close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Решение прямой и обратной задач группового анализа для систем автономных уравнений второго порядка.

код для вставкиСкачать
МАТЕМАТИКА
5. Clifford A. H. Partially ordered abelian groups // Ann. of Math. 1941. V. 41. P. 280–284.
6. Flachsmegyer J. Dedekind — McNeill extensions of Boolean algebras and vector lattices // Gen. Topol. Applic. 1978. V. 8. P. 63–66.
7. Papangelou F. Order convergence and topological completion of commutative lattice
groups // Math. Ann. 1964. V. 155.P. 81–107.
8. Woods R. G. A survey of absolutes of topological spaces // Topol. Structures. Part 2.
Math. Centre Tracts. 1979. V. 116. P. 323–362.
REFERENCES
1. Koldunov A. V., Zaharov V. K. Sekvencial'nyj absoljut i ego harakterizacii: Dokl. AN
SSSR. 1980. T. 253. S. 278–284.
2. Koldunov A. V. Obobwjonnye dedekindovy popolnenija uporjadochennyh mnozhestv,
grupp i vektornyh reshjotok: Dokl. AN SSSR. 1989. T. 308. S. 1297–1301.
3. Koldunov A. V. o I -absoljuty i integriruemye po Rimanu funkcii. Sib. mat. zhurn. 1987.
T. 28. № 5. S. 70–77.
4. Koldunov A. V., Zaharov V. K. Characterization of the σ -cover of a compact // Math.
Nach. 1982. V. 108. P. 7–16.
5. Clifford A. H. Partially ordered abelian groups // Ann. of Math. 1941. V. 41. P. 280–284.
6. Flachsmegyer J. Dedekind — McNeill extensions of Boolean algebras and vector lattices // Gen. Topol. Applic. 1978. V. 8. P. 63–66
7. Papangelou F. Order convergence and topological completion of commutative lattice
groups // Math. Ann. 1964. V. 155. P. 81–107.
8. Woods R. G. A survey of absolutes of topological spaces // Topol. structures. Part 2;
Math. Centre Tracts. 1979. V. 116. P. 323–362.
В. Ф. Зайцев, К. В. Павлюков
РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ЗАДАЧ ГРУППОВОГО АНАЛИЗА
ДЛЯ СИСТЕМ АВТОНОМНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Рассматривается разрешимость прямой и обратной задач группового
анализа для некоторых видов систем двух обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка. Найдены широкие классы систем такого вида,
допускающих операторы группы Ли точечных преобразований. Доказано, что
исследование подобных систем сводится к рассмотрению систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, причём первое уравнение является уравнением Абеля второго рода и может решаться независимо от второго уравнения.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, групповой анализ, обратная задача.
V. Zaitsev, K. Pavlukov
ON THE RIGHT AND INVERSE PROBLEMS OF GROUP ANALYSIS
OF THE AUTONOMOUS SYSTEMS
OF ORDINARY SECOND-ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS
The solvability of the right and inverse problem of group analysis for some
systems of two ordinary second-order differential equations is discussed. Large
classes of such systems that allow a Lie group operators have been found. It has
18
Решение прямой и обратной задач группового анализа…
been proved that the studies of such systems are reduced to studies of the systems of
two ordinary first-order differential equations, where the first equation is the Abel
2nd kind equation and it is solved independently of the second equation of the system.
Keywords: differential equation, group analysis, inverse problem.
В работе рассматривается решение прямой и обратной задач группового
анализа для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
⎧ y ′′ = F ( y, z ),
⎨
⎩ z ′′ = G ( y, z ),
(1)
допускающей оператор группы Ли точечных преобразований
X = ξ ( x, y , z ) ∂ x + η ( x , y , z ) ∂ y + ζ ( x , y , z ) ∂ z .
(2)
Классический алгоритм группового анализа даёт для системы (1) координаты оператора (2) в виде:
ξ ( x, y , z ) = 2 a ,
(3)
η ( x, y , z ) = ( a′ + α ) y + β z + b ,
ζ ( x, y, z ) = (a′ + γ ) z + δy + c ,
(4)
(5)
, δ ─
где a = a ( x) , b = b( x ) , c = c ( x) ─ произвольные функции, α , β , γ
произвольные постоянные, и при этом выполняются условия
a′′′y + b′′ + ( α − 3a′ )F + β G − (( α + a′ )y + β z + b ) Fy′ − (( γ + a′ )y + δz + c ) Fz′ = 0 , (6)
a′′′z + c′′ + ( γ − 3a′ )G + δF − (( α + a′ )y + β z + b ) G′y − (( γ + a′ )y + δz + c ) Gz′ = 0 . (7)
Так как функции F , G не зависят от переменной x , то, очевидно, свободные члены, коэффициенты при F и G и их производных в обоих уравнениях не должны зависеть от x . Тогда получаем, что a′ = const , b = c = 0 и
уравнения (6), (7) упрощаются:
(α − 3a′) F + βG − ((α + a′) y + βz )Fy′ − ((γ + a′) y + δz )Fz′ = 0 ,
(8)
(γ − 3a′)G + δF − ((α + a′) y + β z )G′y − ((γ + a′) y + δz )Gz′ = 0 .
(9)
ϕ ~
ϕ ~
Подстановкой F = e F , G = e G , где ϕ1 = ϕ1 ( y, z ) , ϕ 2 = ϕ 2 ( y, z )
1
2
уравнения (8), (9) приводятся к виду:
~
~
~
~
~
~
βeϕ −ϕ G − ((α + a′) y + βz )Fy′ − ((γ + a′) z + δy )Fz′ = 0 ,
(10)
δeϕ −ϕ F − ((α + a′) y + βz )G′y − ((γ + a′) z + δy )Gz′ = 0
(11)
2
1
1
2
с условиями
α − 3a′ − ((α + a′) y + βz )ϕ1′y − ((γ + a′) z + δy )ϕ1′z = 0 ,
(12)
γ − 3a′ − ((α + a′) y + βz )ϕ 2′ y − ((γ + a′) z + δy )ϕ 2′ z = 0 .
(13)
Чтобы найти ϕ1 из уравнения (12), рассмотрим соответствующее характе-
ристическое уравнение
dϕ1
dy
dz
.
=
=
α − 3a′ (α + a′) y + β z ( γ + a′) z + δy
19
(14)
МАТЕМАТИКА
Из равенства двух последних отношений можно попытаться найти зависимость, например, z = z ( y ) . При этом получим ОДУ 1-го порядка
dz ( γ + a′ )z + δy
=
,
(15)
dy ( α + a′ )y + βz
при решении которого возникает несколько следующих частных случаев.
Случай, когда β = 0 , a′ + α = 0 (знаменатель правой части уравнения
(15) равен нулю), подробно рассмотрен в работе [1]. Очевидно, что оператор
X 1 = ∂ x допускается любой автономной системой, а в данном конкретном
случае дополнительный оператор X 2 с координатами
ξ = 2c1 , η = 0 , ζ = (c1 + γ ) z + δy ,
допускается системой
−4c1
⎧
c
′′
y
(
c
)z
y
=
+
γ
+
δ
1 +γ Φ ( y ),
1
⎪⎪
−4 c1
γ−3c1
⎨
δ
⎪ z ′′ = −
( c1 + γ )z + δy c1 +γ Φ ( y ) + ( c1 + γ )z + δy c1 +γ ϕ( y ).
c1 + γ
⎪⎩
где Φ ( y ) , ϕ( y ) — произвольные функции, c1 ,
(16)
δ , γ — произвольные посто-
янные. Система (16) в инвариантах оператора X 2 имеет вид
− 4c1
⎧ ⎛ dY
⎞
⎪Y ⎜ dX − 1⎟ = [(c1 + γ )τ ]c1 + γ Φ ( X ),
⎠
⎪ ⎝
⎨
γ − 3c
⎪Y dZ + γ − c1 Z = [(c + γ )τ ] c + γ1 ϕ ( X ),
1
1
⎪⎩ dX
2c1
где величина τ не является дифференциальной переменной и может рассматриваться как параметр, ϕ ( X ) , Φ ( X ) — произвольные функции.
Это — система двух уравнений первого порядка относительно Y = Y ( X )
и Z = Z ( X ) , причём первое уравнение является уравнением Абеля второго
рода и может решаться независимо от второго [так как не содержит
Z = Z ( X ) ], а второе — линейное относительно Z = Z ( X ) и всегда решается
в квадратурах, если найдена функция Y = Y ( X ) .
Рассмотрим теперь случай, когда
новится линейным неоднородным
β = 0 , a′ + α ≠ 0 . Тогда ОДУ (15) ста-
δ
dz
a′ + γ
=
z+
dy (a′ + α ) y
a′ + α
(17)
и в зависимости от a′ , β , γ существуют три решения этого уравнения.
Пусть β = 0 , a′ + α ≠ 0 , a′ + γ ≠ 0 , α ≠ γ . Тогда ОДУ (15) имеет общее решение
z ( y ) = I1
a′+γ
y a ′ +α
20
+
δ
α −γ
y.
(18)
Решение прямой и обратной задач группового анализа…
Отсюда
I1 =
δ
γ −α
α −γ
y a ′ +α
+ zy
−
a′+γ
a ′ +α
.
В рассматриваемом случае уравнение (14) имеет вид
dϕ1
dy
dz
=
=
.
α − 3a′ (a′ + α ) y (a′ + γ ) z + δy
Отсюда из первых двух отношений находим
α − 3a′
ϕ1 =
ln y +
a′ + α
α −γ
a′+γ
⎛ δ
−
⎜
′
f1
y a +α + zy a ′ +α
⎜γ −α
⎝
⎞
⎟,
⎟
⎠
где f1 — произвольная функция своего аргумента. Аналогичным образом находим общее решение уравнения (13)
α−γ
a′+γ
⎛ δ
⎞
−
α − 3a′
′
ln y + f 2 ⎜
y a +α + zy a′+α ⎟ ,
ϕ2 =
⎜ γ−α
⎟
a′ + α
⎝
⎠
где f 2 — произвольная функция своего аргумента. В рассматриваемом случае
уравнение (10) имеет вид
~
~
(a′ + α ) yFy′ + ((a′ + γ ) z + δy ) Fz′ = 0 ,
его общее решение
α −γ
a′ + γ
−
⎞
⎛ δ
~
F = Φ⎜
y a′+α + zy a′+α ⎟ ,
⎝ γ −α
⎠
где Φ — произвольная функция своего аргумента. Отсюда находим F ( y , z ) :
α − 3 a′
~
F = e F = y a′+α e f Φ .
ϕ1
1
Решение уравнения с частными производными (11), которое в рассматриваемом случае имеет вид
~
~
~
δeϕ −ϕ F − (α + a′) yG′y − ((γ + a′) z + δy )Gz′ = 0 ,
1
2
сводится к решению характеристического уравнения
~
dG
dy
dz
.
=
=
ϕ −ϕ ~
δe F (α + a′) y + βz (γ + a′) z + δz
1
2
Два последних отношения уравнения дают известную зависимость
z = z( y) .
(19)
(18).
~
Для дальнейшего решения (19) нужно подставить z = z ( y ) в F , ϕ1 , ϕ 2 .
α − 3a′
γ − 3a′
~
Получаем F = Φ ( I1 ) , ϕ1 =
ln y + f1 (I1 ) , ϕ 2 =
ln y + f 2 (I1 ) .
a′ + α
a′ + α
~
Из первых двух отношений (19) находим G :
21
МАТЕМАТИКА
~
G ( y) =
α −γ
δ
δ
1 ϕ1 −ϕ 2
e
Φ( I1 )dy + I 3 =
e f1 ( I1 ) − f 2 ( I1 ) Φ ( I1 ) y a ′ +α + I 2 ,
∫
α −γ
a′ + α y
где I 2 — произвольная постоянная. Общим решением уравнения (19) будет
~
G ( y) =
δ
α −γ
e
f1 ( I1 ) − f 2 ( I1 )
Φ ( I1 ) y
α −γ
a′+α
a ′ +γ
α −γ
−
⎛ δ
⎞
a′+α
a′+α
y + zy
+ ϕ⎜
⎟,
α
γ
−
⎝
⎠
ϕ — произвольная функция своего аргумента. Теперь можно найти G :
α −3 a′
γ −3 a ′
δ
f
f
ϕ ~
a′+α
G=e G=
e Φy
+ ϕe y a′+α ,
α −γ
где ϕ , Φ , f1 , f 2 — произвольные функции. Аргументом этих функций являa ′ +γ
α −γ
−
δ
a′+α
a′+α
y + zy
.
ется выражение
γ −α
Таким образом, получаем оператор X 2 с координатами
ξ = 2(c1 x + c0 ) , η = (c1 + α ) y , ζ = (a′ + γ ) z + δy
(оператор X 1 = ∂ x допускается любой автономной системой), который допусгде
2
1
2
кается системой
α − 3c1
⎧
⎪ F = y c1 +α e f1 ( I1 ) Φ ( I1 ),
⎪
(20)
⎨
α − 3c1
γ − 3c1
δ
⎪
c1 +α f1 ( I1 )
e
Φ ( I1 ) + ϕ ( I1 )e f 2 y c1 +α
⎪G = α − γ y
⎩
с условиями c1 + α ≠ 0 , c1 + γ ≠ 0 , α ≠ γ (где c1 , c0 , δ , γ — произвольные
постоянные). Так как Φ и f1 — произвольные функции одного и того же арf ( I1 )
гумента, можно переобозначить e 1
принимает вид:
α − 3c1 ⎛
c +γ ⎞
α −γ
⎧
− 1
δ
⎜
⎟
α
c
c
α
c
+
+
⎪ y′′ = y 1 Φ
y 1 + zy 1 +α ⎟,
⎜
⎪
⎜ γ −α
⎟
⎪
⎠
⎝
⎨
α − 3c1 ⎛
c +γ
α −γ
− 1
⎪
δ
δ
⎜
c1 +α
c1 +α
c1 +α
⎪ z′′ =
y
y
Φ⎜
+ zy
α −γ
⎜ γ −α
⎪
⎝
⎩
Φ ( I1 ) → Φ ( I1 ) . Тогда система (20)
(21)
c +γ
α −γ
⎞ ⎛
− 1
⎟ ⎜ δ
c1 +α
c1 +α
+ zy
⎟⎟ + ϕ ⎜⎜ γ − α y
⎠ ⎝
γ − 3c1
⎞
⎟ f 2 c1 +α
.
⎟⎟e y
⎠
Продолженный на переменные y′ , z ′ , y′′ , z ′′ , этот оператор X 2 имеет
вид
22
Решение прямой и обратной задач группового анализа…
X 2 = 2c1 x∂ x + (с1 + α ) y∂ y + ((c1 + γ ) z + δy )∂ z +
+ (α − c1 ) y′∂ y ′ + ((γ − c1 ) z ′ + δy′)∂ z ′ +
+ (α − 3c1 ) y′′∂ y ′′ + ((γ − 3c1 ) z ′′ + δy′′)∂ z ′′ .
Запишем полученную систему в инвариантах оператора X 2 . Из характеристического уравнения
dx
dy
dz
dy′
dz ′
=
=
=
=
2c1 x (c1 + α) y (c1 + γ ) z + δy (α − c1 ) y′ ( γ − c1 ) z ′ + δy′
находим независимые инварианты оператора X 2
X = yx
−
c1 +α
2c1
,τ =x
−
c1 +α
2 c1
⎛
⎞
δ
y⎟
⎜z −
⎝ α −γ ⎠
и дифференциальные инварианты первого порядка
Y = y′x
c1 −α
2c1
, Z=x
c1 −γ
2 c1
⎛
⎞
δ
y′ ⎟ .
⎜ z′ −
α −γ ⎠
⎝
Переменные y′′ и z ′′ выражаются соответственно из производных
dY
и
dX
dZ
. Записав систему (21) в новых переменных Y = Y ( X ) , Z = Z ( X ) (велиdX
чина τ не является дифференциальной переменной и может рассматриваться
как параметр), получим
α − 3c1
γ + c1
⎧
−
⎛
⎞
α
α
+
−
dY
c
c
⎪⎜ Y − 1
− 1
Y = X α + c1 Φ (τX α + c1 ),
X ⎟⎟
⎜
⎪⎪⎝
2c1
2c1
⎠ dX
⎨
γ − 3c1
γ + c1
−
⎪⎛
c1 + α ⎞ dZ c1 − γ
α + c1
α + c1
Y=X
ϕ (τX
),
−
X ⎟⎟
⎪⎜⎜ Y −
2c1
dX
2
c
⎪⎩⎝
⎠
1
где
ϕ , Φ — произвольные функции аргумента τX
−
γ + c1
α + c1
.
Пусть теперь в уравнении (17) β = 0 , a′ + α ≠ 0 , a′ + γ ≠ 0 ,
гда ОДУ (17) (и соответственно (15)) имеет общее решение
z ( y ) = I1 y +
Отсюда
I1 =
δ
α −γ
y ln y .
δ
z
−
ln y .
y a′ + α
Из первых двух отношений (14) находим
23
α = γ . То-
МАТЕМАТИКА
ϕ1 =
α − 3a′
ln y +
a′ + α
⎛z
⎞
δ
ln y ⎟⎟ ,
f1 ⎜⎜ −
⎝ y a′ + α
⎠
где f1 — произвольная функция своего аргумента. Аналогичным образом находим общее решение уравнения (13)
ϕ2 =
⎛z
⎞
γ − 3a′
δ
ln y + f 2 ⎜⎜ −
ln y ⎟⎟ ,
a′ + α
⎝ y a′ + α
⎠
где f 2 — произвольная функция своего аргумента. В рассматриваемом случае
уравнение (10) имеет вид
~
~
(a′ + α ) yFy′ + ((a′ + γ ) z + δy ) Fz′ = 0 .
Его общее решение
⎞
⎛z
δ
~
F = Φ ( I1 ) = Φ⎜⎜ −
ln y ⎟⎟ ,
⎠
⎝ y a′ + α
Φ — произвольная функция своего аргумента. Отсюда находим F ( y, z ) :
α − 3a ′
~
F = e F = y a ′ + α e f1 Φ .
ϕ1
~
Из УЧП (11) находим G :
~
G ( y) =
где
a′ + α
e f1 ( I1 ) − f 2 ( I1 )Φ ( I1 ) ln y + ϕ (I1 ) ,
ϕ — произвольная функция своего аргумента. Теперь можно найти G :
~
G=e G=
ϕ2
где
δ
δ
a′ + α
α − 3a ′
y a ′ +α e f1 Φ ln
y + ϕe
f2
α − 3a ′
y a ′ +α ,
ϕ , Φ , f1 , f 2 — произвольные функции. Аргументом этих функций явля-
ется
выражение
z
δ
−
ln y .
y a′ + α
Можно
переобозначить
e f1 ( I1 ) Φ ( I1 ) → Φ ( I1 ) , e f 2 ( I1 )ϕ ( I1 ) → ϕ ( I1 ) .
Таким образом, оператор X 2 с координатами
ξ = 2c1 x , η = (c1 + α ) y , ζ = (a′ + α) z + δy
(оператор X 1 = ∂ x допускается любой автономной системой) допускается системой
α − 3c1
⎧
⎪ y′′ = y c1 +α Φ⎛⎜ z − δ ln y ⎞⎟,
⎜ y c +α
⎟
⎪⎪
⎝
⎠
1
(22)
⎨
α − 3c1
⎪
⎛z
⎞
⎛z
⎞⎞
δ
δ
c +α ⎛ δ
ln y ⎟⎟ ln y + ϕ ⎜⎜ −
ln y ⎟⎟ ⎟⎟,
Φ⎜⎜ −
⎪ z ′′ = y 1 ⎜⎜
⎪⎩
⎠
⎝ y c1 + α
⎠⎠
⎝ c1 + α ⎝ y c1 + α
24
Решение прямой и обратной задач группового анализа…
ϕ , Φ , — произвольные функции c1 , α , δ , γ — произвольные постоянные, c1 + α ≠ 0 .
где
Продолженный на переменные y′ , z ′ , y′′ , z ′′ , оператор X 2 имеет вид
X 2 = 2c1x∂ x + (с1 + α ) y∂ y + ((c1 + α ) z + δy )∂ z +
+ (α − c1 ) y′∂ y′ + ((α − c1 ) z′ + δy′)∂ z ′ +
+ (α − 3c1 ) y′′∂ y ′′ + ((α − 3c1 ) z′′ + δy′′)∂ z ′′ .
Запишем систему (22) в инвариантах оператора Х2. Из характеристического
уравнения
dx
dy
dz
dy ′
dz ′
=
=
=
=
2c1 x (c1 + α) y (c1 + α) z + δy (α − c1 ) y′ (α − c1 ) z′ + δy′
находим независимые инварианты оператора Х2
X = yx
−
c1 +α
2c1
,τ =x
−
c1 +α
2 c1
⎛
⎞
δ
⎜⎜ z −
y ln x ⎟⎟
2с1
⎝
⎠
и дифференциальные инварианты первого порядка
Y = y′x
c1 −α
2c1
, Z=x
c1 −α
2 c1
⎛
⎞
δ
⎜⎜ z ′ −
y′ ln x ⎟⎟ .
2c1
⎝
⎠
Переменные y′′ и z ′′ выражаются соответственно из производных
dY
и
dX
dZ
. Записав систему (22) в новых переменных Y = Y ( X ) , Z = Z ( X ) (велиdX
чина τ не является дифференциальной переменной и может рассматриваться
как параметр), получим
α − 3c1
⎧
⎛τ
⎞
⎛
⎞
c
dY
c
α
α
δ
−
+
⎪⎜ Y − 1
X ⎟⎟
− 1
Y = X α + c1 Φ⎜⎜ −
ln X ⎟⎟,
⎜
⎪⎝
2c1
2c1
⎝ X c1 + α
⎠
⎠ dX
⎪
c1 + α ⎞ dZ c1 − α
⎪⎛
X ⎟⎟
−
Z −Y =
⎨⎜⎜ Y −
c
2
dX
2
c
⎠
1
1
⎪⎝
⎪
γ − 3c1
⎛ δ
⎛τ
⎞⎞
⎛τ
⎞
δ
δ
⎪
= X α + c1 ⎜⎜
Φ⎜⎜ −
ln X ⎟⎟ ln X + ϕ ⎜⎜ −
ln X ⎟⎟ ⎟⎟.
⎪
⎝ X c1 + α
⎠⎠
⎠
⎝ c1 + α ⎝ X c1 + α
⎩
В более общем случае, когда
уравнения (15) является
z( y) = −
a′ + α
β
y±
1
β
β ≠ 0 , 2a′ + α + γ = 0 , общим решением
I1β 2 + y 2 ( βδ + a′2 − 2αa′ − α 2 ) ,
25
(23)
МАТЕМАТИКА
где I1 — в данном случае — произвольная постоянная и в то же время один из
двух независимых интегралов характеристического уравнения (14) в рассматриваемом случае. Из выражения (23) следует
I1 =
1
β
2
(β
)
2 2
z + 2 β (a′ + α ) yz + (2α 2 + 4αa′ − βδ ) y 2 .
(24)
Подставим (23) в два первых отношения (14) и найдём ϕ1 :
ϕ1 = ±(3a′ − α ) ∫
dy
2
2
2
2
+ I 2(1) ( I1 ) .
I1β + y ( βδ + a′ − 2αa′ − α )
Аналогичным способом находим ϕ2 :
dy
ϕ2 = n( 5a′ + 3α )∫
+ I 2( 2 ) ( I1 ) .
I1β 2 + y 2 ( βδ + a′2 − 2αa′ − α 2 )
В зависимости от знака выражения
всего два значения интеграла
Так, если I1 ≠ 0 ,
∫
βδ + a′2 − 2αa′ − α 2 существует
dy
I1β 2 + y 2 ( βδ + a′2 − 2αa′ − α 2 )
.
β δ + a′2 − 2αa′ − α 2 > 0 , то
⎞ (1)
⎛
I1β 2
2⎟
⎜
ϕ1 =
ln y +
y
+ I (I ) ,
+
⎟ 2 1
βδ + a′2 − 2αa′ − α 2
βδ + a′2 − 2αa′ − α 2 ⎜⎝
⎠
⎛
⎞ ( 2)
∓ (5a′ + α )
I1β 2
2⎟
+
ln⎜ y +
y
ϕ2 =
+ I 2 ( I1 ) ,
2
2
2
2
⎜
⎟
′
′
+
−
−
βδ
α
α
a
2
a
βδ + a′ − 2αa′ − α
⎝
⎠
(1)
(1)
где I 2 , I 2 — произвольные функции. С учётом выражения (24) полученные
± (3a′ − α )
формулы можно записать так:
⎛
βz + (α + a′) y
ln⎜ y +
βδ + a′2 − 2αa′ − α 2 ⎜⎝
βδ + a′2 − 2αa′ − α 2
⎛
βz + (α + a′) y
∓ (5a′ + α )
ϕ2 =
ln⎜ y +
βδ + a′2 − 2αa′ − α 2 ⎜⎝
βδ + a′2 − 2αa′ − α 2
где f1 , f 2 — произвольные функции аргумента
1
β 2 z 2 + 2β (a′ + α ) yz + (2α 2 + 4αa′ − βδ ) y 2 .
2
± (3a′ − α )
ϕ1 =
β
(
)
Найдём разность ϕ1 − ϕ2 :
26
⎞
⎟+ f ,
⎟ 1
⎠
⎞
⎟+ f ,
⎟ 2
⎠
(25)
Решение прямой и обратной задач группового анализа…
⎛
⎞
βz + (α + a′) y
⎜
⎟+ f ,
ϕ1 − ϕ 2 =
ln y +
3
2
2
2
2 ⎟
⎜
βδ + a′ − 2αa′ − α
βδ + a′ − 2αa′ − α ⎠
⎝
где f 3 — произвольная функция аргумента (25), k = ± (8a′ + 2α ) . Обозначив
k
l=
, получим
βδ + (a′) 2 − 2αa′ − α 2
k
l
l⎞
⎛
= ⎜ y + ( β z + ( α + a′ )y ) ⎟ e f3 .
e
k⎠
⎝
Решение системы уравнений (10), (11) относительно F и G сводится [2]
ϕ1 −ϕ2
к решению системы двух линейных дифференциальных уравнений с частными
производными первого порядка от одной неизвестной функции каждое:
[( a′ + α )y + β z ] f y′ + [ −( a′ + α )z + δy ] f z′ +
⎛
β z + ( α + a′ )y
+β⎜y+
⎜
βδ + ( a′ )2 − 2αa′ − α 2
⎝
−l
⎞ −f
⎟ e 3 Gf F′ +
⎟
⎠
⎛
β z + ( α + a′ )y
+ δ⎜ y +
⎜
β δ + ( a′ )2 − 2αa′ − α 2
⎝
(26)
l
⎞
⎟ e f3 FfG′ = 0;
⎟
⎠
[(a′ + α ) y + βz ] f y′ + [− (a′ + α ) z + δy ]g ′z +
⎛
β z + (α + a′) y
+ β⎜ y +
⎜
βδ + (a′) 2 − 2αa′ − α 2
⎝
−l
⎞
~
⎟ e− f3 G
g ′F~ +
⎟
⎠
⎛
β z + (α + a′) y
+δ⎜ y +
⎜
βδ + (a′) 2 − 2αa′ − α 2
⎝
(27)
l
⎞
⎟ e f 3 F~g ′~ = 0,
G
⎟
⎠
где система
~ ~
⎧⎪ f ( y, z , F , G ) = 0,
⎨
~ ~
⎪⎩ g ( y, z , F , G ) = 0
~ ~
разрешима относительно F , G — решений системы (10), (11). Так как уравнения (26), (27) одинаковые с точностью до f и g , то решение обратной задачи
можно свести к рассмотрению одного линейного уравнения с частными производными первого порядка одной неизвестной функции. Характеристическое
уравнение для уравнения (26) имеет вид
27
МАТЕМАТИКА
~
dF
dy
dz
=
=
( a′ + α ) y + βz − (a′ + α ) z + δy
=
−l
l ⎞ − f3 ~
⎛
β ⎜ y + ( β z + ( a′ + α ) y ) ⎟ e G
k⎠
⎝
(28)
~
dG
.
=
l
l
~
⎛
⎞
δ ⎜ y + ( β z + ( a′ + α ) y ) ⎟ e f 3 F
k⎠
⎝
Первые два отношения этого характеристического уравнения дают уже
известную (23) зависимость z = z ( y ) , пользуясь которой и двумя последними
соотношениями характеристического уравнения (28), получаем систему двух
ОДУ первого порядка с двумя неизвестными:
−l
⎧
l ⎞ − f3 ~
⎛
⎪ ~ β⎜ y + A ⎟ e G
k⎠
⎪ dF = ⎝
,
⎪⎪ dy
A
⎨
l
l ⎞ f3 ~
⎪
⎛
~ δ⎜ y + A ⎟ e F
⎪ dG
k⎠
,
= ⎝
⎪
⎪⎩ dy
A
где A = ±
1
β
(29)
I1β 2 + y 2 ( βδ + a′2 − 2αa′ − α 2 ) . Решение этой системы сво-
дится к решению ОДУ второго порядка
~
d 2F
I1β + y ( βδ + a′ − 2αa′ − α )
+
dy 2
(
2
2
2
2
)
~
dF
(30)
+
+
2
2
2
2
2 dy
( yβ ± 1) I1β + y ( βδ + a′ − 2αa′ − α )
~
~
2
2 dF
+ y ( βδ + a′ − 2αa′ − α )
− β 3δF = 0.
dy
kβ ( y ± β )
Канонический вид этого уравнения достаточно сложный.
В случае, когда k = 0 , уравнение (26) принимает вид
~
~
dy
dz
dF
dG
=
=
,
~=
(a′ + α ) y + βz − (a′ + α ) z + δy βe − f 3 G δe f 3 F~
система (29)
~
⎧ dF~ β e − f 3 G
,
=
⎪
dy
A
⎪
⎨ ~
f ~
⎪ dG δe 3 F
⎪ dy = A ,
⎩
а уравнение (30)
28
Решение прямой и обратной задач группового анализа…
~
~
d 2F
dF
~
2
2
β A
+ ( βδ + a′ − 2αa′ − α ) y
− β 3δF = 0.
(31)
2
dy
dy
1
Так как k = 0 , то α = −4a′ , A = ±
I1β 2 + y 2 ( βδ − 7 a′2 ) , уравне2
2
β
ние (31) записывается в виде
~
~
d 2F
dF
2
3 ~
′
I1β + y ( βδ − 7 a′ )
a
y
+
(
βδ
−
7
)
−
β
δF = 0.
dy
dy 2
(
2
2
2
)
Полученное уравнение можно привести к канонической форме:
d u ⎛⎜ ( βδ − 7 a′2 )(3( βδ − 7 a′2 ) y 2 − I1β 2 )
β 3δ
+
−
−
du 2 ⎜⎝
I1β 2 + y 2 ( βδ − 7a′2 )
2( I1β 2 + y 2 ( βδ − 7a′2 ))3
2
⎞
( βδ − 7a′2 ) 2 y 2
⎟u = 0.
−
2
2
2 4⎟
′
4( I1β + y ( βδ − 7 a )) ⎠
Если I1 ≠ 0 ,
βδ + a′2 − 2αa′ − α 2 < 0 , то
⎛ α 2 + 2αa′ − βδ − a′2 ⎞ (1)
⎟ + I (I ) ,
ϕ1 =
arcsin⎜ y
2
2
2
⎜
⎟ 2 1
β
I
α + 2αa′ − βδ − a′
1
⎝
⎠
⎛ α 2 + 2αa′ − βδ − a′2 ⎞ ( 2)
± (5a′ + 3α )
⎟ + I (I ) ,
ϕ2 =
arcsin⎜ y
2
2
2
⎜
⎟ 2 1
I1β
α + 2αa′ − βδ − a′
⎝
⎠
(1)
( 2)
где I 2 , I 2 — произвольные функции. С учётом равенства (24) найдём разность ϕ1 − ϕ 2 :
± (3a′ − α )
⎛ α 2 + 2αa′ − a′2 − βδ ⎞
⎟ + f (I ) ,
arcsin⎜ y
ϕ1 − ϕ 2 =
2
2
2
⎜
⎟ 3 1
I1β
α + 2αa′ − a′ − βδ
⎝
⎠
где f 3 — произвольная функция аргумента (25), k = ±(8a′ + 2α) . Обозначив,
k
как и ранее, l =
, получим
βδ + (a′) 2 − 2αa′ − α 2
k
⎛
⎞
2
2
larcsin ⎜⎜ y α + 2αa′−2a′ −βδ ⎟⎟
I1β
⎜
⎟ f
⎝
⎠
eϕ1−ϕ2 = e
e 3.
Решение системы уравнений (10), (11) в рассматриваемом случае сводится к
следующей системе:
29
МАТЕМАТИКА
[( α + a′ )y + β z ] f y′ + [ −( α + a′ )z + δy ] f z′ +
+ βe
⎛
α 2 + 2 αa ′ − a ′ 2 − β δ ⎞
⎟
− larcsin ⎜ y
⎜
⎟ −f
I1β 2
⎝
⎠
3
e Gf F′ + δe
⎛
α 2 + 2 αa′− a′2 −βδ ⎞
⎟
larcsin ⎜ y
⎜
⎟
I1β 2
⎝
⎠
(32)
e f3 FfG′ = 0;
[(α + a′) y + βz ]g ′y + [− (α + a′) z + δy ]g ′z +
⎛ α 2 + 2αa ′ − a ′ 2 − βδ
− l arcsin ⎜ y
⎜
I1 β 2
⎝
+ βe
⎞
⎟
⎟ −f ~
⎠ e 3 Gg ′~
F
⎛ α 2 + 2αa ′ − a ′ 2 − βδ
l arcsin ⎜ y
⎜
I1 β 2
⎝
+ δe
⎞
⎟
⎟ f ~
⎠ e 3 Fg ′~
G
(33)
= 0.
Характеристическое уравнение для выражения (32) имеет вид
dy
dz
=
=
(a′ + α ) y + β z − (a′ + α ) z + δy
~
dF
=
2
2
⎛ α + 2αa ′ − a ′ − βδ
− l arcsin ⎜ y
⎜
I1β 2
⎝
βe
⎞
⎟
⎟ −f ~
⎠e 3 G
=
~
dG
⎛ α 2 + 2αa ′ − a ′ 2 − βδ
l arcsin ⎜ y
⎜
I1 β 2
⎝
δe
⎞
⎟
⎟ f ~
⎠e 3 F
.
Рассмотрение этого характеристического уравнения приводит к системе
двух ОДУ первого порядка с двумя неизвестными
~
⎧ dF~ β e − B e − f 3 G
=
,
⎪
A
⎪ dy
⎨ ~
B f ~
⎪ dG δe e 3 F
,
⎪ dy =
A
⎩
где A = ±
1
β
(34)
I1β 2 + y 2 ( βδ − 7 a′2 ) (то же, что и раньше),
⎛ α 2 + 2αa′ − a′2 − βδ
B = l arcsin⎜ y
⎜
I1β 2
⎝
⎞
⎟.
⎟
⎠
Решение системы (34) сводится к решению ОДУ второго порядка
~
~
~
d 2 F βδF ⎛
A′ ⎞ dF
,
=
− ⎜ B′ + ⎟
A ⎝
A ⎠ dy
dy 2
или, подробно,
~
d 2F
I1β + y ( βδ + a′ − 2αa′ − α )
+
dy 2
(
2
2
2
2
)
~
dF
~
+ β (8a′ + 2α ) + y ( βδ + a′ − 2αa′ − α )
− β 3δF = 0.
dy
Если β ≠ 0 , 2a′ + α + γ ≠ 0 , то вместо ОДУ (15) мы получаем квадратное уравнение относительно неизвестной z = z ( y ) :
(
2
30
2
)
Решение прямой и обратной задач группового анализа…
β − 2 a′ − α − γ ⎛
a′ + α
⎞
zy ⎟ =
2
β
⎠
⎛ βδ − (a′ + α )(a′ + γ ) ( β − 2a′ − α − γ )(a′ + α ) 2 ⎞
⎟,
= C ( x) + y 2 ⎜⎜
−
⎟
2β
2β 2
⎝
⎠
где C (x) — произвольная функция. Отсюда находим z = z( y ) :
⎜ z2 +
⎝
z( y ) = −
a′ + α
2 D
y±
,
β
β − 2a ′ − α − γ
где
D=
β − 2a′ − α − γ ⎛⎜
2
(
y2
+
4
C
(
x
)
4 β ( βδ − ( a′ + α )(a′ + γ )) − 3( β − 2a′ − α − γ )(a′ + α ) 2
2
⎜
2β
⎝
)⎞⎟⎟.
⎠
Таким образом, найденные симметрии позволяют понизить порядок исследуемых систем сразу на две единицы, причем одно из двух уравнений первого порядка получившейся системы оказывается независимым от другого. Поэтому если второе уравнение интегрируется (что и имеет место в ряде случаев),
то исходная система сводится к одному обыкновенному дифференциальному
уравнению первого порядка.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Зайцев В. Ф., Павлюков К. В. Решение прямой и обратной задач группового анализа для систем уравнений второго порядка // Некоторые актуальные проблемы современной
математики и математического образования: Материалы Международной конференции
«Герценовские чтения—2008». СПб.: Изд. БАН, 2008. С. 44–49.
2. Салтыков Н. Н. Исследование по теории уравнений с частными производными
первого порядка одной неизвестной функции. Харьков, 1905.
REFERENCES
1. Zajcev V. F., Pavljukov K. V. Reshenie prjamoj i obratnoj zadach gruppovogo analiza
dlja sistem uravnenij vtorogo porjadka // Nekotorye aktual'nye problemy sovremennoj matematiki
i matematicheskogo obrazovanija: Materialy Mezhdunarodnoj konferencii «Gercenovskie
chtenija—2008». SPb.: Izd. BAN, 2008. S. 44–49.
2. Saltykov N. N. Issledovanie po teorii uravnenij s chastnymi proizvodnymi pervogo
porjadka odnoj neizvestnoj funkcii. Har'kov, 1905.
31
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
351 Кб
Теги
анализа, автономное, решение, уравнения, обратное, система, групповой, задачи, порядке, второго, прямой
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа