close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О системах независимых соотношений совместности приращений деформаций в случае течения на ребре призмы Кулона-Треска.

код для вставкиСкачать
195
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №9/1(59).
УДК 539.374
О СИСТЕМАХ НЕЗАВИСИМЫХ СООТНОШЕНИЙ
СОВМЕСТНОСТИ ПРИРАЩЕНИЙ ДЕФОРМАЦИЙ
В СЛУЧАЕ ТЕЧЕНИЯ НА РЕБРЕ ПРИЗМЫ
КУЛОНА–ТРЕСКА
© 2007
Ю.Н. Радаев1
Рассматриваются уравнения совместности для приращений малых деформаций в триортогональной изостатической системе координат, а также
дополнительные соотношения, связывающие физические компоненты тензора несовместности. Существенных уравнений совместности шесть. Доказано, что для напряженных состояний, соответствующих ребру призмы Кулона—Треска, имеется лишь три независимых уравнения совместности. Явно
указываются и рассматриваются системы независимых уравнений совместности. Определены условия, достаточные для того, чтобы при выполнении
трех независимых уравнений совместности удовлетворялись три оставшихся
уравнения совместности.
1. Предварительные сведения и вводные замечания
При исследовании кинематики пространственного пластического течения, если
речь идет о состояниях, соответствующих ребру призмы Кулона—Треска, исключительный интерес представляют уравнения совместности главных приращений
полных деформаций, сформулированные в триортогональной изостатической криволинейной координатной сетке, вместе с кинематическими ограничениями, следующими из обобщенного ассоциированного закона течения. Этот круг вопросов
детально был рассмотрен в монографии [1].
Условие текучести Треска или условие максимального касательного напряжения имеет следующий вид:
max {|σ1 − σ2 | , |σ1 − σ3 | , |σ2 − σ3 |} = 2k,
(1.1)
где σ1 , σ2 , σ3 — собственные значения тензора напряжений (главные нормальные
напряжения); k — предел текучести при чистом сдвиге. В пространстве главных
напряжений поверхность текучести, определяемая уравнением (1.1), представляет
собой правильную шестигранную призму (призма Кулона—Треска), ось которой
равнонаклонена к декартовым осям этого пространства. Кривая текучести (сечение призмы Кулона—Треска девиаторной плоскостью σ1 +σ2 +σ3 = 0) представляет
собой√правильный шестиугольник с центром в начале координат и стороной, равной 2/3(2k).
1 Радаев Юрий Николаевич (radayev@ssu.samara.ru), кафедра механики сплошных сред Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
196
Ю.Н. Радаев
В пространстве главных напряжений ребра призмы Кулона—Треска определяются уравнениями
σ1 ± 2k = σ2 = σ3 , σ1 = σ2 ± 2k = σ3 , σ1 = σ2 = σ3 ± 2k.
Для данного напряженного состояния, соответствующего ребру призмы Кулона—Треска, всегда можно перенумеровать главные оси тензора напряжений так,
чтобы выполнялось равенство
σ1 = σ2 = σ3 ± 2k.
Последнее условие означает, что два главных напряжения равны по величине, а
главное напряжение σ3 является либо наименьшим, либо наибольшим главным
нормальным напряжением.
Обозначим через σ тензор напряжений. Пусть l, m, n — ортонормированный
базис из собственных векторов тензора напряжений. Спектральное разложение
тензора напряжений имеет следующий вид:
σ = σ1 l ⊗ l + σ2 m ⊗ m + σ3 n ⊗ n.
(1.2)
На ребре призмы Кулона—Треска σ1 = σ2 = σ3 ± 2k тензор напряжений представляется в форме
σ = (σ3 ± 2k)I ∓ 2kn ⊗ n.
(1.3)
Следовательно, уравнение равновесия ∇ · σ = 0 после подстановки в него разложения (1.3) приобретает следующий вид:
gradσ3 ∓ 2kdiv(n ⊗ n) = 0
(n · n = 1).
(1.4)
Уравнение (1.4) принадлежит к гиперболическому типу. Его характеристическое уравнение имеет три различных вещественных корня. Нормали к характеристическим поверхностям образуют конус с углом полураствора π/4 и осью, ориентированной вдоль вектора n. Ясно, что характеристические поверхности являются
также и поверхностями максимального касательного напряжения (поверхностями
скольжения). Характеристическими являются не только поверхности скольжения,
но и интегральные поверхности векторного поля n (т.е. поверхности, составленные
из интегральных кривых поля n).
Известно, что никаких решений уравнения (1.4) при одновременном выполнении условий n × rot n , 0 и n · rot n , 0 получить нельзя. Поэтому наибольший интерес представляет тот случай, когда n · rot n = 0 и rot n , 0 всюду в пластической
зоне. Условие n · rot n = 0 допускает замечательную геометрическую интерпретацию, пользуясь которой можно существенно развить исследование пространственных уравнений математической теории пластичности.
Поле напряжений в некоторой области трехмерного пространства назовем расслоенным (или слоистым), если существует семейство поверхностей S, заполняющее эту область, такое, что векторное поле единичных нормалей к поверхностям
семейства S совпадает с полем n собственных векторов тензора напряжений.
Для того чтобы векторное поле n было расслоенным в некоторой области трехмерного пространства, необходимо и достаточно, чтобы всюду в этой области выполнялось следующее соотношение:
n · rot n = 0.
Сформулированное утверждение известно как теорема Якоби.
(1.5)
Системы независимых соотношений совместности приращений деформаций
197
Ассоциированный закон течения является фундаментальным принципом математической теории пластичности и устанавливает, что в пространстве напряжений вектор, представляющий тензор приращений пластических деформаций dεP ,
ортогонален регулярной поверхности текучести f (σ) = 0 в данном напряженном
состоянии σ:
∂f
dλ.
(1.6)
dεP =
∂σ
Величина dλ, называемая неопределенным множителем, положительна при активном пластическом нагружении, признаком которого является выполнение условий
f = 0, d f = 0.
Ассоциированный закон течения (1.6) для изотропного тела устанавливает соосность тензоров dεP и σ. В главных осях тензора напряжений ассоциированный
закон течения изотропного тела (1.6) имеет следующий вид:
∂f
dεPj =
dλ,
(1.7)
∂σ j
где здесь и в дальнейшем dεPj — собственные значения тензора приращений пластических деформаций dεP , которые, вообще говоря, отличаются от приращений
собственных значений εPj тензора пластических деформаций εP . С учетом этого
замечания спектральное разложение тензора dεP представляется как
dεP = l ⊗ ldε1P + m ⊗ mdε2P + n ⊗ ndε3P .
Обобщение ассоциированного закона на случай поверхности текучести с угловой точкой предложено Койтером (W.T. Koiter, 1953 г.). Это обобщение основано
на следующем принципе суперпозиции: особые точки поверхности текучести представляются как пересечение конечного числа p гладких поверхностей текучести
fγ (σ) = 0. Обобщенный ассоциированный закон течения имеет следующий вид:
p
X
∂ fγ
dεP =
dλγ ,
∂σ
γ=1
(1.8)
dλγ > 0 ( fγ = 0, d fγ = 0),
dλγ = 0 ( fγ = 0, d fγ < 0 или fγ < 0).
Обобщенный ассоциированный закон течения устанавливает соосность тензора напряжений и тензора приращений пластических деформаций, причем в случае течения на грани призмы Кулона—Треска имеет место ”3/3-соосность” тензора напряжений σ и тензора приращений пластических деформаций dεP , а в случае, когда напряженное состояние соответствует ребру призмы Кулона—Треска, —
”1/3-соосность”. В терминологии и обозначениях, систематически используемых в
дальнейшем изложении, условие ”1/3-соосности” означает, что в случае течения
на ребре призмы Кулона—Треска σ1 = σ2 = σ3 ± 2k обобщенный ассоциированный
закон течения указывает только на то обстоятельство, что вектор n является собственным вектором как для тензора σ, так и для тензора dεP , и ничего не говорит
об ориентациях в плоскости, ортогональной вектору n, других собственных векторов этих тензоров.
В случае течения на ребре призмы Кулона—Треска, помимо условия
”1/3-соосности” тензора напряжений и тензора приращений пластических деформаций, обобщенный ассоциированный закон течения накладывает единственное
дополнительное кинематическое соотношение, выражающее несжимаемость
пластического течения
tr (dεP ) = 0.
198
Ю.Н. Радаев
Мы будем предполагать, что изостатические траектории образуют триортогональную координатную систему. Поля напряжений, допускающие введение триортогональных изостатических координат, заведомо являются расслоенными, но
возможность выбора изостат в качестве взаимно ортогональных координатных
линий позволяет продвинуться несколько дальше в анализе общих трехмерных
уравнений математической теории пластичности. В монографии [1] читатель может найти дальнейшие интересующие его в этой связи детали. Мы отметим лишь,
что положение векторов l и m в плоскости, ортогональной вектору n, определяется, исходя из предположения о существовании триортогональных изостатических
координат. Если n — слоистое векторное поле и поверхности уровня скалярного
поля ω(x1 , x2 , x3 ) задают слои поля n, то необходимое и достаточное условие того,
чтобы семейство поверхностей уровня могло быть дополнено до трижды ортогональной системы поверхностей, выражается уравнением Кэли—Дарбу (A. Cayley,
G. Darboux)2 :
c22
c33
2c12
2c23
2c31 c11
∂2 ω ∂2 ω ∂2 ω 2∂2 ω 2∂2 ω 2∂2 ω
22
33
12
23
31 11
1
1
1
0
0
0 = 0,
L[ω] = (1.9)
0
0
∂2 ω
0
∂3 ω ∂1 ω
0
∂2 ω
0
∂1 ω
∂3 ω
0 0
0
∂3 ω
0
∂2 ω
∂1 ω где
3 h
X
i
ci j =
(∂k ω)(∂3i jk ω) − 2(∂2ik ω)(∂2jk ω)
k=1
есть симметричный тензор второго ранга относительно преобразований декартовой системы координат x1 , x2 , x3 . Известно также, что если однопараметрическое
семейство поверхностей дополняется до трижды ортогональной системы, то такое
дополнение однозначно. Это, в свою очередь, означает, что ориентации векторов l
и m в плоскости, ортогональной вектору n, также будут однозначно указываться
требованием дополняемости семейства слоев векторного поля n до трижды ортогональной системы.
Вопрос об условиях, при которых заданное однопараметрическое семейство поверхностей может быть включено в триортогональную систему, является одним
из основных для дифференциальной геометрии и известен как проблема Кэли. В
1872 г. Кэли получил уравнение (1.9) в качестве ответа на этот вопрос.
2. Тензор несовместности и его физические
компоненты в триортогональной
координатной системе
Уравнения совместности деформаций представляют собой фундаментальные
соотношения механики деформируемого твердого тела, пригодны при любой определяющей зависимости и в инвариантной форме для приращений тензора малых
деформаций представляются тензорным уравнением (см. [2, с. 223])
∇ × (dP) = 0,
(2.1)
2 См., например: Математическая энциклопедия. Т. 3 / под ред. акад. И.М. Виноградова. –
М.: Сов. энциклопедия, 1982. – С. 159.
Системы независимых соотношений совместности приращений деформаций
199
где тензор второго ранга dP есть транспонированный ротор приращения тензора
полных деформаций:
dP = (∇ × dε)T .
Заметим, что для тензора dP (в силу симметрии тензора dε) оказывается справедливой также следующая формула:
dP = −(dε) × ∇.
В этой записи пространственный оператор Гамильтона ∇ действует на объект,
расположенный перед ним3 .
Для удобства обозначим через dS тензор второго ранга, определяемый соотношением
dS = ∇ × (dε) × ∇.
(2.2)
В этом уравнении безразличен порядок выполнения операции векторного умножения. Тензор dS называется тензором несовместности4 .
Тензор несовместности dS симметричен:
dS = (dS)T
(2.3)
и может быть вычислен также по формуле
−dS = ((∇ · ∇)trdε − ∇ · (∇ · dε))I + ∇ ⊗ (∇ · dε)+
+(∇ ⊗ (∇ · dε))T − (∇ · ∇)dε − ∇ ⊗ ∇trdε.
(2.4)
Поскольку (∇ × dε)T = −(dε × ∇), dP = (∇ × dε)T = −(dε) × ∇, тензор −dS в точности равен тензору ∇ × dP. Следовательно, условия совместности деформаций в
приращениях представляются тензорным уравнением
dS = 0.
(2.5)
Условия совместности деформаций (2.5) являются необходимыми и (в случае
поверхностно односвязной области в пространстве) достаточными для возможности представления поля dε в данной Коши форме
2dε = (∇ ⊗ du) + (∇ ⊗ du)T
(2.6)
через однозначное поле приращений перемещений du5 .
3 Что
несколько затрудняет восприятие формул.
оператор Ink . . . = ∇×(∇×. . . )T широко используется в теории дислокаций.
Уравнение совместности для приращений тензора полных деформаций с использованием этого
оператора записывается просто как Ink dε = 0. Ясно, что
4 Дифференциальный
Ink dε = −dS.
5 Доказательства
необходимости и (при указанном выше ограничении) достаточности условий
совместности приращений малых деформаций (2.5) для существования однозначного поля du
в представлении Коши (2.6) даются в большинстве руководств по механике сплошных сред,
механике деформируемого твердого тела и теории упругости: Лейбензон, Л.С. Курс теории
упругости / Л.С. Лейбензон. – М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1947. – С. 34–39; [3. C. 54, 55,
57–62]; Партон, В.З. Методы математической теории упругости / В.З. Партон, П.И. Перлин. –
М.: Наука, 1981. – С. 212–215.
Подробное изложение вопросов, относящихся к уравнениям совместности конечных деформаций, имеется в книге: Годунов, С.К. Элементы механики сплошной среды / С.К. Годунов. –
М.: Наука, 1978. – С. 143–163. В частности, там приводится доказательство их необходимости
и достаточности для существования поля перемещений.
200
Ю.Н. Радаев
Физические компоненты dS < jl> тензора dS в произвольной триортогональной криволинейной системе координат вычисляются по формулам ([4, с. 662-664])
(
" √
#
√
√
∂( g22 dε<32> ) ∂( g33 dε<33> )
∂
1
dε<12> ∂ g33
−
+
+
√
√
g22 g33 ∂ξ2
g22
∂ξ3
∂ξ2
g11 ∂ξ1
√
√ )
dε<23> ∂ g22 dε<22> ∂ g33
+ √
+ √
−
g22 ∂ξ3
g22 ∂ξ2
(
#
" √
√
∂( g22 dε<22> ) ∂( g33 dε<23> )
1
∂
1
−√ √
−
−
√
g22 g33 ∂ξ3
g33
∂ξ3
∂ξ2
√
√
√ )
∂ g33 dε<13> ∂ g22 dε<33> ∂ g22
− √
− √
+
∂ξ2
g11 ∂ξ1
g33 ∂ξ3
dS <11> = √
dε<32>
− √
g33
1
√
" √
#
√
√
∂ g33 ∂( g11 dε<21> ) ∂( g22 dε<22> )
1
−
+
√ √
g11 g22 g33 ∂ξ1
∂ξ2
∂ξ1
"
√
√
√
√ #
∂ g33
1
dε<31> ∂ g22
dε<12> ∂ g11
dε<11> ∂ g22
+√ √
+
+
−
√
√
√
√
√
√
g11 g33 ∂ξ1
g22 g33 ∂ξ3
g22 g11 ∂ξ2
g22 g11 ∂ξ1
" √
#
√
√
∂ g22 ∂( g33 dε<33> ) ∂( g11 dε<31> )
1
−
+
−
√ √
g11 g22 g33 ∂ξ1
∂ξ1
∂ξ3
"
√
√
√
√ #
∂ g22
1
dε<21> ∂ g33
dε<13> ∂ g11
dε<11> ∂ g33
+√ √
+ √ √
+ √ √
,
√ √
g11 g22 ∂ξ1
g22 g33 ∂ξ2
g33 g11 ∂ξ3
g33 g11 ∂ξ1
(
" √
#
√
√
∂( g33 dε<33> ) ∂( g11 dε<31> )
1
∂
1
dε<21> ∂ g33
dS <12> = √ √
−
−
−
√
√
g22 g33 ∂ξ2
g11
∂ξ1
∂ξ3
g22 ∂ξ2
√
√ )
dε<13> ∂ g11 dε<11> ∂ g33
− √
−
− √
g11 ∂ξ3
g11 ∂ξ1
" √
( √
#
√
g22
∂( g33 dε<23> ) ∂( g11 dε<21> )
1
∂
−√ √
−
+
√
√
g22 g33 ∂ξ3
g11 g33
∂ξ1
∂ξ3
√
√ )
dε<31> ∂ g33 dε<13> ∂ g11
+ √
−
+
√
g33 ∂ξ2
g11 ∂ξ2
" √
#
√
√
∂ g22 ∂( g22 dε<23> ) ∂( g33 dε<33> )
1
+
−
+
√ √
g22 g11 g33 ∂ξ1
∂ξ3
∂ξ2
"
√
√
√
√ #
∂ g22
1
dε<12> ∂ g33
dε<23> ∂ g22
dε<22> ∂ g33
+
+
+
+√ √
√
√
√
√
√
√
g11 g22 ∂ξ1
g11 g33 ∂ξ1
g22 g33 ∂ξ3
g22 g33 ∂ξ2
" √
#
√
√
∂ g33 ∂( g11 dε<21> ) ∂( g22 dε<22> )
1
+
−
+
√ √
g22 g11 g33 ∂ξ2
∂ξ2
∂ξ1
"
√
√
√
√ #
∂ g33
1
dε<31> ∂ g22
dε<12> ∂ g11
dε<11> ∂ g22
+√ √
+ √ √
+ √ √
+
√ √
g33 g22 ∂ξ2
g22 g33 ∂ξ3
g22 g11 ∂ξ2
g22 g11 ∂ξ1
" √
#
√
√
∂ g22 ∂( g11 dε<31> ) ∂( g22 dε<32> )
1
+
+
−
√ √
g22 g11 g33 ∂ξ3
∂ξ2
∂ξ1
"
√
√
√ #
∂ g22
1
dε<12> ∂ g11
dε<21> ∂ g22
+√ √
,
−
√ √
√ √
g33 g22 ∂ξ3
g11 g33 ∂ξ3
g22 g33 ∂ξ3
+
причем компоненты dS <22> , dS <33> получаются циклической перестановкой индексов в
выражении для dS <11> , а компоненты dS <23> , dS <31> — в выражении для dS <12> ; dε<i j> —
физические компоненты тензора приращений деформаций. Ясно, что ни dS <i j> , ни dε<i j>
не являются действительными приращениями.
Заметим также, что приведенные выше формулы для физических компонент dS < jl>
тензора несовместности dS справедливы в любой триортогональной координатной системе, хотя в дальнейшем нас будет интересовать лишь изостатическая координатная
сетка.
Системы независимых соотношений совместности приращений деформаций
201
В декартовой системе координат компоненты тензора несовместности dS вычисляются по следующим формулам:
dS lp = enrl emkp ∂n ∂k dεrm ,
где enrl — кососимметричные символы, или
∂2 dε11 ∂2 dε22
∂2 dε12
+
−
2
,
∂x1 ∂x2
∂x22
∂x12
∂2 dε22 ∂2 dε33
∂2 dε23
,
=
+
−
2
∂x2 ∂x3
∂x32
∂x22
∂2 dε33 ∂2 dε11
∂2 dε31
=
+
−2
,
2
2
∂x3 ∂x1
∂x1
∂x3
− dS 33 =
− dS 11
− dS 22
− dS 23
− dS 31
− dS 12
!
∂2 dε11
∂
∂dε23 ∂dε31 ∂dε12
=−
+
+
+
−
,
∂x2 ∂x3 ∂x1
∂x1
∂x2
∂x3
!
∂2 dε22
∂ ∂dε23 ∂dε31 ∂dε12
=−
+
−
+
,
∂x3 ∂x1 ∂x2 ∂x1
∂x2
∂x3
!
∂2 dε33
∂ ∂dε23 ∂dε31 ∂dε12
=−
+
+
−
.
∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x1
∂x2
∂x3
Это известные формулы Сен-Венана, широко применяемые в механике деформируемого твердого тела. Их часто называют условиями сплошности. Сами уравнения были опубликованы в 1864 г. Сен-Венаном в издании одной книги Навье.
Компоненты тензора несовместности dS в декартовой системе координат могут
быть найдены также в виде
−dS il = (∂ j ∂ j dεkk − ∂ j ∂k dε jk )δil + ∂i ∂k dεlk + ∂l ∂k dεki −
−∂ j ∂ j dεli − ∂i ∂l dεkk .
3. Независимые системы соотношений совместности
Обычно считается, что независимых уравнений совместности должно быть
шесть (т.к. тензор −dS = ∇ × dP симметричен). На самом деле ситуация несколько сложнее6 . Действительно, оказывается, что тензор dS удовлетворяет, как это
следует из его определения (2.2), уравнению7
∇ · (dS) = 0.
(3.1)
Следовательно, независимых условий должно быть всего три.
6 Хотя условия совместности деформаций были известны уже Сен-Венану, в настоящее время
нет полной ясности в вопросе о числе независимых условий совместности. В большинстве
руководств по механике сплошных сред четко говорится о шести независимых уравнениях
(см., например: Седов, Л.И. Механика сплошной среды. Т. I / Л.И. Седов. – М.: Наука, 1976. –
С. 91).
7 Приводимое ниже уравнение в тензорном анализе традиционно называется тождеством
Бианки (L. Bianchi) (см. по этому поводу Схоутен, А.Я. Тензорный анализ для физиков /
А.Я. Схоутен. – М.: Наука, 1965. – С. 146, 147).
202
Ю.Н. Радаев
Используя приведенные выше выражения для компонент тензора dS в декартовой системе координат, прямым подсчетом можно показать, что векторное уравнение (3.1) эквивалентно трем скалярным:
∂1 (dS 11 ) + ∂2 (dS 12 ) + ∂3 (dS 31 ) = 0,
∂1 (dS 12 ) + ∂2 (dS 22 ) + ∂3 (dS 23 ) = 0,
∂1 (dS 31 ) + ∂2 (dS 23 ) + ∂3 (dS 33 ) = 0.
На первый взгляд может показаться, что три независимых условия в декартовой системе координат могут составить либо три уравнения dS 11 = 0, dS 22 = 0,
dS 33 = 0, либо три уравнения dS 23 = 0, dS 31 = 0, dS 12 = 0. Однако ни три условия первой группы, ни три условия второй группы по отдельности использовать
нельзя (см., например, [5]). Известно [6], что если три условия первой группы
удовлетворяются внутри некоторой поверхностно односвязной области, а вторая
тройка условий — на границе этой области, то все три условия второй группы
будут удовлетворяться внутри области. Аналогичное утверждение будет справедливо, если поменять группы условий местами.
Ясно, что главные оси тензора dS ориентированы, вообще говоря, не так, как
главные оси тензора напряжений. Поэтому преобразование уравнения (3.1) к главным осям напряжений следует проводить по схеме, изложенной в [1].
В триортогональной изостатической координатной сетке уравнение (3.1) приобретает форму
d1 dS <11> + κ23 (dS <11> − dS <22> ) + κ32 (dS <11> − dS <33> )+
+(2κ13 + κ31 + d2 )dS <12> + (2κ12 + κ21 + d3 )dS <13> = 0,
d2 dS <22> + κ31 (dS <22> − dS <33> ) + κ13 (dS <22> − dS <11> )+
+(2κ23 + κ32 + d1 )dS <21> + (2κ21 + κ12 + d3 )dS <23> = 0,
d3 dS <33> + κ12 (dS <33> − dS <11> ) + κ21 (dS <33> − dS <22> )+
+(2κ32 + κ23 + d1 )dS <31> + (2κ31 + κ13 + d2 )dS <32> = 0,
(3.2)
где dS <i j> есть по-прежнему физические компоненты тензора dS в триортогональной изостатической системе координат (здесь еще необходимо учесть симметрию
тензора несовместности dS: dS <i j> = dS < ji> ). В данных выше уравнениях κi j есть
кривизна проекции изостаты с номером i, причем проектирование осуществляется
параллельно направлению j на локальную координатную плоскость, ортогональную этому направлению.
Если имеется некоторая кривая на поверхности, параметризованная натуральным параметром s, t — единичный вектор, направленный по касательной к кривой
в сторону возрастающих значений параметра s, t∗ — единичный вектор, расположенный в касательной плоскости ортогонально вектору t, n — единичный вектор,
направленный по нормали к поверхности так, чтобы векторы t, t∗ , n образовывали
правую тройку, то мы определяем
κn = −
dt
· n,
ds
κg =
dt ∗
·t
ds
соответственно как нормальную кривизну (кривизна проекции рассматриваемой
кривой на плоскость, определяемую векторами t, n) и геодезическую кривизну
(кривизна проекции рассматриваемой кривой на касательную плоскость, определяемую векторами t, t∗ ) кривой на поверхности. В данном выше определении следует особо обратить внимание на знаки. Заметим, что если γi j — геодезическая
Системы независимых соотношений совместности приращений деформаций
203
кривизна изостатической траектории с номером i на поверхности, ортогональной
главному направлению с номером j, то
γi j = −κi j .
Можно показать, что справедливы формулы
l · [(m · ∇)m] = −κ23 , l · [(n · ∇)n] = −κ32 ,
m · [(l · ∇)l] = −κ13 , m · [(n · ∇)n] = −κ31 ,
n · [(l · ∇)l] = −κ12 , n · [(m · ∇)m] = −κ21 .
(3.3)
4. Уравнения совместности в триортогональной
изостатической сетке (случай ”3/3-соосности”
тензора напряжений σ и тензора приращений
пластических деформаций dεP )
Разложим приращение полной деформации на упругую и пластическую составляющие
dε = dεE + dεP .
(4.1)
Согласно соотношениям ассоциированного закона течения, приращение пластических деформаций есть тензор, соосный тензору напряжений, что оказывается,
вообще говоря, неверным для приращения тензора упругих деформаций. Ясно поэтому, что преобразование уравнений совместности деформаций к главным осям
напряжений проще всего осуществляется в том случае, когда упругими деформациями можно пренебречь, и триэдр l, m, n будет также и триэдром, указывающим
главные направления тензора dε:
dε = l ⊗ ldε1 + m ⊗ mdε2 + n ⊗ ndε3 .
Мы поэтому рассмотрим именно этот наиболее простой случай, не опираясь
при этом на приведенные ранее общие формулы для физических компонент тензора dS, а производя непосредственный расчет дифференциальных операторов,
фигурирующих в (2.2).
Инвариантное представление уравнений совместности для главных приращений деформаций (приращениями упругих деформаций будем пренебрегать) имеет вид:
∇ × (∇ × (l ⊗ ldε1 + m ⊗ mdε2 + n ⊗ ndε3 ))T = 0.
(4.2)
Замечая, что8
∇ × (l ⊗ ldε1 ) = [(∇dε1 ) × l] ⊗ l+
(
)
1 2
1
1
+ √
Γ11 n ⊗ l − Γ311 m ⊗ l − √ Γ212 n ⊗ m + √ Γ313 m ⊗ n dε1 ,
g11
g22
g33
8 Для триортогональной криволинейной сетки мы определяем Γ-символы как коэффициенты
в разложениях частных производных от единичных локальных базисных векторов kα :
∂kα
γ
= Γαβ kγ ,
∂ξβ
где
kγ = 1.
Тем самым мы, следуя [7], отступаем от обычного для тензорного анализа определения символов Кристоффеля.
204
Ю.Н. Радаев
а также — два аналогичных выражения
∇ × (m ⊗ mdε2 ) = [(∇dε2 ) × m] ⊗ m+
)
(
1 1
1
1
−Γ22 n ⊗ m + Γ322 l ⊗ m + √ Γ121 n ⊗ l − √ Γ323 l ⊗ n dε2 ,
+ √
g22
g11
g33
∇ × (n ⊗ ndε3 ) = [(∇dε3 ) × n] ⊗ n+
)
(
1
1
1 1
Γ33 m ⊗ n − Γ233 l ⊗ n − √ Γ131 m ⊗ l + √ Γ232 l ⊗ m dε3 ,
+ √
g33
g11
g22
матрицу тензора
dP = (∇ × (l ⊗ ldε1 + m ⊗ mdε2 + n ⊗ ndε3 ))T
в главных осях напряжений можно получить в виде
dε1 − dε3
dε2 − dε1
0
d3 dε1 +
−d2 dε1 +
−1
−1
κ
κ13
12
dε
−
dε
dε
−
dε1
2
2
−d dε + 3
0
d1 dε2 +
−1
−1
3 2
κ21
κ23
dε1 − dε3
d2 dε3 + dε3 − dε2
−d1 dε3 +
0
−1
−1
κ31
κ32
.
(4.3)
Тензор ∇ × dP в главных осях тензора напряжений представляется матрицей (мы
опускаем детали вывода), элементы которой приводятся ниже:
(∇ × dP)<11> = d2 dP<31> − d3 dP<21> + κ31 dP<31> − κ21 dP<21> +
+κ32 dP<23> − κ23 dP<32> ,
(∇ × dP)<12> = d2 dP<32> + κ31 (dP<32> + dP<23> ) + κ23 dP<31> ,
(∇ × dP)<13> = −d3 dP<23> − κ21 (dP<23> + dP<32> ) − κ32 dP<21> ,
(∇ × dP)<21> = −d1 dP<31> − κ32 (dP<31> + dP<13> ) − κ13 dP<32> ,
(∇ × dP)<22> = d3 dP<12> − d1 dP<32> + κ12 dP<12> − κ32 dP<32> +
+κ13 dP<31> − κ31 dP<13> ,
(∇ × dP)<23> = d3 dP<13> + κ12 (dP<13> + dP<31> ) + κ31 dP<12> ,
(∇ × dP)<31> = d1 dP<21> + κ23 (dP<21> + dP<12> ) + κ12 dP<23> ,
(∇ × dP)<32> = −d2 dP<12> − κ13 (dP<12> + dP<21> ) − κ21 dP<13> ,
(∇ × dP)<33> = d1 dP<23> − d2 dP<13> + κ23 dP<23> − κ13 dP<13> +
+κ21 dP<12> − κ12 dP<21> .
Подставляя элементы матрицы (4.3) в матрицу тензора ∇ × dP, находим физические
компоненты этого тензора в форме:
(∇ × dP)<11> = d2 d2 dε3 + d3 d3 dε2 + d2 [κ31 (dε3 − dε2 )] − d3 [κ21 (dε3 − dε2 )]+
2
2
+κ31 d2 dε3 + κ21 d3 dε2 + κ32 d1 dε2 + κ23 d1 dε3 + (κ31
− κ21
)(dε3 − dε2 )+
+κ32 κ23 (dε2 − dε1 ) − κ32 κ23 (dε1 − dε3 ),
(∇ × dP)<12> = −d2 d1 dε3 + d2 [κ32 (dε1 − dε3 )] − κ31 d1 dε3 + κ31 d1 dε2 + κ23 d2 dε3 +
+κ31 κ32 (dε1 − dε3 ) + κ31 κ23 (dε2 − dε1 ) + κ23 κ31 (dε3 − dε2 ),
Системы независимых соотношений совместности приращений деформаций
205
(∇ × dP)<13> = −d3 d1 dε2 − d3 [κ23 (dε2 − dε1 )] − κ21 d1 dε2 + κ21 d1 dε3 + κ32 d3 dε2 −
−κ23 κ21 (dε2 − dε1 ) − κ32 κ21 (dε1 − dε3 ) − κ21 κ32 (dε3 − dε2 ),
(∇ × dP)<21> = −d1 d2 dε3 − d1 [κ31 (dε3 − dε2 )] − κ32 d2 dε3 + κ13 d1 dε3 + κ32 d2 dε1 −
−κ31 κ32 (dε3 − dε2 ) − κ13 κ32 (dε2 − dε1 ) − κ13 κ32 (dε1 − dε3 ),
(∇ × dP)<22> = d1 d1 dε3 + d3 d3 dε1 + d3 [κ12 (dε1 − dε3 )] − d1 [κ32 (dε1 − dε3 )]+
2
(dε1 − dε3 )−
+κ12 d3 dε1 + κ32 d1 dε3 + κ13 d2 dε3 + κ31 d2 dε1 + κ12
2
−κ32
(dε1 − dε3 ) + κ13 κ31 (dε3 − dε2 ) − κ31 κ13 (dε2 − dε1 ),
(∇ × dP)<23> = −d3 d2 dε1 + d3 [κ13 (dε2 − dε1 )] − κ12 d2 dε1 + κ12 d2 dε3 + κ31 d3 dε1 +
+κ12 κ31 (dε3 − dε2 ) + κ12 κ13 (dε2 − dε1 ) + κ31 κ12 (dε1 − dε3 ),
(∇ × dP)<31> = −d1 d3 dε2 + d1 [κ21 (dε3 − dε2 )] − κ23 d3 dε2 + κ23 d3 dε1 + κ12 d1 dε2 +
+κ23 κ21 (dε3 − dε2 ) + κ23 κ12 (dε1 − dε3 ) + κ23 κ12 (dε2 − dε1 ),
(∇ × dP)<32> = −d2 d3 dε1 − d2 [κ12 (dε1 − dε3 )] − κ13 d3 dε1 + κ13 d3 dε2 + κ21 d2 dε1 −
−κ12 κ13 (dε1 − dε3 ) − κ21 κ13 (dε3 − dε2 ) − κ13 κ21 (dε2 − dε1 ),
(∇ × dP)<33> = d1 d1 dε2 + d2 d2 dε1 + d1 [κ23 (dε2 − dε1 )] − d2 [κ13 (dε2 − dε1 )]+
2
+κ23 d1 dε2 + κ13 d2 dε1 + κ21 d3 dε1 + κ12 d3 dε2 + κ23
(dε2 − dε1 )−
2
−κ13
(dε2 − dε1 ) + κ12 κ21 (dε1 − 2dε3 + dε2 ).
Нетрудно видеть, что приведенные выше девять компонент тензора −dS = ∇ × dP
можно получить по следующей схеме: выражения для компонент с индексами 22 и 33
получаются циклической перестановкой индексов в выражении для компоненты 11; выражения для компонент с индексами 23 и 31 получаются циклической перестановкой
индексов в выражении для компоненты 12. Тем самым объясняется также и выбор
нумерации кривизн: он исключительно удобен при записи уравнений совместности деформаций.
Равенство нулю всех приведенных только что физических компонент тензора
∇ × dP и дает условия совместности приращений деформаций в триортогональной изостатической системе координат при условии, что главные оси тензора dε
ориентированы так же, как и триэдр l, m, n, т.е.
dε = l ⊗ ldε1 + m ⊗ mdε2 + n ⊗ ndε3 .
Следует отметить, что полученные с помощью вычисленных только что физических компонент тензора ∇×dP выражения для dS <21> , dS <31> , dS <32> отличаются
по форме соответственно от dS <12> , dS <13> , dS <23> . Тем не менее в силу симметрии
тензора dS должны быть справедливы равенства dS <21> = dS <12> , dS <31> = dS <13> ,
dS <32> = dS <23> .
Таким образом, физические компоненты тензора несовместности dS в случае,
когда матрица тензора dε в базисе l, m, n диагональна
0 dε1 0
0 dε2 0 ,
0
0 dε3 вычисляются по формулам
2
2
(dε3 − dε2 ) +
dS <11> = −d2 d2 dε3 − d3 d3 dε2 + κ21
− κ31
+d3 (κ21 (dε3 − dε2 )) − d2 (κ31 (dε3 − dε2 )) −
−κ23 κ32 (dε2 + dε3 − 2dε1 ) − κ31 d2 dε3 −
−κ21 d3 dε2 − κ32 d1 dε2 − κ23 d1 dε3 ,
(4.4)
206
Ю.Н. Радаев
dS <12> = d2 d1 dε3 + d2 [κ32 (dε3 − dε1 )] + κ31 d1 (dε3 − dε2 ) −
−κ23 d2 dε3 + κ31 (dε3 − dε1 ) (κ32 − κ23 ) ,
(4.5)
где компоненты dS <22> , dS <33> получаются циклической перестановкой индексов
в (4.4), а компоненты dS <23> , dS <31> получаются циклической перестановкой индексов в (4.5).
Для конкретных типов нагружений уравнения совместности ∇ × dP = 0 упрощаются. Так, при нагружении вдоль грани призмы Треска
|σ1 − σ2 | = 2k, |σ2 − σ3 | < 2k, |σ3 − σ1 | < 2k
имеем dε3 = 0, dε1 + dε2 = 0, следовательно, матрица (4.3) приобретает вид
0
d3 dε1 + 2κ12 dε1 −d2 dε1 − 2κ13 dε1 d3 dε1 + 2κ21 dε1
0
+d1 dε2 − 2κ23 dε1 .
κ31 dε1
κ32 dε1
0
Вихрь тензора dP, т.е. тензор ∇ × dP, при этом в главных осях напряжений
имеет компоненты
(∇ × dP)<11> = −d3 d3 dε1 + d2 (κ31 dε1 ) − d3 (κ21 dε1 ) − κ32 d1 dε1 − κ21 d3 dε1 +
2
2
+(κ31
− 3κ32 κ23 − κ21
)dε1 ,
(∇ × dP)<12> = d2 (κ32 dε1 ) − κ31 d1 dε1 + κ31 (κ32 − κ23 )dε1 ,
(∇ × dP)<13> = d3 d1 dε1 + 2d3 (κ23 dε1 ) + κ21 d1 dε1 − κ32 d3 dε1 +
+2κ21 (κ23 − κ32 )dε1 ,
(∇ × dP)<21> = −d1 (κ31 dε1 ) − κ32 d2 dε1 + κ32 (κ13 − κ31 )dε1 ,
(∇ × dP)<22> = d3 d3 dε1 + d3 (κ12 dε1 ) − d1 (κ32 dε1 ) + κ12 d3 dε1 + κ31 d2 dε1 +
(∇ × dP)<23>
2
2
+(κ12
− κ32
+ 2κ31 κ13 )dε1 ,
= −d3 d2 dε1 − 2d3 (κ13 dε1 ) − κ12 d2 dε1 + κ31 d3 dε1 +
+2κ12 (κ31 − κ13 )dε1 ,
(∇ × dP)<31> = d1 d3 dε1 + d1 (κ21 dε1 ) + 2κ23 d3 dε1 − κ12 d1 dε1 +
+κ23 (κ21 − κ12 )dε1 ,
(∇ × dP)<32> = −d2 d3 dε1 − d2 (κ12 dε1 ) − 2κ13 d3 dε1 + κ21 d2 dε1 +
+κ13 (κ21 − κ12 )dε1 ,
(∇ × dP)<33> = d2 d2 dε1 − d1 d1 dε1 − 2d1 (κ23 dε1 ) + 2d2 (κ13 dε1 ) − κ23 d1 dε1 +
2
2
+κ13 d2 dε1 + κ21 d3 dε1 − κ12 d3 dε1 + 2(κ13
− κ23
)dε1 .
5. Уравнения совместности в триортогональной
изостатической сетке (случай ”1/3-соосности”
тензора напряжений σ и тензора приращений
пластических деформаций dεP )
Применимость полученных выше выражений (4.4), (4.5) для физических компонент тензора несовместности dS ограничена условием ”3/3-соосности” тензора
напряжений σ и тензора приращений пластических деформаций dεP , что позволяет использовать их лишь в случае течения на грани призмы Кулона—Треска.
Системы независимых соотношений совместности приращений деформаций
207
Ассоциированный закон течения устанавливает соосность тензора напряжений
σ и тензора приращений пластических деформаций dεP . При использовании критерия текучести Треска следует различать течение на грани (в этом случае уникальный триэдр l, m, n будет однозначно указывать также и главные оси тензора
приращений пластических деформаций dεP ) и течение на ребре, когда равны два
главных напряжения σ1 = σ2 . В случае течения на ребре равенство двух главных
напряжений σ1 = σ2 означает, что любое направление, расположенное в плоскости,
ортогональной вектору n, является главным. Поэтому при соответствии напряженного состояния ребру призмы Кулона—Треска есть известная доля произвола при
выборе собственных векторов l и m (они определены с точностью до поворотов в
плоскости, ортогональной вектору n). Следовательно, векторы l и m уже могут
и не быть собственными векторами тензора приращений пластических деформаций dεP . Следовательно, возможно существование триортогональной сетки линий
главных напряжений с локальным триэдром l, m, n, таким, что векторы l и m
не являются собственными для тензора dεP , но тогда формулы (4.4), (4.5) подлежат модификации с целью учета недиагональности матрицы тензора dε = dεP
(мы пренебрегаем упругой составляющей полной деформации) в базисе l, m, n:
dε<11> dε<12> 0 dε<12> dε<22> 0 .
0
0
dε3 Подобного рода модификация без труда осуществляется с помощью полученных выше (на с. 200) формул для физических компонент тензора несовместности9 .
Сначала несколько упростим запись формул для физических компонент тензора несовместности (см. с. 200)
dS <11> = 2κ23 κ32 dε<11> +
2
2
+[κ31
− κ21
− κ32 κ23 + (d2 κ31 ) − (d3 κ21 ) + κ31 d2 − κ32 d1 − 2κ21 d3 − d3 d3 ]dε<22> +
2
2
+[κ21
− κ31
− κ32 κ23 + (d3 κ21 ) − (d2 κ31 ) + κ21 d3 − κ23 d1 − 2κ31 d2 − d2 d2 ]dε<33> +
+[κ31 κ32 + κ23 κ31 + 2κ32 κ13 + (d2 κ32 ) + 2κ32 d2 ]dε<12> +
+[κ21 κ23 + κ32 κ21 + 2κ23 κ12 + (d3 κ23 ) + 2κ23 d3 ]dε<13> +
+[4κ31 κ21 + κ21 κ23 + 2(d2 κ21 ) + (d2 κ31 ) + (d3 κ31 )+
+3κ21 d2 + 2κ31 d3 + κ31 d2 + d2 d3 + d3 d2 ]dε<23> ,
dS <22> = 2κ31 κ13 dε<22> +
2
2
+[κ12
− κ32
− κ13 κ31 + (d3 κ12 ) − (d1 κ32 ) + κ12 d3 − κ13 d2 − 2κ32 d1 − d1 d1 ]dε<33> +
2
2
+[κ32 − κ12
− κ13 κ31 + (d1 κ32 ) − (d3 κ12 ) + κ32 d1 − κ31 d2 − 2κ12 d3 − d3 d3 ]dε<11> +
+[κ12 κ13 + κ31 κ12 + 2κ13 κ21 + (d3 κ13 ) + 2κ13 d3 ]dε<23> +
+[κ32 κ31 + κ13 κ32 + 2κ31 κ23 + (d1 κ31 ) + 2κ31 d1 ]dε<12> +
+[4κ12 κ32 + κ32 κ31 + 2(d3 κ32 ) + (d3 κ12 ) + (d1 κ12 )+
+3κ32 d3 + 2κ12 d1 + κ12 d3 + d3 d1 + d1 d3 ]dε<13> ,
dS <33> = 2κ12 κ21 dε<33> +
2
2
+[κ23
− κ13
− κ21 κ12 + (d1 κ23 ) − (d2 κ13 ) + κ23 d1 − κ21 d3 − 2κ13 d2 − d2 d2 ]dε<11> +
2
2
+[κ13 − κ23
− κ21 κ12 + (d2 κ13 ) − (d1 κ23 ) + κ13 d2 − κ12 d3 − 2κ23 d1 − d1 d1 ]dε<22> +
+[κ23 κ21 + κ12 κ23 + 2κ21 κ32 + (d1 κ21 ) + 2κ21 d1 ]dε<13> +
+[κ13 κ12 + κ21 κ13 + 2κ12 κ31 + (d2 κ12 ) + 2κ12 d2 ]dε<23> +
+[4κ23 κ13 + κ13 κ12 + 2(d1 κ13 ) + (d1 κ23 ) + (d2 κ23 )+
+3κ13 d1 + 2κ23 d2 + κ23 d1 + d1 d2 + d2 d1 ]dε<12> ,
9 Она
не требуется в плоском и осесимметричном случаях.
208
Ю.Н. Радаев
dS <12> = −κ31 d1 dε<22> + [κ31 (κ23 − κ32 ) − (d2 κ32 ) − κ32 d2 ]dε<11> +
+[κ31 (κ32 − κ23 ) + (d2 κ32 ) + κ31 d1 + (κ32 − κ23 )d2 + d2 d1 ]dε<33> +
2
2
+[κ23 κ32 + 2κ31 κ13 + 2κ21 κ12 − κ21
− κ31
+ (d3 κ12 ) − (d2 κ31 ) + κ21 d3 +
+κ12 d3 + d3 d3 ]dε<12> +
+[κ21 (κ31 + κ13 ) − 2κ31 κ12 + κ21 d2 − κ31 d3 − 2(d2 κ12 ) − 2κ12 d2 − d2 d3 ]dε<13> +
+[κ21 (κ23 + κ32 ) − (d3 κ32 ) + (κ23 − κ32 )d3 − 2κ21 d1 − d3 d1 ]dε<23> ,
dS <13> = −κ23 d3 dε<11> + [κ23 (κ12 − κ21 ) − (d1 κ21 ) − κ21 d1 ]dε<33> +
+[κ23 (κ21 − κ12 ) + (d1 κ21 ) + κ23 d3 + (κ21 − κ12 )d1 + d1 d3 ]dε<22> +
2
2
+[κ12 κ21 + 2κ23 κ32 + 2κ13 κ31 − κ13
− κ23
+ (d2 κ31 ) − (d1 κ23 ) + κ13 d2 +
+κ31 d2 + d2 d2 ]dε<13> +
+[κ13 (κ23 + κ32 ) − 2κ23 κ31 + κ13 d1 − κ23 d2 − 2(d1 κ31 ) − 2κ31 d1 − d1 d2 ]dε<23> +
+[κ13 (κ12 + κ21 ) − (d3 κ21 ) + (κ12 − κ21 )d2 − 2κ13 d3 − d2 d3 ]dε<12> ,
dS <23> = −κ12 d2 dε<33> + [κ12 (κ31 − κ13 ) − (d3 κ13 ) − κ13 d3 ]dε<22> +
+[κ12 (κ13 − κ31 ) + (d3 κ13 ) + κ12 d2 + (κ13 − κ31 )d3 + d3 d2 ]dε<11> +
2
2
− κ12
+ (d1 κ23 ) − (d3 κ12 ) + κ32 d1 +
+[κ31 κ13 + 2κ12 κ21 + 2κ32 κ23 − κ32
+κ23 d1 + d1 d1 ]dε<23> +
+[κ32 (κ12 + κ21 ) − 2κ12 κ23 + κ31 d3 − κ12 d1 − 2(d3 κ23 ) − 2κ23 d3 − d3 d1 ]dε<12> +
+[κ32 (κ31 + κ13 ) − (d1 κ13 ) + (κ31 − κ13 )d1 − 2κ32 d2 − d1 d2 ]dε<13> .
Затем положим в них dε<13> = 0, dε<23> = 0. В результате приходим к уравнениям
dS <11> = 2κ23 κ32 dε<11> +
2
2
+[κ31
− κ21
− κ32 κ23 + (d2 κ31 ) − (d3 κ21 ) + κ31 d2 − κ32 d1 − 2κ21 d3 − d3 d3 ]dε<22> +
2
2
+[κ21 − κ31
− κ32 κ23 + (d3 κ21 ) − (d2 κ31 ) + κ21 d3 − κ23 d1 − 2κ31 d2 − d2 d2 ]dε<33> +
+[κ31 κ32 + κ23 κ31 + 2κ32 κ13 + (d2 κ32 ) + 2κ32 d2 ]dε<12> ,
(5.1)
dS <22> = 2κ31 κ13 dε<22> +
2
2
+[κ12
− κ32
− κ13 κ31 + (d3 κ12 ) − (d1 κ32 ) + κ12 d3 − κ13 d2 − 2κ32 d1 − d1 d1 ]dε<33> +
2
2
+[κ32 − κ12
− κ13 κ31 + (d1 κ32 ) − (d3 κ12 ) + κ32 d1 − κ31 d2 − 2κ12 d3 − d3 d3 ]dε<11> +
+[κ32 κ31 + κ13 κ32 + 2κ31 κ23 + (d1 κ31 ) + 2κ31 d1 ]dε<12> ,
dS <33> = 2κ12 κ21 dε<33> +
2
2
+[κ23
− κ13
− κ21 κ12 + (d1 κ23 ) − (d2 κ13 ) + κ23 d1 − κ21 d3 − 2κ13 d2 − d2 d2 ]dε<11> +
2
2
+[κ13
− κ23
− κ21 κ12 + (d2 κ13 ) − (d1 κ23 ) + κ13 d2 − κ12 d3 − 2κ23 d1 − d1 d1 ]dε<22> +
+[4κ23 κ13 + κ13 κ12 + 2(d1 κ13 ) + (d1 κ23 ) + (d2 κ23 )+
+3κ13 d1 + 2κ23 d2 + κ23 d1 + d1 d2 + d2 d1 ]dε<12> ,
dS <12> = −κ31 d1 dε<22> + [κ31 (κ23 − κ32 ) − (d2 κ32 ) − κ32 d2 ]dε<11> +
+[κ31 (κ32 − κ23 ) + (d2 κ32 ) + κ31 d1 + (κ32 − κ23 )d2 + d2 d1 ]dε<33> +
2
2
+[κ23 κ32 + 2κ31 κ13 + 2κ21 κ12 − κ21
− κ31
+ (d3 κ12 ) − (d2 κ31 ) + κ21 d3 +
+κ12 d3 + d3 d3 ]dε<12> ,
(5.2)
dS <13> = −κ23 d3 dε<11> + [κ23 (κ12 − κ21 ) − (d1 κ21 ) − κ21 d1 ]dε<33> +
+[κ23 (κ21 − κ12 ) + (d1 κ21 ) + κ23 d3 + (κ21 − κ12 )d1 + d1 d3 ]dε<22> +
+[κ13 (κ12 + κ21 ) − (d3 κ21 ) + (κ12 − κ21 )d2 − 2κ13 d3 − d2 d3 ]dε<12> ,
dS <23> = −κ12 d2 dε<33> + [κ12 (κ31 − κ13 ) − (d3 κ13 ) − κ13 d3 ]dε<22> +
+[κ12 (κ13 − κ31 ) + (d3 κ13 ) + κ12 d2 + (κ13 − κ31 )d3 + d3 d2 ]dε<11> +
+[κ32 (κ12 + κ21 ) − 2κ12 κ23 + κ31 d3 − κ12 d1 − 2(d3 κ23 ) − 2κ23 d3 − d3 d1 ]dε<12> .
Приведенные выражения должны использоваться, когда пластическое течение
происходит на ребре призмы Кулона—Треска. Компоненты dS <22> , dS <33> нельзя
Системы независимых соотношений совместности приращений деформаций
209
получить циклической перестановкой индексов в уравнении (5.1). То же самое относится к компонентам dS <23> , dS <31> и уравнению (5.2). Вывод этих уравнений
следует осуществлять, как это было сделано, исходя непосредственно из приведенных на с. 200 формул для физических компонент тензора несовместности.
6. Независимые системы соотношений
совместности, их аналитическая классификация
и характеристики (течение на ребре призмы
Кулона—Треска)
В качестве примера применения уравнений для компонент тензора несовместности (5.1), (5.2) укажем возможные независимые системы уравнений совместности, выясним их аналитическую классификацию и найдем характеристики пространственных кинематических уравнений в случае течения на ребре призмы Кулона—Треска σ1 = σ2 = σ3 ± 2k. Для этого выпишем главные части уравнений
совместности деформаций
dS <11> = −d2 d2 dε3 − d3 d3 dε<22> + ... = 0,
dS <22> = −d1 d1 dε3 − d3 d3 dε<11> + ... = 0,
dS <33> = −d2 d2 dε<11> − d1 d1 dε<22> + (d1 d2 + d2 d1 )dε<12> + ... = 0,
dS <12> = d2 d1 dε3 + d3 d3 dε<12> + ... = 0,
dS <23> = d3 d2 dε<11> − d3 d1 dε<12> + ... = 0,
dS <13> = d1 d3 dε<22> − d2 d3 dε<12> + ... = 0.
Пользуясь соотношением несжимаемости
dε<11> + dε<22> + dε3 = 0,
устраним из полученной системы уравнений dε3 . В результате приходим к системе
dS <11> = d2 d2 dε<22> − d3 d3 dε<22> + d2 d2 dε<11> + ... = 0,
dS <22> = d1 d1 dε<22> + d1 d1 dε<11> − d3 d3 dε<11> + ... = 0,
dS <33> = −d2 d2 dε<11> − d1 d1 dε<22> + (d1 d2 + d2 d1 )dε<12> + ... = 0,
(6.1)
dS <12> = −d2 d1 dε<11> − d2 d1 dε<22> + d3 d3 dε<12> + ... = 0,
dS <23> = d3 d2 dε<11> − d3 d1 dε<12> + ... = 0,
dS <13> = d1 d3 dε<22> − d2 d3 dε<12> + ... = 0.
(6.2)
Только три из этих уравнений независимы, причем a priori неизвестно какие.
Однако соображения симметрии позволяют быстро обнаружить нужные уравнения. Мы рассмотрим две системы из трех уравнений совместности. Отдельное
исследование затем необходимо для установления выполнимости трех оставшихся
уравнений совместности. Такое исследование, как мы увидим ниже, требует привлечения ряда тонких результатов теории дифференциальных уравнений в частных производных.
210
Ю.Н. Радаев
6.1. Первая система условий
В качестве трех независимых уравнений совместности примем dS <12> = 0,
dS <11> = 0, dS <22> = 0, т.е. выбираются такие уравнения, чтобы индексы у компонент тензора несовместности dS не включали номер 3. Эти уравнения следует рассматривать как систему уравнений в частных производных относительно
dε<11> , dε<22> , dε<12> .
Найдем характеристики построенной системы. Составляя характеристический
определитель, приходим к характеристическому уравнению (N< j> — физические
компоненты единичного вектора нормали к характеристике относительно ортонормированного базиса собственных векторов тензора напряжений l, m, n)
2
−N<2> N<1> −N<2> N<1> N<3>
2
2
2
N<2>
N<2>
− N<3>
0 = 0
(6.3)
2
N
− N2
N2
0 <1>
или
<3>
<1>
4
2
2
2
N<3>
(N<1>
+ N<2>
− N<3>
) = 0.
Учитывая условие нормировки
2
2
2
N<1>
+ N<2>
+ N<3>
= 1,
преобразуем характеристическое уравнение к виду
4
2
N<3>
(1 − 2N<3>
) = 0,
откуда сразу же становится ясно, что оно имеет три различных вещественных
корня
1
N<3> = 0, N<3> = ± √ ,
2
причем кратность нулевого корня равна четырем, т.е. система дифференциальных
уравнений в частных производных
dS <12> = 0,
dS <11> = 0,
dS <22> = 0
(6.4)
гиперболична, а ее характеристики идентичны характеристикам поля напряжений10 .
Выясним зависимы ли остальные уравнения совместности для приращений деформаций
dS <33> = 0, dS <13> = 0, dS <23> = 0
(6.5)
от трех уравнений совместности (6.4). Для этого рассмотрим тождество Бианки
для тензора несовместности dS. В изостатической координатной сетке оно представляется в форме (3.2). Учитывая (6.4), уравнения (3.2) приводим к виду
(2κ12 + κ21 + d3 )dS <13> − κ32 dS <33> = 0,
(2κ21 + κ12 + d3 )dS <23> − κ31 dS <33> = 0,
d3 dS <33> + (κ12 + κ21 )dS <33> + (2κ32 + κ23 + d1 )dS <13> +
+(2κ31 + κ13 + d2 )dS <23> = 0.
(6.6)
10 Указанная система дифференциальных уравнений в частных производных, как нетрудно
заметить, не является ξ3 -гиперболической (или строго гиперболической относительно переменной ξ3 ), т.к. ее характеристическое уравнение имеет кратный корень. Поэтому проблема корректности постановки задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных
производных (6.4) с начальными данными на слое ξ3 = const векторного поля n нуждается в
дополнительном исследовании. Заметим, что многие важные уравнения математической физики имеют характеристическую форму с кратными корнями. Можно даже сказать, что условие
строгой гиперболичности очень редко выполняется для линейных систем первого порядка.
Системы независимых соотношений совместности приращений деформаций
211
Отсюда видно, что эта система линейных уравнений в частных производных относительно трех компонент dS <33> , dS <13> , dS <23> тензора несовместности dS нормальна по изостатической переменной ξ3 , ибо приводится к нормальной форме
Коши по этой переменной
∂dS <13>
= ... ,
∂ξ3
∂dS <23>
= ... ,
∂ξ3
∂dS <33>
= ... .
∂ξ3
(6.7)
Следовательно, задача Коши для системы уравнений (6.6) с начальными данными
на слое ξ3 = const векторного поля n поставлена корректно. В частности, поставлена корректно задача Коши с нулевыми начальными данными на слое ξ3 = const
dS <33> = 0,
dS <13> = 0,
dS <23> = 0 (ξ3 = const).
(6.8)
Такая задача Коши имеет единственное нулевое решение. В случае, когда коэффициенты линейной системы дифференциальных уравнений в частных производных
(6.6) являются аналитическими функциями изостатических координат ξ1 , ξ2 , ξ3
и слой ξ3 = const векторного поля n есть аналитическая поверхность, единственность аналитического решения рассматриваемой задачи Коши прямо следует из
теоремы Коши—Ковалевской (см., например, [8, с. 30–37]), поскольку как мы покажем далее слой ξ3 = const не является характеристической поверхностью для
системы (6.6).
Единственность нулевого решения системы линейных дифференциальных уравнений (6.6) (если по-прежнему считать коэффициенты этой системы аналитическими функциями изостатических координат ξ1 , ξ2 , ξ3 ) с нулевыми начальными
данными на слое ξ3 = const в классе непрерывно дифференцируемых функций гарантируется теоремой Хольмгрена (E. Holmgren, 1901)11 , поскольку слой ξ3 = const
не является характеристической поверхностью для системы (6.6). Действительно,
составляя характеристическое уравнение, имеем (N< j> — физические компоненты
вектора нормали к плоскому характеристическому элементу относительно базиса
11 См., например: Мизохата, С. Теория уравнений с частными производными / С. Мизохата. –
М.: Мир, 1977. – С. 259–261; Берс, Л. Уравнения с частными производными / Л. Берс, Ф. Джон,
М. Шехтер. – М.: Мир, 1966. – С. 58–63; Курант, Р. Уравнения с частными производными /
Р. Курант. – М.: Мир, 1964. – С. 239–241; Петровский, И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И.Г. Петровский. – М.: Физматгиз, 1961. – С. 49–54. Теорема Хольмгрена
имеет весьма общий характер и применяется к линейным системам дифференциальных уравнений в частных производных любого аналитического типа (гиперболического, эллиптического,
параболического). В условной части теоремы Хольмгрена можно не требовать аналитичности
поверхности, на которой выставляются начальные данные. Аналогичная теорема справедлива
и для линейной системы уравнений первого порядка с неаналитическими коэффициентами при
условии ее строгой гиперболичности: все корни характеристического уравнения должны быть
вещественными и различными. Теорема Хольмгрена указывает также и форму области, где
решение задачи Коши единственным образом определяется начальными данными: это ”линзообразная” область, ограниченная начальной поверхностью и частью пространства, заполненного
семейством аналитических поверхностей, представляющим собой аналитическую деформацию
начального слоя при фиксированном его крае, причем на всех поверхностях этого семейства
характеристический определитель должен быть отделен от нуля одной и той же для всех
поверхностей семейства постоянной. Насколько далеко удается продвинуться этим методом от
начального слоя, зависит от геометрии характеристических поверхностей.
212
l, m, n)
Ю.Н. Радаев
N<3>
0
N<1>
0
N<3>
N<2>
0
0
N<3>
= 0,
3
т.е. находится корень N<3>
= 0 кратности 3, а сама характеристическая форма вырождается, что говорит о параболическом вырождении системы уравнений (6.6)
и о том, что нормали к характеристикам располагаются в плоскости, ортогональной вектору n12 . Поэтому всюду в области достижимости слоя ξ3 = const будут
выполняться три оставшихся условия совместности (6.5), если они выполняются
на слое.
Итак, если три уравнения совместности
dS <12> = 0,
dS <11> = 0,
dS <22> = 0
dS <13> = 0,
dS <23> = 0
выполнены, то три оставшихся
dS <33> = 0,
также выполняются, если они выполняются на каком-либо слое ξ3 = const векторного поля n, причем гарантировать выполнение трех оставшихся условий совместности можно в области достижимости слоя ξ3 = const или в более широком смысле
в той области пространства, где начальные данные (6.8) однозначно определяют
решение системы уравнений (6.7)13 . Поскольку характеристические поверхности
системы уравнений в частных производных (6.7) составляются из векторных линий поля n, то область достижимости слоя ξ3 = const будет, по-видимому, ограничена векторными линиями поля n, выпущенными из точек контура, являющегося
краем слоя ξ3 = const. Ясно, что в приведенных формулировках слой ξ3 = const может быть заменен любой поверхностью, не являющейся характеристической для
параболически вырожденной системы дифференциальных уравнений в частных
производных (6.6).
Укажем еще на одно интересное обстоятельство. Если часть границы тела свободна от контактных усилий, то в качестве граничного условия здесь можно принять условие касания вектора n. Следовательно, указанная часть границы тела
будет характеристической поверхностью для системы уравнений в частных производных (6.6). Если дополнить ее произвольной нехарактеристической поверхностью так, чтобы образовалась ”линзообразная” пространственная область, то три
условия совместности
dS <33> = 0,
dS <13> = 0,
dS <23> = 0
(6.9)
будут выполнены всюду в образованной области, если они выполняются на дополняющей поверхности и если три других условия совместности выполняются
всюду в указанной области.
12 Поэтому поверхности, составленные из векторных линий поля n, будут характеристическими для системы дифференциальных уравнений в частных производных (6.6). Такие же
поверхности являются характеристическими и для уравнений равновесия в случае состояний
на ребре призмы Треска
gradσ3 ∓ 2kdiv(n ⊗ n) = 0 (n · n = 1).
13 Этот важный результат проливает свет на отмеченную выше проблему о том, какие именно
три уравнения составляют независимую систему условий совместности малых деформаций.
Системы независимых соотношений совместности приращений деформаций
213
Дальнейшие уточнения выполнимости условий (6.9) возможны только при более детальном анализе системы уравнений в частных производных

 


 dS <13>   0
0
0   dS <13> 

 


0
0   dS <23>  +
d3  dS <23>  =  0

 


dS <33>
dS <33>
 −d1 −d2 0


 −(2κ12 + κ21 )
  dS <13> 
0
κ32

 

0
−(2κ21 + κ12 )
κ31
+ 
  dS <23>  .

−(2κ32 + κ23 ) −(2κ31 + κ13 ) −(κ21 + κ12 )
dS <33>
6.2. Вторая система условий
Поменяем ролями выделенные группы уравнений совместности: будем считать
выполненными уравнения совместности
dS <33> = 0,
dS <13> = 0,
dS <23> = 0
и выясним, при каких условиях будут выполнены три оставшихся уравнения совместности
dS <12> = 0, dS <11> = 0, dS <22> = 0.
Главная часть выполненных согласно предположению уравнений совместности
имеет вид
dS <33> = −d2 d2 dε<11> − d1 d1 dε<22> + (d1 d2 + d2 d1 )dε<12> + ... = 0,
dS <23> = d3 d2 dε<11> − d3 d1 dε<12> + ... = 0,
dS <13> = d1 d3 dε<22> − d2 d3 dε<12> + ... = 0.
Поэтому характеристический определитель есть
2
2
−N<1>
2N<1> N<2>
−N<2>
0
N<1> N<3> −N<2> N<3>
N<2> N<3>
0
−N<1> N<3>
.
(6.10)
(6.11)
Видно, что соответствующая характеристическая форма полностью вырождается,
т.к. указанный определитель равен нулю при любых ориентациях N<1> , N<2> , N<3> .
Любая поверхность оказывается характеристической для системы дифференциальных уравнений в частных производных (6.10). В частности, характеристическими
будут поверхности ξ3 = const. Как следует из уравнения dS <33> = 0, начальные значения dε<11> , dε<22> , dε<12> , d3 dε<11> , d3 dε<22> не могут быть произвольно заданы на
поверхности ξ3 = const. Поэтому постановка задачи Коши с начальными данными
на слое ξ3 = const будет некорректной.
Выясним условия, при которых будут выполняться три оставшихся уравнения совместности. Остальные компоненты тензора несовместности dS <11> , dS <22> ,
dS <12> должны удовлетворять тождествам Бианки
d1 dS <11> + κ23 (dS <11> − dS <22> ) + κ32 dS <11> + (2κ13 + κ31 + d2 )dS <12> = 0,
d2 dS <22> − κ13 (dS <11> − dS <22> ) + κ31 dS <22> + (2κ23 + κ32 + d1 )dS <12> = 0,
κ12 dS <11> + κ21 dS <22> = 0.
(6.12)
Последнее из тождеств позволяет исключить компоненту dS <22> (или dS <11> ). В
результате относительно двух компонент dS <11> , dS <12> (или dS <22> , dS <12> ) получим линейную систему двух уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. Тем самым удается понизить размерность исследуемой системы
214
Ю.Н. Радаев
уравнений. По существу, здесь на каждом слое ξ3 = const мы можем рассматривать линейную систему двух уравнений первого порядка с двумя независимыми
переменными ξ1 , ξ2 относительно двух компонент dS <11> , dS <12> . Характеристическое уравнение этой системы
2
2
κ21 N<1>
+ κ12 N<2>
=0
(6.13)
указывает на то, что система тождеств Бианки (6.12) будет гиперболической (и
даже ξ1 - и ξ2 -гиперболической) при условии
κ12 κ21 < 0
и эллиптической (и даже сильно эллиптической) при условии
κ12 κ21 > 0.
Поскольку координатные изостатические линии получаются как линии пересечения поверхностей триортогональной системы, то изостаты с номерами 1 и 2
есть линии кривизны на поверхности ξ3 = const. Следовательно, κ12 , κ21 являются
главными кривизнами поверхности ξ3 = const, представляющей собой слой векторного поля n, а произведение главных кривизн κ12 , κ21 есть Гауссова кривизна
поверхности ξ3 = const
K(3) = κ12 κ21 .
Поэтому первое из приведенных выше неравенств выполняется в гиперболических
точках этой поверхности, а второе — в эллиптических.
Ясно, что линейная система дифференциальных уравнений в частных производных (6.12) всегда имеет нулевое решение, и нам остается установить, когда
нулевое решение будет единственным.
Рассмотрим сначала, как этот вопрос решается в случае сильной эллиптичности системы (6.12) (речь идет о выполнении неравенства κ12 κ21 > 0 на заданном слое ξ3 = const) и аналитичности ее коэффициентов. Тогда с помощью теоремы единственности Хольмгрена можно заключить, что если dS <11> , dS <12> (или
dS <22> , dS <12> ) равны нулю на некотором замкнутом контуре, расположенном на
слое ξ3 = const, то
dS <12> = 0, dS <11> = 0, dS <22> = 0
(6.14)
всюду на слое в пределах внутренности этого контура. Из этого утверждения также следует, что если dS <11> , dS <12> (или dS <22> , dS <12> ) равны нулю на поверхности векторной трубки поля n, то равенства (6.14) выполняются внутри области
пространства, ограниченной поверхностью трубки и замыкающими ее слоями векторного поля n.
Если на слое ξ3 = const система дифференциальных уравнений в частных производных (6.12) гиперболична, ее коэффициенты по крайней мере один раз непрерывно дифференцируемы и если dS <11> , dS <12> (или dS <22> , dS <12> ) равны нулю на
некотором отрезке координатной изостатической траектории, расположенной на
слое, то в силу единственности решения задачи Коши для двумерных гиперболических систем14 равенства (6.14) выполняются всюду в области определенности
указанного отрезка, т.е. в той части слоя, которая ограничена дугой изостатической траектории и характеристическими кривыми, выпущенными из конечных
точек дуги.
14 См.:
Петровский, И.Г. Лекции об уравнениях
И.Г. Петровский. – М.: Физматгиз, 1961. – С. 92–99.
с
частными
производными
/
Системы независимых соотношений совместности приращений деформаций
215
Литература
[1] Радаев, Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности / Ю.Н. Радаев. – 2-е изд. – Самара: Изд-во Самарского гос. университета,
2006. – 340 с.
[2] Блох, В.И. Теория упругости / В.И. Блох. – Харьков: Изд-во Харьковского
ун-та, 1964. – 484 с.
[3] Папкович, П.Ф. Теория упругости / П.Ф. Папкович. – М.; Л.: Оборонгиз,
1939. – 640 с.
[4] Malvern, L. Introduction to the Mechanics of Continuous Medium. Englewood
Cliffs / L. Malvern. – N. J.: Prentice – Hall, 1969. – 714 pp.
[5] Washizu, K. A note on the conditions of compatibility / K. Washizu // J. Math.
Phys. – 1958. – V. 36. – P. 306–312.
[6] Moriguti, S. Fundamental theory of dislocations of elastic bodies / S. Moriguti //
Oyo Sugaku Rikigaku. – 1947. – V. 1. – P. 87–90.
[7] Лурье, А.И. Пространственные задачи теории упругости / А.И. Лурье. – М.:
Гостехтеоретиздат, 1955. – 492 с.
[8] Положий, Г.Н. Уравнения математической физики / Г.Н. Положий. – М.:
Высш. шк., 1964. – 560 с.
Поступила в редакцию 2/III/2007;
в окончательном варианте — 2/III/2007.
ON SYSTEMS OF INDEPENDENT STRAINS
COMPATIBILITY EQUATIONS FOR PLASTIC FLOW
CORRESPONDING TO AN EDGE
OF THE COULOMB–TRESCA PRISM
© 2007
Y.N. Radayev15
The strains compatibility equations formulated by the triorthogonal isostatic
co-ordinate net are considered. The six of these equations are essential. Only
three of them are independent. They are explicitly given for stress states corresponding to an edge of the Tresca prism. Conditions sufficient for the other
strains compatibility equations to be satisfied are obtained.
Paper received 2/III/2007.
Paper accepted 2/III/2007.
15 Radayev Yuri Nickolaevich (radayev@ssu.samara.ru), Dept. of Continuum Mechanics, Samara
State University, Samara, 443011, Russia.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа