close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Построение асимптотики решения вырождающихся эллиптических уравнений при малом возмущении границы области.

код для вставкиСкачать
ББК 22.161.1
УДК 517.9; 519.6
ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПРИ МАЛОМ ВОЗМУЩЕНИИ
ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ
1
А.С.Слуцкий
Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики,
192171, Санкт-Петербург, ул. Седова, дом 55/1
Изучается асимптотика вырождающегося на границе эллиптического уравнения при малом
возмущении границы области. Способ построения асимптотики существенно зависит от величины параметра вырождения. Полученные результаты применимы к построению асимптотики решений задач теории упругостей, в частности, задачи о деформировании пластины
с острым краем.
Ключевые слова: асимптотика, пограничный слой, краевая задача, эллиптический оператор.
Потребности современной техники, связанные с созданием новых материалов сложной микроструктуры, задачами снижения веса конструкций без
потери надежности и многими другими
практическими вопросами, требуют
привлечения уточненных моделей сред
и исследования свойств решений в областях со сложной конфигурацией границы. Громоздкость соответствующих
уравнений и наличие участков границы
с большими кривизнами значительно
усложняют непосредственное вычисление решений. Однако многие такие задачи содержат малый параметр, что позволяет применять для их решения те
или иные асимптотические методы. В
настоящее время широкое распространение и важные приложения во многих
разделах механики получил асимптотический метод М. И. Вишика и Л. А.
Люстерника [1], [2]. Важными достоинствами метода являются его идейная
простота, применимость к широким
классам уравнений с частными производными с малым параметром при
старших производных. Данная работа
посвящена вопросу применения метода
М.И. Вишика–Л.А. Люстерника для
изучения асимптотики вырождающихся
эллиптических уравнений при малом
возмущении границы области.
Исследование вырождающихся
уравнений, начатое работами М.В. Келдыша [3], С.Г. Михлина [4], O.A. Олейник [5], получило значительное развитие и в настоящее время имеется обширная литература по этому вопросу
(упомянем обзоры [6], [7] и монографию [8]). Отличительной чертой краевых задач для вырождающихся уравнений является то, что их решения не наследуют свойства гладкости от правых
частей − производные решений могут
иметь особенности на линиях вырождения. Поэтому прямое приложение асимптотического метода М.И. Вишика-Л.А.
Люстерника построения глобальной
асимптотики решений эллиптических
уравнений с малым параметром при
старших производных в случае вырождающихся уравнений не приводит к успеху − удается построить только несколько первых членов асимптотики [9],
[10]. Для построения полного асимптотического разложения решения краевых
задач для вырождающихся на границе
эллиптических уравнений применяется
метод составных асимптотических разложений [11]. Слагаемые двухмасштабного асимптотического разложения определяются в двух итерационных процессах: в первом отыскивается внешнее
разложение, а во втором − пограничный
ТЕХНИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ СЕРВИСА №3(9) 2009
47
А.С. Слуцкий
слой. Для устранения особенности коэффициентов внешнего разложения
применяется процедура перераспределения невязок между предельными задачами. Та часть невязки, которая порождена функциями внешнего разложения и обуславливает появление особенности на следующем шаге итерационного процесса, компенсируется при построении пограничного слоя, а невязка,
образованная функциями пограничного
слоя и имеющая недопустимый рост на
бесконечности, компенсируется функциями внешнего разложения. Построенные таким образом коэффициенты
асимптотики имеют определенное, не
изменяющееся от шага к шагу итерационного процесса, поведение в окрестности границы или на бесконечности. Эта
процедура реализована, в частности, в
работе [12] для построения асимптотического разложения решения вырождающихся на границе эллиптических
уравнений второго порядка с быстро
осциллирующими коэффициентами.
В данной статье изучается асимптотики решения вырождающихся эллиптических уравнений при малом возмущении границы области. Рассматривается вырождающееся эллиптическое
уравнение второго порядка, у которого
все коэффициенты при старших производных содержат множитель 2 , где
− расстояние до границы области. Находится решение этого уравнения при
малом регулярном возмущении границы
области. Несмотря на то, что рассматриваемое возмущение границы регулярно, в случае 1
1 2 , для построения асимптотики приходится применять
методы теории сингулярных возмущений, поскольку оператор задачи вырождается на границе. Метод построения
асимптотики решения возмущенной задачи существенно зависит от величины
порядка вырождения
. При
12
возмущение носит регулярный характер, коэффициенты асимптотического
разложения отыскиваются в виде решения задачи Дирихле для исходного
уравнения в невозмущенной области. В
случае
1 2 в асимптотику входят
слагаемые типа пограничного слоя. При
1 пограничный слой имеет экспоненциальное
убывание,
а
при
−
степенное.
Поскольку
по12
1
рядок роста пограничного слоя при
12
1 может увеличиваться от шага
к шагу итерационного процесса, для построения полной асимптотики в этом
случае также применяется метод составных асимптотических разложений.
Пусть в области
задано уравнение
L( x, дx )и( x) : L2 ( х, дх )и( х) L0 ( х)и( х)
f ( х), х
.
(1)
Здесь
L2 ( х, дх )и ( , х)
n
i, j
д 2a
д
v ( Х )aij ( х)
дх j
1 дхi
самосопряженный вырождающийся эллиптический
оператор,
1
0, L0 g ( х) 0, − гладкая в , положительная в функция, эквивалентная расстоянию до границы
,а —
малый положительный параметр.
В малой d окрестности границы
области
введем локальные координаты y ( y1, y2 ,..., yn ) ( y , yn ), ось
48
(2)
yn направлена по внутренней нормали
к .
Введем зависящую от
область
полоса шириной
\ D , где D
, т.е. при всех х
h( s ) у границы
выполняется неравенство:
( х)
h( s ), h( s) h0 0, s
D
.
В локальных координатах ( y , yn )
граница
НИИТТС
задается
уравнением
Построение асимптотики решения вырождающихся эллиптических уравнений при малом
возмущении границы области
yn
вид:
h(s), а оператор L принимает
n
yi
i, j 1
h( y )) 2 aij ( y )
( yn
Далее указывается процедура построения асимптотического разложения
при
0 решения и задачи Дирихле
L( х, х )и( , х) f ( х), х
, (4)
.
и ( , х)
( х) х
L( х,
ynp
х
f ( х) в области
)и( х)
. При
гладкой правой части f решение и
этого уравнения (в случае
1 2 решение соответствующей задачи Дирихле)
допускает в малой окрестности
асимптотическое представление
при различных значениях параметра
0.
Полагая
0 приходим к предельному
уравнению
и( y)
g ( y ) . (3)
yj
и
q (2 2 ) ( p ,q )
( y ) s и (0) у1n 2
и M ( y),
p ,q N0 , p q (2 2 ) M
i j
(
где N0
иmJ
y i ynj )( y) CynM j , i, j
0,1,2,... .
(4) отыскивается в виде формального
ряда
Структура асимптотики решения
задачи (4) существенно зависит от величины параметра
. В случае
для
вырождающегося
в
0
1/ 2
оператора L разрешима задача Дирихле
с граничным условием на
. Асимптотическое разложение решения задачи
L( х, дх )
ijk
( х)
,
0 i
,
0 j
0k
N0 ,
i j (2 2 ) k 1 2
vijk ( х) ,
i , j ,k N 0
коэффициенты ряда (6) которого определяются из задач
( х)
i
L( m ) ( х, дх )vi
mjk
( х), ( х)
m 1
ijх
( х)
h( y / ) p
v
q (2 2 ) ( p ,q )
lms
(0)
/
( y / ) vlms
1( y )
( х),
0 j 0k
l p i ,m q j
l ,m , s , p ,q N 0
x
К слагаемым гладкого типа vijk
,
где
L( m ) х, дх
при
0,
1 / m!дm / д
jk
m
L
, х, дх
– символ Кронекера, а
слагаемые асимптотического разv
ложения (5) функции vlms .
В случае 1
1 / 2 краевое условие для оператора L не задается и выполнение соотношений (4)2 достигается
введением в асимптотическое разложение слагаемых типа пограничного слоя.
Асимптотика решения задачи (4 ) отыскивается в виде двухмасштабного ряда
i j 2 k ( 1)
vijk ( х) wijk ( y , 1 yn ) .
( p ,q )
lms
i , j ,k N0
добавляются функции типа пограничного слоя wijk , записанные в переменных
1
( y ,t) ( y ,
yn ) . Старшее слагаемое
гладкого типа v v000
Lv
находится из
f
уравнения
, а старший член
w w000 пограничного слоя из задачи
d
d
(t h( y ))2
w( y, z ) 0, t R ,
dt
dt
w y ,0
y
.
Поскольку решение задачи (8)
имеет лишь степенное (а не экспоненциальное) убывание при t
для построения младших членов ряда (7) следует воспользоваться процедурой пере-
ТЕХНИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ СЕРВИСА №3(9) 2009
49
А.С. Слуцкий
распределения невязки, подробно описанной в книге [11].
При
1 полное асимптотическое разложение решения задачи (3) как
и в случае 1 / 2
1 является двухмасштабным, однако для его построе-
ния не требуется проведения процедуры
перераспределения невязки. К слагаемым гладкого типа k vk , определяемым
из уравнений
k
L x,
x
vk x
0k f x
L
m
x,
x
vk
m
x , x
,
m 1
добавляются функции типа пограничного слоя i j 1 wij y , z , зависящие от
переменных
0
nn
a
y ,z
y h
2
y,
ший член пограничного слоя w w00 ,
определяемый из задачи
yn . Стар-
d 2w
y
y ,z
dz 2
g
0
y w y ,z
имеет не степенное, а экспоненциальное
(порядка O exp
z ,
0 ) убывание при z
. Это свойство наследуют и младшие члены wij пограничного слоя.
Литература
1. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное
вырождение и пограничный слой для линейных
дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, № 5. С.
3–122.
2. Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника–Вишика //
Успехи матем. наук. 1970. Т. 25. № 4. С. 123–
156.
3. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе
области // Доклады АН СССР. 1951. Т. 77. № 2.
С. 181–183.
4. Михлин С.Г. Вырождающиеся эллиптические
уравнения // Вестник ЛГУ. Сер. матем., мех.,
астр. 1954. № 8. С. 69–77.
5. Олейник О.А. О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристиче-
0, z  , w y ,0
y
ской формой // Матем. сборник. 1966. Т. 69. №
3. С. 111–140.
6. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Итоги науки, сер. Математика,
вып. Матем. анализ. 1969. С. 7–252.
7. Глушко В.П., Савченко Ю.Б. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка:
пространства, операторы, граничные задачи.
Итоги науки, сер. Математика, вып. Матем. анализ. 1985. С. 125–218.
8. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений,
вырождающихся на границе. Новосибирск: Издво НГУ, 1974.
9. Щипачев В.С. Эллиптические уравнения с
малым параметром,
вырождающиеся на границе области // Вестник
МГУ. Сер. матем., мех. 1970. №6. С. 58–66.
10. Mayer S. Zur Theorie der enterteten Gleichungen mit kleinem Parameter
leiden höchsten Ablaitungen // Wiss. z. Techn.
Nachsch. Karl-Marx Stadt. 1979. Bd. 21. №7. S.
865–871.
11. Maz'ya V., Nazarov S., Plamenevskij B.
Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains. Basel:
Birkhäuser Verlag. 2000.
12. Назаров С.А., Слуцкий А.С. Степенные пограничные слои в задаче осреднения скалярного
уравнения, вырождающегося на границе // Проблемы математического анализа. 2001. № 23. С.
94–146.
Слуцкий А.С., доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшая математика» СПб ГУСЭ, e-mail:kaf_vm@mail.ru
50
НИИТТС
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа