close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Обратная задача для дифференциальных пучков второго порядка с условиями Дирихле.

код для вставкиСкачать
УДК 517.984
С.А. Бутерин
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
ПУЧКОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА
С УСЛОВИЯМИ ДИРИХЛЕ
1. Рассмотрим краевую задачу L := L(q0 (x), q1 (x)) вида
y 00 + (?2 ? 2?q1 (x) ? q0 (x))y = 0,
0 < x < ?,
(1)
y(0) = y(?) = 0,
где
qj (x) ? W1j [0, ?]
(2)
комплекснозначные функции, а
?
спектральный
параметр. В статье исследуется обратная задача восстановления пучка
L по
спектральным характеристикам. В качестве основной спектральной характеристики используется функция Вейля, являющаяся аналогом классической
функции Вейля для оператора Штурма Лиувилля. Показана эквивалентность функции Вейля заданию спектров двух краевых задач для уравнения
(1) с одним общим краевым условием, а также спектру вместе с так называемыми весовыми числами. С помощью развития идей метода спектральных
отображений [1, 2] доказана единственность решения обратной задачи. Отметим, что обратная задача для дифференциальных пучков второго порядка
с вещественными коэффициентами при некотором дополнительном ограничении, обеспечивающем, в частности, простоту спектра, исследовалась в [3]
и других работах методом оператора преобразования. В [4] решена обратная задача восстановления дифференциального уравнения (1) на полуоси по
функции Вейля.
2.
S(x, ?), S1 (x, ?), C(x, ?) и ?(x, ?) являются решениями
0
уравнения (1) и удовлетворяют условиям S(0, ?) = S1 (?, ?) = C (0, ?) =
?(?, ?) = 0, S 0 (0, ?) = ?S10 (?, ?) = C(0, ?) = ?(0, ?) = 1. Функции ?(x, ?)
0
и M (?) := ? (0, ?) называются соответственно решением Вейля и функцией
0
0
Вейля пучка L. Обозначим hy, zi := yz ? y z. Собственные значения ?n ,
|n| ? N, краевой задачи (1), (2) совпадают с нулями ее характеристической
функции ?(?) := hS1 (x, ?), S(x, ?)i = S(?, ?) = S1 (0, ?). Имеем
Пусть функции
?(x, ?) = C(x, ?) + M (?)S(x, ?) =
где
?1 (?) = ?S10 (0, ?)
S1 (x, ?)
,
?(?)
M (?) = ?
?1 (?)
,
?(?)
(3)
характеристическая функция краевой задачи для
y 0 (0) = y(?) = 0. Обозначим ?1n , n ? Z,
1
ее собственные значения. Очевидно, что {?n } ? {?n } = ?. Таким образом,
M (?) мероморфная функция с полюсами ?n и нулями ?1n . Положим
Z x
1
Q(x) =
q1 (t) dt, ? = Q(?), G?? = {? : |? ? k ? ?| ? ?, k ? Z}.
?
0
уравнения (1) с краевыми условиями
6
Известным методом (см., например, [2]) доказывается следующая
Лемма 1. Имеют место представления:
)
?S(x, ?) = sin(?x ? Q(x)) + ?(x, ?),
(4)
?S1 (x, ?) = sin(?(? ? x) ? Q(?) + Q(x)) + ?1 (x, ?),
где
(?)
? (x, ?),
(?)
?1 (?
1
? x, ?) = O 1?? exp(|Im?|x) ,
?
|?| ? ?,
? = 0, 1, (5)
равномерно по x ? [0, ?]. Кроме того,
1 sin(? ? ?)? ?(?) =
1+O
,
???
?
?1 (?) = cos(? ? ?)? 1 + O
1 ?
,
|?| ? ?,
|?| ? ?,
? ? G?? ,
?+ 21
? ? G?
(6)
.
(7)
Используя (6), (7) и теорему Руше, известным методом [2] получаем, что
1
1
1
?n = n + ? + O
,
, |n| ? ?.
(8)
=n? +?+O
n
2
n
Без ущерба для общности будем предполагать, что ?n 6= ?k при nk < 0.
Обозначим mn кратность собственного значения ?n (?n = ?n+1 = . . . =
?n+mn ?1 ) и положим S := {n : n ? Z \ {0, 1}, ?n?1 6= ?n } ? {1}. Согласно (8)
для достаточно больших |n| имеем mn = 1. С помощью метода контурного
?1n
интегрирования доказывается следующее утверждение.
Теорема 1. Справедливо представление
M (?) =
n ?1
X mX
n?S ?=0
Коэффициенты
Mn+?
.
(? ? ?n )?+1
Mn , |n| ? N, называются весовыми числами. Они обобща-
ют классические весовые числа для самосопряженного оператора Штурма Лиувилля, являющиеся величинами скачков его спектральной функции. Как
и для несамосопряженного оператора Штурма Лиувилля [5], можно получить выражение чисел
пучка
Mn
через собственные и присоединенные функций
L.
С помощью асимптотик (6)(8) и теоремы Адамара о разложении целой
функции конечного порядка в бесконечное произведение доказывается следующее утверждение.
7
Теорема 2. Справедливы представления
1
Y ? ??
? sin ??
n
exp
? ? ctg ?? ?
exp
,
?(?) =
?
?
n+?
n+?
??
/ Z, (9)
|n|?N
?1n ? ?
?
exp
,
?1 (?) = cos ?? exp(?? tg ??)
1
1
+
?
+
?
n
?
n
?
2
2
n?Z
Y
??
1
?
/ Z.
2
(10)
(Случаи других значений ? вносят незначительные изменения.)
Заметим, что из асимптотики (8) величина ? определяется с точностью до
целого слагаемого, и поэтому функции ?(?), ?1 (?) согласно (9), (10) определяются по своим нулям с точностью до знака. Однако функция Вейля M (?)
1
согласно (3), (9), (10) определяется по спектрам {?n }|n|?N , {?n }n?Z однозначно. Таким образом, задание функции Вейля M (?) равносильно заданию двух
1
спектров {?n }|n|?N , {?n }n?Z или спектральных данных {?n , Mn }|n|?N .
Обратная задача формулируется следующим образом: задана функция
Вейля
M (?),
найти
L.
Докажем теорему единственности решения обратной
L будем рассматривать пучок L? = L(q?0 (x), q?1 (x)).
Условимся, что если некоторый символ ? обозначает объект, относящийся к
L, то ?? обозначает аналогичный объект, относящийся к L?, и ?? = ? ? ??.
Теорема 3. Если M (?) = M? (?), то L = L?, то есть q1 (x) ? q?1 (x) и
q0 (x) = q?0 (x) почти всюду на [0, ?].
Доказательство. Рассмотрим матрицу P (x, ?) = [Pjk (x, ?)]j,k=1,2 , опре-
задачи. Для этого наряду с
деляемую равенством
P (x, ?)
Так как
S?(x, ?) ??(x, ?)
S? 0 (x, ?) ??0 (x, ?)
hS(x, ?), ?(x, ?)i = ?1,
=
S(x, ?) ?(x, ?)
S 0 (x, ?) ?0 (x, ?)
Pj2 (x, ?) = S
(j?1)
(x, ?)??(x, ?) ? ?
Согласно (3)(6) для любого фиксированного
P11 (x, ?) = cos Q?(x) + O
при
|?| ? ?, ? ? G??
1
?
(11)
то
Pj1 (x, ?) = ?(j?1) (x, ?)S? 0 (x, ?) ? S (j?1) (x, ?)??0 (x, ?),
(j?1)
.
,
равномерно по
)
(x, ?)S?(x, ?).
?>0
будем иметь
1
sin Q?(x)
P12 (x, ?) = ?
+O 2
?
?
x ? [0, ?].
(13)
Кроме того, (3), (12) дают
P11 (x, ?) = C(x, ?)S? 0 (x, ?) ? S(x, ?)C? 0 (x, ?) + M? (?)S(x, ?)S? 0 (x, ?),
P12 (x, ?) = S(x, ?)C?(x, ?) ? C(x, ?)S?(x, ?) ? M? (?)S(x, ?)S?(x, ?).
8
(12)
M? (?) = 0, для каждого фиксированного x ? [0, ?] функции
P1j (x, ?), j = 1, 2, являются целыми аналитическими по ?, что вместе с
(13) дает P11 (x, ?) ? cos Q?(x), P12 (x, ?) ? 0. Также имеем sin Q?(x) ? 0.
Следовательно, Q?(x) ? ??, где ? ? Z. В силу непрерывности Q?(x) число
? не зависит от x, и поэтому Q?(x) ? 0, то есть q1 (x) ? q?1 (x). Получаем
P11 (x, ?) ? 1. Согласно (11) получаем S(x, ?) = S?(x, ?), и следовательно,
q0 (x) = q?0 (x) почти всюду на [0, ?].
Поскольку
Работа выполнена при финансовой поддержке грантов Президента РФ
для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (проекты МК-1701.2007.1 и НШ-2970.2008.1), РФФИ и ННС
(проекты 07-01-00003, 07-01-92000-ННС-а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Yurko V. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory. Inverse and
Ill-posed Problems Series. Utrecht: VSP, 2002.
2. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит, 2007.
3. Гасымов М.Г., Гусейнов Г.Ш. Определение оператора диффузии по спектральным
данным // ДАН Азерб. ССР. 1981. Т.37, ќ2. С.1923.
4. Юрко В.А. Обратная задача для пучков дифференциальных операторов // Матем.
сб. 2000. T.191, ќ10. C.137160.
5. Buterin S.A. On inverse spectral problem for non-selfadjoint Sturm Liouville operator
on a nite interval // J. Math. Anal. Appl. 2007. V.335. Issue 1. 739749.
УДК 512.7
А.М. Водолазов
АЛГЕБРЫ ЦЕЛОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ
ДЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОРОВ МАЛОЙ РАЗМЕРНОСТИ
Пусть
k
поле
алгебраический
p-адических
k -тор.
чисел,
O
кольцо целых
p-адических. T
В работах [1-3] рассматривается алгебра
A = {f ? k[T ] | f (Uk ) ? O} ,
где
Uk
максимальная компактная подгруппа группы
T (k).
Эта алгебра
представляет интерес при исследовании целых моделей алгебраических торов. Она имеет бесконечный набор образующих. В [1] был поставлен ряд вопросов об изучение свойств этой алгебры. В частности, вопрос о нахождении
образующих для разложимых торов
T = Gnm . Образующие для разложимых
торов были найдены в работе [4].
Дальнейшие изучение алгебры
A
можно проводить в двух направлени-
ях. Во-первых, переходить к более сложным классам алгебраических торов,
9
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
320 Кб
Теги
пучко, дифференциальной, обратная, условиями, дирихле, задачи, порядке, второго
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа