close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об исследовании одной переопределённой системы дифференциальных уравнений второго порядка со сверхсингулярными коэффициентами.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2015, том 58, №6
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9
Ф.М.Шамсудинов
ОБ ИССЛЕДОВАНИИ ОДНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЁННОЙ СИСТЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА СО
СВЕРХСИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Курган-Тюбинский государственный университет им.Н.Хусрава
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Н.Раджабовым 11.03.2015 г.)
Для одной переопределённой системы уравнений второго порядка со сверхсингулярными коэффициентами найдены представления многообразия решений при помощи одной произвольной постоянной, изучены свойства полученных решений, а также рассмотрены задачи B1, B2 и B3.
Ключевые слова: многообразия решений – переопределённая система – прямоугольник – свойства решений.
Пусть D - прямоугольник
D   x, y  : 0  x  1 0  y   2  .
Далее обозначим
Г1   y  0 , 0  x  1, Г 2  x  0, 0  y   2 .
В области D рассмотрим систему
f  x, y 
  2u a1  x, y  u b1  x, y  u c1  x, y 

   u  1   ,
 xy  r

x
r
y
r
r


f  x, y 
u a2  x, y 

u 2 
,



x
r
r


f  x, y 
u b2  x, y 

u 3 
,


y
r
r

(1)
где r 2  x 2  y 2 , a j  x, y  , b j  x, y  , c1  x, y  , f k  x, y  , j  1.2, k  1.3 - заданные функции в области D,   1,   1,   2,   2.
Проблеме исследования уравнений и переопределённых систем с регулярными, сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами посвящены работы [1-10].
Система уравнений (1) с двумя линиями вырождения была изучена в [5].
В настоящей работе на основе способа, разработанного в [4] и [5]. получены представления
многообразия решений при помощи одной произвольной постоянной.
Адрес для корреспонденции: Шамсудинов Файзулло Мамадуллоевич. 735140, Республика Таджикистан, Курган-Тюбе, ул. Айни, 67, Курган-Тюбинский государственный университет. Е-mail: faizullo100@yahoo.сom
465
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2015, том 58, №6
Обозначим в дальнейшем через C2  D  класс функций, которые имеют непрерывные производные первого порядка в D и такие, что
 2u
 C  D.
xy
Случай 1. Пусть первое уравнение системы (1) является главным. В этом случае получим
следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть в системе уравнений (1)   1,   1,   2,   2 коэффициенты и правые части удовлетворяют следующим условиям
1)
a1  x, y   C1x  D  , a2  x, y  , f 2  x, y   C1y  D  , c1  x, y  , b2  x, y  , f1  x, y   C  D  ;
2)
c2  x, y   c1  x, y   r  
  a1  x, y  

  a1  x, y  b1  x, y  ;
x  r

3) a2  x,0  a2  0,0  H1 x1 , H1  const,  1    1;
4) a2  0,0  0;
5) a )
  a1  x, y     a2  x, y  

 
 в D,
x  r   y  r

b) r   r  a2  x, y   r   b1  x, y   exp  Wb1  x, y  


x
f1  t , y   с2  t , y  u  t , y 


exp Wb1  t , y   dt   f1  x, y  
 
 1  y   
0


t 2  y2  2


c2  x, y  u  x, y   r  
  f 2  x, y    

  r a1  x, y  f 2  x, y  в D,
y  r 
с) r  r  b2  x, y   r  a1  x, y   exp  Wa1  x, y 
y



 1  x   exp Wa1  x, s   Wb1  x, s  
0


 
x
f1  t , s   c2  t , s  u  t , s 

 
exp Wb1  t , s   dt  ds  
 
 1  s   
0

 
t 2  s2  2

 


x
f1  t , y   c2  t , y  u  t , y 



 r exp  Wb1  x, y    1  y   
exp Wb1  t , y   dt   f 3  x, y  в D,
 
0


t 2  y 2  2




466
Математика
Ф.М.Шамсудинов
 
 
6) f1  x, y   o r 1 , c2  x, y   o r 2 , 1, 2      1,
f 2  x,0  o  x 2  ,  2    1.
Тогда любое решение системы уравнений (1) из класса C2  D  представимо в виде



u  x, y   exp  Wa1  x, y   Ω 1  x  ,  1  y  , f1  x, y   


y
x


 ds Ω 1  t  , 1  s  , f1  t , s   Γ1  x, y; t , s  dt  

0
0

 1 1  x  , 1  y  , f1  x, y   , .
(2)
где
1  x   exp  Wa  x,0  a2  0,0W 1  x 
2
x


f 2  t ,0
с

exp Wa2  t ,0  a2  0,0 W 1  t   dt  
 1 

t
0


 N1  c1 , f 2  x,0  ,
1  y  
(3)
f 3  0, y 
, при y b2  0, y   y a1  0, y  ,
y
(4)
y
Ω 1  x  ,  1  y  , f1  x, y    1  x   exp Wa1  x, s   Wb1  x, s  
0


x
f1  t , s 

  s  
0 2 2  2 exp Wb1  t, s  dtds  ,
 1
(t  s )


y
Wa1  xy   

0
a1  x, s  ds
(x  s )
2

2 2
x
b1  t , y  dt
0
(t  y )
, Wb1  x, y   

2

,
2 2
1
a2  t , y   a2  0,0
dt, W 1  x     1 x 1  ,

t
0
x
Wa2  x,0  
c1  произвольная постоянная.
Замечание 1. При выполнении условий
c1  x, y   r  
  a1  x, y  

  a1  x, y  b1  x, y 
x  r 2 
467
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2015, том 58, №6
решение системы уравнений (1) даётся в явном виде.
Замечание 2. Если y b2  0, y   y a1  0, y  , тогда общее решение системы уравнений (1)
выражается при помощи двух произвольных постоянных.
Полученное решение обладает свойствами:
10 - если y  0 , то
lim u  x, y   1  x  ;
y 0
20 - если y  0 и x  0 , то




lim lim u  x, y    O  exp a2  0,0 W 1  x    ;
x 0



 y0 



30 - lim exp  a2  0,0W 1  x   lim u  x, y    c1;
x 0

 y0


40 - если x  0 , то


u  x, y   O exp a2  0,0W 1  x   .
Замечание 3. Утверждение теоремы 1 остаётся в силе при выполнении условий:
1) a2  0,0  0;


2) f 2  x,0  o exp a2  0,0W 1  x  x 3 ,  3    1.
Замечание 4. При выполнении условий замечания 3 полученное решение имеет поведение


lim lim u  x, y    0 и lim
u  x, y   0.
x 0
x 0 y 0


y 0
Случай 2. Пусть второе уравнение системы (1) является главным, тогда имеет место следующее утверждение
Теорема 2. Пусть в системе уравнений (1)   1,   1,   2,   2 коэффициенты и правые части удовлетворяют следующим условиям
1) a1  x, y  , b2  x, y  ,
f 3  x, y   C1x  D  , a2  x, y  , f 2  x, y   C1y  D 
b1  x, y  , c1  x, y  , f1  x, y   C  D  ;
2) с2  x, y   с1  x, y   r  
  a1  x, y  

  a1  x, y  b2  x, y  ;
x  r 
3) a2  x, y   a2  0,0  H 2r 4 ,
H 2  const,  4    1,
b2  0, y   b2  0,0  H 4 y1 , H 3  const,  3    1;
4) a2  0,0  0, b2  0,0  0;
468
Математика
Ф.М.Шамсудинов
5) a )
  a2  x, y     b2  x, y     a1  x, y  

 
 
 в D,


y  r
 x  r
 x  r



b) r    r  a2  x, y   r   b1  x, y   exp  Wb1  x, y  




x
  y   f1  t , y   c2  t , y  u  t , y  exp W   t , y   dt   f  x, y  
 
0
 b1
  1
 1
2
2

2
(
t

y
)


c2  x, y  u  x, y   r  
  f 2  x, y    

  r a1  x, y  f 2  x, y  в D,
y  r

c) r 
  f 3  x, y  

  a2  x , y  f 3  x , y  
x  r

 r 
  f 2  x, y  

  b2  x, y  f 2  x, y  в D;
y  r

6) f 2  x, y   o  r 5  ,  5    1, f 3  0, y   o  x2  ,  2    1.
Тогда любое решение системы уравнений (1) из класса C2  D  представимо в виде


1
u  x, y   exp  Wa2  x, y   a2  0,0W   x, y  
1
2




x
  y   f 2  t , y  exp W   t , y   a  0,0 W 1  t , y   dt  
2

 
0 2 2 2  a2
1
 2
2
 
(t  y )


 2  2  y  , f 2  x, y   ,
(5)
где
 2  y   exp  Wb  0, y   b2  0,0W 1  y 
2
y


f 3  0, s 
c

exp Wb2  0, s   b2  0,0W 1  s   ds  
 2 

s
0


 N 2  c2 , f 3  0, y   ,
x
Wa2  x, y   
0
a2  t , y   a2  0,0

(t 2  y 2 ) 2
(6)
b2  0, s   b2  0,0
ds,
s
0
y
dt , Wb2  0, y   
469
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
W   x, y  
1
2
1
x
1   3 1
 2
I   x, y  ,
 2
y (  2)r
y   2 2 1
2
x
1
I    x, y    (t 2  y 2 )
1
2
1
2015, том 58, №6

2
1
dt , W 1  y     1 y  1  ,
0
c2  произвольная постоянная.
Полученное решение обладает свойствами:
10 - если x  0, то
lim u  x, y    2  y  ;
x0
20 - если x  0 и y  0, то


lim lim u  x, y    O exp b2  0,0W 1  y   ;
y 0 x 0






20 - lim exp  b2  0,0W 1  y   lim u  x, y    c2 ;
y 0
x 0


40 - Если y  0 u x  0 , то



u  x, y   O  exp  a2  0,0W(1)  x, y    .
1
2



Замечание 5. Утверждение теоремы 2 остаётся в силе при выполнении условий:
1) a2  0,0  0, b2  0,0  0;



2) f 2  x, y   0  exp a2  0,0 W  x, y   r 

1
2





 , 1    1;


3) f 3  0, y   0 exp b2  0,0W 1  y  y3 ,  3    1 .
Замечание 6. При выполнении условий замечания 5 полученное решение имеет поведение


lim lim u  x, y   0 и lim
u  x, y   0.
x 0
y 0
x 0
y 0
Случай 3. Пусть третье уравнение системы (1) является главным, тогда получим следующие
утверждения.
Теорема 3. Пусть в системе уравнений (1)   1,   1,   2,   2 коэффициенты и правые части удовлетворяют следующим условиям
1) a1  x, y  , b2  x, y  , f 3  x, y   C1x  D  , a2  x, y  ,
470
Математика
Ф.М.Шамсудинов
f1  x, y  , f 2  x, y   C1y  D  , b1  x, y  , c1  x, y   C  D  ;
2) c2  x, y   c1  x, y   r  
  a1  x, y  

  a1  x, y  b1  x, y  ;
x  r 
3) b2  x, y   b2  0,0  H 4 r 6 ,
H 4  const,  6    1,
a2  x,0  a2  0,0  H5 x 7 ,
H 5  const,  7    1;
4) b2  0,0  0, a2  0,0  0;
5) a )
  b2  x, y     a2  x, y  

 
 в D,

x  r
 y  r



b) r ( r  a1  x, y   r  b2  x, y  (exp  Wb2  x, y   b2  0,0 W(2)  x, y  
1
2




y
 
 
f 3  x, s 
(2)
  x 
0 2 2 2 exp Wb2  x, s   b2  0,0W2 1  x, s  ds  
 2
(x  s )


 f 3  x, y   r exp  Wb1  x, y 


x
  y   f1  t , y   c2  t , y  u  t , y  exp W   t , y   dt  в D,
 
0
 b1
 
 1
2
2

2
(
t

y
)


c) r 
  f 2  x, y  

  b2  x, y  f 2  x, y  
y  r

 r 
  f 3  x, y  

  a2  x, y  f 3  x, y  в D;
x  r

6) f 3  x, y   o  r4  ,  4    1, f 2  x,0  o  x 2  , 2    1.
Тогда любое решение системы уравнений (1) из класса C2  D  представимо в виде


2
u  x, y   exp  Wb2  x, y   b2  0,0W   x, y   (2  x  
1
2


f 3  x, s 


exp Wb2  x, s   b2  0,0W 2  x, s   ds 
1
2


0
( x2  s2 ) 2
y


 3 2  x  , f 3  x, y   ,
где
471
(7)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2015, том 58, №6
2  x   exp  Wa  x,0  a2  0,0W 1  x 
2
x


f 2  t ,0
c

exp Wa2  t ,0  a2  0,0W 1  t   dt  
 3 

t
0


 N 3  c3 , f 2  x,0  ,
y
Wb2  x, y   

b2  x, s   b2  0,0

( x2  s2 ) 2
0
W
2
I 
 x, y  
1
2
2
a2  t ,0  a2  0,0
dt,
t
0
x
ds, Wa2  x, y   

y
1   3  2
 2
I   x, y  ,
 2
x   2  r
x   2 2 1
2
y
1
 x, y    ( x 2  s 2 )
1
2
(8)

2
1
ds, W 1  x     1 x 1  ,
0
c3  произвольная постоянная.
Полученное решение обладает свойствами:
10 - если y  0, то
lim u  x, y   2  x  ;
y 0
20 - если y  0 и x  0 , то




lim lim u  x, y   O exp a2  0,0W 1  x   ;
x 0 y 0


30 - lim exp  a2  0,0W 1  x   lim u  x, y   c3 ;
x 0
y 0
40 - если x  0 и y  0, то



2
u  x, y   O  exp  b2  0,0W   x, y    .


1
2



Замечание 7. Утверждение теоремы 3 остаётся в силе при выполнении условий:
1) 1) b2  0,0  0 , a2  0,0  0;


 
2
2) f 3  x, y   o  exp  b2  0,0W   x, y   r1  ,  1    1;


1
2

 



3) f 2  x, y   o exp a2  0,0W 1  x  x 2 ,  2    1.
472
Математика
Ф.М.Шамсудинов
Замечание 8. При выполнении условий замечания 7 полученное решение имеет поведение


lim lim u  x, y   0 и lim
u  x, y   0.
x 0
x 0
y 0
y 0
Для полученных интегральных представлений ставятся и решаются следующие задачи с начальными данными.
Задача
B1 . Требуется найти решение системы уравнений (1) из класса С2  D  по началь-
ному условию


lim exp  a2  0,0W 1  x   lim u  x, y   p1 ,
x 0
y 0
где p1  заданное постоянное число.
Задача B2 . Требуется найти решение системы уравнений (1) из класса С2  D  по начальному условию


lim exp  b2  0,0W  1  y   lim u  x, y    p2 ,
y 0
x

0




где p2 – заданная известная постоянная.
Задача B3 . Требуется найти решение системы уравнений (1) из класса C2  D  по начальному условию


lim exp  a2  0,0 W  1  x   lim u  x, y    p3 ,
x 0

 y0


где p3  заданное известное постоянное .
О разрешимости задач B1 , B2 и B3 получены следующие утверждения.
Теорема 4. Если коэффициенты и правые части системы уравнений (1) удовлетворяют всем
условиям теоремы 1, то единственное решение задачи B1 даётся формулами (2), (3), (4) при c1  p1.
Теорема 5. Если в системе уравнений (1) коэффициенты и правые части удовлетворяют
всем условиям теоремы 2, то единственное решение задачи B2 даётся формулами (5),(6) при
с2  p2 .
Теорема 6. Пусть в системе уравнений (1) коэффициенты и правые части удовлетворяют
всем условиям теоремы 3. Тогда единственное решение задачи B3 выражается формулами (7), (8)
при c3  p3 .
Замечание 9. Для системы уравнений (1) подобные утверждения получены, когда коэффициенты первого уравнения удовлетворяют условию
473
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
с2  x, y   с1  x, y   r  
2015, том 58, №6
  b1  x, y  

  a1  x, y  b1  x, y  .
y  r  
Поступило 13.03.2915 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Wilczynski E.J. Projective Differential Geometry of Curves and Ruled Surfaces. - Zeip. Zig; Leubner,
1906, 120 p.
2. Appel P. And Kampe de Fariet M.J. Functions hypergeometriges of hyperspheriges Polynomesd
Hermite. - Paris, Gauthir – Villars, 1926, 434 s.
3. Михайлов Л.Г. Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя
неизвестными функциями. – Душанбе: Дониш,1986, 115 с.
4. Раджабов Н. Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами. – Душанбе: Изд. ТГУ, 1992, 236 с.
5. Раджабов Н., Мохаммед Эльсаед Абдел Аал. Переопределенная линейная система второго порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями. – Lap Lambert Academic Publishing, Germany,
2011, 234 с.
6. Усманов З.Д. Обобщённые системы Коши-Римана с сингулярной точкой. – Душанбе: ТГУ, 1993,
234 с
7. Шамсудинов Ф.М. Интегральные представления решений для одной переопределённой системы
дифференциальных уравнений второго порядка со сверхсингулярной точкой. – Труды междунар.
научной конф. «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы», г. Стерлитамак 26-30 июня
2013. с. 300-304.
8. Шамсудинов Ф.М. Интегральные представления решений для одной переопределенной системы
дифференциальных уравнений второго порядка с сингулярными коэффициентами. – Мат-лы междунар. конф. «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии,
информатики и физики». Нальчик : КБНЦ РАН, 2013, с. 282-286.
9. Тасмамбетов Ж.Н. О развитии исследований специальных систем дифференциальных уравнений
в частных производных второго порядка. – Мат-лы междунар. научно-практ. конф. "Информационные технологии: инновации в науке и образовании"; г. Актобе 20-21 февраля 2015г,с. 6-17.
10. Шамсуддинов Ф.М. Об исследовании одной переопределенной системы дифференциальных
уравнений второго порядка с сингулярной точкой. – Там же, - с. 247-250.
474
Математика
Ф.М.Шамсудинов
Ф.М.Шамсудинов
ОИД БА ТАДЌИЌИ ЯК СИСТЕМАИ БАРЗИЁДМУАЙЯНШУДАИ
ДИФФЕРЕНСИАЛИИ ТАРТИБИ ДУЮМ БО КОЭФФИСИЕНТЊОИ
СУПЕРСИНГУЛЯРЇ
Донишгоњи давлатии Ќурѓонтеппа ба номи Н.Хусрав
Дар кори мазкур барои як системаи барзиёдмуайяншудаи тартиби дуюм бо
коэффисиентњои суперсингулярї тасвирњои интегралии њал ба воситаи як доимии ихтиёрї ёфташуда, барои онњо масъалањои B1 , B2 ва B3 њал карда шудаанд.
Калимањои калидї: бисёршаклии њал – системаи барзиёдмуайяншуда – росткунља – хосиятњои њал.
F.M.Shamsudinov
REGARDING THE INVESTIGATION FOR ONE OVER DETERMINED SYSTEM
OF SECOND ORDER DIFFERENTIAL EQUATOINS WITH SUPERSINGUL
COEFFICIENTS
N.Khusrav Qurgantyube State University
In this paper, for an over determined system of second order equations with a super singularity point,
found representation of the variety solution and study the properties of the solutions, as well as consider the
problem of B1, B2 and B3.
Key words: manifold solution – over determined system – rectangle – properties solution.
475
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа