close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об асимптотике энергии для решения эволюционной стохастической системы уравнений.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2011, том 54, №10
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
УДК 51.53
Ф.В.Срумова
ОБ АСИМПТОТИКЕ ЭНЕРГИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЭВОЛЮЦИОННОЙ
СТОХАСТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Таджикский национальный университет
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 01.08.2011 г.)
Вычислена асимптотика энергии для решения эволюционной стохастической системы уравнений.
Ключевые слова: белый шум – стохастический интеграл.
Рассмотрим следующую начально-краевую задачу для эволюционной стохастической системы уравнений:
t
   
t
0
0
t
0
I 

 d     x,   dw ,
 0
0
t
t 0
 0,
(1)
 0
I 
  D
.
  0 


t
Здесь
0
t

   x,   dw 
0
m t

    x  exp  iv   dw
K 1 0
K
K
,
K
интеграл
m t

    x  exp  iv   dw
K 1 0
K
K
K

стохастический,  K  х  , exp  ivK  – предсказуемые функции, wK – белый шум, представляющий
1
собой винеровский процесс на R ,
0

I
– самосопряженный эллиптический оператор, дейст0
2
вующий в L D , где D – открытая область в R 3 , содержащая внешность некоторой сферы, грани-
1,  
,   0. Пусть  t – классическое решение задачи (1). Вопрос
ца которой принадлежит классу A
о существовании и единственности такого решения исследован в [1, 2].
Адрес для корреспонденции: 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: saf39@mail.ru
822
Математическая физика
Ф.В.Срумова
К уравнению (1) сводятся некоторые задачи подводной акустики [3]. Например, гидроакустические измерения в океане всегда проводятся в условиях, когда, кроме «полезного» сигнала, на гидрофон воздействует шумовой фон. «Шум» описывает ошибки измерений, ограничивает дальность и
достоверность подводной телеметрии и связи, чувствительность акустических методов изучения
океана, структуры его дна и т. п. Энергией называем интеграл [4].
E t  

R3 D
Лемма 1. Пусть
f x, t  C0 D 

t 2
t
  x t
для всех
2
 dx.
t, f x, t CD  0, ,
тогда классиче-
ское решение задачи (1) представимо в виде
  lim  2 
t
R 
3
 t sin  k  t     


x
,
k
f
k
,

dk





d , (2)


k
k 2 R
 0

где

m t
 
f  k ,       x, k      k  x  exp  ivk  dwk  dx.
 k 1 0

Здесь   x, k  – матрица решения задачи рассеяния [2]. Интеграл в (2) сходится в L2  D 
при почти всех
   , где 

- вероятностное пространство, на котором определѐн процесс  .
Лемма 2. Если выполнены условия леммы 1, то для математического ожидания энергии
E t  справедлива формула
 t
 M 0 sin  k  t  k     x, k  

t
m t
 
     k  x  exp  ivk  dwk  dxd 2  M  cos  k  t  k      x, k  
0
 k 1 0

m t
 
     k  x  exp  ivk  dwk  dxd 2  dk .
 k 1 0

ME  t    2 
3
Лемма 3. Если выполнены условия теоремы, то
 1 



lim M t   nm  t , r  S   r  dr    nm M  S   vn   ,


t 
 0

1  exp i  vn  vm  t  exp  i  vm  1 t   exp i  vn  r  t   1
 nm  t , r   


2   vn  r  vm  r 
 vn  r  vm  r 



exp i  vn  vm  t   exp i  vn  r  t   exp i  vn  r  t   1 
.
 vn  r  vm  r 

823
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2011, том 54, №10

Теорема. Пусть случайные величины vR , wR независимы, M  vn  vm   0, n  m,
M  vn   0 для любого n и все реализации  K  x   C0  R3 \ D  , тогда
m
ME  t 
2
3

  2    M    K  nr  r 2 dn 
,
t 

 r  vK
t
K 1
lim
nk k .
В заключение автор благодарит академика РАН В.И.Ильина и профессора А.А.Арсеньева за
внимание, проявленное ими к данной работе.
Поступило 01.08.2011 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1.
2.
3.
4.
Розовский Б.Л. Эволюционные стохастические системы. – М.: Наука, 1983.
Ратанов Н.Е. – Успехи матем. наук, 1984, т. 39, с. 151-152.
Лямшев Л.М., Фурдуев А.В. – Радиационная акустика. – М.: Наука, 1987, с. 46-51.
Арсеньев А.А. – Ж. вычисл. матем. физ, 1970, т. 10, № 4, с. 1031-1041.
Ф.В.Срумова
ДАР БОРАИ АСИМПТОТИКАИ ЭНЕРГИЯ БАРОИ ЊАЛЛИ СИСТЕМАИ
МУОДИЛАЊОИ ЭВОЛЮТСИОНИИ СТОХАСТИКЇ
Донишгоњи миллии Тољикистон
Дар маќолаи мазкур ассимптотикаи энергия барои њалли системаи муодилањои эволютсионии стохастикї њисоб карда шудааст.
Калимањои калидї: ѓул-ѓулаи сафед – интеграли стохастикї.
F.V.Srumova
ABOUT ENERGY ASYMPTOTIC FOR SOLUTION OF THE EVOLUTIONAL
STOCHASTIC EQUATION SYSTEM
Tajik National University
This article gives a calculation of energy asymptotics for solution of evolutional stochastic equation
system.
Key words: white noise – stochastic integral.
824
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
405 Кб
Теги
решение, уравнения, энергия, система, стохастических, эволюционная, асимптотики
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа