close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О сечениях в базе 2-упорядоченного поля.

код для вставкиСкачать
УДК 512.623
Г.Г. Пестов, Е.А. Фомина
О СЕЧЕНИЯХ В БАЗЕ 2-УПОРЯДОЧЕННОГО ПОЛЯ
Рассматриваются свойства сечений в базе двумерно упорядоченного поля. Получено уравнение, характеризующее такие сечения, и сформулированы некоторые следствия.
Две функции в 2-упорядоченном поле
P, P u
Пусть в
Основное уравнение
нет бесконечно малых (следова-
тельно, и бесконечно больших [1], лемма 5.3.18). Обозначим через
Итак, функция ϕ определена всюду на P0 [a] .
~
P0 непрерывное замыкание поля P0 .
Теорема 2.1. Для каждого бесконечно близкого к
базе P0 элемента a ∈ P выполнено равенство
Пусть (aτ )τ<α есть последовательность элементов базы,
сходящаяся к
a ∉ P0 . Тогда ([1], теорема 6.3.4.), а бес-
конечно близок к базе
P0 . Фундаментальная последо-
вательность элементов линейно упорядоченного поля
P0 включает эквивалентную монотонную подпоследовательность. Будем считать, что последовательность
(aτ )τ<α – монотонно возрастающая.
Определение 1.1. Пусть x ∈ P0 [a] . Положим
−
Если ( ψ −a ( x), ψ a+ ( x) ) есть фундаментальное сечение
~
P0 , то элемент из P0 , который производит это се-
чение, обозначим через ψ a ( x) . Пусть для определёнo
u
r
ности a ∈ P ∩ P .
Определение 1.2. Пусть x ∈ P0 [a] . Положим
ϕ− ( x) = {r ∈ P0 r < x} , ϕ+ ( x) = {r ∈ P0 x < r} .
Если ( ϕ− ( x), ϕ+ ( x) ) есть фундаментальное сечение в
P0 , то элемент из P0 , который производит это сечение, обозначим через ϕ( x) .
По определению ϕ имеем
ϕ− (a) = {r ∈ P0 r < a} , ϕ+ (a ) = {r ∈ P0 a < r} .
Так как последовательность (aτ )τ<α фундаментальная и возрастающая в P0 , то сечение ( ϕ− (a ), ϕ+ (a) )
фундаментально в P0 , следовательно, значение ϕ(a)
определено.
При любом фиксированном натуральном n послеn
довательность (ar ) фундаментальна, монотонна и схоn
дится к a . Следовательно, сечение ( ϕ− (a n ), ϕ+ (a n ) )
фундаментально в P0 . Поэтому ϕ(a n ) определено.
n
n
Лемма 1.1. ϕ(a ) = ϕ (a ) .
Доказательство следует немедленно из определения фундаментального сечения в линейно упорядоченном поле.
Далее, очевидно, что ϕ – линейная функция,
⎛ n
⎞ n
ϕ ⎜ ∑ λ k a k ⎟ = ∑ λ k ϕ(a ) k .
⎝ k =0
⎠ k =0
94
Доказательство. В [1] доказано включение
m(ϕ − (a )) m−1 ⊂ ψ −a (a m ) .
(1)
Докажем включение
m(ϕ + (a )) m−1 ⊂ ψ a+ (a m ) .
Пусть a > 0 . Пусть 0 < r0 < r < a < s , где
(2)
o
r _ 0, r , s ∈ P0+ , a ∈ P u .
Имеем
a m = ( s − ( s − a)) m =
+
ψ a (a ) = {r ∈ P0 ra <u x} , ψ a (a) = {r ∈ P0 x <u ra} .
в
ψ a (a m ) = mϕ(a m−1 ) = mϕ m−1 (a ) .
= s m − m( s − a ) s m −1 + Cm2 ( s − a) 2 s m − 2 ...(−1) m ( s − a) m ,
a m = s m + mas m −1 − ms m + Cm2 ( s − a) 2 s m − 2 ...(−1) m ( s − a) m .
Обозначим
∆( s ) = [(Cm2 ( s − a ) 2 s m − 2 − Cm3 ( s − a)3 s m −3 ) + ... +
+(Cmm −1 ( s − a) m −1 s − ( s − a ) m )]
для нечётного m и
∆( s ) = [(Cm2 ( s − a ) 2 s m − 2 − Cm3 ( s − a)3 s m − 3 ) + ... +
+(Cmm − 2 ( s − a ) m − 2 s 2 − Cmm −1 ( s − a) m −1 s) + ( s − a) m ]
для чётного m.
o
Покажем, что ∆( s ) ∈ − P u . Для этого достаточно
показать, что каждая разность в круглых скобках и
элемент ( s − a) m (случай чётного т) принадлежит
o
o
− P u . Элемент ( s − a)m ∈ − Pu в силу теоремы об элементах, бесконечно близких к базе [3]. Рассмотрим
произвольную разность.
(C mk ( s − a ) k s m− k − C mk +1 ( s − a ) k +1 s m − k −1 ) =
Ck
= C mk +1 ( s − a ) k s m −k −1 ( km+1 s − ( s − a )).
Cm
Далее нам понадобится
Лемма 2.2. Пусть α – бесконечно близкий к базе
элемент,
o
α ∈ − Pu ,
0 < α < ε , где
2
ε ∈ P0+ . Тогда
o
∀k ∈ N α k (ε − α) ∈ − Pu .
Доказательство. 1) Пусть сначала k = 1 .
o
ε
u
r
− α ) ∈ P ∩ P , т.к. α – бесконечно
2
близкий к базе элемент, то и
Имеем (
(
o
ε
2
− α ) ∈ Pu ∩ P r
2
Имеем
o
⇒ −εα + α 2 ∈ P u ∩ P r ⇒
o
u
(a − r ) n+1 − δ(a − r ) n = (a − r ) n (a − r − δ) .
Выберем r > 0, r < a так, чтобы (a − r ) < δ . По-
r
a (ε − a ) ∈ – P ∩ P .
на
2) Определим отношение частичного порядка: o
u
o
u
− P . Пусть α, β ∈ − P . Положим
α ⇔ βα −1 ∈ − P .
β
Можно показать, что это отношение антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Имеем
o
u
скольку а бесконечно близко к базе
(a–r) бесконечно близко к
o
u
a (ε − a ) ∈ − P
2
рального n:
o
(ε − a ) −1 ⇒ a k (ε − a ) ∈ − P u .
a k a (ε − a ) −1 ⇒ a k Лемма доказана.
k
⎫⎪
⎪⎧ r C
Обозначим µ = min ⎨ 0 k +m1 , 2 ≤ k ≤ m − 1⎬ .
⎪⎩ C m
⎪⎭
Так как а производит фундаментальное сечение в
6.3.3. [1] для всех натуральных n > 0 выполнено
b n (δ − a ) > u 0 ⇒
( a − r ) n (δ − a ) > u 0 и ( a − r ) n > u 0 ⇒ r ( a − r ) n > u 0
или
(a − r ) n δ >u (a − r ) n +1 >u 0 .
Итак, формула (3) доказана. Из (3) находим
εk =
C mk
C mk +1
s ,
o
откуда
Далее
Итак,
a ∈ P , a = s + mas
Так как
m
m
m
m
m −1
− P u замкнут от-
a n < u nr n −1a + δC n2 r n −2 a + ... + δ n −1a.
Выберем δ ∈ P0 так, чтобы выполнялось неравенст-
m
− ms + ∆( s ) .
m −1
во
δC n2 r n −2 + ... + δ n −1 < ε.
a . Следо-
Соответственно, выберем
или a > r1 > a − δ .
m
⊂ ψ a (a ) . Итак,
Тогда из (5), учитывая неравенство
m(ϕ(a )) m −1 = ψ a (a m ) .
−
+
n
a
n
Докажем, что сечение (ψ a (a ), ψ a (a )) фундаментально в
Это значит, что
P0 .
Пусть δ ∈ P0 , δ > 0. Убедимся, что существует такое
где
r ∈ P0+ , что для всех натуральных n 1 < n ≤ m :
(a − r )
n +1
n
< u δ( a − r ) .
r1 ∈ P0+ так, чтобы
r ≤ r1 < a , a − r1 − δ < 0
Это включение получается для каждого s ∈ ϕ+ (a ) .
Значит, m(ϕ (a ))
(5)
Пусть ε ∈ P0 .
m
+
(4)
В равенстве
a n = r n + n(a − r )r n −1 + ... + (a − r ) n
заменим слагаемые в правой части, используя неравенства (4). Получим
u
m −1
∈ ψ +a (a m ) .
вательно, ms
m −1
(a − r )3 <u δ(a − r ) 2 <u δ 2 a.
………
(a − r ) m <u δ m −1a.
+
s − ms ∈ P0 , то a < u ms
+
(a − r ) 2 < u δa.
(a − r ) n +1 < u δ n a.
носительно сложения, то ∆ ( s ) ∈ − P .
o
u
(a − r ) 2 < u δ(a − r ),
Итак,
q k = C mk +1 s m − k −1 ∈ P0 , q k > 0 ,
m
(a − r ) n (δ − (a − r )) >u 0 .
Отсюда
o
o
n
( a − r ) n (δ − a + r ) > u 0 ,
= −qk ( s − a) k (ε k − ( s − a)) ∈ − Pu ,
Так как нижний открытый конус
⇒
( ( a − r ) (δ − a ) > u 0 ) + ( r ( a − r ) > u 0 ) ⇒
n
s − ( s − a)) =
0< s−a<µ .
2
o
Обозначим b = a – r. Теперь b < δ . По лемме
Теперь условия леммы выполнены, следовательно,
каждая скобка принимает вид
(Cmk ( s − a) k s m − k − Cmk +1 ( s − a) k +1 s m − k −1 ) =
где
P0 и для каждого нату-
(a − r ) n ∈ P u ∩ P r .
µ
P0 , то s ∈ P0 можно выбрать так, чтобы 0 < s − a < ,
2
k
k
rC
sC
при
любом
а
значит,
s − a < 0 km+1 < k +m1
2C m
Cm
2 ≤ k ≤ m −1.
=
P0 , a ∈ P , то и
2
⇒ a (ε − a)−1
Ck
Cmk +1 ( s − a) k s m − k −1 ( km+1
Cm
o
u
(3)
n
< u a (nr1n −1
r ≤ r1 , получим
+ ε).
(nr1n −1 + ε) ∈ ψ a+ (a n ),
nr1n −1 ∈ ψ a− (a n ).
(6)
(7)
95
Итак, для каждого ε > 0 существует такое
r1 <u a ,
r1 ∈ P0 , что выполнены отношения (6), (7).
Но это означает, что сечение ( ψ a− (a n ), ψ a+ (a n ) ) фундаментально в
P0 , и значит, определено значе-
n
ние ψ a ( a ) .
Далее
ψ −a (a n ) = n(ϕ − ) n −1 (a ) = n(ϕ − (a n−1 )) ,
т.е.
ψ a (a n ) = nϕn −1 (a) = nϕ(a n −1 ).
Теорема доказана.
Очевидным следствием является следующая
Теорема 2.3. Пусть Р есть 2-упорядоченное поле без
бесконечно малых относительно базы P0 . Если
a ∈ P есть предел последовательности элементов ба-
зы F ( x) ∈ P0 [ x], то имеет место равенство
ψ a ( F (a)) = F ′(ϕ(a)) = ϕ( F ′(a)).
ψ +a (a n ) = n(ϕ + ) n −1 (a ) = n(ϕ + (a n −1 )),
ЛИТЕРАТУРА
1. Пестов Г.Г. Двумерно упорядоченные поля. Томск: Tомский государственный университет, 2003. 128 с.
2. Пестов Г.Г., Фомина Е.А. О бесконечно близких к базе элементах // Вестник Томского государственного университета. 2007. № 297. С. 157–158.
Статья поступила в редакцию журнала 11 декабря 2006 г., принята к печати 18 декабря 2006 г.
96
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
658 Кб
Теги
упорядоченности, сечения, поля, базе
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа