close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Неустойчивость и хаос в электроэнергетических системах.

код для вставкиСкачать
¬. ь. ?®? ???¬
?. ¬. ?¤? ?¬
? . ¬. Ў»?fiь?¬
?. ь. ??ГїХ?¬? ь»?
?????? ??????? ??????? ? 3 (103) 2011
?? ь 621.317
?П ТНЛИ ?У ТЫ
? ??ТЪ?
ВМ М ?И
ЪВ? М Л?ВТНЛИ Ы
М Л?
В?ТЛЪВЪ
Х??? ??? ?»¬?? ?? » ?ї??
¬ ?А?ь????Х?????»??? ь»?
? »? ??Гї?
?·У ТМ У ?
?М ? ?
У БП У К М У ТЪё ?
У БМ ЛНМ У ?
ВМ Л? ? ?У ЪЛ?ВТНЛ? ?ВК ЛП У ?
?
?О ВНЪ?У ?М В??ВЪЛ?ВТНЛ? ТЛТЪВП ?? . »ТТО В? У ?
?М ? ?ВК ЛП ? ?М В??У ТЛТЪВП , Ф?Л НУ ЪУ ???
Ф?У ЛТ? У ? ЛЪ ФУ ЪВ??Ы
ТЪУ И?Л?
У ТЪЛ ?
ТО В? ТЪ?
ЛВ ·ЛЩ Ы
?Н??ЛИ. ??ТТП У Ъ?ВМ ? ФЫ
ЪЛ
ФВ?В? У ? ? ?М В??У ТЛТЪВП Н ? ?У ЪЛ?ВТНЛП ?ВК ЛП ?П .
ьО ??В?
?В ТО У ?
?: ? ?У Т, П У ? ВО ё ?М В??У ТЛТЪВП ?, ·ЛЩ Ы
?Н??Л?, М ВЫ
ТЪУ И?Л?
У ТЪё.
В электрических системах и цепях хаос возмо1 й
V&L =
к P - P1d - P0 - p1 (Q - Q1d - Q0 - q2VL
жен как в сложных системах, так и в достаточно
p2 л
простых цепях, подробно рассмотренных в [1, 2].
Одним из главных условий возникновения хаотичей
щ
( q3 - Bc )VL2 )
VL =
- p3VL ъ
к P - P1d - P0 - p1 Q - Q1d - Q0 - q2VL ских колебаний является наличие нелинейностей.
p2 л
q1
ы
В самых простых схемах достаточно одного нелинейного элемента для возникновения хаотических
6-мерная модель энергосистемы
колебаний.
При наличии нелинейности существует широкий
d& = wB sm
диапазон параметров элементов, при которых поведение цепи или системы в установившемся сос-dsm + Pm - Pg
s&m =
тоянии оказывается хотя и ограниченным, но не2H
периодическим. Колебания приобретают случайный
характер и имеют не дискретный спектр, как в пе- Eqў + ( X d - X dў ) I d + E fd
E& qў =
риодическом случае, а широкий непрерывный
Tdў0
спектр. Кроме того, поведение системы оказывается
столь чувствительным к начальным условиям, что
- E fd + K A (Vref - Vt )
E& fd =
долговременное прогнозирование точного решения
TA
становится невозможным. Реальные энергосистемы
являются сложными нелинейными диссипативными
(Q - Q1d - Q0 - q2VL - (q3 - Bc )VL2 )
d&L =
системами. В них имеется большое количество
q1
нелинейностей различной природы.
Рассмотрим энергосистему, показанную на рис.
1.
й
щ
(q3 - Bc )VL2 )
VL =
- p3VL ъ
к P - P1d - P0 - p1 Q - Q1d - Q0 - q2VL Ее можно описать следующими моделями:
p2 л
q1
ы
7 ? мерная модель энергосистемы
d& = wB sm
-dsm + Pm - Pg
(1b)
2H
- Eqў + ( X d - X dў ) I d + E fd
E& qў =
Tdў0
??????????????. ??????????
232
(1a)
- Edў - ( X q - X qў ) I q
E& dў =
Tqў0
E& fd =
d&L =
(Q - Q
1d
- Q0 - q2VL - (q3 - Bc )V
2
L
q1
)
(2d)
(2e)
(2f)
d& = wB
(3a)
w& = 16.667 sin(d L - d + 0.087)VL - 3.333d w + 1.881
(3b)
(1d)
V&L = -78.764VL2 + 26.217 cos(d L - d - 0.012)VL
(3d)
Все три модели могут быть сведены к однородной
в соответствии с (4):
x& = f ( x, l ), x О R n , l О R p ,
щ
- p3VL ъ
ы
(2c)
d&L = 496.872VL2 - 166.667 cos(d L - d - 0.087)VL
(3c)
-93.333VL - 666.667cos(d L - 0.209)VL + 33.333Q1d + 43.333
(1f)
q1
(2b)
(1c)
(1e)
TA
щ
- p3VL ъ
ы
(2a)
4-мерная модель энергосистемы
+14.523VL + 104.869cos(d L - 0.135)VL - 5.229Q1d - 7.033
- E fd + K A (V ref - Vt )
q1
(1g)
1 й
V&L =
к P - P1d - P0 - p1 (Q - Q1d - Q0 - q2VL p2 л
1. Модели энергосистемы
s&m =
-
(4)
Таблица 1
Значения параметров энергосистемы
?????? ??????? ??????? ? 3 (103) 2011
а)
Рис. 1. Схема простейшей энергосистемы
где x ? вектор параметров состояния, и l ? вектор
параметров. Параметры состояния вышеупомянутых
моделей
1) 7-мерная модель:
x = йлd , sm , Eqў , Edў , E fd , d L , VL щы
2) 6-мерная модель:
x = йлd , sm , Eqў , E fd , d L ,VL щы
3) 4-мерная модель:
x = [d , w , d L , VL ]
T
б)
T
T
В табл. 1 приведены значения, использованные
в расчетах. Q1d и Pm, являются бифуркационными
параметрами системы.
Рис. 2. a) бифуркационная диаграмма
7-мерной модели системы
б) кривая решений множителей Флоке
2. Три пути к хаосу в энергосистемах
Возможны три пути перехода энергосистемы
в хаотический режим: 1) удвоение бифуркаций;
2) бифуркация тора; 3) внешнее возмущение.
Путь каскада бифуркаций удвоения периода был
идентифицирован во многих физических системах.
Выбираем 7-мерную модель с параметром бифуркации Q1d. Исходные значения параметров системы
следующие: x0=[0.76112, 0, 1.33268, -0.32833, 4.19836,
0.23961, 0.77953]T, TA = 0.05, КА =140. Другие параметры те же, что и в таблице 1. Постепенно увеличивая значение Q 1d, получаем бифуркационную
диаграмму (рис. 2a). В точке A появляется бифуркация Хопфа. Рассмотрение предельного цикла при бифуркации Хопфа проводим по кривой AB. Рис. 2б
поясняет перемещение изображающей точки. Очевидно, каскад бифуркаций появляется в точке В на
предельном цикле, кривой AB. Определение сечения
Пуанкаре 7-мерной модели указано ниже:
(5)
где dс ? центр колебаний фазы угла d. Предположим,
что X ? пересечение точки S и потока 7-мерной
модели. Тогда проекция точки X есть d~ .
d% := d ( X )
(6)
Интегрируя уравнения (1a ? 1g), со значением
Q1d, лежащим в промежутке от 1.190 до 1.2036,
??????????????. ??????????
S := {sm = 0 п ри d < d c } ,
строим график в осях Q1d- d~ (рис. 3). Сравнивая этот
график с бифуркационной диаграммой логистического отображения, находим, что они подобны. При
Q1d < 1.1915, в системе существует устойчивый
период 1 цикла. Для 1.1915 < Q1d < 1.1970, период 2
цикла управляет колебанием. При Q 1d =1.1970,
1.19808..., появляются последовательно период-4,
период-8. С увеличением периода бифуркации колебания в системе сводятся к хаотическому режиму.
При Q1d » 1.20136 период 3 цикла имеет хаотическую природу возникновения и находится на высоком уровне, до Q1d =1.201525, когда преобразуется
в период-6. Таким же образом появляются период
12, период 24..., последовательно возрастая, и наконец
снова появляется хаотический режим. Этот процесс
можно наблюдать в верхней части рисунка 3, в которой в увеличенном масштабе показана эволюция
периода 3.
Бифуркация тора, вызванная парой комплексно
сопряженных множителей Флоке с мнимой частью
отличной от нуля, выходит из единичной окружности
на комплексной плоскости. Это также приводит к хаотическому режиму. Выберем 6-мерную модель, параметр бифуркации Рm. Подобно рисунку 2, во-первых,
строим бифуркационную диаграмму Рm ? VL, и затем
отследим предельный цикл от бифуркации Хопфа
в точке A (рис. 4а). В табл. 2 приведено описание
всех точек бифуркации. На рис. 4б представлена
кривая решения комплексных множителей Флоке,
233
?????? ??????? ??????? ? 3 (103) 2011
а)
Рис. 3. Диаграмма каскада бифуркаций удвоения периода
б)
Таблица 2
Точки бифуркации
?????
A
B
C
D
E
F
G
H
???
??
??
??
??
??
??
??
??
Pm
0.608 1.156 1.191 0.841 1.251 1.302 1.362 1.265
где: БХ ? бифуркация Хопфа
ЦБ ? циклическая огибающая бифуркация
БТ ? торическая бифуркация
??????????????. ??????????
а)
234
б)
Рис. 5. a) фазовая диаграмма и сечение Пуанкаре,
б) отображение Пуанкаре
Рис. 4. a) бифуркационная диаграмма
6-мерной модели системы
б) кривая решения комплексных множителей
из которой мы можем наблюдать, что точки бифуркации D-H главным образом подчинены паре ком~ )
плексно сопряженных множителей Флоке (m1, m
1
и единственный действительный множитель Флоке
~ соответствуют точкам биm2. Множители m1 и m
1
фуркации тора D, E, F и H; m2 соответствует точке
циклической огибающей бифуркации G.
Интегрируем уравнения (2a ? 2f) со следующими
начальными условиями: x10=[0.8684, 0, 1.0556, 2.3684,
0.1312, 1.012]T и Рm=0.850. Результат моделирования
показан на рис. 5. На рис. 5a показана фазовая диаграмма на (d, sm, E?q) и на рис. 5б изображено отображение Пуанкаре. Соответствующее сечение Пуанкаре показано на рис. 5a серой плоскостью.
Хаос, вызванный бифуркацией тора, имеет много
интересных особенностей, так как режим очень сложен, там проявляется явление самоорганизации и сосуществование регулярного и хаотического подпространства, и т.д [3]. Эти особенности полезны для
глубокого понимания механизмов нестабильности
энергосистемы с различными режимами.
Для исследования перехода энергосистемы в хаотический режим при большом возмущении используем 4-мерную модель со следующими начальными
значениями: Q1d =10.894, d0=0.3, dL0 =0.2. VL0 =0.97.
Изменяем начальную угловую скорость w0 в диапазоне 0 ё 1.7 рад/с. Интегрируя уравнения (3a ?
3d), получаем результаты, приведенные на рис. 6 и в
табл. 3.
Так как во всех шести случаях, показанных на
рис. 6, изменяется только начальная угловая скорость
w0, то мы можем определять возмущение энергии вышеупомянутых исходных положений как возмущение
кинетической энергии, которое связано только с w0.
Когда возмущение мало (w0 Ј 1.3024478 рад/с),
энергосистема сходится к точке устойчивого равновесия так, как показано на рис. 6a и рис. 6b. Когда возмущение возрастает, сходимость становится все более
трудной. При w0=1.3024479 рад/с, энергосистема
переходит в хаотический режим после длительного
колебательного переходного процесса (рис. 6c).
Таблица 3
Различные состояния системы
при различных угловых скоростях
?????
(???/?) ????????????? (?)
????????
?????????
??????? ?????????
0.50
300
?????
??????????
??????? 6?
1.3024478
1200
?????
??????????
??????? 6b
1.3024479
15000
????
??????? 6c
1.40
15000
????
??????? 6d
1.6980378
15000
????
??????? 6e
100
??????????
???????????
??????? 6f
1.6980379
a)
b)
c)
d)
e)
f)
?????? ??????? ??????? ? 3 (103) 2011
w0
Рис. 6. Результаты моделирования при различных начальных угловых скоростях
??????????????. ??????????
Рис. 7. Место хаоса в эволюции случайной нестабильности энергосистемы
235
?????? ??????? ??????? ? 3 (103) 2011
3. Неустойчивость и хаос
Хаос очень чувствителен к начальным условиям
и переменным системы, любое их изменение может
прекратить режим хаоса [4]. В реальной энергосистеме возможны внезапные изменения параметров
вследствие возмущений. Таким образом, не исключается существование хаоса в энергосистеме как промежуточной стадии явления нестабильности после
большого возмущения (рис. 7).
Когда происходит возмущение, энергосистема
входит в переходное состояние. Если возмущение
мало ? может произойти бифуркация Хопфа, приводящая к непрерывным колебаниям. Если возмущение большое, система может перейти в хаотический
режим, в котором возможно появление коллапса
напряжения, угловой неустойчивости или коллапса
напряжения и угловой неустойчивости одновременно.
Из приведенных исследований видно, что в энергосистеме возможно существование различных непериодических режимов, потенциально опасных для элементов системы. Поэтому особую важность представляет собой проблема предсказания и идентификации
хаотических режимов.
Библиографический список
1. Фёдоров, В.К. Детерминированный хаос в нелинейных
электрических цепях и системах / В.К. Федоров, В.К. Грунин,
П.В. Рысев, Е.Ю. Свешникова. ? Омск: Изд-во ОмГТУ.? 2006.
2. Мун, Ф. Введение в хаотическую динамику / Ф. Мун. ?
М.: Наука.? 1990. ? 140 с.
3. Chiang, H.D. Chaos in a simple power system / H.D. Chiang,
C.W. Liu, P. Varaiya, F. F. Wu, M. G. Lauby // IEEE Trans. Power
Syst.? 1993.? vol.8, no. 4. ?pp. 1407?1417.
4. Yu, Y. Power system instability and chaos / Y. Yu, H. Jia, P.
Li, and M. G. Lauby // 14th PSCC, Sevilla.? 2002.? Session 22,
Paper 2.
ФЁДОРОВ Владимир Кузьмич, доктор технических
наук, профессор (Россия), профессор кафедры электроснабжения промышленных предприятий.
РЫСЕВ Павел Валерьевич, кандидат технических
наук, доцент (Россия), доцент кафедры электроснабжения промышленных предприятий.
БИРЮКОВ Сергей Владимирович доктор технических наук, профессор (Россия), профессор кафедры
инженерной графики и систем автоматизированного проектирования машин и технологических процессов.
РОМАНОВСКИЙ Рэм Константинович, доктор
физическо-математических наук, профессор (Россия),
профессор кафедры прикладной математики и фундаментальной информатики.
Адрес для переписки: e-mail: rysev_dmitry@list.ru.
Статья поступила в редакцию: 17.11.2011 г.
© В. К. Фёдоров, П. В. Рысев, С. В. Бирюков,
Р. К. Романовский
??????? ?????
621.311/М24
Маньков, В. Д. Основы проектирования систем электроснабжения [Текст] / В. Д. Маньков ; учеб.-метод.
и инженер.-техн. центр «Электро Сервис». ? СПб. : [б. и.], 2010. ? 664 с. ? ISBN 978-5-98187-401-7.
В книге излагаются основы проектирования систем электроснабжения напряжением до 1000В, включающие
в себя : требования к организации проектирования, текстовым и графическим документам, проектирование
различных элементов систем электроснабжения, выбор электрооборудования, расчеты основных характеристик и элементов электрических сетей. Приведены расчеты характеристик электроустановок и сетей,
порядок выбора электрооборудования на основании полученных данных; расчет электрических нагрузок,
компенсация реактивной мощности, расчеты при выборе электрических проводов и кабельных линий и др.
621.315/Х73
Холодный, С. Д. Методы испытаний и диагностики в электроизоляционной и кабельной технике [Текст] :
учеб. пособие для вузов по специальности «Электроизоляционная, кабельная и конденсаторная техника»... / С. Д. Холодный, С. В. Серебрянников, М. А. Боев. ? М. : Изд-во МЭИ, 2009. ? 232 с. ?ISBN 9785-383-00381-7.
??????????????. ??????????
Изложены в обобщенном виде сведения о наиболее широко применяемых методах испытаний, а также даны сведения, необходимые для совершенствования и разработки новых методов испытаний, оценки погрешностей испытаний, показаны пути автоматизации испытаний. Приведены данные о современных физических
и физико-химических методах исследований материалов, которые применяют в электроизоляционной и кабельной технике.
236
621.31/Г71
Горюнов, В. Н.История и методология науки и производства: электроэнергетика [Текст] : учеб. пособие /
В. Н. Горюнов, В. К. Федоров, П. В. Рысев ; ОмГТУ. ? Омск : Изд-во ОмГТУ, 2010. ? 155 с. ? ISBN 975-58149-1026-4.
Изложены основные сведения по истории и методологии науки и производства в области электроэнергетики.
Рассмотрены вопросы истории, связанной с электричеством и магнетизмом, развития электротехники и электроэнергетики, экологии электротехники и тенденции развития современной электроэнергетики.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
10
Размер файла
530 Кб
Теги
система, электроэнергетических, хаоса, неустойчивости
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа