close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Интегральные представления и задачи типа Коши для одной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с сингулярной точкой.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2016, том 59, №3-4
МАТЕМАТИКА
УДК 517.91
А.Г.Олимов, академик АН Республики Таджикистан Н.Р.Раджабов*
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ЗАДАЧИ ТИПА КОШИ ДЛЯ ОДНОЙ
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ
Худжандский государственный университет им. Б.Гафурова,
*
Таджикский национальный университет
Задача решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с сингулярной точкой сведена к эквивалентной задаче решения системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода со слабой особенностью. Общее решение системы выражено с помощью резольвент системы интегральных уравнений. Полученное представление применено к исследованию поведения решений в окрестности сингулярной точки и задачи типа Коши.
Ключевые слова: система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка,
сингулярная точка, система интегральных уравнений Вольтерра, общее решение, задача типа Коши.
В интервале Γ  (0, a ) ( a  0 ) вещественной числовой оси рассмотрим систему уравнений
вида
уj 
2 p j ( x)
x
2
rjk ( x )
k 1
x2
yj  
yk 
f j ( x)
x2
, j  1,2 ,
(1)
где p j ( x )  C1 ( Г ) , rjk ( x ) , f j ( x )  C ( Г ) , j, k  1,2 – известные, y j ( x )  C ( Γ ) , j  1,2 – иско2
мые функции.
Отметим, что исследованию систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
первого порядка c сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами посвящен ряд публикаций,
например [1-11].
Целью настоящей работы явилось нахождение общего решения системы (1), в двух случаях, с
помощью резольвент соответствующей системы линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода со слабой особенностью, а также применение полученных представлений к изучению поведения решений и решению задач типа Коши.
1. Случай, когда главным считается первое уравнение системы (1). В этом случае систему
(1) приводим к виду
Адрес для корреспонденции: Олимов Абдуманон Гафорович. 735700, Республика Таджикистан, г.Худжанд,
пр. Мавлонбекова, 1, Худжандский государственный университет. E-mail: Abdumanon1950@mail.ru;
Раджабов Нусрат Раджабович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский
национальный университет. E-mail: nusrat38@mail.ru
99
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2016, том 59, №3-4
f1 ( x )  11 ( x ) y1  r12 ( x ) y2

L
y

p
1
 1
x2

 Lp y2  f 2 ( x )  r21 ( x ) y1  22 ( x ) y2  x12 ( x ) y2 ,
 1
x2
где Lp1 y j  yj 
(1.1)
2 p1 ( x )
xp( x )  p1 ( x )  p12 ( x )
yj  1
yj ,
x
x2
 jj ( x)  rjj ( x)  xp1( x)  p1 ( x)  p12 ( x) , j  1,2 , 12 ( x)  2[ p1 ( x)  p2 ( x)] .
Правую часть системы (1.1), считая известной, обращаем на основе результатов работ [7 - 9].
Имеем:

 y ( x )  x  p1 (0) exp[  w ( x )] T 1[ f ( x ), p ( x ) c , c ] 
 1 1 11 10
p1
 1
 x
   ( x   ) 11 ( ) p1 (0)2 exp[ w p1 ( )] y1 ( )d  
 0
 x
  ( x   ) r ( ) p1 (0)2 exp[ w ( )] y ( )d 
12
p1
2
 0

 p (0)
1
 y2 ( x )  x 1 exp[  w p1 ( x )] T [ f 2 ( x ), p1 ( x ) c21, c20 ] 
 x
  ( x   ) r ( ) p1 (0)2 exp[ w ( ))] y ( )d  
21
p1
1
 
0

 x
p1 (0)  2
exp[ w p1 ( )] y2 ( )d  
   ( x   ) 22 ( )
 0
 x

   ( x   ) 12 ( ) p1 (0)1 exp[ w p1 ( )] y2 ( )d   ,

 0
(1.2)
x

где T [ f j ( x ), p1 ( x ) c j1 , c j 0 ]  ( x   ) f j ( ) p1 (0)2 exp[ wp1 ( )]d   c j1 x  c j 0 ,
1
0
x
wp1 ( x )  
0
p1 (t )  p1 (0)
dt , c jk , j  1, 2 , k  0, 1 – произвольные постоянные.
t
Во втором равенстве системы (1.2) интеграл, содержащий y2 ( ) , преобразуем интегрированием по частям и упростим его. Далее вводим новые неизвестные функции  j ( x ) , j  1,2 , связанные
с y j ( x ) , j  1,2 равенствами y j ( x )  x
 p 1 (0)
exp[wp1 ( x)] j ( x) , j  1, 2 .
Тогда система (1.2) относительно функций  j ( x ) , j  1,2 записывается в виде следующей
системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода:
2
x
 j ( x )    K jk ( x ,  )k ( )d  T 1[ f j ( x), p1 ( x) c j1, c j 0 ] , j  1,2 ,
k 1 0
100
(1.3)
Математика
А.Г.Олимов, Н.Р.Раджабов
где K11 ( x ,  )  ( x   ) 11 ( ) 2 , K12 ( x ,  )  ( x   )r12 ( ) 2 , K21 ( x ,  )  ( x   )r21 ( ) 2 ,
 ( )  [ p1 ( )  1]12 ( )]   12 ( ) 2 .
K22 ( x ,  )  ( x   )[22 ( )   12
Итак, доказаны следующие утверждения:
Теорема 1.1. Пусть в системе (1)
p j ( x )  C1 ( Г ) , rjk ( x ) , f j ( x )  C ( Г ) ,
j, k  1,2 ,
p1 (0)  1. Функции  jj ( x ) , j  1,2 , r12 ( x ) , r21 ( x ) , 12 ( x ) в точке x  0 обращаются в нуль и
удовлетворяют
следующим
асимптотическим
равенствам:
 jj ( x), j  1, 2,
r12 ( x), r21 ( x), 12 ( x)  O( x  ) ,   1 при x  0 .
Тогда задача интегрирования системы дифференциальных уравнений (1) эквивалентна задаче решения системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода (1.3) с ядром, имеющим слабую особенность, и непрерывной правой частью.
Замечание 1.1. Пусть в системе (1) вместо p1 (0)  1 выполняется условие p1 (0)  1 и функции f j ( x ) , j  1,2 в точке x  0 равняются нулю, а в ее окрестности удовлетворяют следующим

асимптотическим равенствам: f j ( x )  O( x j ) ,  j  1  p1 (0) , j  1,2 при x  0 . Тогда теорема
1.1 опять остаётся верной.
Из теоремы 1.1 следует
Теорема 1.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Тогда общее решение системы уравнений (1) из класса C 2 ( Г ) выражается формулой
y j ( x) 
2 x

 (1.4)
 x  p 1 (0) exp[ wp 1 ( x )] T 1[ f j ( x ), p1 ( x ) c j1 , c j 0 ]    Γ 1jk ( x ,  )T 1[ f j ( ), p1 ( ) c j1, c j 0 ]d   ,
k 1 0


j  1,2 , где Γ 1jk ( x ,  ) , j, k  1,2 являются резольвентами системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода (1.3) со слабой особенностью.
Замечание 1.2. Поведение решений системы дифференциальных уравнений (1), выражаемых
равенством (1.4) в окрестности сингулярной точки, зависит от знака числа p1 (0) , если p1 (0)  0 все
они стремятся к бесконечности, а если p1 (0)  0 – стремятся к нулю при x  0 и их порядок определяется следующим асимптотическим равенством: y j ( x )  O( x
 p1 (0)
) , j  1,2 .
Замечание 1.3. Решения системы уравнений (1), выражаемые формулой (1.4), удовлетворяют
следующим равенствам:
[ x p1 (0) Bpk1 y j ( x)] x 0  c jk , j  1,2 , k  0, 1 , где Bp1 y  y 
p1 ( x )
y , Bp01 y  y .
x
Формула (1.4) позволяет ставить и решить следующую задачу для системы (1):
101
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2016, том 59, №3-4
Задача типа Коши. Найти решение системы уравнений (1) из класса C 2 ( Г ) по следующим
условиям в сингулярной точке x  0 :
[ x p1 (0) Bpk1 y j ( x)] x 0  y1jk , где y1jk , j  1,2 , k  0,1 – заданные постоянные числа.
Справедливо утверждение.
Теорема 1.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Тогда задача типа Коши для любых на1
чальных данных y jk , j  1,2 , k  0,1 имеет единственное решение, которое получается из формулы
(1.4) при c jk  y jk , j  1,2 , k  0,1 .
1
2. Случай, когда главным считается второе уравнение системы (1). В этом случае, действуя как и в предыдущем, систему (1) приводим к следующей системе линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода:
2
x
 j ( x )    M jk ( x ,  ) k ( )d  T 1[ f j ( x), p2 ( x) c j1, c j 0 ] , j  1,2 ,
(2.1)
k 1 0
 ( )  [ p2 ( )  1]12 ( )]  12 ( ) 2 ,
где M11 ( x ,  )  ( x   )[W11 ( )   12
M12 ( x ,  )  ( x   )r12 ( ) 2 , M 21 ( x ,  )  ( x   )r21 ( ) 2 , M 22 ( x ,  )  ( x   )W22 ( ) 2 ,
W jj ( x)  rjj ( x)  xp2 ( x)  p2 ( x)  p22 ( x) , j  1,2 , а неизвестные функции  j ( x ) , j  1,2 связаны с
искомыми функциями y j ( x ) ,
j  1,2 с помощью равенств y j ( x)  x  p 2 (0) exp[wp2 ( x)] j ( x) ,
j  1,2 .
Резюмируя, получим следующие утверждения:
Теорема 2.1. Пусть в системе (1)
p j ( x )  C1 ( Г ) , rjk ( x ) , f j ( x )  C ( Г ) ,
j, k  1,2 ,
p2 (0)  1 . Функции W jj ( x ) , j  1,2 , r12 ( x ) , r21 ( x ) , 12 ( x ) в точке x  0 обращаются в нуль и
удовлетворяют
следующим
асимптотическим
равенствам:
W jj ( x), j  1,2,
r12 ( x), r21 ( x), 12 ( x)  O( x ) ,   1 при x  0 .
Тогда задача интегрирования системы дифференциальных уравнений (1) эквивалентна задаче решения системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода (2.1) с ядром, имеющим слабую особенность, и непрерывной правой частью.
Замечание 2.1. Пусть в системе (1) p2 (0)  1 и функции f j ( x ) , j  1,2 в точке x  0 равня
ются нулю, а в её окрестности удовлетворяют условиям f j ( x )  O( x j ) ,  j  1  p2 (0) , j  1,2 при
x  0 .
Тогда теорема 2.1 опять остается справедливой.
Отсюда следует
Теорема 2.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда общее решение системы уравнений (1) из класса C 2 ( Г ) выражается формулой
102
Математика
А.Г.Олимов, Н.Р.Раджабов
y j ( x) 
x
 p 2 (0)
2 x
 1
 (2.2)
exp[ w p 2 ( x )] T [ f j ( x ), p2 ( x ) c j1 , c j 0 ]    Γ 2jk ( x ,  )T 1[ f j ( ), p2 ( ) c j1, c j 0 ]d   ,
k 1 0


j  1,2 , где Γ 2jk ( x ,  ) , j, k  1,2 являются резольвентами системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода (2.1) со слабой особенностью.
Относительно поведения решений вида (2.2) системы (1) в окрестности сингулярной точки
имеет место утверждение, аналогичное приведенному в замечании 1.2.
Замечание 2.2. Решения системы уравнений (1), выражаемые формулой (2.2), удовлетворяют
следующим равенствам:
[ x p2 (0) Bpk2 y j ( x)] x 0  c jk , j  1,2 , k  0,1 .
Формула (2.2) позволяет ставить и решить следующую задачу для системы уравнений (1):
Задача типа Коши. Требуется найти решение системы уравнений (1) из класса C 2 ( Г ) по
следующим условиям в сингулярной точке x  0 :
[ x p2 (0) Bpk2 y j ( x)] x 0  y 2jk , где y 2jk , j  1,2 , k  0,1 - заданные постоянные числа.
Для этой задачи справедливо утверждение, подобное теореме 1.3.
Замечание 2.3. Использованный здесь способ исследования можно применить к изучению
системы линейных уравнений n - го порядка вида
у (jn ) 
np j1 ( x )
x
n 1
у (jn 1)  
k 2
p jk ( x )
x
k
m
у (jn k )  
rjl ( x )
l 1
x
n
уl 
f j ( x)
xn
, j  1, m ,
где p jk ( x ) , rjl ( x ) , f j ( x ) – известные функции, к подобным системам с уравнениями разных порядков, а также с разным расположением сингулярной точки.
Поступило 11.01.2016 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Михайлов Л.Г. – Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений. – Мат-лы междунар. научн. конф., посвящ. 80- летию чл.-корр. АН РТ Стеценко В.Я. - Душанбе: ТНУ, 2015, с. 117-118.
2. Раджабов Н. – Дифференциальные и интегральные уравнения. – Душанбе, 1980, вып. 3, с.43-55.
3. Rajabov N. Introduction to ordinary differential equations with singular and super-singular coefficients.
– Dushanbe, 1998, 160 p.
4. Раджабов Н., Меликов О.И. Линейная модельная система обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка с одной левой граничной сингулярной точкой. – ДАН РТ, 2015, т. 58,
№ 6, с.451-457.
103
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2016, том 59, №3-4
5. Раджабов Н., Меликов О.И. Современные проблемы математики и ее преподавания. – Мат-лы
междунар. научн. конф., посвящ. 20-летию Конституции РТ и 60-летию ученых математиков
А.Мухсинова , А.Б.Назимова, С.Байзоева , Д.Осимовой, К.Тухлиева. – Худжанд: ХГУ, 2014, ч. 1,
с.232-235.
6. Rajabov N. - Proceedings of the Second ISAAC Congress. – London: Kluwer Academic Publishers,
2000, vol. I, p.175-183.
7. Олимов А.Г. Современные проблемы математического анализа и их приложений. – Мат-лы междунар. научн. конф., посвящ. 60-летию академика АН РТ Бойматова К.Х. – Душанбе: Дониш,
2010, с.79-81.
8. Олимов А.Г. Современные проблемы математики и ее приложения. – Мат-лы междунар. научн.
конф., посвящ. 70-летию чл.-корр. АН РТ Мухамадиева Э.М. – Душанбе: Дониш, 2011, с. 99-101.
9. Дадоджонова М.Ё., Раджабов Н.Р., Олимов А.Г. – Вестник педагогического университета. – Душанбе: ТГПУ им. С.Айни, 2013, №5(54), с. 39-43.
10. Раджабов Н. Методы теории функций и их приложения. – Мат-лы междунар. научн. конф. – Душанбе, 2000, с. 33-34.
11. Раджабов Н. – III-posed and non-classical problems of mathematical physics and analysis. – Proceedings International Conferense. – Samarkand, 2000, p.71.
12. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. – М.: ГИТТЛ, 1950, 252 с.
А.Ѓ.Олимов, Н.Р.Раљабов*
ТАСВИРЊОИ ИНТЕГРАЛЇ ВА МАСЪАЛАЊОИ НАМУДИ КОШЇ БАРОИ
СИСТЕМАИ МУОДИЛАЊОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ОДДИИ ХАТТИИ
ТАРТИБИ ДУЮМ БО НУЌТАИ СИНГУЛЯРЇ
Донишгоњи давлатии Хуљанд ба номи академик Бобољон Ѓафуров,
*
Донишгоњи миллии Тољикистон
Дар маќола интегронидани системаи муодилањои дифференсиалии оддии хаттии тартиби дуюм бо нуќтаи сингулярї, ба масъалаи баробарќувваи њалли системаи муодилањои интегралии намуди дуюми Волтерр, ки махсусияти суст дорад, оварда шуда, њалли умумиаш бо ёрии
резолвентањои системаи муодилањои интегралї ифода карда шудааст. Формулаи њалли умумии
система ба тадќиќи рафтори њалњо дар атрофи нуќтаи сингулярї ва масъалаи намуди Кошї
татбиќ гардидааст.
Калимањои калидї: системаи муодилањои дифференсиалии оддии хаттии тартиби дуюм, нуќтаи
сингулярї, системаи муодилањои интегралии Волтерр, њалли умумї, масъалаи намуди Кошї.
104
Математика
А.Г.Олимов, Н.Р.Раджабов
A.G.Olimov, N.R.Rajabov*
INTEGRAL REPRESENTATIONS AND CAUCHY TYPE PROBLEMS FOR ONE
SYSTEM LINEAR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS OF SECOND
ORDER WITH A SINGULAR POINT
B.Gafurov Khygand State University,
*
Tajik National University
In this article the problem of integrating system linear ordinary differential equation of second order
with a singular point reduces to decision of the system second type Volterra integral equations with weak
singularity. General solution of the given system expressed by means resolvents system integral equations is
discussed. Representation of the general solution for clarifying the characteristics of the solution in the singular point and to solve Cauchy type problem are studied.
Key words: system linear ordinary differential equations of second order, singular point, system Volterra
integral equations, general solution, Cauchy type problem.
105
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа