close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Поведение решений уравнения Гаусса-Бибербаха-Радемахера на плоскости.

код для вставкиСкачать
ISSN 2074-1863
Уфимский математический журнал. Том 6. № 3 (2014). С. 88-97.
УДК 517.956
ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ
ГАУССА-БИБЕРБАХА-РАДЕМАХЕРА НА ПЛОСКОСТИ
А.B. НЕКЛЮДОВ
Аннотация. В работе изучена асимптотика решений уравнения Гаусса-БибербахаРадемахера ∆ =  в области, внешней по отношению к кругу на плоскости. Установлено, что главный член асимптотики является логарифмической функцией, убывающей к −∞. Найдены также вторые члены асимптотики при различных значениях
коэффициента в главной части.
Ключевые слова: полулинейное эллиптическое уравнение, уравнение ГауссаБибербаха-Радемахера, асимптотическое поведение решений.
Mathematics Subject Classification: 35J15, 35J61, 35J91
1.
Введение
Уравнение
∆ =  ,
(1)
возникает как модельное в задачах дифференциальной геометрии в связи с вопросом существования поверхностей отрицательной гауссовой кривизны [1], теории автоморфных
функций [2], при изучении равновесия заряженного газа [3]. Вопросы существования решений уравнений вида (1) в неограниченных областях, в частности глобальных решений,
рассматривались в работах [1], [4]–[8]. В частности хорошо известно [1], что глобальных
решений уравнения (1) не существует при любом числе независимых переменных , а
при  ≥ 3 не существует решений, определенных во внешности ограниченной области [8].
Поведение на бесконечности решений полулинейных эллиптических уравнений с экспоненциальной нелинейностью рассматривалось ранее в основном в цилиндрических областях [9]–[13]. В настоящей работе рассматривается асимптотическое поведение решений
двумерного уравнения (1), определенных во внешности круга. Используется метод энергетических оценок типа принципа Сен-Венана [14]–[17], а также метод усреднения.
Рассмотрим уравнение (1) в двумерной области  = { : || > 0 } ⊂ R2 , где  = (1 , 2 ),
∆ — двумерный оператор Лапласа. Будем считать, что  ∈  2 ().
Введем следующие обозначения. Среднее значение функции () на окружности
 = { : || = }:
∫︁
1
() =
 ,
2 
"поток тепла"функции () через  :
∫︁
 (, ) =


 = 2′ (),

(2)
A.V. Neklyudov, Behavior of solutions to Gauss-Bieberbach-Rademacher equation on plane.
c Неклюдов А.В. 2014.
○
Поступила 28 марта 2014 г.
88
ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГАУССА-БИБЕРБАХА-РАДЕМАХЕРА . . .
89
где  — единичная внешняя нормаль к  . Пусть (, ) = { :  < || < }, 0 < 0 ≤  < .
Очевидно, что для решения () уравнения (1) в  имеем
∫︁
 (, ) =  (, ) +
 .
(3)
(,)
Будем также использовать обозначение ∇ ≡ grad . Для условия  / → 1 при некотором
стремлении аргумента функций  и  будем использовать стандатное обозначение:  ∼ 
при данном стремлении.
2.
Основные результаты.
Теорема 1. Пусть () - решение уравнения (1) в . Тогда справедливы следующие
утверждения:
∫︁
  < ∞;

 (, ) → 2,
() ∼  ln ,  → ∞,
Доказательство. Из (2) и (3) получим
∫︁
′
 (, ) = 2 () =  (0 , ) +
 = const ≤ −2.
 .
(4)
(0 ,)
Покажем, что правая часть равенства (4) отрицательна для всех  > 0 . Предположим,
что это не так, тогда при  > 1 = const > 0 получаем
′ () > 1 > 0,
здесь и далее через  будем обозначать положительные постоянные, зависящие только от рассматриваемого решения (1) и не завиящие от , , ,  и т.п. Отсюда при
 > 2 = const > 1
() > 2 ln .
Используя интегральное неравенство Иенсена, отсюда получаем
∫︁
  ≥ 2() > 22 +1 ,

∫︁
  > 3 2 +2 ,
(0 ,)
 > 3 = const > 2 . Снова используя (4) и интегрируя, получаем
′ () > 4 2 +2 ,
() > 5 2 +2 ,  > 4 = const > 3 .
Наконец, еще раз используя (4) и неравенство Иенсена, имеем при  > 5 = const
(︂ ∫︁ 
)︂1/2
∫︁
∫︁
1
1  ()
′

()
 () ≥ 6 +
  ≥ 6 +

 >


.
2 (0 ,)
 0
0
∫︀ 
Пусть 0 ()  = (), тогда () = ln  ′ (), последнее неравенство можно записать в
виде
 ′′
>  1/2 ,
′

откуда при  > 6
 ′ > 7  3/2 .
Отсюда легко следует, что () → ∞,
 → 7 − 0 для некоторого 7 > 6 , что
невозможно для решения, определенного при || > 0 . Таким образом, полученное противоречие означает, что правая часть (4) отрицательна при всех  > 0 , отсюда немедленно
вытекает первое утверждение теоремы.
90
А.B. НЕКЛЮДОВ
Из (4) тогда следует, что
 (, ) → 2,
() ∼  ln ,  → ∞,
 = const ≤ 0.
Из неравенства Иенсена также получаем, что
∫︁ ∞
∫︁
1
()

 ≤
  < ∞,
2
0

откуда вытекает, что  ≤ −2. Теорема полностью доказана.
Лемма 1. Пусть  ∈  1 () ∩ 1 (),
)︂2
∫︁ ∞ (︂ ∫︁

| |   < ∞.
0

Тогда в  существует решение  () уравнения
∆ = ,
удовлетворяющее при  > 1 = const > 0 оценкам
∫︁
|∇ |2  ≤ 0 ln , | ()| ≤ 1 ln .
(5)
(0 ,)
При этом если  > 0 в , то  ≤ 0 в .
Если также выполнены условия
∫︁
∫︁ ∞
∫︁

||2  2  < ∞,
| |  < ∞,

0 
(,∞)
то
∫︁
|∇ |2  < ∞,
 () →  = const,
(6)
|| → ∞.

Доказательство. Для любого натурального  > 0 рассмотрим в области (0 ,  )
решение  краевой задачи
⃒
⃒
 ⃒⃒
⃒
∆ = ,
  = 0,
=  ,
0
 ⃒
где
∫︁
1
 .
 = −
2 (,∞)
Очевидно, что при  ≥  > 0
∫︁
∫︁
 (,  ) =  (,  ) −
  = −
(, )
 .
(7)
(,∞)
′
C учетом того, что 2  () =  (,  ), получаем тогда при  ≥  >> 0
⃒
⃒
⃒ ()⃒ ≤ 2 ln .
(8)
Оценим интеграл Дирихле решения  . Очевидно, что
∫︁
∫︁
∫︁
2
|∇ |  = 
  −
(9)
(0 , )

  .
(0 , )
Оценим интегралы в правой части (9). C учетом (8) имеем
⃒
⃒
∫︁
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ = 2 ⃒  ( )⃒ ≤ 3 ln .



⃒
⃒

(10)
ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГАУССА-БИБЕРБАХА-РАДЕМАХЕРА . . .
91
Так как в силу теоремы вложения для функций одной переменной и неравенства Пуанкаре
(︀ ∫︀
)︀1/2
sup | −  ()| ≤ 4 1/2  |∇ |2 
, то
⃒ ∫︁
⃒
(︂ ∫︁
)︂1/2 ∫︁
⃒
⃒
1/2
2
⃒
⃒
 ( −  ()) ⃒ ≤ 4 
|∇ | 
| |  ≤
⃒



(11)
(︂ ∫︁
)︂2
∫︁
1
≤
|∇ |2  + 5 
| |  .
2 

В силу (8) имеем
⃒
⃒
∫︁
∫︁
⃒
⃒
⃒
⃒ ()
 ⃒ ≤ 6 ln 
| | .
⃒

Из (9)–(12) получаем
∫︁
(12)

∫︁
1
|∇ |  ≤ 3 ln  +
|∇ |2 +
2
(0 , )
(0 , )
)︂2
∫︁  (︂ ∫︁
∫︁
+ 5

| |   + 6 ln 
| | .
2
1

(1 , )
Таким образом, получаем
∫︁
|∇ |2  ≤ 7 ln .
(13)
(0 , )
Оценим теперь интеграл Дирихле функции  по области (0 , ) для произвольного
 ∈ (0 ,  ):
∫︁
∫︁
∫︁

2
  .
  −
|∇ |  =
() ≡
(0 ,)
 
(0 ,)
Оценивая второе слагаемое согласно (11)-(12), получим при  ≥ 1 > 0
∫︁
∫︁
∫︁
1

2
2
|∇ |  ≤ 8 ln  +
|∇ |  +
 .
2 (0 ,)
(0 ,)
 
Используя неравенство Пуанкаре и (7), (8), отсюда получим
∫︁
∫︁

2
|∇ |  ≤ 2
  + 28 ln  =
() ≡
 
(0 ,)
∫︁
)︀
 (︀
= 2 (,  ) () + 2
 −  ()  + 28 ln  ≤
 
(︂ ∫︁
)︂
2
≤ 9 
|∇ |  + ln  = 9 ( ′ () + ln ).

Интегрируя полученное неравенство от  до  ≥ 2 , получаем с учетом (13)
(︂ )︂
∫︁ 
ln 


+ 10 
 ≤ 11 ln ,  > 0.
() ≤ ( )
+1

 
Таким образом, для любого фиксированного  > 0 последовательность  равномерно
ограничена в пространстве С.Л. Соболева 21 ((0 , )). Применяя стандартный диагональный процесс, получим последовательность  , для любого  > 0 слабо сходящуюся в 21 ((0 , )) и сильно сходящуюся в 2 ((0 , )) к некоторой функции  . Так
как  −  — гармонические функции, то сходимость функций  и их производных
является равномерной в (0 , ). Таким образом, функция  удовлетворяет уравнению
(1) и, с учетом (8), для нее выполняются оценки (5).
92
А.B. НЕКЛЮДОВ
Если  > 0 в , то из принципа максимума очевидно, что  < 0 в (0 ,  ) и  ≤ 0 в
.
Пусть для функции  также выполнены условия (6). Тогда из (6) и (7) получаем, что
∫︁ ∞
∫︁ ∞
1
| (,  )|
′
| ()|  =
 < ∞,
2 0

0
 () → 0 = const,  → ∞.
Аналогично из (7) также следует равномерная ограниченность |  ()|. C учетом этого,
проводя оценки вида (9)–(12), получим
∫︁
|∇ |2  ≤ 12 ,
(0 , )
откуда получаем конечность интеграла Дирихле по  для  .
Покажем, что в этом случае  () → 0 , || → ∞. При  > 20 согласно оценке типа
Де Джорджи [18], c.186, и неравенству Пуанкаре имеем для  ∈ 
| () −  ()|2 ≤
(︂
)︂
∫︁
∫︁
(︀
)︀2
−2
2
2
≤ 13 
 ()  ≤
 () −  ()  + 
(/2,3/2)
(/2,3/2)
)︂
(︂ ∫︁
∫︁
2 2
2
||  ()  → 0,  → ∞.
≤ 14
|∇ ()|  +
(/2,3/2)
(/2,3/2)
C учетом того, что  () → 0 ,  → ∞, получаем, что  () → 0 , || → ∞. Лемма
полностью доказана.
Лемма 2. Пусть () > 0 — невозрастающая на [0 , ∞) измеримая функция, причем
∫︁ ∞
()  < ∞.
0
Тогда
∫︁
∞
3  2 () < ∞.
0
Доказательство. Из монотонности () легко следует, что () ≤ −2 при
 > 1 = const > 0. Тогда 3  2 () ≤ (),  > 1 , откуда и следует утверждение леммы.
Лемма 3. Пусть () — решение уравнения (1) в . Тогда
∫︁
−1

  ≤ 0 ,

∫︁
∞
(︂ ∫︁

0
)︂2

 < ∞.
 

Доказательство. В силу теоремы 1 и леммы 2 достаточно доказать, что  ′ () < 0 при всех
 > 0 , где
∫︁
() = −1
 .

Имеем
∫︁

.


Предположим, что  ′ (1 ) ≥ 0 для некоторого 1 > 0 . Возьмем произвольное  > 1 . Пусть
 = (||) ≥ 0 — срезающая функция класса  2 , такая что (||) = 1 при || ≤ , (||) = 0
′
 () = 
−1

ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГАУССА-БИБЕРБАХА-РАДЕМАХЕРА . . .
93
при || ≥  + 1, (′ (||))2 ≤ 1 (||) при  ≤ || ≤  + 1, 1 = const > 0. Умножая обе части
уравнения (1) на   и интегрируя по области (1 ,  + 1), получим
∫︁
∫︁
(︀ 2
)︀
 ′
2 
′
 + |∇|    = −1  (1 ) −

  ≤
||
(1 ,+1)
(,+1)
∫︁
(︀
)︀
≤
 |∇|2  + 2 .
(,+1)
Тогда
∫︁
2
∫︁
  ≤ 2
(1 ,)
  → 0,
 → ∞,
(,+1)
что невозможно. Противоречие показывает, что  ′ () < 0 для всех  > 0 , что и доказывает
лемму.
Теорема 2. Пусть () — решение уравнения (1) в , для которого () ∼  ln ,
 = const < −2,  → ∞. Тогда
() =  ln || + 1 + (1),
|| → ∞,
1 = const.
Доказательство. Докажем сначала, что для любого  > 0 при || > 1 = 1 () справедлива оценка
() ≤ ( + ) ln ||.
Заметим, что в силу теоремы 1 и леммы 3 функция  () = () удовлетворяет условию
леммы 1, кроме, быть может, условий (6). Рассмотрим гармоническую функцию  = − ,
где  — решение уравнения ∆ =  , существование которого установлено в лемме 1.
Оценим коэффициенты Фурье по  функции  на окружности  . Так как с учетом
леммы 3 и теоремы 1
∫︁ 2
∫︁ 2
∫︁ 2
+
|(, )|  = 2
 (, )  − 2(, )) ≤ 2
(,)  + 1 ln  ≤ 2 ln 
0
0
0
+
(здесь  = max{, 0}), то, используя оценки | ()| ≤ 3 ln ,  ≤ 0 и лемму 3, получим
∫︁ 2
∫︁ 2
(︀
)︀
| (, )|  ≤
|(, )| + | (, )|  ≤ 4 ln ,  ≥ 1 = const > 0 .
0
0
Отсюда разложение  в ряд Фурье по  имеет вид
∞
∑︁
 = 0 ln  + 0 +
− ( cos  +  sin ).
=1
Тогда с учетом оценки интеграла Дирихле для  из леммы 1 получаем
∫︁
|∇|2  ≤ 4 ln .
(14)
(0 ,)
Зафиксируем  > 0, такое, что  +  < −2. При  > 2 = 2 ()
() ≤ ( + /2) ln .
В силу (14) для всех  > 22 найдется 1 ∈ (/2, ), для которого
∫︁
ln 
|∇|2  ≤ 24
.

1
Тогда, используя теорему вложения и неравенство Пуанкаре, получим при  ∈ 1 оценку
() − ( + /2) ln  < (() − (1 )) + ((1 ) − ( + /2) ln 1 ) <
(︂ ∫︁
)︂1/2
1/2
2
< 5 1
|∇| 
≤ 6 ln1/2 ,
1
94
А.B. НЕКЛЮДОВ
() ≤ ( + ) ln ,  > 3 ().
Аналогично это же неравенство выполнено при  ∈ 2 для некотогого 2 ∈ (, 3/2),
если  достаточно велико. Согласно принципу максимума это неравенство выполнено в
(1 , 2 ) и, в частности, при || = . Отсюда при || > 4 () имеем
() ≤ ( + ) ln ||.
Отсюда получаем, что () ≤ 7 ||−2− в ,  > 0. Таким образом, функция  () = ()
удовлетворяет условиям (6). Отсюда получаем, что функция  → 0 , || → ∞. Таким
образом,
() =  +  =  ln || + 1 + (1),  < −2 , || → ∞.
Теорема доказана.
Перейдем к рассмотрению случая  = −2, т.е. () ∼ −2
∫︀ ln . Очевидно, прямой аналог
теоремы 2 не имеет места, так как в силу теоремы 1    < ∞. и, следовательно,
решение не может быть представлено в виде () = −2 ln || + 1 + (1).
Лемма 4. Пусть () — решение уравнения (1) в . Тогда для функции
() = () − (||) конечен интеграл Дирихле по :
∫︁
|∇|2  < ∞.

Доказательство. В силу [19] того, что ∆((||)) = ∆(||), функция  удовлетворяет
уравнению
∆ = ℎ() ≡  −  .
Имеем
∫︁
∫︁
∫︁
∫︁


2
|∇|  = −
ℎ  +

 −

.
(15)


(0 ,)
(0 ,)

0
Для ℎ() справедлива оценка вида (11):
⃒ ∫︁
⃒
∫︁
∫︁
⃒
⃒ 1
2
⃒
ℎ ⃒⃒ ≤
|∇|  + 1
⃒
2
(0 ,)
(0 ,)

)︂2
(︂ ∫︁
|ℎ| 

0
.
(16)

В силу леммы 3
∫︁
∞
|ℎ| 

0
Из (15)–(17) получаем, что
∫︁
)︂2
(︂ ∫︁
 < ∞.
2
∫︁
|∇|  ≤ 2
(0 ,)
(17)




 + 2 .

Применяя неравенство Коши-Буняковского и учитывая, что () = 0, неравенство Пуанкаре, получим
(︂ ∫︁
)︂1/2 (︂ ∫︁
)︂1/2
∫︁
2
2
2
() ≡
|∇|  ≤ 2
 
|∇| 
+ 2 ≤
(0 ,)


∫︁
≤ 3 
|∇|2  + 2 ≡ 3  ′ () + 2 .

Отсюда получаем, что либо функция () ограничена, либо растет быстрее, чем ln .
Последнее невозможно в силу (14). Таким образом, лемма доказана.
Лемма 5. Пусть () - решение (1) в , причем () ∼ −2 ln ,  → ∞. Тогда для
любого  > 0 и для всех  ≥ 1 () справедлива оценка
() ≤ −2 ln  − 2 ln ln  + ln 2 + .
ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГАУССА-БИБЕРБАХА-РАДЕМАХЕРА . . .
95
Доказательство. Покажем сначала, что неравенство
() > −2 ln  − 2 ln ln  + ln 2 + 
(18)
не может выполняться при всех  ≥ 1 = const ≥ R0 . Предположим противное. Пусть
(18) верно для некоторого  > 0 и для всех достаточно больших . Тогда
∫︁ ∞
∫︁
∫︁ ∞
20


()
  ≥ 2

=
 ≥ 20
,
0 = const > 2.
2
ln 
(,∞)

  ln 
Отсюда, учитывая, что  (, ) → −4,  → ∞, получим, учитывая (3), при всех  > 1
)︂
(︂
∫︁
2
1
1
0

′
  ≤ − −
 () =
 (, ) =
− 4 −
,
2
2
  ln 
(,∞)
что противоречит неравенству (18). Итак, (18) не может выполняться одновременно для
всех , начиная с некоторого 1 . Это означает, что нижний предел при  → ∞ функции
() = ()+2 ln +2 ln ln −ln 2 неположителен. Для того чтобы доказать утверждение
леммы, достаточно показать, что () не имеет положительных локальных максимумов.
Если существует такая точка максимума , то
2
2
 (, )
2
2
0 =  ′ () = ′ () + +
=
+ +
.
  ln 
2
  ln 
Тогда в этой точке
(︂
)︂
2
2(1 + ln )
1
 (, )  ′ (, )
2
′′
′′
+
 () =  () − 2 −
=
−
− 2−
2
2
2

2



 ln 
∫︁
2(1 + ln )
2
2
1
2
2(1 + ln )
−
= 2+ 2
+
  − 2 −
>
2
2

 ln  2 

 ln 
2 ln2 
2
> () − 2 2 > 0.
 ln 
′′
Таким образом,  () > 0, что невозможно в точке максимума. Лемма доказана.
Лемма 6. Пусть () — решение (1) в , () ∼ −2 ln ,  → ∞. Тогда
|| → ∞.
() = (||) + (1),
Доказательство. Зафиксируем произвольное  > 20 . В силу леммы 4 для некоторого
1 ∈ (/2, ) выполнена оценка
∫︁
1
|∇|2  ≤ ,

1
где () = () − (||). Тогда
sup || ≤
1
1/2
2 1
(︂ ∫︁
2
)︂1/2
|∇| 
≤ 3 .
1
Таким образом, используя лемму 5, получим для всех  ∈ 1
() ≤ (||) + 3 ≤ −2 ln  − 2 ln ln  + 4 .
Аналогично для некоторого 2 ∈ (, 3/2) имеем при  ∈ 2
() ≤ (||) + 5 ≤ −2 ln  − 2 ln ln  + 6 .
Согласно принципу максимума для всех  ∈  получим
() ≤ −2 ln || − 2 ln ln || + 7 ,
откуда
() ≤
||2
8
,
ln2 ||
|∆| ≤
||2
9
.
ln2 ||
96
А.B. НЕКЛЮДОВ
Согласно оценке Де Джорджи и неравенству Пуанкаре получаем
(︂
)︂
∫︁
∫︁
2
−2
2
2
2
sup || ≤ 10 
  + 
(∆)  ≤

(/2,3/2)
(/2,3/2)
(︂ ∫︁
)︂
−4
2
≤ 11
|∇|  + ln  → 0,  → ∞.
(/2,3/2)
Лемма, таким образом, доказана.
Лемма 7. Пусть () — решение уравнения (1) в , для которого () ∼ −2 ln .
Тогда для любого  > 0 и для всех  ≥ 1 () справедлива оценка
() ≥ −2 ln  − 2 ln ln  + ln 2 − .
Доказательство. Проведем рассуждения, аналогичные
тем, которые использовались при
∫︀

доказательстве леммы 5. При этом интеграл    нужно оценивать не снизу, а сверху, соответственно вместо интегрального неравенства Иенсена нужно использовать малое
отклонение () от его среднего по окружности  , установленное в лемме 6.
Предположим, что для всех  ≥ 1 выполнено неравенство
() < −2 ln  − 2 ln ln  + ln 2 − .
(19)
Тогда для всех  ≥ 2 имеем () < −2 ln  − 2 ln ln  + ln 2 − /2,
∫︁
∫︁ ∞
21


  ≤ 21
=
,
1 = const < 2.
2
ln 
(,∞)
  ln 
Отсюда
1
1
 () =
 (, ) =
2
2
′
(︂
∫︁
− 4 −

 
(,∞)
)︂
≥−
2
1
−
,
  ln 
что противоречит (19). Таким образом, (19) не может выполняться для всех  ≥ 1 . Аналогично доказательству леммы 5 покажем, что функция () = ()+2 ln +2 ln ln −ln 2
не может иметь отрицательных минимумов, равномерно отделенных сверху от нуля. Действительно, в точке такого отрицательного минимума получим при достаточно большом

∫︁
1
2
′′
 () =
  − 2 2 < 0,
2 
 ln 
что невозможно в точке минимума. Лемма доказана.
Таким образом, из теоремы 2 и лемм 5–7 немедленно вытекает следующий основной
результат работы.
Теорема 3. Любое решение уравнения (1) в  ведет себя одним из двух способов при
|| → ∞:
1) () =  ln || + 1 + (1),  = const < −2; 1 = const;
2) () = −2 ln || − 2 ln ln || + ln 2 + (1).
Примерами решений уравнения (1), ведущих себя во внешности круга соответственно
(︀
)︀
первым и вторым из указанных способов, являются решения  = − ln ||−2 ln ||−1 +ln 2
и  = −2 ln || − 2 ln ln || + ln 2 соответственно.
В заключение отметим, что поскольку [8] уравнение (1) в многомерном ( ≥ 3) случае не
имеет решений во внешних по отношению к шару областях, то задача поиска асимптотики
решения (1) во внешних областях исчерпывается двумерным случаем.
ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ГАУССА-БИБЕРБАХА-РАДЕМАХЕРА . . .
97
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Векуа И.Н. О некоторых свойствах решений уравнения Гаусса // Труды Матем. ин-та им.
В.А. Стеклова, 1961. 64. C. 5–8.
2. L. Bieberbach ∆ =  und die automorphen Funktionen // Math. Ann. Vol. 77. 1916. P. 173–212.
3. H. Rademacher Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und Physik. Braunschweig,
Vieweg, 1935.
4. Олейник О.А. Об уравнении ∆ + () = 0 // УМН. 1978. 33. №2. C. 204–205.
5. J.N. Flavin, R.J. Knops, L.E Payne Asymptotic behavior of solutions to semi-linear elliptic equations
on the half-cylinder // Z. Angew. Math. Phys. 1992. 43. №3. P. 405–421.
6. H. Usami Note on the inequality ∆ ≥ () in R // Hiroshima Math. J. 1988 18. 1988. P. 661–
668.
7. Kuo-Shung Cheng, Chang-Shou Lin On the Conformal Gaussian Curvature Equation in R2 //
Journal of differential equations. 1998. 146. P. 226–250.
8. Неклюдов А. В. Об отсутствии глобальных решений уравнения Гаусса и решений во внешних
областях // Изв. вузов. Матем. 2014. № 1. C. 55–60.
9. Кондратьев В.А., Олейник О.А. Об асимптотике решений нелинейных эллиптических уравнений // УМН. 1993. 48. № 4. C. 184–185.
10. O.A. Oleinik Some Asymptotic Problems in the Theory of Partial Differential Equations. Lezioni
Lincee, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1996.
11. Насруллаев А.И. Об асимптотике решений задачи Неймана для уравнения ∆ −  = 0 в
полубесконечном цилиндре // УМН. 1995. 50. № 3. C. 161–162.
12. Неклюдов А.В. Поведение решений полулинейного эллиптического уравнения второго порядка вида  =  в бесконечном цилиндре // Матем. заметки. 2009. 85. № 3. C. 408–420.
13. Неклюдов А.В. Поведение решений нелинейного бигармонического уравнения в неограниченной области // Матем. заметки. 2014. 95. № 2. С. 248–256.
14. Олейник О.А., Иосифьян Г.А. О поведении на бесконечности решений эллиптических уравнений второго порядка в областях с некомпактной границей // Матем. сб. 1980. 112. № 4. C.
588–610.
15. O.A. Oleinik, G.A. Yosifian On the asymptotic behavior at infinity of solutions in linear elasticity
// Arch. Ration. Mech. Anal. 1982. 78. № 1. P. 29–53.
16. Неклюдов А.В. О задаче Неймана для дивергентных эллиптических уравнений высокого порядка в неограниченной области, близкой к цилиндру // Тр. сем. им. И. Г. Петровского. 1991.
16. C. 191–217.
17. Неклюдов А.В. О решениях третьей краевой задачи для уравнения Лапласа в полубесконечном цилиндре // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2013. № 2. C. 48–58.
18. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука. 1989. 464 c.
19. Каметака И., Олейник О.А. Об асимптотических свойствах и необходимых условиях существования решений нелинейных эллиптических уравнений второго порядка // Матем.
сб.1978.107. № 4. С. 572–600.
Алексей Владимирович Неклюдов,
Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
Рубцовская наб., д. 2/18,
г.Москва, 105005, Россия,
E-mail: nekl5@yandex.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
499 Кб
Теги
поведения, решение, уравнения, плоскости, бибербаха, гаусса, радемахера
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа