close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оптимальная стратегия управления ресурсным обеспечением производственной системы.

код для вставкиСкачать
УДК 681.3
ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ УПРАВЛЕНИЯ РЕСУРСНЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ
ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ
В.Н. Родионова, Н.В. Федоркова, Е.Д. Федорков
В статье приводится методика определения оптимальной стратегии ресурсного обеспечения
системы
производственной
Ключевые слова: методика, стратегия, ресурсы
Рассматривая изготовление сложных изделий в
условиях большого числа состояний системы,
предположим, что время проведения конкретной
технологической операции пренебрежимо мало по
сравнению
с
временем
движения
по
технологической цепочке. В этом случае дискретное
описание транспортных потоков переходит в
непрерывное и должно моделироваться некоторым
дифференциальным
уравнением
с
частными
производными. Решая это уравнение в сферической
системе координат, получим обыкновенное
дифференциальное уравнение относительно радиальных
составляющих. Асимптотика решений дает количественное представление о поведении рассматриваемой производственной системы [1].
Пусть даны r материальных потоков Рκ (κ = 1, r ).
Из составляющих эти потоки ресурсов производят
сложные детали - «агрегаты». Предполагаем, что
каждый поток
Рк
содержит
ровно
одну
составляющую для данного агрегата. Пусть за время
T появилось по nκ единиц ресурса из каждого потока
Рк, т.е. образовался некоторый набор (nк) = (n1,n 2 ,
...,nr). Из этого набора может быть произведено s0 =
min nk агрегатов, причем набор-остаток (n'к ) = (nк –
вероятность образования одного из наборов (nк + s).
Каждому потоку Рк поставим в соответствие
→
вектор e k r-мерного евклидова пространства Нr.
Понятно, что материальные ресурсы потоков лишь
преобразуются в процессе обработки и сборки агрегата,
т.е. они не исчезают в «никуда» и не появляются из
«ниоткуда». Рассматривая отходы производства как
один из потоков Pk, можно записать закон сохранения
материальных ресурсов в форме
(2)
→
Обозначим через N целочисленный векторr
→
индекс:
→
N = ∑ nk e k = [nk ] ,
где
nк
-
k =1
целочисленные координаты. Вероятность появления
→
суммы векторов N =[nк + s] вычисляется по формуле
(1) и равна
k
s0). Обозначим через φk( l ) вероятность появления за
время Tl единиц ресурса из потока Рк. Найдем
вероятность образования за это время набора-остатка
(n'к). Понятно, что если вместо набора (nк)
появляется набор (nк + s), где s - целое число, то
число произведенных агрегатов равно s0 +s, а наборостаток вновь (n'к), так как (n'к)= (nкn + s)- (s0 +s).
Тогда вероятность образования указанного набора –
остатка,
(3)
В силу соотношения (3) при любом целом s
→
каждому представлению [nк + s] вектора N отвечает
набор (nк + s) с одним и тем же остатком (n'к ), и
наоборот, каждому остатку (n'к) отвечает некоторое
→
представление вектора N . Иными словами,
суммирование в формулах (2) и (3) можно проводить
так: обозначим mk=nk+s и суммируем лишь те mk, для
→
которых [mk]= N :
(1)
где каждое слагаемое в правой части означает
Родионова Валентина Николаевна - ВГТУ, д-р экон. наук,
профессор, тел. (4732) 43-76-67
Федоркова Наталия Вадимовна - ВГТУ, д-р экон. наук,
профессор, тел. (4732) 43-76-67
Федорков Евгений Дмитриевич - ВГТУ, д-р техн. наук,
профессор, тел. (4732) 55-42-48
Далее
будем
рассматривать
пуассоновских распределений
(4)
случай
с параметром распределения хк, что соответствует
асимптотике биномиального распределения с очень
большим объемом выборки n (nр ≈ хк). Теперь из (4)
получим
виде
(7)
U→ = e
−
r
∑ xk
k =1
N
где S0=+ max
k = 1, r
V→ ( xk )
(5)
N
(8)
(− nk )
Запишем параметрическую составляющую
→
вероятности
Это и есть искомое дифференциальное уравнение
в частных производных, моделирующее поведение
системы с большим числом состояний и законом сохранения материальных ресурсов в форме (2). Прежде
чем переходить к решению уравнения (7), обсудим
некоторые естественные обобщения последнего.
♦ Закон сохранения материальных ресурсов
имеет вид
V→ (xk) для сдвига на e l : обозначая
N
где
{ fi }ir=1 -заданные натуральные числа.
В этом случае рассуждения, приведенные выше,
немедленно приводят к дифференциальному уравнению
символ Кронекера через
→
→
δ kl (δ kl = 0приκ ≠ l , skk = 1) , получим N − l e = [nk
(9)
-δ'k], тогда из (5) получим соотношение
Чтобы воспользоваться законом сохранения (8),
необходимо f l раз продифференцировать V
→
N
по
xl:
соответствующее дифференцированию выражения
xkmk
один раз по хk:
mk !
∂ xkmk
mk mk −1
xkmk −1
(
)=
xk =
Иными
∂ xk m k !
mk !
(mk − 1)!
(и так для каждого номера l= 1,2,...,r). В результате
получим уравнение (9).
♦ Закон сохранения материальных ресурсов
имеет вид
словами, справедлива следующая формула
дифференцирования
(6)
Продифференцировав с учетом (6) V
→
N
(xk) по
всем переменным по одному разу, получим
где
{ fi }im=1 , {g j }rj −=1m
- заданные натуральные числа.
Удобно представить закон сохранения в форме
(10)
Из выражения (10) и предыдущих рассуждений
получим модельное уравнение
но в силу закона сохранения (2)
и предыдущее соотношение можно представить в
(11)
Понятно, что уравнение (11) обобщает
соотношения (7) и (9) в случае отрицательных целых
коэффициентов, определяющих закон сохранения
материальных ресурсов (3), (8), (10).
♦ Закон сохранения материальных ресурсов
имеет вид соотношения (10), однако теперь
числа
{ f i }im=1 , {g j }rj −=1m
не обязательно целые.
Предположим, что это произвольные фиксированные
положительные числа, не превосходящие единицу.
В этом случае модельное уравнение (11), оставаясь по форме таким же, приобретает другой смысл:
здесь рассматриваются производные дробного порядка,
определяемые соотношениями {Справочная математическая библиотека. Функциональный анализ/
Под ред. С.Г. Крейна. М.: Наука, 1964):
для каждого f i и gj В результате получим следующее
ференциальное уравнение в частных производных.
Полученные модельные уравнения можно
использовать не только для анализа поведения сложных
технологических процессов на производстве.
Заметим, что в информационных компьютерных
сетях время передачи (приема) одного бита
информации пренебрежимо мало по сравнению со
временем работы сети. Потоки заявок от
пользователей по существу ничем не отличаются от
аналогичных заявок для телефонных линий. В этом
случае число вызовов распределено по закону
Пуассона. [1]. Кроме того, здесь также выполняется
некоторый вариант закона сохранения информации.
Сформулированные выше предпосылки позволяют
использовать полученные модельные уравнения для
анализа работы информационных сетей, а также для
проектирования информационных сетей с заданными
пропускными способностями.
Уравнение (12), как легко видеть, представляет
значительные математические трудности.
Поэтому далее мы рассмотрим уравнения типа
(1).
Сделаем замену переменных
модельное уравнение:
(13)
В этих координатах функция V
→
N
(xk) может
быть представлена в виде:
(12)
где через Г(·) обозначена гамма-функция Эйлера.
Построение всех указанных выше семейств
моделей
основано
на
следующих
двух
предположениях:
все
потоки
подчинены
пуассоновскому
распределению
вероятностей;
потоки связаны между собой одним линейным
уравнением, выполняющим роль закона сохранения,
или уравнения баланса материальных ресурсов. Как
показывают
приведенные
рассуждения,
при
выполнении первого из этих условий уравнение
баланса позволяет сразу записывать модельное диф-
(14)
Здесь учтено, что
Напомним одну простую, но удобную
формулу дифференцирования сложной функции
специального
вида.
Пусть w = w(z) =
Ax aϕ ( z ), z = Bx β , где А, В, α, β - некоторые постоянные. Тогда
отсюда
(15)
Разделив обе части уравнения на
ρ2
4
,
придем к уравнению Бесселя
Подставим соотношение (13) в модельное
уравнение (7). Для простоты обозначений неизвестную
функцию V[n k ] (ρ ) из выражения (14) обозначим
через v(p). Используя (15), из уравнения (7) получим
(17)
Удобно переписать уравнение (17) в виде
уравнения Бесселя для модифицированных функций
мнимого аргумента:
Таким образом, приходим к модельному
уравнению
откуда после замены v(p) = v1 (2p), p1 = 2р получим
(16)
(18)
r
где
nk• = nk −
∑n
k =1
r
k
.
Это
обыкновенное
дифференциальное уравнение r-го порядка с
переменными коэффициентами.
Иными словами, предложенный нами метод
позволяет свести задачу об исследовании асимптотического поведения системы с большим числом
состояний к решению некоторого обыкновенного
дифференциального
уравнения
гипергеометрического типа.
Понятно, что для каждого конкретного
случая входных данных r и (nк) требуется решить
уравнение (16) и получить асимптотику его решения.
Покажем это на примере. Пусть r = 2. Так как
Решение уравнения (18) представляется в модифицированных функциях Бесселя первого рода и целого
порядка к: l-к (2р) и 1к (2р):
(19)
Асимптотическое поведение этих функций
известно. Так как нас интересует случай больших
значений к, то можно воспользоваться асимптотикой
вида
→
вектор
определяется с точностью до
N
целочисленного сдвига, полагаем, что первая его
компонента равна 0:
→
N = [0, k ]
Тогда
k
k
n1• = − ,n2• = .
2
2
(20)
Уравнение (16) приобретает вид
где
→
и его решение можно найти в виде: N = [0,к,n],
(23)
При достаточно больших значениях параметра
пуассоновского распределения р ≈ 10, получаем
погрешность
1
• 10 − 3 , что вполне достаточно для
8
широкого класса практических задач.
Отметим, что приведенный пример является
одним из простейших. В общем случае модельное
уравнение (16) может приводить к появлению
различных гипергеометрических функций и должно
изучаться для каждого заданного набора r, (nк) независимо.
Аналогично обстоит дело с модельными
уравнениями
в
частных
производных.
Проиллюстрируем это следующими простыми
примерами. Пусть закон сохранения (10) имеет вид
→
→
el = 2 e2
тогда уравнение (11) переходит в уравнение теплопроводности
~
где L nk (z) - полиномы
(24)
связанные с полиномами Лагерра соотношением
Общий подход к решению модельных
уравнений типа (11) состоит в разделении переменных и
использовании разложений в кратные ряды Фурье.
После замены (13) и в случае пуассоновских
распределений вероятности при f1 = 1 и,
следовательно, n1 = 0, получим
(21)
для которого допустимо решение в виде многочленов
Эрмита:
(25)
→
при N = [0,к] имеем
r
Так
как
ψ 1 = −∑ f kψ k то
обе
части
k =2
(22)
⎡k ⎤
⎢2⎥
⎣ ⎦
z k −2s
, [•] обозначает
s = 0 s!( k − 2 s )!
~
где
k!i − k H k ( z ) = ∑
целую часть числа.
Если закон сохранения (10) имеет вид
→
→
→
el + e2 = e3
тождества являются периодическими функциями от
(r-1) переменной ψ 2 ,...,ψ r периодом 1. Тогда
правую
часть
тождества (25) можно рассматривать как разложение
левой части в (r-1)-кратный ряд Фурье с коэффициентами искомыми функциями V[0 , n 2 ,..., n r ] Следовательно,
эти функции можно найти как коэффициенты Фурье.
Применяя известные формулы, получим
то уравнение (11) принимает форму
(26)
здесь |wr-1| -объем (r-1)-мерногопараллелепипеда с
→
→
→
ребрами-векторами e 2 , e 3 ,..., e r . Интегрирование проводят по этому параллелепипеду (dwr-1 - элемент
объема указанного параллелепипеда).
В рассматриваемом случае управляющими
{ fi }im=1 и
параметрами являются коэффициенты
{gi }rj −=1m в
законе
сохранения
или
уравнении
ε = e 2πild в силу однородности пуассоновских
баланса материальных ресурсов (11). Пусть мы
заранее требуем от системы работу в таком режиме,
при котором вероятность появления набора-остатка
распределений получим соотношение
( nk )
Пусть теперь f1 = d > 1 и 0 ≤ n1 <d , полагая
(
)
V[n1 , n2 ,...,nr ] ε x1, x2 ,...xr = ε V[n1 , n2 ,...,nr ] (x1, x2 ,..., xr ),
a
an1
используя которое, имеем
•
заданное
время
Т
является
величиной. Иными словами, функция
заданной
V→ (xk) в
N
левой части уравнения (28) задана. Тогда, применяя
обратное преобразование Фурье и формулу (18),
сможем определить требуемую величину d = f1.
Поступая аналогично для всех остальных
аргументов xk, k= 2, r определим все координаты в
уравнении баланса материальных ресурсов (11).
Задавая различные функции V→ (xk) для разных
N
(27)
−2πimψ 1
Умножая обе части уравнения (27) на e
получим в каждой из них периодические функции
от ψ 2 ,ψ 3 ,...,ψ r с периодом 1:
временных отрезков T (с учетом ожидаемой
стоимости сырья, электроэнергии, занятости складов и ряда других факторо в), по лучим функции
{ fi (T )}im=1 и {gi (T )}rj −=1m , определяющие стратегию
предприятия на долговременный период. Иными
словами,
получаем
возможность
заранее
определить управляющие параметры как для
случая самых худших, так и для случая самых
лучших ожиданий. По существу, совокупность
функций fi(Т) и gj (T) является математическим
выражением стратегии предприятия.
Литература
(28)
1. Справочная математическая библиотека.
Функциональный анализ / Под ред. С. Г. Крейна. М.:
Наука, 1964
2.
Бейтмен
Г.,
Эрдейн
А.
Высшие
трансцендентные функции. М., 1966. Т.2.
Воронежский государственный технический университет
OPTIMUM STRATEGY OF MANAGEMENT RESURSNYM ENSURING
THE PRODUCTION SYSTEM
V. N. Rodionova, N. V. Fedorkova, E.D. Fedorkov
The optimal strategy of resourse provision in production sphere is considered in the article
Key words: technique, strategy, resources
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
499 Кб
Теги
оптимальное, обеспечение, производственной, система, ресурсный, управления, стратегия
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа