close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Априорные оценки для одного класса дифференциальных операторов второго порядка являющихся эллиптическими в полупространстве.

код для вставкиСкачать
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
УДК 517.925.4
АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ВТОРОГО
ПОРЯДКА, ЯВЛЯЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ
В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ
Г. А. Смолкин
n
Построены специальные продолжения функций из R+ в Rn, на основе которых, а также теории псевдодифференциальных операторов доказана априорная оценка в пространствах С. Л. Соболева для рассматриваемого дифференциального оператора.
Эта оценка позволяет исследовать краевые задачи в полупространстве, на границе которого эллиптический оператор может вырождаться.
ные С1 и С2, не зависящие от x О Rn , такие,
В работе использованы общепринятые
обозначения (см., например, [1—2]). Rn — nмерное евклидово пространство точек х =
что C1 (1 + x ) Ј g ( x ) Ј C2 (1 + x ) , то попол-
= (х1, ..., хn), xў = (x2 , ..., xn ), x = (x1, ...,
нение множества функций V О C0
xn ), xў = ( x2 , ..., xn ) , i — мнимая единица
норме
С. Л. Соболева и вместо
i2 = -1 , V x , V x1, xў — преобразова-
ние Фурье функции V(x) по переменным х
и хў соответственно.
¶ j f x =
k
¶
k
k
¶x j
k
f x , Dkj = -i ¶ kj ,
В неравенствах в качестве коэффициентов будут фигурировать константы, обозначаемые буквой С с индексами.
Пусть s О R, g x — вещественная функция. Ради краткости вместо выражения
12
будем писать g
s
D V
gs D V
.
Если существуют положительные постоян-
R n
по
назовем пространством
g
s
D V
пишем
как обычно: V .
s
Введем еще ряд обозначений. Пусть
n
R+ = {x : x1 > 0} — полупространство из
n
Rn, G = {x : x1 = 0} — граница R+ . Опреде-
лим норму g s ( D) V
j = 1, ..., n.
2 2s
т V x g x dx
Ґ
норм
g
s
D W
функции V из
n
R+
как нижнюю грань
, где W — продолжение
R+n
в Rn. Норму следа функ-
ции V(x) на Г будем обозначать V
определяется равенством
V
S,G
ж
s
= з т т V x)dx1 (1 + xў )
и
2
S,G
. Она
12
ц
dxў ч
ш
.
© Смолкин Г. А., 2012
120
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
Всюду ниже полагаем, что H О C0Ґ x1 Ј
ж
и
Ј C1, s з q s Dў h0 p x, D U
Ј 2 , 0 Ј H x1 Ј 1, H x1 = 1, если x1 Ј 1,
+ h2U
Н — четная функция, h0 = h0 x = H xў ґ
+ L
ґ H x1 , h1 = h0 x 4 , h2 = h0 x 8 , h x1 =
ла, s і 0 и j - 1 < s Ј j, U x О C
L x = 1 +
ґD
= 1 + xў
2
2
2
2 ( m + 1)
x1
1 2 m + 1
2
+ ... + Dn
+ xў
2
Ґ
1 2 /( m +1)
n
R+
D h2U
s+2
D h0U
,
L
ИG .
Введем продолжение функции h2 x U x + h2U
+ L
ет:
тe
ixўxў
Ј C1 q
1
¶1 ґ h2 0, xў U 0, xў dyўdxў,
= 2p -n +1
h x1q xў т e
- iyўxў
мh2 x U x , если x1 і 0,
п
Uj = н
j
j +1
п -1 h2 x U - x1, xў + е g l x1ў h ґ
l =0
о
мп
=н
l
поґ x1q Dў ¶1 h2 0, xў U 0, xў / l !,
j + l +1
если x1 < 0, g l = 1 – (–1)
.
Условие на коэффициенты gl обеспечивает
непрерывность Uj вместе с ее производными
до порядка j + 1 включительно.
Теорема. Для любых s і 0, e > 0 существуют постоянные С1, s, С2, s, не зависящие
от U = U x О CҐ R+n И G
q
s+2
( Dў) h0U
и такие, что
n
0,R+
Серия «Физико-математические науки»
Ј
n
0, R+
+
s + 3 2 m +1,G +
s +3 2+e
D h2U
n
0, R+
ц
ч.
ш
Доказательство. Из работ [3—4] следу-
q
Ј
(2)
из R+n в Rn. Для этого положим
h x1q Dў ¶1 h2 0, xў U 0, xў =
n
0, R+
и
— рассматриваемый диф-
ференциальный оператор.
ц
ч,
ш
ж
p x, D = D12 + x12m ґ
,
n
0, R+
(1)
s
Ј C2, s з L D h0 p x, D U
q ( xў ) =
+
s + 3 2 m +1, G +
s+3 2
= H 4 x1 ; m, j — целые неотрицательные чис-
n
0, R+
s+2
Dў h0U0
Ј
Dў h0 p x, D U0
s
(3)
+ c D h1U0 ,
L s + 2 D h0U j Ј
L D h p x, DU
+ L D h U ,
Ј C2
s
0
s +1
где
2
2 [ s ] + 2 c x = 1 + x12 + xў
Так как
j
+
(4)
j
s +1 / 2 [ s] + 2 / m +1
.
мпh2 x U x , если x1 і 0,
U0 x = н
по-h2U - x1, xў + 2h x1q Dў ґ
мп
=н
поґ h2 0, xў U 0, xў , если x1 Ј 0,
c x Ј C3 x1 + q
s +1
xў и U0(x) является
дифференцируемой функцией, то
121
c ( D ) h1U0 ( x ) Ј
Ј C4
(
L
+ h2U x ж
h2U ( x ) +
s +1
s +1 2 m +1,G
и
(5)
.
если x1 Ј 0,
q s Dў h0 p x, D U0 Ј
(1).
l
+ е D1 h0U
ц
.
s + 3/2 m +1, G чш
D h0 p x, D U j
Ј C6
+
h p x, DU
0
D1s h0 p
x, D U j
Ј
+
j
+
(7)
(9)
Ј C8 D1v f1 x + D1v f2 x ,
где
Dў h0 p x, D U j
ґ h1 0, xў U 0, xў / l !.
Сразу же заметим, что f2(x) является дифференцируемой функцией, так как g j-1 = 0.
Поэтому
ж
D1v f2 x Ј C9 з h2U
s + 3 / 2 m +1,G +
з
и
(10)
j
ц
+ е D1lh0U
чч .
s -l + 3 / 2 m +1,G ш
l =1
Используя преобразование Фурье, легко доказать, что
l =1
Оценим каждое слагаемое правой части этого неравенства. Из определения функции Uj
следует:
122
D1sh0 p x, D U j Ј
j
h0 p x, D U j + q
Оценим D1sh0 p ( x, D) U j . Очевидно, что
е
s
+ q Dў h0 p x, D U j .
s
ц
ч.
ш
m + 1,G
Wl x = ¶1j -1p x, D x1lh x1q Dў ¶1l ґ
Теперь докажем оценку (2). При s = 0
она вытекает из неравенства (4), в котором
j = 0, определения функции U0(x) и равенства (6).
Пусть s = j - 1 + v, j і 1, 0 < v Ј 1.
Очевидно, что
s
l =1
( s -l + 3 2)
м0, если x1 і 0,
п
f2 x = н j
п е glWl x , если x1 < 0,
оl =0
ц
+ч
ш
Отсюда и из (3) и (5) следует оценка
L
(8)
м¶ j -1h0 x f x , если x1 і 0,
п 1
f1 x = н j -1
по¶ - x1 h0 - x1, xў f - x1, xў , если x1 < 0,
получаем:
0,R+n
j
мпh0 x f x , если x1 і 0,
h0 p x, D U0 = н
по -h0 f - x1, xў + 2h0 p x, D ґ
(6)
пм
=н
поґ h x1q Dў h2 0, xў U 0, xў ,
+ h2 x U x + h2U ( s + 3 / 2 ) ( m +1), G +
Далее ради удобства положим f(x) = p(x,
D)U(x) при x1 і 0. Поскольку
ж
Ј C5 з q s Dў h0 p x, D U
и
s
Ј C57 з 1 + q Dў h0 f x +
Ј
D1lh0U
s -l + 3 / 2 m +1,G
Ј e1 L s + 2 D h0U
0,R+n
+ C10 e1 q s + 2 Dў h0U
Ј
(11)
+
0,R+n
.
Из дифференцируемости функции f1(x)
следует:
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
D1v f1 x Ј C11 L s D h0 f x 0,R+n
,
поэтому, выбирая e1 достаточно малым, из
неравенств (7)—(11) получаем:
L s ( D ) h0 p ( x, D ) U j Ј
Ј 1/ 2 C2 L s + 2 ( D ) h0U
0,R+n
+
ж
+ C12 з L s ( D ) h0 p ( x, D) U
+ (13)
0,R+n
и
ц
+ q s + 2 ( Dў ) h0U
ч.
0,R+n ш
Методами работы [2] нетрудно показать
справедливость неравенства:
L s +1 ( D ) h2U j Ј C j,s,e L s + 3 / 2 + s ( D ) h2U
0,R+n
,
где e > 0.
Это с учетом оценок (1) и (13) приводит к окончанию доказательства теоремы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Егоров Ю. В. Линейные дифференциальные уравнения главного типа / Ю. В. Егоров. — М. :
Наука, 1984. — 360 с.
2. Слободецкий Л. Н. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложение к краевым
задачам для дифференциальных уравнений в частных производных / Л. Н. Слободецкий // Учен.
записки Ленингр. пед. ин-та. — 1958. — С. 54—112.
3. Смолкин Г. А. Априорные оценки, связанные с дифференциальными операторами типа Купцова — Хермандера / Г. А. Смолкин // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 2. — C. 242—
250.
4. Смолкин Г. А. Априорные оценки для вырождающихся эллиптических операторов в обобщенных пространствах С. Л. Соболева / Г. А. Смолкин // Журн. Средневолж. мат. о-ва [Саранск]. —
2011. — Т. 13, № 1. — С. 71—78.
Поступила 21.02.2012.
УДК 517.927
НЕРЕГУЛЯРНАЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ КРАЕВАЯ
ЗАДАЧА С ВЫРОЖДЕНИЕМ НА ГРАНИЦЕ
Д. И. Бояркин
В работе рассматривается нерегулярная краевая задача для эллиптического уравнения
с вырождением на границе области. Получены априорные оценки для решения задачи
и доказана замкнутость краевого оператора в пространствах Соболева — Слободецкого. При исследовании использованы методы функционального анализа и геометрии
гладких многообразий.
1. Классификация многообразий вырождения
Lu = f в G,
m(x,D)u = на G,
Пусть G — ограниченная область в Rn,
n і 3, G — кусочно-гладкая граница области
G. Рассмотрим краевую задачу:
где L — эллиптический оператор второго
порядка с бесконечно дифференцируемыми
коэффициентами в G, m x, D u — диффе-
(1.1)
(1.2)
© Бояркин Д. И., 2012
Серия «Физико-математические науки»
123
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа