close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О разделимости нелинейных дифференциальных операторов второго порядка с матричными коэффициентами в весовом пространстве.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2015, том 58, №8
МАТЕМАТИКА
УДК 517.948
О.Х.Каримов
О РАЗДЕЛИМОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
ВТОРОГО ПОРЯДКА С МАТРИЧНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ВЕСОВОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмоновым 26.02.2015 г.)
Доказана разделимость одного класса нелинейных дифференциальных операторов второго
порядка с переменными матричными коэффициентами в весовом пространстве, которые в общем
случае не являются слабыми возмущениями линейных операторов.
Ключевые слова: весовое пространство – нелинейный дифференциальный оператор – разделимость
– коэрцитивное неравенство – матричный коэффициент.
Термин «разделимость» в теорию дифференциальных операторов ввели математики
В.Н.Эверитт и М.Гирц. (см. [1-4]). Они, в основном, исследовали разделимость оператора ШтурмаЛиувилля и его степеней. Существенный вклад в дальнейшее развитие теории разделимости дифференциальных выражений внесли К.Х.Бойматов, М.Отелбаев и их ученики (см. [5-8] и представленные
там библиографии).
В настоящее время по разделимости опубликовано большое число работ и полученные результаты нашли свои приложения в теории функций, спектральной теории дифференциальных операторов и теории краевых задач для дифференциальных уравнений.
Настоящая работа посвящена исследованию разделимости нелинейных дифференциальных
операторов с переменными матричными коэффициентами в весовом пространстве и её основной результат обобщает соответствующие результаты работ [9-11].
Пусть k ( x ) – положительная функция, определенная в R n , и
ло. Символом
L2,k ( R n )
– некоторое натуральное чис-
– обозначим пространство вектор-функций u( x) = (u1 ( x),..., u j ( x)),
u j  L2 ( R n ) (1 = 1, ) с конечной нормой
1
u
L2,k ( R n )



2
=   k ( x ) | u j ( x ) |2 dx  .


 j =1 Rn

Пространство L2,k ( R n ) является гильбертовым пространством и в нём скалярное произведение определяется с помощью равенства
Адрес для корреспонденции: Каримов Олимджон Худойбердиевич, 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: karimov_olim@mail.ru
665
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
( u,  ) k =

2015, том 58, №8
k ( x)u j ( x ) j ( x )dx.
Rn
Рассмотрим дифференциальный оператор второго порядка с переменными коэффициентами:
 
 
n
 aij ( x )
 , ( x  R ).
xi 
i , j =1 x j 
n
L0 [u] =  
Предполагается, что коэффициенты aij ( x ) оператора L0 являются квадратными матрицами
порядка
с элементами из класса C1 ( R n ) и удовлетворяют следующим условиям:
I) – aij ( x )  a ji ( x ), Im aij ( x )  0;
II) – | aij ( x ) | 1 , aij ( x ) |  2 , (x  Rn ,
n
III) –
 s ;C
i
2
n
 1   aij ( x ) si , s j ; C
i =1
i, j = 1,2,..., n);
(x  Rn , s = {si }in=1, si  C ),
i , j =1
константы  1 ,  2 , 1 в этих условиях не зависят от x и s.
Рассмотрим следующий нелинейный дифференциальный оператор второго порядка с переменными старшими коэффициентами
L[u] = L0 [u]  V ( x, u)u.
Пусть V ( x, ) - квадратная матрица-функция порядка
(1)
, определенная на всех x  R n ,
  C , элементы которой непрерывно дифференцируемы по всем аргументам. Предполагается, что
значения V ( x, ) являются положительно-определёнными эрмитовыми матрицами.
Определение 1. Оператор L[u ] называется разделимым в весовом пространстве L2,k ( R n ) ,
если для всех вектор-функций u( x) W2,loc ( R n )  L2,k ( R n ) , таких, что L[u]  L2,k ( R n ) выполняются включения
L0 [u]  L2,k ( Rn ) , V ( x, u( x))u( x)  L2,k ( R n ) .
Вводим некоторые обозначения
1
2
F ( x, )  F ( x1,..., xn , 1,...,  ,1,..., ) = V ( x, ),
Q( x, )  Q( x1,..., xn , 1,...,  ,1,..., ) = F 2 ( x, ).
1
2
Здесь V ( x,  ) однозначно определяется как квадратный корень положительно определённой эрмитовой матрицы.
666
Математика
О.Х.Каримов
Определение 2. Будем говорить, что матрица-функция V ( x, ) , ( x  Rn ,   C ) принадлежит классу Tn,, , , , если выполняются следующие условия:
n
1)

j 1
2
3


2
F ( x,  )
( F ( x,  )) F ( x,  )  
x j

1
2
 C ;
для всех x  Rn ,
2)

1
 ( k  F 2 ( x ,  )
k 1
 (
k
k 1
 F 1 ( x,  )
4)

j 1
C
C


(Q( x,  ))   k  F 1 ( x,  )
(Q( x,  )) )
k
k
  F ()
C
C
  C и всех   ( 1  i1, 2  i 2 ,...,   i ,)  C ;
для всех x  Rn ,
n
1
  F 2 ()
  C и всех   ( 1  i1, 2  i 2 ,...,   i ,)  C ;
для всех x  Rn ,
3)
1



( F ( x,  ))   k  F 2 ( x,  )
( F ( x,  )) )
k
k
2

Q ( x,  )
(Q( x,  ))Q 1 ( x,  ) 
x j

1
2
для всех x  Rn ,
 C .
Теперь сформулируем основной результат работы.
Теорема. Пусть матрица-функция V ( x, ) принадлежит классу Tn,, , , и матрица-функций
aij ( x ) коммутируется с V ( x, ) и удовлетворяет условиям I, II, III и пусть весовая функция k ( x )
принадлежит классу C1 ( R n ) и для всех x  Rn ,   C удовлетворяет неравенству
n

j =1
2
1

k ( x ) 1
k ( x )Q 2 ( x,  )   3
x j
(2)
для всех x  R n и всех   C . Тогда при выполнении неравенств
1 1 < 2,
0 <  3 < 2,
  3 <
  3 <
2
1 1n
2
,
1
11n
0< <
2
0< <
,
1
1 1n

1
1 1n

n(    3 )
,
2
(   3 )n
,
2
(3)
где  , 1 , ,  , 1,  3 - постоянные из условия 1)-4) и I-III, нелинейный оператор (3) разделяется в
весовом пространстве L2,k ( R n ) и для всех решений u( x)  L2,k ( R n )  W2,loc ( R n ) уравнения
 
u( x ) 
 aij ( x )
  V ( x, u( x ))u( x ) = f ( x )
xi 
i , j =1 x j 
n

667
(4)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2015, том 58, №8
с правой частью f ( x)  L2,k ( R n ) выполняется следующее коэрцитивное неравенство
n
1
2
V ( x, u)u; L2,k ( R )   V ( x, u)
n
j =1
u
; L2,k ( R n ) 
x j
 L0 [u]; L2,k ( R n )  M f ; L2,k ( R n ) ,
(5)
где число M > 0 не зависит от вектор-функций f ( x ), u( x ) .
Результат, сформулированный в этой теореме, ранее был анонсирован только в случае оператора Шрёдингера [10].
Далее мы остановимся на основных моментах доказательства основной теоремы. Сначала без
доказательства сформулируем две вспомогательные леммы.
Лемма 1. Пусть выполнены условия I-III. Пусть в уравнении (4) правая часть принадлежит
L2,k ( R ) и пусть решение u( x ) уравнения (4) принадлежит классу W2,2loc ( R n )  L2,k ( R n ) . Тогда
n
1
при условии (2), где  3 удовлетворяет условию (3), вектор функции V 2 ( x, u( x ))u( x ),
u
xi
(i = 1,..., n) принадлежат пространству L2,k ( R n ) .
Лемма 2. Пусть коэффициенты aij ( x ) (i, j = 1,n) дифференциального оператора (3) удовлетворяют условиям I-II и пусть вектор-функция u( x ) принадлежит классу W2,2loc ( R n )  L2,k ( R n )
и удовлетворяет уравнению (4 ) с правой частью f ( х)  L2,k ( R n ) . Тогда при условии (2) , где  3
3
2
1
2
удовлетворяет условию (3), вектор-функции F ( x, u( x ))u( x ), F ( x, u( x ))
u( x )
, i = 1, n принадxi
лежат пространству L2,k ( R n ) .
Теперь переходим к непосредственному доказательству теоремы. Пусть  ( x )  фиксированная неотрицательная функция из класса C0 ( R n ) , обращающаяся в единицу при | x |< 1. Для любого
положительного числа  положим  ( x) =  ( x). Используя равенство
n 

u 
( f , kV ( x, u)u) =   
(aij ( x ))
 ,  kV ( x, u)u) 

xi 
i , j =1  x j
(V ( x, u)u, kV ( x, u)u) ,
(6)
где (,) – скалярное произведение в пространстве L2,k ( R n ) , после несложных преобразований получим:
668
Математика
О.Х.Каримов

n
  a
( f , kV ( x, u)u) =
i , j =1
ij

u
u 
,  kV ( x, u)

xi
x j 
 P1( ) (u)  P2( ) (u)  P3( ) (u)  P4( ) (u)  (V ( x, u( x))u( x),  kV ( x, u)u),
где

n
  a
P1( ) (u) =
i , j =1
P2( ) (u) =
ij


u 
,
kQ( x, u)u  ,

xi x j

 u
 um  Q  n  u
 u  Q 
a
,

Re
k
u     aij
,    Im m  k
u ,



ij
 
 x    i , j =1  x

  
 xi

x
i , j =1 
m=1 
m
=1
j 
m
i
j
m





n

n
 a
P3( ) (u) =
i , j =1
n


 a
P4( ) (u) =
i , j =1

ij
ij
u
Q 
,  k
u ,
xi
xi 

u
k
, 
Q( x, u)u  .
xi
xi

Здесь и далее значения матрицы-функций Q ,
Reu1 ( x),..., Reu ( x), Imu1 ( x),..., Imu ( x)). Так как
Q Q
Q
,
взяты в точке ( x1 ,..., xn ,
,
x j  k k
 ( x )
 M 0 , то, применяя неравенство Коx j
ши-Буняковского, можно получить оценку:
3
2
n
1
2
| P (u) |  M F ( x, u( x ))u( x ); L2,k ( R )   F ( x, u)
( )
1
n
i =1
u
; L2,k ( R n ) .
xi
В силу леммы 2 отсюда следует, что limP1( ) (u) = 0.
 0
Теперь переходим к оценке функционала
 =  ( x ) 
P2( ) (u) . Из условия 4) при  = u( x),
u( x )
, применяя неравенство Коши-Буняковского, получим
x j
| P2( ) (u) |
n

aij  k F ( x, u )
i , j =1
F 1 ( x, u)
u
; L2 ( R n ) 
xi

Q
u
u    Im k

k
x j


k =1
 1
Q
 F ( x, u )
k

Далее применяя условие II, имеем
669

u

k   Re k

x j




u  ; L2 ( R n ) .



 

Доклады Академии наук Республики Таджикистан
n
| P2( ) (u) |  1 
 kV ( x, u)
i , j =1
2015, том 58, №8
u
; L2 ( R n ) 
xi
n
  1 n  
i =1
 kV ( x, u)
u
kV ( x, u )
; L2,k ( R n )
xi
u
; L2 ( R n ) 
x j
2
.
Из последнего неравенства следует, что
n
 u
u 
| P2( ) (u) | n 1  
,  kV ( x, u)
,
xi 
i =1  xi
где  1 ,  - константы из условия II, (3).
Переходим к оценке функционала P3( ) (u) . Учитывая эрмитово-сопряженные значения матрицы-функции Q( x, ) , получаем следующее представление для P3( ) (u)
P3( ) (u) =
1
1


u
Q 
2
2

ka
Q
(
x
,
u
)
,

kQ
( x, u )
u .
 

ij

xi
x j 
i , j =1 
n
1
Так как Q 2 ( x, u) = F ( x, u) и, согласно лемме 2, вектор-функции F ( x, u )
u
(i = 1, n) приxi
надлежат пространству L2,k ( R n ) , то, применяя неравенство Коши-Буняковского и условие II, имеем
| P3( ) (u) |
n

aij  k F ( x, u)
i , j =1

 1n
2
n


i =1
u
; L2 ( R n ) 
xi
u
k F ( x, u )
; L2 ( R n )
xi
2

1
 kQ 2 ( x, u)
Q
u; L2 ( R n ) 
x j
1

n n
Q

 kQ 2 ( x, u)
u; L2 ( R n )

2 j =1
x j
2
.
Здесь  - произвольное положительное число. В силу условия (4) получим
| P3( ) (u) |
 1n
n
 u
u  n
 
,  kV ( x, u)
(V ( x, u)u,  kV ( x, u)u) ,

2 i =1  xi
xi  2
где  1 ,  - константы из условия II, (4).
Теперь переходим к оценке функционала P4( ) (u) . С этой целью представим его в виде
P4( ) [u] =
n
( k  aijV ( x, u)
i , j =1
u
k 1  12
, k 
k Q ( x, u )V ( x, u )u ) .
xi
xi
Применяя неравенство Коши-Буняковского и условие II, имеем
670
Математика
О.Х.Каримов
| P4( ) (u) |
n

 kV ( x, u)aij
i , j =1
  kk 1
u
; L2 ( R n ) 
xi
k  12
Q ( x, u)V ( x, u)u; L2 ( R n )
xi
.
Используя условие (2), приходим к следующей оценке
( )
4
| P [u ] |

 3n
2
 n 1
2
n


i =1
u
kV ( x, u( x ))
; L2 ( R n )
xi
 kV ( x, u )u; L2 ( R n )
2

2
,
где   0 ,  1 ,  3 - константы из условия II, (2).
Так как матрица-функции aij ( x ) коммутируются с V ( x, u( x )), то, применяя условие эллиптичности
III , получаем
 u
u  n
u
,

kV
(
x
,
u
)
; L2 ( R n )

 =   k F ( x, u )



x

x

x
i =1 
i =1
i
j 
i
n
2

n

u
u 
 1   aij  k F ( x, u )
,  k F ( x, u )
.
xi
xi 
i , j =1 
На основе полученных оценок из равенства (6) следует, что
n
( f , kV ( x, u)u)  (aij
i =1
u
u
, V ( x, u( x ))
)
xi
x j
(V ( x, u)u,V ( x, u)u)  P1( ) [u]  P2( ) [u]  P3( ) [u]  P4( ) [u].
Далее, применяя неравенство Коши – Буняковского, получим
n
1 
i =1
( )
1
u
 F ( x, u ) ; L2,k ( R n )
xi
 | P (u ) |
2
 V ( x, u )u; L2,k ( R n )
 f ; L2,k ( R )   V ( x, u)u; L2,k ( R ) ,
n
n

n  3 

     , 2 = 1 

.
 2 2 
 1 1n


где 1 =  1n 
 2
1
671
2

(7)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
Пусть

   1n 
1
 1 1n

 
–
2015, том 58, №8
положительное

1
(n   3  .
4

число,
удовлетворяющее
1
2
  (n   3 )   .
Положим
неравенство
Тогда


1
n   3 
   ( (n   3 )   )   0, 2 = 1 
  0.
2
 1 1n

 n   3  2  

1 =  1n 
1
Теперь, переходя в неравенстве (7) к пределу при   0, после несложных преобразования
получим коэрцитивное неравенство (5) . Разделимость нелинейного оператора (4) следует из коэрцитивного неравенства (7).
Теорема доказана.
Поступило 26.02.2015 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Everitt W.N., Gierz M. An example concerning the separation property for differential operators. –
Proc.Roy.Soc.Edinburg A., 1973, v.71, pp.159-165.
2. Everitt W.N., Gierz M. A Dirichlet type result for ordinary differential operators. – Math. Ann., 1973,
v.203, №2, pp.119-128.
3. Everitt W.N., Gierz M. Inequalities and Separation for certain ordinary differential operators. – Proc.
London Math.Soc.(3), 1974, v.28, pp.352-372.
4. Everitt W.N., Gierz M. Inequalities and Separation for Schrodinger type operators in L2(Rn)l. – Proc. Roy.
Soc. Edinburg A., 1977, v.79, pp. 257-265.
5. Бойматов К.Х. Теоремы разделимости, весовые пространства и их приложения. – Труды Математического института им. В.А.Стеклова АН СССР, 1984, т.170, с.37-76.
6. Бойматов К.Х. Коэрцитивные оценки и разделимость для нелинейных дифференциальных операторов второго порядка.-Математические заметки, 1989, т.46, №6, с.110-112.
7. Отелбаев М. Коэрцитивные оценки и теоремы разделимости для эллиптических уравнений в Rn. –
Труды Математического института им.В.А. Стеклова АН СССР, 1983, т.161, с.195-217.
8. Мохамед А.С. О разделимости нелинейного оператора Шредингера с матричным потенциалом. //
В сб.: Тезисы республиканской научн. конф. ''Теория приближения и вложения функциональных
пространств'' – Караганда, 1991, с.88.
9. Каримов О., Усмонов Н.У. Коэрцитивные неравенства и разделимость для нелинейных систем
дифференциальных уравнений второго порядка. – Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 1997, т.44, №9-10, с.32-40.
10. Каримов О. О разделимости нелинейного оператора Шрёдингера с матричным потенциалом в
весовом пространстве. – Доклады Академии наук Республики Таджикистан, 2005, т. XLVIII,
№3-4, с.38-43.
11. Каримов О.Х. О разделимости нелинейных дифференциальных операторов с матричными коэффициентами.-Известия АН Республики Таджикистан.
химических, геологических и технических наук, 2014, №4.
672
Отделение физико-математических,
Математика
О.Х.Каримов
О.Х.Каримов
ОИДИ ЉУДОШАВАНДАГИИ ОПЕРАТОРЊОИ ДИФФЕРЕНСИАЛИИ
ЃАЙРИХАТТИИ ТАРТИБИ ДУЮМ БО КОЭФФИТСИЕНТЊОИ
МАТРИТСАВЇ ДАР ФАЗОИ ВАЗНДОР
Институти математикаи ба номи А.Љўраеви Академияи илмхои Љумњурии Тољикистон
Дар маќола људошавандагии як синфи операторњои дифференсиалии ѓайрихаттї бо
коэффитсиентњои матрисавї дар фазоњои вазндор исбот карда шудааст, ки дар тамоми фазои nченакаи евклидї дода шудаанд ва дар њолати умум ошўби сусти операторњои хаттї намебошанд.
Калимањои калидї: фазоњои фазндор – оператори дифференсиалии ѓайрихаттї – људошавандагї –
нобаробарии коэрситивї – коэффитсиенти матритсавї.
O.Kh.Karimov
ON SEPARABILITY OF THE SECOND ORDER NONLINEAR DIFFERENTIAL
OPERATORS WITH MATRIX COEFFICIENTS IN WEIGHTED SPACES
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of sciences of the Republic of Tajikistan
In the paper the separability for a class of the second order nonlinear differential operators with matrix coefficients in weighted spaces which are not weak perturbation of a linear operator and given in a hole
n-dimensional Euclidian space is proved.
Key words: weighted space – nonlinear differential operator – separability – coercive inequality – matrix
coefficient.
673
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа