close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задача Неймана для общих эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2015, том 58, №2
МАТЕМАТИКА
УДК 517.968.2
Г.Джангибеков, Д.М.Одинабеков*
ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ ОБЩИХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Таджикский национальный университет,
*
Таджикский государственный университет коммерции
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайловым 05.06.2014 г.)
В работе изучается вопрос нётеровости и индекса задачи Неймана для общей эллиптической
системы дифференциальных уравнений второго порядка. Исследование этой задачи проводится
методом эквивалентного её приведения к двумерному сингулярному интегральному уравнению по
ограниченой области на плоскости.
Ключевые слова: эллиптическая система – задача Неймана – сингулярные интегральные уравнения –
нётеровость и индекс задачи.
Пусть D - конечная односвязная область плоскости, ограниченная замкнутой кривой Ляпунова 
Рассмотрим следующую систему уравнений второго порядка
2
 a j ( x y )
j 0
 2u
u
u
 b1 ( x y )  b2 ( x y )  b0 ( x y )u  g ( x y )
j
2 j
x y
x
y
(1)
где a j ( x y ) b j ( x y ) ( j  01 2) - квадратные матрицы размера 2  2 u  (u1 u2 ) - неизвестная
вектор-функция переменных x y g  (g1 g 2 ) - заданная вектор-функция.
Оператор из левой части (1) называется эллиптическим в D если в любой точке ( x y)  D
для всякого дествительного параметра  выполняется условие
2
det  a j ( x y ) j  0
(2)
j 0
Введя комплексную функцию W ( z )  u1 ( x y)  iu2 ( x y) z  x  iy умножая одно из уравнений (1) на мнимую единицу i и складывая с другим, мы можем записать систему (1) в комплексном
виде
a( z )Wz z  b( z )W zz  c( z )Wzz  d ( z )W z z  e( z )Wz z  h( z )W zz 
a1 ( z )Wz  b1 ( z )W z  c1 ( z )Wz  d1 ( z )W z  e1 ( z )W  h1 ( z )W  g ( z )
(3)
Адрес для корреспонденции: Джангибеков Гулходжа. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. Е-mail:jangibekov@land.ru; Одинабеков Джасур Музофирович.734055, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Дехоти 1/2, Таджикский государственный университет
коммерции. E-mail: jasur_79@inbox.ru
106
Математика
Г.Джангибеков, Д.М.Одинабеков
где формальные производные по z и z определяются обычным образом
 1 
 
 1 
 
   i 
   i 
z 2  x y   z 2  x y 
а коэффициенты a( z ) b( z ) и так далее будем считать непрерывными функциями в D а
g ( z )  Lp ( D) 2  p  
По главной части системы (1) построим матричный полином
 a( z )  c( z )t  e( z )t b( z )  d ( z )t  h( z )t 
Fz (t )  
  t  1 z  D
 b( z )  d ( z )t  h( z )t a( z )  c( z )t  e( z )t 


Эллиптичность системы (1) означает, что для всех t  t  1 z  D выполнено неравенство
det Fz (t )  Pz (t ) 2   Qz (t ) 2  0
(4)
2
2
где Pz (t )  c( z )t  a( z )t  e( z ) Qz (t )  d ( z )t  b( z )t  h( z )
Множество
всех
полиномиальнах
матриц
вида
Fz (t )
удовлетворяющих
условию
det Fz (t )  0( 0) для всех t  t  1z  D обозначим через F  ( F  )
1
2
1
Две матрицы Fz (t ) Fz (t ) из F  ( F  ) назовем гомотопными, то есть Fz (t )
Fz2 (t ) , если су-
1
ществует семейство полиномиальных матриц Fz (t ) из F   непрерывно зависящих от действи-
тельного параметра   0    1 такое, что
Fz (t 0)  Fz1 (t ) Fz (t1)  Fz2 (t )
Известно [1], что соотношение гомотопии разбивает F  ( F  ) на три класса гомотопии - связанные, открытые компоненты  0   1   2 
класс  0 ) Indt1Pz (t )  0 то есть квадратный трехчлен Pz (t ) внутри единичного круга  t  1
корней не имеет;
класс  1 ) Indt1Pz (t )  1 то есть Pz (t ) внутри единичного круга  t  1 имеет один корень;
класс  2 ) Indt1Pz (t )  2 то есть Pz (t ) внутри единичного круга  t  1 имеет два корня.
1
2
Эти классы составляют полную систему множеств F   то есть Fz и Fz из F  принадлежат
1
некоторому классу  k  k  01 2 тогда и только тогда, когда Fz (t )
Fz2 (t ) .
Устанавливается, что указанные классы однозначно описываются соответственно условиями
 1 ( z )   ( z )   2 ( z)  1 ( z) 2   1 ( z) 2   3 ( z) 2   3 ( z) 2 
107
(5)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2015, том 58, №2
 2 ( z)   ( z)   2 ( z)  1 ( z) 2   1 ( z) 2   3 ( z) 2   3 ( z) 2 
(6)
 3 ( z )   ( z )   2 ( z)  3 ( z) 2   3 ( z) 2   2 ( z) 2   3 ( z) 2 
(7)
где
1  a 2   b 2  2  c 2   d 2  3  e 2   h 2 
1  ac  bd  2  hc  ed  3  ae  bh
1  ad  bc 2  hd  ec 3  ah  be

 M ( z ) если  j ( z )  0

m( z ) если  j ( z )  0
 ( z)  
M ( z )  maxt1 Re{2 ( z )t 2  ( 2 ( z ))  3 ( z )t}
m( z )  mint1 Re{2 ( z)t 2  ( 2 ( z))  3 ( z)t}
В соответствии с гомотопическими классами  1  2   0  то есть условиями (5),(6),(7), эллиптическая система (1) приводится к одному из трех видов:
1 ( z )Wz z  1 ( z )Wzz  1 ( z)W z z  3 ( z)Wz z  3 ( z)W zz  T1 (W )  g1( z)
(8)
1 ( z)Wz z  1 ( z)W zz  2 ( z)Wzz  2 ( z)Wz z  2 ( z)W zz  T2 (W )  g2 ( z)
(9)
3 ( z )Wz z  3 ( z )W zz  2 ( z )Wzz  2 ( z )W z z  3Wz z  T3 (W )  g3 ( z)
(10)
где g1  ag  bg  g 2  cg  d g  g 3  ed  hg  T j (W ) ( j  1 2 3) - младшие члены.
В работе [2] методом редукции к двумерным сингулярным интегральным уравнениям по области были получены эффективные необходимые и достаточные условия нётеровости и формулы для
подсчета индекса задачи Дирихле для эллиптических систем общего вида (1).
Без ограничения общности будем считать, что область D - есть единичный круг:
D  {z  z  1} Здесь рассматривается
2
Задача Неймана. Найти непрерывные решения системы (1) в области D из класса Wp ( D)
2  p   удовлетворяющие на границе  условию
W
  0
n
108
(11)
Математика
Г.Джангибеков, Д.М.Одинабеков
Поскольку [1],[3],[4] любая функция, обладающая в D обобщёнными производными второго
порядка с непрерывными в
 W ( z)ds

z
D первыми производными, удовлетворяющая условию (6) и
 0 может быть единственным образом представлена в виде
W ( z )   Gˆ ( z  ) f ( )ds 
f ( z )  Lp ( D) 2  p  
D
где
2
1
3
Gˆ ( z  )  ln  ( z   )(1  z )   ( z 2    2 )  


4
тогда имеем
Wz z  f ( z ) 
W z z  f ( z) 
1

1


D

1
f ( )
ds  1
f ( )d  Wzz   
2
 D (  z )

 f ( )
D (1  z )2 ds 
f ( )
1
ds 
2

 D (  z )

a 2 f ( )
D (1  z )2 ds 
f ( )d  Wz z  
D
1
2
f ( )
1
ds 
W zz   
2
 D (  z )

 f ( )
D (1  z )2 ds 
f ( )
1
ds 
W z z   
2
 D (  z )

 2 f ( )
D (1  z )2 ds 
1
1
2
Подставляя значения указанных производных в системы (8)-(10) и выделив вполне непрерывные слагаемые, получим, что задача Неймана для системы (1) в соответствии с классами гомотопии
 1  2   0 в пространствах Lp ( D) 2  p   эквивалентна одному из трех сингулярных интегральных уравнений
1аf  1 (S  z 2B) f   1(S  z 2 B) f  3 (S  z 2 B) f  3 (S  z 2B) f  T1 f  g1
(12)
1 f  1 f  2 (S  z 2B) f  2 (S  z 2 B) f  2 (S  z 2B) f  T2 f  g2 
(13)
3 f  3 ( z) f  2 (S  z 2B) f  2 (S  z 2 B) f  3 (S  z 2 B) f  T3 f  g3 
(14)
где
( Sf )( z )  
1

f ( )
 (  z)
2
ds  ( Bf )( z ) 
D
1

f ( )
 (1  z )
2
ds 
D
ds - элемент плоской меры Лебега, первый интеграл понимается в смысле главного значения Коши.
109
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2015, том 58, №2
Применяяя к сингулярным интегральным уравнениям (12)-(14) теорему (1) из работы [2], получим, что справедлива
Теорема. Для того чтобы задача Неймана (6) для эллиптической системы (1) была нётеровой, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий:
a) неравенство (3) для всех z  D
b) неравенство (4) для всех z  D и 1 (t )2 (t )  2 (t ) 1 (t )  0 t 
c) неравенство (5) для всех z  D и 2 (t )3 (t )  3 (t ) 3 (t )  0 t 
При этом если выполнено условие a), то задача фредгольмова, если выполнено b), то индекс
задачи равен
  2 Ind  (1 (t )2 (t )  2 (t ) 1 (t ))
если выполнено c), то
  2 Ind  (2 (t )3 (t )  3 (t )3 (t )) .
Поступило 09.06.2014г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Боярский Б.В. Исследования по уравнениям эллиптического типа на плоскости и граничным задачам теории функций: Автореф. дисс...д.физ.-мат.н. – М., 1959, 43 с.
2. Джангибеков Г. Об одном классе двумерных сингулярных интегральных операторов и его приложениях к краевым задачам эллиптических систем уравнений на плоскости – ДАН России, 1993, т.
330, №4, с. 415-417.
3. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. – М.: Физматгиз, 1959. 627 с.
4. Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. – М.: Наука, 1987, 415 с.
Г.Љангибеков, Љ.М.Одинабеков*
МАСЪАЛАИ НЕЙМАН БАРОИ СИСТЕМАИ МУОДИЛАЊОИ
ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ЭЛЛИПТИКИИ УМУМИИ ТАРТИБИ ДУЮМ
Донишгоњи миллии Тољикистон,
*Донишгоњи
давлатии тиљорати Тољикистон
Дар маќола шартњои зарурї ва кифоягии нётеровї ва формула барои њисобкунии индекси масъалаи Нейман барои системаи муодилањои дифференсиалии эллиптикии умумии тартиби
дуюм омўхта шудааст. Омўзиши ин масъала ба тадќиќ намудани муодилањои сингулярии дученака аз рўи соњаи мањдуд дар њамворї оварда мерасонад.
Калимањои калидї: системаи эллиптикї – масъалаи Нейман – муодилаи интегралии сингулярї –
нётеровї ва индекси масъала.
110
Математика
Г.Джангибеков, Д.М.Одинабеков
G.Jangibekov, J.M.Оdinabekov*
NEUMANN PROBLEM FOR GENERAL ELLIPTIC SYSTEM OF SECOND
ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS
Tajik National University,
*
Tajik State University of Commerce
In this paper the noethericity and index question of Neumann problem for general elliptic systems of
differential equations of second order was studied. Investigation of this problem is carried out by method of
bringing the equivalent into two-dimensional singular equation on a bounded domain on the plane.
Key words: elliptic systems – Neumann problem – singular integral equation – neothericity and index problem.
111
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
522 Кб
Теги
общие, уравнения, дифференциальной, эллиптическая, нейман, система, задачи, порядке, второго
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа