close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оценка меры иррациональности значений гипергеометрической функции Гаусса.

код для вставкиСкачать
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОНИК
Том 11 Выпуск 1 (2010)
Труды VII Международной конеренции
Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения,
посвященной памяти проессора Анатолия Алексеевича Карацубы
УДК 511.36
ОЦЕНКА МЕЫ ИАЦИОНАЛЬНОСТИ ЗНАЧЕНИЙ
ИПЕЕОМЕТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ АУССА
В. А. Андросенко (г. Брянск)
Аннотация
13
В работе получена оценка меры иррациональности числа ? = log
+
5
1
4
1 5
.
2 arctan = 2 F1 1, , ; ?
7
4 4 64
Введение
Одной из классических задач теории диоантовых приближений, начиная
с работы К. Зигеля в 1929 г., является изучение ариметических свойств значений гипергеометрических ункций, а также получение оценки меры иррациональности значений гипергеометрической ункции аусса.
Напомним, что мерой иррациональности µ(? ) вещественного числа ? называется нижняя грань множества чисел ?, для которых, начиная с некоторого
положительного q ? q0 (?), выполняется неравенство
p
? ? ? q ?? , p ? Z, q ? N.
q
Исследованиями в данной области занимались, в частности, Д. инн, . Чудновский, М. Хуттнер, М. Хата, К. Ваананен, А. Хеймонен, Т. Матала - ахо и
другие.
В 1993 г. К. Ваананен, А. Хеймонен, Т. Матала - ахо [7? рассмотрели гипергеометрическую ункцию аусса вида
1
1
(1)
2 F1 1, , 1 + ; x , где k ? 2, k ? N, x ? Q.
k
k
1 езультаты
получены при частичной поддержке оссийского Фонда Фундаментальных
исследований, грант ќ09-01-00743
8
В. А. АНДОСЕНКО
Опираясь на свойства коэициентов многочлена Якоби, ими был получен общий критерий, позволяющий оценить меру иррациональности значений ункции вида (1).
Одним из значений гипергеометрической ункции аусса, рассмотренных в
работе [7? является
1 5
1
13
4
? = 2 F1 1, , ; ?
= log
+ 2 arctan .
4 4 64
5
7
Было доказано, что µ(? ) ? 13, 164 . . ..
Используя идею комплексного симметризованного интеграла эту оценку удалось улучшить, а именно, доказать следующую теорему.
Теорема 1. Справедлива оценка
µ(? ) ? 7, 448 . . .
.
Доказательство теоремы 1.
Для доказательства теоремы был рассмотрен интеграл вида:
J?
Z
l
(x ? 2 ? 2i)6n (x ? 2 ? 3i)n (x ? 2 ? i)n (x ? 1 ? 2i)n (x ? 3 ? 2i)n
dx ?
xn+1 (4 + 4i ? x)n+1 (4 + ix)n+1 (4i ? ix)n+1
Z
? R(x)dx, (2)
l
где n четно, n ?? +?, l отрезок [2 + 2i, 3 + 2i].
Подынтегральная ункция R(x) в (2) обладает свойством симметрии, а именно
R(?(x ? 2 ? 2i)) = R(x ? 2 ? 2i), где ? = {±1, ±i}.
азложение рациональной ункции R(x) в сумму простейших дробей имеет вид
R(x) = P6n?4 (x) +
n+1 X
aj
j=1
где все ai ? Q,
aj
aj
aj
+
+
+
j
j
j
x
(4 + 4i ? x)
(4 + ix)
(4i ? ix)j
,
(3)
j = 1, ..., n + 1.
1
(6n?4)
4
P6n?4 (x) =
X
?=1
b? (x ? 2 ? 2i)4? , b? ? Z.
(4)
Из (2) и (3) имеем
I = I1 + I2 + I3 ,
(5)
ОЦЕНКА МЕЫ ИАЦИОНАЛЬНОСТИ ЗНАЧЕНИЙ ...
9
где
I1 =
3+2i
Z
P6n?4 (x)dx,
(6)
r1 = I1 ? Q,
2+2i
I2 =
3+2i
Z
2+2i
n+1 X
aj
j=2
I3 =
3+2i
Z 2+2i
=
=
=
=
aj
aj
aj
+
+
+
xj (4 + 4i ? x)j (4 + ix)j
(4i ? ix)j
a1
a1
a1
a1
+
+
+
x
4 + 4i ? x 4 + ix 4i ? ix
!
dx,
r2 = I2 ? Q,
(7)
dx =
1
3+2i
a1 log x ? log(4 + 4i ? x) + (log(4 + ix) ? log(4i ? ix)) =
i
2+2i
3 + 2i
1
2 + 3i
a1 log
+ log
=
1 + 2i
i
3+i
!
!
r
r
13 i(arctg 2 ?arctg 2)
a1
13 i(arctg 3 ?arctg 1 )
3
2
2
e
e
a1 log
+ log
=
5
i
5
1
13
4
(1 ? i)a1 log
+ 2 arctg
.
2
5
7
13
4
1 ?
+ 2 arctg
,
I3 = a1 log
2
5
7
?
a1 = a1 (1 ? i).
(8)
Тогда
1 ?
13
4
+ 2 arctg
+ r1 + r2 .
?n = I = a1 log
2
5
7
(9)
Вычислим коэициенты aj в разложении (3) и установим некоторые ариметические свойства коэициентов b? в разложении многочлена P (x) из (4),
используя аналогичные рассуждения из [2?.
Обозначим K = {x + yi|x, y ? Z} кольцо гауссовых чисел, пусть ?N =
{N/2} дробная доля числа N/2 для N ? Z+ .
Лемма 1. . Для всех j = 1, . . . , n + 1 справедливо представление
aj = 2?7 (1 + 3i)j?1 (1 + 2i)j?1 (3 + 2i)j?1 (2 + i)j?1 · Aj ,
где Aj ? K.
(10)
10
В. А. АНДОСЕНКО
Доказательство. Обозначим
1 dk
Dk (f (x)) =
· k (f (x)) ,
k! dx
x=0
k ? 0.
(11)
По ормуле диеренцирования Лейбница
Dk (u1 · . . . · ur ) =
X
k1 +...+kr =k
Dk1 (u1 ) · . . . · Dkr (ur )
и учитывая, что
aj =
получаем
dn+1?j
1
· n+1?j R(x) · xn+1 ,
(n + 1 ? j)! dx
x=0
aj = Dn+1?j R(x)xn+1 =
n
X
k=n+1?j
Dk1 (x ? 2 ? 2i)6n Dk2 (x ? 2 ? 3i)n Ч
Ч Dk3 (x ? 2 ? i) Dk4 (x ? 1 ? 2i)n Dk5 (x ? 3 ? 2i)n Ч
Ч Dk6 (4 + 4i ? x)?n?1 Dk7 (4 + ix)?n?1 Dk8 (4i ? ix)?n?1 ,
где k1 ? 6n; kj ? n; j = 2, . . . , 8.
авенство (11)можно записать в виде
X
aj =
?(k)A(k)B(k)C(k),
(12)
(13)
k=n+1?j
где
A(k) = (2 + 3i)n?k2 (2 + i)n?k3 (1 + 2i)n?k4 (3 + 2i)n?k5 ,
B(k) = 26n?k1 2?2n?2k6 ?2 2?2n?2k7 ?2 2?2n?2k8 ?2 (1 + i)6n?k1 (1 + i)?n?1?k6 ,
C(k) = (?1)7n?(k1 +...+k8 ) (i)?n?k7 ?1 .
(14)
(15)
(16)
Очевидно, что для k ? N
(1 + i)2k = 2k ik , (1 + i)2k+1 = 2k ik (1 + i) = 20.5(2k+1)?0.5 ik (1 + i),
то есть
Поэтому,
(1 + i)N = 20.5N ??N ?N , ?N ? K.
B(m?) = 2?k1 ?2k6 ?2k7 ?2k8 ?6 22.5n?0.5(k1 +k6 +1)??k1 +k6 ?1 .
Так как ?2.5k6 ? 1.5k1 ? 2k7 ? 2k8 ? ?2.5(k1 + k6 + k7 + k8 ), то
A = 2.5n ? 1.5k1 ? 2.5k6 ? 2k7 ? 2k8 ? 6.5 ? ?k1 +k6 +1 ? ?6.5 ? ?k1 +k6 +1 .
(17)
ОЦЕНКА МЕЫ ИАЦИОНАЛЬНОСТИ ЗНАЧЕНИЙ ...
11
Коэициенты ?(k) ? Z имееют вид
?(k) =
5
6n · . . . · (6n ? k1 + 1) Y n(n ? 1) · . . . · (n ? km + 1)
Ч
k1 !
k
!
m
m=2
8
Y
(n + 1) · . . . · (n + km )
Ч
km !
m=6
Из (12)(18) следует искомое представление (10).
Лемма доказана.
Вычислим знаменатель Qn рациональных чисел a1 ,
линейной орме ?n Qn применим следующую лемму:
r1 ,
(18)
r2 и к полученной
Лемма 2. . Пусть ? ? R, ? иррационально, ?n = qn ? ? pn , qn , pn ? Z;
lim sup
n??
Тогда µ(?) ? 1 +
1
1
log |?n | ? ??, lim sup log |qn | = ?.
n??
n
n
(19)
?
.
?
Доказательство. См. замечание 2.1 работы [6?.
В лемме 3 вычислим знаменатель Qn ? N рациональных чисел a1 , r1 , r2 .
Обозначим
Y
Y
Y
log 6n
?1 =
p[ log p ] ,
?2 =
p,
?3 =
p,
?
2?p? 6n
?p?3(mod4)
6n<p?6n?4
?p?1(mod4)
6n<p?6n?4
где p простое число.
Лемма 3. . Пусть Qn = 27 ?1 ?2 ?3 . Тогда справедливо представление вида
4
13
+ 2 arctg
+ B, где A, B ? Z.
Qn I = A · log
5
7
Доказательство.
1) По лемме 1 при j = 1 имеем
a1 = 2?7 A1 , где A1 ? K.
Поэтому
Qn a1 = A1 · ?1 ?2 ?3 ? K.
2) Покажем, что Qn r2 ? K.
Из (7) имеем
n+1
X
aj
1
1
1
1
r2 =
?
+
?
.
j ? 1 (3 + 2i)j?1 (1 + 2i)j?1 i(2 + 3i)j?1 i(i + 2)j?1
j=2
(20)
12
В. А. АНДОСЕНКО
Так как все
?1 ?2 ?3
? N, то по лемме 1
j?1
(21)
Qn r2 ? K.
3) Покажем, что Qn r1 ? K.
Из (4) имеем
1
(6n?4)
4
P6n?4 (x) =
X
?=1
Тогда по ормуле (6)
3+2i
Z 1 (6n?4)
4
r1 =
2+2i
X
?=1
b? (x ? 2 ? 2i)4? , b? ? K
1
(6n?4)
4
b? (x ? 2 ? 2i)4? dx =
X
?=1
4+2i
b?
4?+1 (x ? 2 ? 2i)
=
4? + 1
4?2i
1
(6n?4)
4
=
X
?=1
Так как все
?1 ?2 ?3
? N, то
4? + 1
b?
.
4? + 1
Qn r1 ? K.
(22)
Из (20)(22) следует, что лемма доказана.
Для линейной ормы Qn ?n и леммы 2, 3) вычислим ? и ? , тем самым завершим
доказательство теоремы 1.
ассмотрим ункцию
f (x) =
(x ? 2 ? 2i)6 (x ? 2 ? 3i)(x ? 2 ? i)(x ? 1 ? 2i)(x ? 3 ? 2i)
.
x(4 + 4i ? x)(4 + xi)(4i ? ix)
(23)
Далее действуем так, как в работе М. Хата [6?. Точки перевала нули ункции
f ? (x), отличные от нулей ункции f (x). Используя симметрию, сделаем в (23)
замену переменной t = x ? 2 ? 2i. Получим
g(t) =
(1 ? t)t1.5
64 + t
Найдем корни уравнения g ? (t) = 0, отличные от корней g(t). Имеем
или
1.5
1
1
+
?
= 0,
t
t ? 1 64 + t
1.5t2 ? 159.5t ? 96 = 0.
(24)
ОЦЕНКА МЕЫ ИАЦИОНАЛЬНОСТИ ЗНАЧЕНИЙ ...
13
Корни уравнения (24):
t1 = 0.598512 . . . , t2 = ?106.931833 . . . .
Согласно метода перевала имеем
1
log |a1 | = log |g(t2 )| = 6.531 . . . .
n?? n
lim
1
1
1
Ввиду того, что lim log ?1 = 0, lim log ?2 = 1, lim log ?3 = 3,
n?? n
n?? n
n?? n
1
имеем lim log Qn = 4.
n?? n
Поэтому
1
log |Qn a1 | = 4 + 6.531 . . . = 10.531 . . . .
n?? n
? = lim
1
log |I| = log |g(t1 )| = ?5.4997 . . . .
n?? n
lim
Поэтому
1
? = ? lim log Qn + log |g(t1 |
n?? n
= ?(4 ? 5.4997 . . .) = 1.4997 . . . .
По лемме 2 для линейной ормы Qn ?n имеем
µ(log
13
4
?
10.531
+ 2 arctan ) ? 1 + = 1 +
= 7.448 . . . ,
5
7
?
1.5
и требуемая оценка доказана.
Отметим, что впервые метод симметризованного интеграла был применен
В. Х. Салиховым [1? для получения оценки меры иррациональности числа log 3,
а затем и его учениками Е. С. Золотухиной [3? и Е. Б. Томашевской [4?.
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю
В. Х. Салихову за интересную тему, многочисленные советы и помощь в работе.
СПИСОК ЦИТИОВАННОЙ ЛИТЕАТУЫ
[1? Салихов В. Х. О мере иррациональности log 3 // ДАН Ф 2007. Т. 417, ќ6,
С. 1-3,2007.
[2? Салихов В. Х. О мере иррациональности числа ? // Математические заметки. (в печати).
[3? Сальникова Е. С. Диоантовы приближения log 2 и других логаримов //
Математические заметки. 2008. Том 83. ќ 3. С. 428-438.
14
В. А. АНДОСЕНКО
[4? Томашевская
Е. Б. О диоантовых приближениях числа ? числами из поля
?
Q( 3) // Математические заметки. 2008. Том 83. ќ 6. С. 912-922.
[5? Hata M. Irrationality measures of the values of hypergeometri funtions //
Ata Arith . LX. 1992. P. 335-347.
[6? Hata M. Rational approximations to ? and some other numbers // Ata Arith .
63. 1993. no. 4 P. 335-349.
[7? Heimonen A., Matala-Aho T., V
a
an
anen K. On irrationality measures of the
values of Gauss hypergeometri funtion // Manusripta Math. 1993. Vol. 81.
ќ 1. P. 183-202.
Брянский государственный технический университет
Получено 15.05.2010
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
388 Кб
Теги
оценки, иррациональности, меры, функции, гипергеометрической, значение, гаусса
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа