close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Некоторые точные неравенства в теории приближения аналитических в круге функций.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2010, том 53, №8
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, Ш.А.Холмамадова*
НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА В ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЯ
АНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ
Институт математики АН Республики Таджикистан,
Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева
*
В работе приведены точные оценки величины нормы второй производной аналитической
функции, принадлежащей пространству Харди H q 1 q
через модуль гладкости самой функ-
ции и модуль гладкости еѐ второй производной.
Ключевые слова: пространство Харди – граничные значения – модуль гладкости – комплексный алгебраический полином – наилучшее приближение.
Пусть f ( z ) – произвольная аналитическая внутри единичного круга z
eit 0
ck z k z
f ( z)
1 функция
1
k 0
принадлежащая пространству Харди H q 1 q
f
Hq
1
lim
1 0 2
с конечной нормой
1q
2
it
q
f ( e ) dt
0
Известно, что норма функций пространства Hq 1 q
ных значениях, которые в дальнейшем обозначим f (t )
f (eit )
реализуется на угловых гранич-
lim f ( eit ) В случае q
1 0
дем дополнительно предполагать, что f ( z ) является непрерывной в замкнутом круге z
бу-
1
Пусть r – целое положительное число. Через f a( r ) ( z ) обозначим производную r -го порядка
аналитической функции f ( z ) по аргументу переменной z Очевидно, что
fa ( z)
Положим H q( ra)
f
f ( z ) ziидляr
2 f a( r ) ( z )
f a( r 1) ( z )
a
H q f a( r )
Адрес для корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе,
ул.Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: shabozov@mail.ru
581
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2010, том 53, №8
H q( r,a) имеет непрерывные граничные значения f a( r ) (t ) то их гладкость
Если функции f ( z )
характеризуем модулем гладкости
2
( f a( r ) 2 ) H q
sup f a( r ) (t h) 2 f a( r ) (t )
f a( r ) (t h)
Hq
Множество всех комплексных алгебраических полиномов степени
n
h
n обозначим
n
ak z k
pn ( z ) pn ( z )
k 0
Величина
En ( f ) Hq
inf
f
pn
1 Hq
pn 1 ( z) n
1
Hq подпространства полиномов n
называется наилучшим приближением функции f ( z)
В работе Л.В.Тайкова [1] приводятся точные оценки величины нормы производной
f a ( z ) H q аналитической функции f ( z) Hq через еѐ модуль непрерывности и модуль непрерывности еѐ второй производной по аргументу. Аналогичный результат для величины нормы второй
производной
f
Lq ( R )
1 q
всей числовой оси R
в пространстве измеримых суммируемых функций, заданных на
) с конечной нормой
(
1q
f
q
Lq ( R )
f ( x) dx

получено Н.Айнуллоевым [2] для модуля гладкости самой функции и модуля гладкости ее второй
производной.
В настоящей заметке результаты Н.Айнуллоева обобщаются для аналитических функций
f ( z ) принадлежащих пространству Харди Hq 1 q
доказать, что для f ( z )
fa
H q(2)a 1 q
неравенство Айнуллоева имеет вид
2n
n
Hq
Используя схему рассуждения [2], легко
f a ( x t ) 2 f a ( x)
2
fa (x t)
0
Hq
(1 sin nt )dt
2n
n2
f ( x t ) 2 f ( x)
f (x t)
Hq
0
Из (1) с учетом определения модуля гладкости получаем
fa
Hq
582
sin ntdt
(1)
Математика
М.Ш.Шабозов, Ш.А.Холмамадова
2n
n
2n
2
2
( f 2t ) H q (1 sin nt )dt n
2
2
0
H q( ra) 1 q
Если функция f ( z )
Hq
2n
2
(2)
то из (2) следует, что
f a( r )
n
( f 2t ) H q sin ntdt
0
2n
(r )
2t ) q (1 sin nt )dt n 2
2( f
2
0
( f (r
2)
2t ) q sin ntdt
(3)
0
Отметим, что посредством неравенства (1) и неравенства типа Бернштейна и Зигмунда можно
получить оценки нормы производных для комплексных алгебраических полиномов через их модули
гладкости.
Имеет место следующее утверждение
Теорема 1. Для произвольного полинома pn ( z ) n справедливо неравенство
( pn )a
n
n3
2(
2)
и равенство достигается для полинома qn ( z )
cz n
Hq
2
( pn t ) Hq dt
0
H q(2)a c 
pn ( z ) n и, применяя известное нера-
Доказательство. В неравенстве (1) положим f ( z )
венство Зигмунда [3]
pn a ( x t ) 2 pn ( x)
pn ( x t )
Hq
n 2 pn ( x t ) 2 pn ( x)
pn ( x t )
будем иметь
pn a
2n
n
pn a ( x t ) 2 pn ( x)
2
Hq
pn ( x t )
0
Hq
(1 sin nt )dt
2n
n
2
pn ( x t ) 2 pn ( x)
pn ( x t )
Hq
sin ntdt
0
2n
n3
2
pn ( x t ) 2 pn ( x)
2n
n3
2
2
0
pn ( x t )
Hq
dt
0
( pn 2t ) H q dt
n
n3
2(
583
2)
2
0
( pn t ) H q dt
Hq
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2010, том 53, №8
cz n n c  проверяется непо-
что и требовалось доказать. Знак равенства для полинома gn ( z)
средсвенным вычислением. Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Для любых целых неотрицательных r
2 и натуральных n справедливо точ-
ное неравенство
pn a
nr
2(
Hq
n
1
2
2)
( pn t ) H q dt
0
cz n n c 
и равенство достигается для полинома gn ( z)
Используя элементарное неравенство
1
b
b aa
f ( x)dx
1 p
b
1

p
f ( x) dx
b aa
1
p
1
p
1 1
p
результат следствия 1 обобщим в следующем виде
Теорема 2. Для произвольного полинома pn ( z ) n при любых n r
 n r
2 1
p
справедливо неравенство
1 p
(r )
na H
q
p
2(
2)
n
r
1 p
n
1
p
p
2

( pn t ) H q dt
0
Теорема 3. Для любых натуральных чисел 0
1
p
1
p
1 1
H q( ra) при произвольном n
n и любого f
k
p
справедливо неравенство
f a( k )
(
1
2)rhk
2
2
0
2t
f
n
P(t )dt
Hq
Hq
hr
(
2
k
2)r
2
f a( r )
0
2t
n
где
P(t )
(r k )(1 sin t ) n 2 (r k 2)sin t
Q(t )
Равенство при h
k (1 sin t ) n 2 sin t
1 n достигается для функции f0 ( z)
Доказательство. Оценим норму f ( k )
Hq
zn
согласно неравенству (1)
f a( k )
Hq
584
Q(t )dt
Hq
Математика
М.Ш.Шабозов, Ш.А.Холмамадова
2
1
2
t
n
f a( k ) x
0
2
n2
f a( k
2
2)
2 f a( k ) x
t
n
x
0
2 f a( k
t
n
f a( k ) x
2)
f a( k
x
2)
(1 sin t )dt
Hq
t
n
x
sin tdt
(4)
Hq
В последнем соотношение нормы функций под знаком интегралов будем оценивать согласно
неравенству типа Колмогорова - Харди
k
r
(k ) 1
(k )
Hq
k
r
(r )
Hq
0 k
Hq
r
(5)
доказанное в работе [4].
Очевидно, что неравенство (5) эквивалентно неравенству
r k
rh k
(k )
Hq
k r
h
r
Hq
k
(r )
h
Hq
0
(6)
Полагая
(2)
2t n
( x)
( f x)
t
n
f x
2f x
t
n
f x
и используя неравенство (6), запишем
(2)
2t n
(2)
2t n
f (k )
f (k
r k
rh k
Hq
2)
Hq
(2)
2t n
r k 2
rh k
f
(2)
2t n
k r
h
r
Hq
f
k
(2)
2t n
k 2 r
h
r
Hq
f (r )
k
(2)
2t n
(7)
Hq
f (r)
Hq
Теперь из неравенства (4) с учетом (7) и (8) получаем
f a( k )
Hq
2
1
(2)
2t n
2
f a( k )
0
2
1
2
0
2
n2
2
0
r k
rhk
r k 2
rhk
Hq
(2)
2t n
f
(2)
2t n
f
2
k r
h
r
Hq
Hq
2
n2
(1 sin t )dt
k
f a( k
2)
Hq
0
(2)
2t n
k 2 r
h
r
585
(2)
2t n
k
f a( r )
(2)
2t n
Hq
sin tdt
(1 sin t )dt
f a( r )
Hq
sin tdt
(8)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2
1
2)rhk
(
hr
(
(2)
2t n
(f)
0
Hq
((r k )(1 sin t ) n2 (r k 2)sin t )dt
2
k
(2)
2t n
2)r
( f a( r ) )
0
Hq
(k (1 sin t ) n2 (k 2)sin t )dt
2
1
2)rhk
(
2010, том 53, №8
(2)
2t n
(f)
0
Hq
hr
P(t )dt
(
2
k
(2)
2t n
2)r
( f a( r ) )
0
Q(t )dt
Hq
Отсюда, имея ввиду, что
(2)
2t n
f
Hq
2t
n
f
2
(2)
2t n
f a( r )
2
Hq
Hq
f a( r )
2t
n
Hq
приходим к неравенству
f a( k )
(
1
2)rh k
2
2
f
0
2t
n
P (t )dt
Hq
Hq
hr
(
2
k
f a( r )
2
2)r
0
2t
n
Q (t )dt
Hq
чем и завершаем доказательство теоремы 3.
В завершении работы отметим, что, используя неравенство (3) и результат Л.В.Тайкова [5], о
H q( ra) имеет место соотношение
том, что для любого f ( z )
n r En ( f a( r ) ) H q
En ( f ) H q
n
r
f a( r )
Hq
как следствие получаем результат теоремы 3 работы [6]:
En ( f ) Hq
(
1
2)nr
2n
2
1
0
f a( r )
2t
n
2n
(1 sin nt )dt n2
Hq
в котором равенство достигается для f0 ( z)
2
0
zn
f a( r
2)
2t
Hq
sin ntdt
H q( r ) 1 q
Поступило 07.07.2010 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Тайков Л.В. – Analysis Mathematica, 1976, v.2, №1, pp. 77-85.
2. Айнуллоев Н. – Матем. заметки, 1991, т.49, вып.5, с.3-6.
3. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. – М., 1965, т.2.
586
Математика
М.Ш.Шабозов, Ш.А.Холмамадова
4. Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. – ДАН РТ, 2007, т.50, №1, с. 14-19.
5. Тайков Л.В. – Матем. заметки, 1977, т.22, №2, с. 285-294.
6. Шабозов М.Ш., Миркалонова М.М. – Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и техн. наук, 2009,
№2(135), с. 19-31.
М.Ш.Шабозов, Ш.А.Холмамадова*
БАЪЗЕ НОБАРОБАРИЊОИ АНИЌ ДАР НАЗДИККУНИИ БЕЊТАРИНИ
ФУНКСИЯЊОИ ДАВРАИ АНАЛИТИКЇ
Институти математикаи Академияи илмњои Љумњурии Тољикистон,
*Донишгоњи
давлатии Хоруѓ ба номи М.Назаршоев
Дар маќола бањои аниќи нормаи њосилаи тартиби дуюми функсияњои аналитики аз фазои Харди Hq 1 q
ба воситаи модули суфтагии худи функсия ва модули суфтагии
њосилаи тартиби дуюми он оварда шудааст.
Калимањои калидї: фазои Харди – ќиматњои сарадї – модули суфтагї – бисёраъзогии алгебравии
комплексї – наздиккунии бењтарин.
M.Sh.Shabozov, Sh.A.Kholmamadova*
SOME EXACT INEQUALITY IN THEORY APPROXIMATION OF ANALYTICAL
IN DISK FUNCTIONS
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic Tajikistan,
*
M.Nazarshoev Khorog State University
In the article is given the exact estimation of norm second derivative analytical functions of Hardy’s
space H q 1 q
across module of smoothness of its function and module of smoothness of second de-
rivative.
Key words: Hardy’s space – boundary values – module of smoothness – the complexity of algebraic polynomial – best approximation.
587
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
592 Кб
Теги
аналитическая, круг, приближение, функции, некоторые, точных, теория, неравенства
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа