), t > t~, то q~ = у- o~;a: q~ (to) = о.
=
Сделаем несколько замечаний к изложенному. Как и в теории
обобщенных функций [l], управление
ном смысле. т. е.
непрерывных
и*
(t)
=
ления
как
предел
функций
О или !:::.
= -
1
е
либо
8' (t)
понимается в обобщен­
последовательностей
управляющих
кусочно-непрерывных
> о (см. также [2]). Такое
фУНlщий
вида
-
определение о-управ-
приводит к следующему алгоритму получения условий опти­
мальности: стандартная процедура принципа максимума л. С. Понт~
рягина
используется
мирующего
во
управления
вспомогательных
и*
задачах
для
аппрокси­
(t), а решение исходной задачи полу­
чается в результате предельного перехода при !:::.~oo.
При
исследовании
вспомогательной
-*
задачи
удобно
относить
начало промежутка, на котором и*
о, к точке разрыва 8:уп рав*
*
е
ления t , а не к точке t - ""2' как обычно. Очевидно, обобщенное
i
i
В:управление
обладает
теми же
свойствами, что и обобщенная
о-функция Дирака, например "фильтрующим"
используется при записи уравнений (13):
свойством,
которое
*
ti+O
S f(t) a'(t) dt =
j(t7) ,
*
t;-O
где
f(t) -
непрерывная
и
ограниченная
функция.
Это
нетрудно
проверить, подставив вместо 8(t) управление и* (t), проинтегриро­
вав данную формулу в интервале [t:,
+ е] И перейдя к пределу
t;
при е ~ о. Поскольку для разрывных функций необходимо "фильт­
ровать"
можно
их
значения
пользоваться
в
точках
этой
разрыва
формулой,
функции непрерывными в точках
f- (t) = f(t - о).
слева,
если
то
по-прежнему
принять
разрывные
t; слева и вместо j(t) подставить
условия ОПТИМАЛЬНОСТИ
3.
-<
Сформулируем теорему: пусть управления u (t), 8(t), t o <: t
t1
И траектория X(t)=[x(t), y(t), Pa.(t), q~(t), ZT(t), уои)] оптимальны
в задаче, описываемой соотношениями (13) - (15).
Тогда: 1) при t
(i = 1, ... , n - 1) выполняются условия
-* t;
принципа максимума л. С. Понтрягина (вместе с условиями транс­
версальности) [3]. В частности,
Н (х, х-, 1)1,
Uopt,
о) = sup Н (Х. Х-, 'f, и,
8),
(16)
uеи
где
Н(х, Х-, ф, и, 8)==[i', Р,(х, ;-, и, а)],
Ф
Р/ (х, Х-, и, &) -
U76
=
-
grad;H - (grad-x- Н)+;
вектор-функции, соответствующие правым частям
уравнений (13), гладкие по всем аргументам;
область допустимых управлений и (t);
2) при t = t:
(17)
Отметим основные этапы доказательства теоремы. С помощью
строится вспомогательная система уравнений, в которой вместо
индекса i вводится дополнительная фазовая координата i (t), У дов­
(13)
летворяющая
уравнению
~~
=u*,
i(to)=I, i(t)=n,
(18)
а управление
u* (t) есть ограниченное кусочно-постоянное представ­
ление управления g(~ вида
u* (t)
A= -..!.-
=
j
е
> О на участках изменения фазовой
О
координаты
i,
(19)
на остальных участках.
Вместо переменных х- (t) вводятся переменные х (t -е), такие,
что
x-(t)
=
limx (t - е).
,~O
Значения х (t) в интервале [t o - е, t o] предполагаются известными.
В систему (13) вводятся зависимости F [х (t), х (t - в), i (t), i (t - е),
и (t), u* (t)], обеспечивающие гладкость правых частей по коорди­
i
нате
и такие, что
-
F[x(t), x(t-e), i(t), i(t-E), u(t), u*(t)]=
-
= Р ! [x(t),
для целых значений
В
результате
~
х (t -
Е), и (t),
u* (t)]
(20)
i.
предельного
перехода
при А ~ 00 (Е ~ О) всюду
в уравнениях вспомогательной системы с запаздыванием и в усло­
виях принципа максимума Л. С. Понтрягина для этой системы
(е
О) получим условия оптимальности, сформулированные в тео­
-*
реме.
В связи с определением
(12)
укажем
особо на необходимость
существования во вспомогательной задаче непрерывного импульса
~l' соответствующего фазовой координате
нялись
следующие
условия:
1) u* и) = А,
i,
такого, чтобы выпол­
t; -< t -< t; + е,
u*(t)=O, t;-E-<t<t:, t~+Е<t-<t;+2Е;
2) i(to)=l, i(tj)=n.
ной
к
(21)
Оказывается, что дополнительные требования (21) к перемен­
~; в пределе (при А -->- 00, е - 7 О) приводят В общем случае
конечному
разрыву
этого
импульса,
величину
которого
в
явном
виде выразить не у дается. Это не позволяет определять оптималь­
ное неограниченное управление а (t) из условия экстремума функ­
цИИ Н. Согласно теореме в точках разрыва
выполняется усло­
вие (17). Нетрудно проверить, что 'fZT = Л 1 ' Г де 1'1 - постоянные
t;
числа. Из условий нормировки сопряженных переменных функция
~y.(tj) = - 1.
77
НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ
4.
Процессы управления с параметрами. Пусть в соотношения
в качестве дополнительного аргумента входит постоянный
d-мерный вектор 00, координаты которого в общем случае должны
быть выбраны оптимальным образом в Смысле,
определенном
в работе [3]. Сформулированная задача сводится к рассмотренной
в разд. 1, если систему (1) дополнить d-мерной системой уравне­
(1) - (6)
ний вида ~ = О.
Если допустимые значения вектора 00 принадлежат замкнутой
области V с кусочно-г ладкой границей, а сам вектор в связи
(4) - (6) не входит, то к соотношениям (16) и (17) добавляется сле­
дующее необходимое условие оптимальности, полученное также
с учетом результатов работы [1] в процессе предельного перехода
в вышеупомянутой вспомогательной системе:
t, d
он (ООор!) =
f
~
~
дН (ООор!)
дОО.
000.
dt
-< О,
ООор!
+
1300
Е V.
(22)
to
Если вектор
но
подчинен
по-прежнему входит в связи уравнений (1) - (6),
типа
неравенств OOmin
00
ООшах.
то
заменяется следующими соотношениями, одному из
условие
(22)
которых
должна
1)
2)
00
-< -<
ограничениям
удовлетворять
каждая
координата
вектора
00:
00, ор! =OOTmin;
00. ор! =
00. шах;
t,
3)
фw. (t)
'~ ... (to) =
-
-
f д~~~)
((Iv
to
т де
вектор
, '1= J, ...• d,
dt
~,
'1'''' удовлетворяет
= ОО\}
уравнению
opt
Задача с промежуточными условиями.
задано в неявном скалярном виде:
(3)
-дф
и
концах
Пусть
i=l, .... n--l; 5=0,1, ... , i;
.а соотношения
дН
.
1jI", = -
вующим условиям трансверсальности в обоих
(2)
(23)
соответст-
траектории.
преобразование
'1=1, .... l .
имеют вид
-
•
*
1\
Qix[X(t s), Ys+l, ts]=O,
(25)
i=l .... , n-1; 5=0. J, .... i; 1(=1, ... , At-<m.
При
ния
исключении конечных связей (24) и (25), кроме выполне­
1, 3, 5 и 7 -й операций, указанных в разд. 2. необходимо ввести:
1) постоянные [-мерные вектор-функции Y s (t). 5 = 1, ... , n.
удовлетворяющие уравнению
2)
л--l;
.
Ys =
О.
л
Ys (to)
=
Ys,
кусочно-постоянные фазовые
'1=1, ... , [; 1(=1, ...• A
5
переменные
t ). такие. что
= 1•...• n;
..zp, z,x (1 = 1, ... ,
Zp = О,; х). (х, У s' Р;;) а; zp (t o) = ZТV (t})
z,X =
78
от;
Qix
(х, У s' р;)а;
ZTX (to) =
ZTX
(t 1)
=
О;
= О.
Очевидно,
рассмотренная
постановка
входит
как
частная
в задачу с промежуточными условиями, когда вместо соотношений
(24)
и
(25)
заданы связи вида
-
Q/x [х
i
=
со
1\
=
•
ts ] =
ун!,
1, ... , n - 1; s
у.
Задача
•
(ts),
1, ... , А j
свободными
О,
=
О,
1, ... , i;
-< 1 + т.
моментами
разрыва
правых
частей.
Задачу оптимального выбора моментов разрыва правых частей
можно
формулировать
двояко:
либо
как
задачу
t:
определения
моментов разрыва оптимального а-управления при отсутствии свя­
зей вида (3), либо как задачу определения nоптимальной" поверх­
ности разрыва (3).
В первом случае n -1 фазовая координата Z, (соответственно
1jJz,) отсутствует. Порядок краевой задачи (обозначим его R) по
<:равнению с системой (13) не меняется. Однако, поскольку мо-
менты разрыва
q~)
It=t; =
t;
определяются не из условий вида Q 1 (х, у-, р-;,
О, а из условий (17) стационарности решения, возникает
задача отбраковки побочных решений.
Для решения задачи во второй постановке могут быть пред­
ложены два пути. Первый путь состоит в варьировании парамет­
ров C j , таких, что Qt(x, у-, р-, q;)=c j , и в определении miпуо(t 1 ).
(J.
l
c
i
i=l ..... n-!
Для этогО должен быть организован некоторый итерационный
процесс многократного решения краевой задачи прежнего порядка
что эквивалентно увеличению порядка краевой задачи на n -1,
однако в отличие от первой постановки всегда получается мини­
мум. Второй путь состоит в использовании условий транс версаль­
R,
ности ~z, (to) = 'fz,
({!)
=
О. Отсюда ~z,
= ", =
О, и следовательно, этот
<:пособ адекватен решению задачи в первой постановке.
В некоторых случаях, например, при параметрических расчетах,
может
мощью
быть
предложена
метода
комбинация
варьирования
этих способов:
параметров
минимум
для
найдя с по­
не которого
значения параметра и выбрав (экспериментально, из каких-либо
физических соображений) достаточно малый шаг, чтобы не выйти
из области устойчивости полученного решения, перейти к решению
задачи в первой постановке.
5. ЗАДАЧА ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
С РАЗРЫВНЫМИ ФАЗОВЫМИ КООРДИНАТАМИ
И nРАВЫМИ ЧАСТЯМИ
Рассматривается следующая т-мерная система уравнений:
X=!j[x(t)" x±(t;), u(t), t, t;], i=l, ... , n; s=O, 1,
При переходе траектории системы
(26)
"0'
i-l.(26)
через гиперповерхность
9 t [x(t), x=(t;), t, t;]=O,
i=l, ... ,n-l; s=O,l, ... ,i-l
(27)
терпят разрывы l-го рода
вектор-функция х (t)
как правые части уравн~ний
(26),
так и
(28)
Ё=1,
...
,п-1;
s=O,l, ... ,i·-l.
Требуется найти управление u (t) (t o <:;: t
систему (26) из начального положения
<:;: t 1),
которое, переводя
(29)
в
конечное
<pl [х (t;),
t;j = о,
k = 1 ...• к <:;: тп;
s = о, 1 ... , п,
(30)
доставляет минимум функционалу
Ф
=
.
Ф [х-+(ts),
t s"] ,
s = 0,1, ... ,
Для исключения конечных связей
значений координат необходимо:
1) ввести кусочно·непрерывную m
п.
(27), (28)
и промежуточных
+ 1-мерную
1\
(31)
вектор-функцию
x(t), обеспечивающую изменение вектора х и удовлетворяющую
уравнению
А
Х=
1\1\.
ft
(Х, Ра., и)
1\
+ [Х; (х-,
р;:)
А-А
- х-] О, Х т +1
1;
=
выполнить 1, 3, 5-7-ю операции, описанные в разд. 2.
В частности, если промежуточные значения координат в связи
(26)-(31) не входят, то условие скачка для сопряженной вектор-
2)
функции ljix будет иметь следующий вид в точке t;:
(ф.i,fi+l(Х+' и+, t)-fi(Х-' и-, t»)-(gгаdх-(<fii"'ХI(х-,t»)Х
Xft(x-,
fjJ; =
и-,
t)- ~
(Фi",
'm(X-,
t»)
--------------------------х
d!J , (х-, t)
dt
Х gradx-!J j (х-,
t) + gгаdх-('jJ;,
Х; (х-,
t»).
(Алгоритм легко распространяется и на случаи, когда задано
несколько гиперповерхностей вида (27), а соотношения (26)-(31)
зависят
от
постоянного
управляющего
вектора
(!)
и
дискретных
величин).
Кроме указанного
способа
сведения задачи к постановке
(13),
могут быть предложены другие, основанные на идеях, высказан­
ных в разд. 2 и 4. В частностИ, в случае, когда связь между зна­
чениями x-(t;), х+ (t;) задана в "неявном" виде
s=O,l, ... ,i;
80
'1
=
1, ... ,
т
< 2т,
(32)
можно ввести в рассмотрение
.
непрерывные т
+
1-мерные вектор-
л
функции Ха (t), такие, что
А
1\ 1\
0stft (X S ' и),
Xs =
l
0st= {О
.
i=l, ... ,n; 8=0,1, ... ,n;
~s (to) = ~+ (1:-1), 8 = О,
1, ... , n;
При этом соотношения
х+ (t:" l )
(27), (29)-(32)
=
при 8 =
при
8
i .
-1- .,.
-г
t
х+ (t~) = х (t o)'
примут следующий вид:
1\
Qt(Xs) =0; i=l, ... ,n-l; 8=0,1, ... ,i;
л
Xi'(X S ) =0; i=l, ... , n-l. ,,=1; ... ,m; 8=0, 1, ... ,i+l; t=t;;
о (Л,)
tfj xo(t o)
Л
tfH~s иl») = О; s = О,
.
1\
=0; XO(to)=xl(to);
1, ... , n;
1\
Ф=Ф(хs(tt»); 8=0, 1, ... ,n.
Очевидно, что задача, сформулированная в этом разделе, допу­
скает обобщения, аналогичные рассмотренным в разд. 4, и к ним
применимы
алгоритмы
решения,
изложенные
выше.
ЛИТЕРАТУРА
1. М и к у с и н с к и й Я., с и к о р с к и й Р.
обобщенных функций. 1. М., Изд. иностр. лит.,
Элементарная теория
1959.
2. К Р а с о в с к и й Н. Н. Теория управления движением. М.,
.Наука·, 1968.
3. П о н т р я г и н Л. С., Б о л т я н с к и й В. Г., Г а м к р е л и д­
з е Р. В., М и щ е н к о Е. Ф. Математическая теория оптимальных
процессов. М., .Наука", 1969.
Рукопись поступила
6-Учены~ записки JI!! 1
23/1V 1970
г.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа