close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О разрешимости одной краевой задачи для нагруженного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

код для вставкиСкачать
• «Наука. Мысль: электронный периодический журнал».• Научный журнал •
• «A science. Thought: electronic periodic journal» • scientific e-journal •
№ 12. - 2015
Физико-математические науки
УДК 517.95
О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО
ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 4
Р. М. Кумышев, Кабардино-Балкарский государственный университет
им. Х.М. Бербекова (Нальчик, Россия), e-mail: kumyshev1974@mail.ru
Аннотация. Исследована краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка. Вопрос разрешимости при определенных условиях редуцирован к исследованию
системы алгебраических уравнений.
Ключевые слова: дифференциальное уравнение, нагруженное уравнение, краевая
задача, функция Грина, система алгебраических уравнений.
В последние годы продолжается интенсивное исследование нагруженных уравнений
[2-4], связанное, в частности, с различными приложениями задач, ассоциированных с этими уравнениями. К ним относятся, например, задачи долгосрочного прогнозирования и
регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги, моделирование процессов переноса частиц, некоторые задачи оптимального управления.
Термин «нагруженное уравнение» впервые появился в работах применительно к интегральным уравнениям[1].
Рассмотрим нагруженное обыкновенное дифференциальное уравнение
n
y( x)  y ( x)   i y ( xi )  f ( x),
(1)
i 1
n
где  , i (i  1, n ) - некоторые постоянные, причём   0,   i  0, а xi (i  1, n ) - фиксиi 1
рованные точки из интервала (0;1) ; для определённости будем считать, что
0  xi  x2    xn  1.
Функция f (x) предполагается непрерывной на всем отрезке (0;1) .
Для уравнения (1) рассмотрим следующую краевую задачу: определить регулярное
решение
уравнения
(1),
удовлетворяющее
краевым
условиям:
(2)
y(0)  y(1)  0 .
Теорема. Задача (1) - (2) имеет единственное регулярное решение тогда и только
тогда, когда выполняются условия:
n
  sh
i 1
i
 xi
2
sh
 (1  xi )
2


2
ch

2
,   0,
(3)
Статья представлена магистром социальной работы Т. М. Хусяиновым (Нижний Новгород, Россия). Рецензент: Кумыков Тембулат Сарабиевич – кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник отдела математического моделирования геофизических процессов ФГБНУ «Институт прикладной математики и автоматизации» (Нальчик, Россия).
4
46
• «Наука. Мысль: электронный периодический журнал».• Научный журнал •
• «A science. Thought: electronic periodic journal» • scientific e-journal •
n
  sin
i 1
i
№ 12. - 2015
  xi
  (1  xi )


sin
  cos
,  0 .
2
2
2
2
(4)
Запишем уравнение (1) в виде:
n
y( x)  y ( x)   i y ( xi )  f ( x) .
(5)
i 1
Выясним сначала, существует ли функция Грина для оператора
Ly  y( x)   y( x)
c краевыми условиями (2).
Сначала рассмотрим случай   0 . Очевидно, что y1 ( x)  e 
фундаментальная система решений уравнения
y( x)   y( x)  0 ,
общее решение которого можно представить в виде
x
y(x)  c1e 
 c2 e
(6)
x
, y2 ( x)  e
x
есть
(7)
x
.
(8)
В случай   0 фундаментальная система решений уравнения (7) имеет вид:
y1 ( x)  cos   x, y2 ( x)  sin   x , а общее решение y( x)  cos   x  sin   x .
Нетрудно заметить, что функция Грина задачи (2) для оператора Ly  y   y при
  0 имеет вид:
  sh  (1  x) sh  t
, 0  t  x,

 sh 

G ( x, t )  
  sh  x  sh  (1  t ) , x  t  1.

 sh 
а при   0 :
  sin    sin

  sin

G ( x, t )  
  sin   x  sin

  sin
(9)
  (1  x)
,

0  t  x,
  (1  t )
,

x  t  1.
(10)
Cчитая известной правую часть уравнения (5) и используя (15), запишем его решение
в виде:
1
n
0
i 1
1
y ( x)   G( x, t ) f (t )dt   i y ( xi )  G( x, t )dt .
(11)
0
1
1
0
0
Обозначим  ( x)   G ( x, t )dt ,  ( x)   G( x, t ) f (t )dt ,
(12)
С учетом (12) выражение (11) принимает вид:
n
yx    x  i yxi    x  .
i 1
Элементарными вычислениями легко показать, что:
47
(13)
• «Наука. Мысль: электронный периодический журнал».• Научный журнал •
• «A science. Thought: electronic periodic journal» • scientific e-journal •
№ 12. - 2015

x
 (1  x)
sh
  2 sh
2
2
,  0



ch
1

2
 ( x)   G ( x, t )dt  
0
 2 sin   x sin   (1  x)

2
2
,  0




 cos

2
В выражении (13) придавая значения x  x1 , x  x2 , ... , x  xn :
n





y
x


x
1  i y  xi     x1 
 1
i 1

n





y
x


x
2  i y  xi     x2 
 2
i 1

n

 y  x3     x3  i y  xi     x3 
i 1

...............................................

n
 y  x     x   y  x     x .
n  i
i
n
 n
i 1


Ведем обозначения yi  yxi , i   xi ,  i   ( xi ).
(14)
(15)
(16)
С учетом (16) система (15) принимает вид:
n

y


1  i yi   1
 1
i 1

n

y


2  i yi   2
 2
i 1

n

 y3   3  i yi   3
i 1

.............................

n
y  
n  i yi   n ,
 n
i 1


(17)
или в более развернутом виде:
 y1  1 (1 y1  2 y2  3 y3  ...  n yn )   1
 y   ( y   y   y  ...   y )  
2
1 1
2 2
3 3
n n
2
 2
y


(

y


y


y

...


y
)


 3
3
1 1
2 2
3 3
n n
3
................................................................

 yn   n (1 y1  2 y2  3 y3  ...  n yn )   n .
(18)
Выражение (18) – есть линейная алгебраическая система из n-неизвестных. С помощью элементарных преобразований запишем последнюю систему в виде:
48
• «Наука. Мысль: электронный периодический журнал».• Научный журнал •
• «A science. Thought: electronic periodic journal» • scientific e-journal •
№ 12. - 2015
1  11  y1  2 1 y2  3 1 y3  ...  n 1 yn   1
  y  1     y    y  ...    y  
2 2
2
3 2 3
n 2 n
2
 1 2 1
1 3 y1  2  3 y2  1  3  3  y3  ...  n  3 yn   3
.........................................................................

1 n y1  2  n y2  3  n y3  ...  1  n  n  yn   n .
(19)
Система (19) имеет единственное решение, если
1  11
1 2
 n  1 3
2 1
3 1
...
1  2  2
3  2 ...
2  3 1  3  3 ...
...
...
...
1 n
2  n
3  n
n 1
n  2
n  3
 0.
(20)
...
...
... 1  n  n
Используя известные свойства определителей, методом математической индукции
n
 n  1   i i .
можно доказать, что
(21)
i 1
Действительно, при n  1 : 1  1  11 ; при n  2 :
2 
1  11
1 2
2 1
 1  11  2  2  12 1 2  12 1 2  1  11  2  2 ;
1  2  2
при n  3 :
1  1 1
 3  1  2
1  3
2 1
3  1
1
2 1
3  1
1  2  2
3  2  0 1   2  2
3  2 
2  3
1  3  3 0
2  3
1  3  3
1 1
2 1
3  1
 1  2 1  2  2
3  2  1  1 1  2  2  3  3 ;
1  3
2  3
1  3  3
(22)
при n  k :
k
 k  1   i i .
(23)
i 1
Перейдем к разрешимости системы (19). Найдем все неглавные определители данной
системы:
1
2 1
31 ...
 2 1  2  2
3 2 ...
1n   3
2 3 1  33 ...
...
...
...
n
2  n
3 n
1  11
1 2
2n  1 3
...
...
... 1  n  n
1
3 1
...
2
3  2 ...
 3 1  3  3 ...
...
...
...
1 n
n
3  n
49
n 1
n  2
n 3 ,
n 1
n  2
n  3 ,
...
...
... 1  n  n
• «Наука. Мысль: электронный периодический журнал».• Научный журнал •
• «A science. Thought: electronic periodic journal» • scientific e-journal •
№ 12. - 2015
………………………………………
1  11
1 2
  1 3
n
n
2 1
3 1
...  1
1  2  2
3  2
...  2
2  3 1  3  3 ...  3 .
...
...
...
1 n
2  n
3  n
... ...
...  n
Решения системы (19) определяются по формулам:
1n
2n
3n
nn
; y2  ; y3  ; …, yn  ,
y1 
n
n
n
n
(24)
или с учетом (21)
y1 
1n
n
1   i  i
; y2 
2n
n
1   i  i
; y3 
i 1
i 1
3n
n
1   i  i
; …, yn 
i 1
nn
n
1   i  i
. (25)
i 1
Рассмотрим выражение
n
(i , j )
n

1   k  k , i  j ,
  kk 1i , j

  i  i , i  j ,
(26)
где  n (i , j ) - алгебраическое дополнение элемента i-ой строки и j-го столбца в определителе  n . Так как
y ( xi ) 
1
n
n

i 1
(i , j )
n
(27)
 ( x j ), i  1, n ,
то из равенства (26) получаем (при  n  0 ):
y ( xi ) 
1
n
1 j j
n
( i    j ( i  j  i j )) .
(28)
j 1
j i
j 1
Теорема доказана.
Литература:
1. Кумышев Р.М.О разрешимости краевой задачи для нагруженного дифференциального уравнения. //ФӘн-наука. 2015. №4 (43). С. 6-8.
2. Нахушев А.М. Нагруженные дифференциальные уравнения и их приложения //
Труды Всесоюзного симпозиума в Тбилиси, 21-23 апреля 1982 г. С. 183-188.
3. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения // Дифференц. Уравнения. 1983. Т. 19, № 1.
С. 86-94.
4. Нахушев А.М. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод
// Дифференц. Уравнения. 1982. Т.18, № 1. С.72-81.
Kumyshev R.M. O razreshimosti odnoj kraevoj zadachi dlja nagruzhennogo obyknovennogo
differencial'nogo uravnenija vtorogo porjadka // Nauka. Mysl'. - №12. – 2015.
50
• «Наука. Мысль: электронный периодический журнал».• Научный журнал •
• «A science. Thought: electronic periodic journal» • scientific e-journal •
№ 12. - 2015
© Р. М. Кумышев, 2015.
© «Наука. Мысль», 2015.
―●―
Abstract. The boundary value problem for the second order differential equation has been
studied. The question on solvability at given conditions has been reduced to the investigation of a
system of algebraic equations.
Keywords: differential equation, loaded equation, boundary value problem, Green function,
system of algebraic equations.
.― ● ―
Сведения об авторе
Радион Музаринович Кумышев, старший преподаватель кафедры дифференциальных уравнений, Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова.
―●―
Подписано в печать 13.12.2015.
© Наука. Мысль, 2015.
51
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа