close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О системах в полных дифференциалах для функций от произвольного числа независимых переменных и с сингулярными точками.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2011, том 54, №9
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956
Академик АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайлов, Б.Шарипов*
О СИСТЕМАХ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ ДЛЯ ФУНКЦИЙ
ОТ ПРОИЗВОЛЬНОГО ЧИСЛА НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ И
С СИНГУЛЯРНЫМИ ТОЧКАМИ
Институт математики АН Республики Таджикистан,
Институт предпринимательства и сервиса Республики Таджикистан
*
В статье рассматривается один класс систем уравнений в полных дифференциалах для
функций произвольного числа независимых переменных при тождественном выполнении условия совместности, а многообразия решений систем находятся явно.
Ключевые слова: многомерное пространство – полный дифференциал – сингулярная точка – совместность системы.
В работах [1-5] были изучены системы уравнений в полных дифференциалах (п.д.) на плоскости
r n du  a( x, y )dx  b( x, y)dy , где n – произвольное неотрицательное целое число, a, b  C1 ( D)


– заданные функции, а u  C 2 ( D0 ) - искомая функция, причѐм D  ( x, y ) 0  x 2  y 2  1 , а D0 –
та же область D , но без особой точки r=0. В трѐхмерном случае рассматривалось также уравнение
 n du  a( x, y, z )dx  b( x, y, z )dy  c( x, y, z )dz ,


где a, b, c  C1 ( D) , u  C 2 ( D0 ) , D0  ( x, y, z ) 0  x 2  y 2  z 2  1 , причѐм не только в декартовых,
но и в цилиндрических, либо в сферических координатах. В этих работах было установлено свойство
вырождения в сингулярной точке. Было выявлено, что решения изучаемых уравнений в двумерном
случае могут быть многозначными, но в трѐхмерном – всегда однозначны. Далее в работах [6,7] были
продолжены исследования свойств гладкости решений.
В настоящей работе будет рассмотрен один класс нелинейных многомерных п.д.-систем с

сингулярной точкой   0 в области D  0 

n
x
i 1
2
i

  2  1 . Переходя к n–мерной сферической

системе координат (см. [6,7]) и учитывая условия совместности изучаемых систем, можно найти такие классы функций, для которых условия совместности выполняются тождественно, а решения оп-
Адрес для корреспонденции: Шарипов Бобоали. 734055, Республика Таджикистан, г. Душанбе,
пр. Борбад, 48/5, Институт предпринимательства и сервиса. E-mail: sharipovtj@mail.ru
701
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2011, том 54, №9
ределяются явно, а также исследуется поведение решений в сингулярной точке   0 области D . В
дальнейшем будем обозначать через D0 ту же область D , но без особой точки   0 .
n
1. Пусть будет задан полный дифференциал
 m du   p k ( x, u )dxk , (k  1, n) , где
k 1
n
x  ( x1 , x2 ,..., xn ), pk ( x, u)  C 1 ( D), u  C 2 ( D0 ),  2   xi2 , что равносильно п.д.-системе.
i 1
m
p ( x, u )
u
u
 k m , x  ( x1 , x 2 ,..., x n ) ( k  1, n ),
 p k ( x, u ), (k  1, n), либо
x k

xk
(1)
причѐм еѐ условиями совместности будут:

xi
 pk
 m

 pi p k

  2 m

u x k
 
 pi
 m

 p k pi
  2 m
 0, (i, k  1, n; i  k ) .
  u
(N)
Переходя к сферическим координатам
 x1   sin 1 sin  2 ...sin  n 1 , x 2   sin 1 sin  2 ...sin  n 2 cos  n 1 ,

 x3   sin 1 sin  2 ...sin  n 3 cos  n 2 ,..., x n   cos 1 ,
преобразуем систему (1) к виду
m
u
u
 a1 (  ,  , u ),  m1
 a k 1 (  ,  , u ),   (1 ,  2 ,...,  n 1 ) (k  1, n  1),

 k
(2)
где
a1 (  ,  , u )  p1 sin 1...sin n 1  p2 cos 1 sin 2 ...sin n 1  ...  pn 1 sin 1 cos  2  an cos 1 ,
a2 (  ,  , u )  p1 cos 1 sin 2 ...sin n 1  p2 cos 1 sin 2 ...sin  n 2 cos  n 1  ... 
 pn 1 cos 1 cos 2  pn sin 1 ,
a3 (  ,  , u )  a1 sin 1 cos 2 ...sin  n 1  ...  an  2 sin 1 cos 2 cos 3  an 1 sin 1 sin 2 ,
          
an (  ,  , u )  p1 sin 1...sin n  2 cos n 1  p2 sin 1 sin 2 ...sin n 1 .
Тогда условия совместности (N) примут вид :
 m1 a1
 a
a
a
a
 a k 1 1  a1 k 1   m1   k 1  (m  1)a k 1  1

 k
u
u
 k

 

 m1 a k 1  a a k 1   m1 a j  a a j  0, ( j , k  1, n  1).
j
k 1

 j
u
 k 1
u


  0,

(N1)
Легко заметить, что для системы (2) в сингулярной точке   0 нельзя задавать условия задачи
Коши,
ибо
при
 0
из
системы
(2)
702
автоматически
получаются
соотношения:
Математика
Л.Г.Михайлов, Б.Шарипов
a1 (0,  , u )  0,..., a k 1 (0,  , u )  0 ; из них, кстати, могут быть найдены одно либо несколько искомых
функций
u  H i ( )  C1 ( D), (i  1,2,..., n) . При этом в постановке задачи было принято:
a1 (  ,  , u),..., an (  ,  , u)  C 1 ( D) заданными функциями, а u(, )  C1 (D0 ) и еѐ производные по
всем переменным считаются ограниченными. С другой стороны, при   0 из уравнений (N1) имеем,
что a k 1 (0,  , u )  c(0,  ) a1 (0,  , u ) , ( k  1, n  1 ), причѐм с(0,  )  0 . Из предыдущего равенства
можно найти функцию u  H ( ) , которая может быть единственным решением исходной системы.
Если далее считать, что   0 , то получаем, что задача Коши с заданием при   0 для системы (2)
может быть поставлена в виде:
u  u 0 при   0 , k  k(0) ( 0   k(0)  2 , 0<    0  1 ).
(3)
Пусть условия (N1) выполняются, но нетождественно. Тогда, решая систему (N1), как отдельные системы С 2n - алгебраических уравнений и применяя к ним теорему существования о неявных
функциях, найдѐм Cn2 решений: u  F j (  ,  ) , j  1,2,..., Cn2 (см.[8,9]). После этого рассмотрим следующие возможные случаи:
а) Если хотя бы одна из этих функций удовлетворяет п.д.- системе (2), то она будет некоторым частным еѐ решением. В противном случае система (2)-несовместна.
б) Если некоторая часть из (N1) выполняется тождественно, а другая часть -нетождественно,
то для этой второй части сможем требовать выполнение условий из а). При этом мы получаем некоторые другие частные решения системы.
Теперь допустим, что условия (N1) относительно искомой функции выполняются тождественно, и кроме того потребуем, чтобы функции a k (  ,  , u ) ( k  1, n ) удовлетворяли условиям (М):
1) ak (  ,  , u)  C1 ( D) , ak (  ,  , u)  K ,
a k
 0, ( k  1,2,... ); ( K=const.);
u
2) как следует из условия 1), функции a k (  ,  , u ) по переменной  будут удовлетворять ус
ловию Липщица, то есть a k (  ,  , u )  a k (o,  , u )  Lk  (0    1) ;
3) существуют числа a, b, h такие, что при x  x0  a,
u  u0  b и достаточно малом
 b
h  min  a,  обеспечивается единственное решение задачи Коши для исходной системы (2). То K
гда имеет место
Теорема 1. Пусть в п.д.-системе (2) ak  C 1 ( D)
(k  1, n) , u  C 2 ( D0 ) и, кроме того, вы-
полняются все три условия (М). Если условия совместности (N1) выполняются, но нетождественно,
тогда
могут
существовать
только
некоторые
частные
решения
п.д.-системы
(2)
u  u j (  , 1 ,...,  n1 ) ( j  1, n  1) . Пусть условия (N1) выполняются тождественно, тогда сущест-
703
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2011, том 54, №9
вует единственное решение задачи Коши с заданием вне точки   0 для системы (2), причѐм тождественное выполнение этой совокупности условий (N1) является необходимым и достаточным.
Доказательство. Аналогично [1,8], легко получить необходимое условие существования решений системы (2). Поэтому надо доказать только достаточность условий существования решений
системы. Интегрируя (n-1) уравнений системы (2) (кроме первого уравнения) по переменным (
1 ,  2 ,...,  n 1 ), имеем:
u( , ) 
1
 m1
H (  ,  , Z (  )) ,
(4)
где Z (  ) – новая неизвестная функция. Потребуем, чтобы функция вида (4) удовлетворяла первому
уравнению системы (3). Тогда это условие даст нам возможность определить функцию Z (  ) . Дифференцируя (4) по переменной  и подставляя результат в систему (2), получим обыкновенное дифференциальное уравнение (о.д.у.) вида:
dZ a1  (m  1) H  H 
.

d
H Z
(5)
Легко проверить, что правая часть обыкновенного дифференциального уравнения (о.д.у.) (5)
не зависит от переменных   (1 ,  2 ,...,  n 1 ) , то есть
  a1  (m  1) H  H 

 k 
H Z

  0 , (k  1, n  1) .

Интегрируя о.д.у. (5) по переменной  , имеем Z  Q(  , C ) , то есть Z  Q(  , u 0 ) . Тогда
единственное решение задачи Коши для системы (2) имеет вид
u(  , ) 
1
 m1
H  ,  , Q (  , u 0 )  .
При этом легко заметить, что решение системы (2) всюду в области D является непрерывным, а в
точке   0 имеет особенность (m-1)- го порядка.
Для того чтобы всюду в области D получить непрерывное решение п.д.-системы (2), достаточно, чтобы функции a1 (  ,  , u ) и H (  ,  , Q(  , u 0 )) в точке   0 удовлетворяли условию:
lim a1 (  ,  , u)  0, либо a1 (  ,  , u )   ( , u ).0(  m ), (0    1).
 0
(М1)
Далее в работе будут рассмотрены случаи, когда п.д.-система (2) решается явно либо в квадратурах.
704
Математика
Л.Г.Михайлов, Б.Шарипов
2. Рассмотрим линейный однородный полный дифференциал функции произвольного числа
переменных  m du 
 p x  dx , x  x , x
n
i 1
i
m
 
где pi x   C 1 D ,
i
1
2

,..., x n , задание которого равносильно п.д.-системе
u
u
 pi x , (i  1,2,..., n), либо  m
 pi (x) ,
xi
xi
(6)
ux   C 2 D0  , D0 - n-мерный шар, не содержащий точку x  0 . Условия со-
вместности п.д.-системы (6) имеют вид:

xi
 p j ( x) 
  pi ( x) 
 m  
 m , (i, j  1, n), i  j .

x

  
j


(N2)
Для непрерывности п.д.-системы (6) всюду в D достаточно, чтобы в точке   0 выполнялись, например, условия:
pi ( x)  0(  m ). (0    1) .
(M2)
Аналогично [1-4], [6-9] , в п.д.-системе (6), если перейти к n- мерной сферической системе координат, то получим:
m
u
u
 a1 (  ,  ) ,  m1
 a k 1 (  ,  ), (  1 ,  2 ,...,  k ,...,  n 1 ) , (k  1, n  1) .

 k
(7)
При этом условия совместности (N2) для системы (7) преобразуются к виду
a j
a
ai
a1
  k 1  (m  1)a k 1 ,

, (i, j  1, n  1), i  j, k  1, n  1 .
 k 1

 j  i
(N3)
В силу ( N 3 ) , взаимосвязь между a k 1 (  ,  ) и a1  ,   может быть записана следующими
формулами:
1

  a1 (t ,  ) 
ak 1 (  ,  )   m1  k 1 ( ) 

dt , (k  1, n  1),

 k 1   t m


(8)
где  k 1 ( ) – н екоторые вполне определѐнные функции. После этого система (7) примет вид:
u a1 (  ,  )

,

m
u
 k 1
 1 a1 (t ,  ) 

  k 1 ( ) 
dt , (k  1, n  1).

 k 1    m

Заметим, что при выполнении условий

a j
ai
получаются соотношения

 j  i
705
(9)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2011, том 54, №9
 i  j

, (i, j  1, n  1), (i  j ) .
 j  i
(10)
Аналогично [1-7], процесс интегрирования системы (9) можно начинать с любого еѐ уравнения, и при этом многообразия решений можно отличать с точностью до произвольного постоянного.
Поэтому интегрирование системы (9) начинаем с первого еѐ уравнения. Теперь, интегрируя первое
уравнение п.д.-системы (9) по переменной  (переменные   (1 ,  2 ,...,  n 1 ) -параметры ), получим:
1
u  ,    A(  ,  )  V , ( A(  ,  )   

a1 t ,  
m
dt),
(11)
где V  V  ,   (1 ,  2 ,...,  n 1 ) – новая неизвестная функция. Дифференцируя обе части равенства (11) по переменным  k (k=1,2,…,n-1) и подставляя результаты в (7), получаем регулярную п.д.систему:
V
  k  , (k  1, n  1) .
 k
(12)
Учитывая выполнение условий (10), после интегрирования классической п.д.-системы (12),
получим:
n k
u  ,    C  Ф   A ,  , (Ф      k 0,0,...0,  k ,  k 1 ,..., n1 d k ) .
(13)
k 1 0
Замечая, что в п.д.-системе (9), при


либо a1  ,    K  . 0  m  ,
m  1,
где   сколь
угодно малая величина, решение системы всюду в области D будет непрерывным и однозначным.
Тогда многообразие решений п.д.-системы (7) всюду в D (кроме точки   0 ) будет непрерывным ,
а в особой точке   0 при m =1 имеет логарифмическую особенность, а при m>1 особенности (m1)-го
n
x
k 1
2
k
порядка.
Допустим, что во
внешней
части п-мерного
шара
D , то есть
D =
  2 , (1    ), 0    2 , функции a k  ,   (k  1, n) удовлетворяют условиям разре-
шимости регулярной п.д.-системы (12). Потребуем, чтобы при    (см.[3]):
1) функции a k  ,   всюду в области D были ограничены и однозначны;
2)  k - удовлетворяли неравенствам 0   k  2 ;
3) существуют конечные пределы lim ak  ,   ( k  1, n );
 
4) функция
a1  ,  
n
интегрируема на промежутке (1,  ) (где m  1 ).
706
Математика
Л.Г.Михайлов, Б.Шарипов
Тогда вне области D все решения п.д.-системы (8) однозначны, непрерывны и определяются
формулой:

u  ,    C  Ф   

a1 t ,  
dt, (   1) ,
tm
(14)
где Ф( ) – определяется из формулы (13). Таким образом, имеет место:
 
Теорема 2. Пусть в п.д.-системе (7) ak   ,    C1 D считаются данными функциями, а
 
u(  ,  )  C 2 D - неизвестная функция. Для того, чтобы условия совместности п.д.-системы (7)
выполнялись, необходимо и достаточно, чтобы функции a k 1  ,   и a1  ,   были взаимосвязаны

выражаются формулой (13). При этом, если 0  m  1 , тогда решение системы формулы (13) в D
формулой вида (8). Тогда п.д.-система (9) разрешима и многообразия всех еѐ решений в области D
будет однозначным, ограниченным и непрерывным, а тогда при m=1 и m  1, u ,   из (13) во
всех точках области будет непрерывным, а в точке   0 соответственно имеет логарифмическую и (m-1)–го порядка особенности. Если же a1  ,   удовлетворяет условию (М1), тогда функция

u  ,   как решение системы (7) всюду в D будет непрерывной.
Теорема 3. Пусть в п.д.-системе (7) ak (  ,  )  C1 ( D  ), u  C 2 ( D  ) , условия (8) и (10) вы-



2
полняются при всех значениях (  ,  )  D , D  (  ,  ), 1   

x
2
i

  .

Тогда вне области D решение п.д.-системы (7), представленное формулой (14), всегда будет
ограниченным, однозначным и непрерывным.
Поступило 28.07.2011 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Михайлов Л.Г. – ДАН России, 1992, т.322, №4, с. 646-650.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Михайлов Л.Г. – ДАН России, 1997, т.354, №1, с. 21-24 .
Михайлов Л.Г. – ДАН России, 2002, т.384, №6, с. 731-734.
Михайлов Л.Г. – ДАН России, 2004, т.398, №2, с. 1-4.
Михайлов Л.Г. Некоторые переопределѐнные системы уравнений в частных производных с двумя
неизвестными функциями. – Душанбе: Дониш, 1986, 116 с.
Шарипов Б. –ДАН РТ, 2010, т.53, №9, с. 666-673.
Шарипов Б. – ДАН РТ,2010, т.53, №10, с. 759-766.
Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1958, 468 с.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.-Л.: ГИТТЛ, 1986,
т.1, 648 с.
707
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2011, том 54, №9
Л.Г.Михайлов, Б.Шарипов*
ДАР БОРАИ СИСТЕМАИ МУОДИЛАЊО ДАР ДИФФЕРЕНСИАЛИ
ПУРРАИ ФУНКСИЯЊОИ ТАЃЙИРЁБАНДААШОН ИХТИЁРЇ БО
НУЌТАЊОИ СИНГУЛЯРИ
Институти математикаи Академияи илмњои Љумњурии Тољикистон,
*Донишкадаи
сохибкорї ва хизмати Љумњурии Тољикистон
Дар маќола як синфи системаи муодилањо дар дифференсиали пурра бо нуќтаи сингулярие дида баромада мешаванд, ки њангоми айниятан иљро гардидани шарти њамљоягиашон,
маљмўи њалњо дар намуди муайян ёфта шуда, њалли онњо дар нуќтаи сингулярї тањлил карда
мешаванд.
Калимањои калидї: фазои бисёрченака – нуќтаи сингулярї –њамљоягии система.
L.G.Michaylov, B.Sharipov
ON THE TOTAL SISTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS FOR MANY
DIMEENSIONAL CASE
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan,
*Institute of Entrepreneurship and Servise of Republic Tajikistan
The representation formulas of solutions of total differential system are reseived In the paper. Partikular point often called singular point.
Key words: total differential – singular point – ordinar differential eqvations.
708
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
520 Кб
Теги
произвольного, точками, полный, система, функции, независимой, числа, дифференциалы, переменных, сингулярных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа