close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об успокоении и возбуждении колебательного процесса описываемого неоднородным волновым уравнением за большие промежутки времени.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2011, том 54, №8
МАТЕМАТИКА
УДК 517.984.5
М.Ф.Абдукаримов
ОБ УСПОКОЕНИИ И ВОЗБУЖДЕНИИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА,
ОПИСЫВАЕМОГО НЕОДНОРОДНЫМ ВОЛНОВЫМ УРАВНЕНИЕМ,
ЗА БОЛЬШИЕ ПРОМЕЖУТКИ ВРЕМЕНИ
Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 10.07.2011 г.)
В работе показано, что в случае T
ления u(0, t )
(t ) и u(l , t )
(t ) , 0
t
l , где l – длина струны, существуют граничные управ-
T , обеспечивающие переход колебательного процесса,
описываемого неоднородным волновым уравнением, из произвольного начального состояния в любое
наперѐд заданное финальное состояние. Для этих управлений, которые определяются неоднозначно,
также получены явные аналитические формулы.
Ключевые слова: граничное управление – неоднородное волновое уравнение – колебательный процесс
– успокоение колебательной системы.
1°. С задачей граничного управления связаны многие практические задачи, в частности задачи акустики. Ввиду этого изучение таких задач является одной из актуальных для настоящего времени.
В работе В.А.Ильина [1] впервые для любого Т из интервала 0 T
l установлены необхо-
димые и достаточные условия существования и явный вид граничных управлений на двух концах.
Для случая же T
l (точнее, для случая l T
2l ) приведѐн самый общий вид граничных управле-
ний, включающих две произвольные постоянные и четыре функции из класса W 22 на сегменте длины
T
l . Эти управления обеспечивают переход колебательного процесса, описываемого однородным
волновым уравнением, из произвольного начального состояния в наперѐд заданное финальное со-

2
стояние. В этой работе при изучении задачи большую роль играет класс W2 [0
x l ) (0 t T ] ,
впервые введѐнный в [2] (определение этого класса будет дано ниже).
Ранее нами опубликованная работа [3] также посвящена этому вопросу, то есть построению
граничного управления для неоднородного волнового уравнения, когда на колебательную систему
влияет внешняя сила. Точнее, аналогично [1], установлены необходимые и достаточные условия существования таких граничных управлений
(t ) и (t ), 0 t T l на двух концах, переводящих
процесс колебания, описываемого уравнением utt ( x, t ) u xx ( x, t )
u ( x, 0)
( x), ut ( x, 0)
( x) в финальное состояние u ( x, l )
1
f ( x, t ), из начального состояния
( x), ut ( x, l )
1
( x) , и эти управле-
Адрес для корреспонденции: Абдукаримов Махмадсалим Файзуллоевич. 119991, Российская Федерация, г. Москва, Ленинские горы, 1, Московский государственный университет. E-mail: mahmadsalim_86@mail.ru
624
Математика
М.Ф.Абдукаримов
ния представлены в явном аналитическом виде. Также доказано, что промежуток времени 0, l , где
l – длина струны (отметим, что в литературе этот промежуток называется критическим), является
минимальным.
Следует отметить, что до публикации работ [1,2] вопросам граничного управления процессом
колебаний был посвящѐн ряд исследований (см., например, [4-9]). Однако в указанных работах теорема существования искомого граничного управления доказана лишь для промежутка времени Т,
строго большего, чем 2l, и явного аналитического выражения для этого управления не установлено.
В настоящей работе рассматривается процесс колебания струны, описываемый неоднородным волновым уравнением utt ( x, t ) u xx ( x, t )
0
t
T , концами которой служат точки x
f ( x, t ) и протекающий за промежуток времени
0 и x
лен явный вид таких граничных функций u(0, t )
l. Изучая проблему существования, установ-
(t ) и u(l , t )
где l - длина струны (ради определѐнности и простоты l
T
(t ), 0 t T , которые при T
l,
2l ), переводят систему колебания из
произвольного начального состояния в наперѐд заданное финальное состояние.
Оказывается, в случае l
(t) W22[0, T ]
( x),
1
существуют
( x) W22[0, l ],
( x),
1
T
2l искомые граничные управления
для
совершено
произвольных
(t ) W22[0, T ] и
пяти
функций
( x) W21[0, l ] и f ( x, t ) W21 QT , но они определяются неодно-
значно. Представим эти управления в явном аналитическом виде, включающие в себя две произвольные постоянные и четыре произвольные функции, определѐнные на сегменте длины T
l , принад-
лежащие на этом сегменте классу W22 и принимающие вместе с первыми производными на концах
этого сегмента заданные значения. С точки зрения приложений, выбор этих постоянных и этих функций можно подчинить тем или иным условиям оптимизации.
2°. Постановка задачи и основные определения.
QT
0 x l
В открытом
прямоугольнике
0 t T рассмотрим следующие три задачи для неоднородного волнового урав-
нения:
Смешанная задача I:
utt ( x, t ) u xx ( x, t )
u(0, t )
u ( x, 0)
в которой
(t ) и
(t ) W22 0, T ,
(t ), u(l , t )
f ( x, t ) в QT ,
(1)
(t ) при 0 t T ,
( x), ut ( x, 0)
( x) при 0
( x) W22 0, l ,
(2)
x l,
(3)
( x) W21 0, l , f ( x, t ) W21 QT и выпол-
нены условия согласования
(0)
(0),
(0)
(l ),
'(0)
625
(0),
'(0)
(l ).
(4)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2011, том 54, №8
Смешанная задача II:
utt ( x, t ) uxx ( x, t )
u(0, t )
u ( x, T )
в которой
(t )
(t ), u(l , t )
1
1
в
QT ,
(5)
(t ) при 0 t T ,
(6)
( x) при 0
(7)
( x), ut ( x, T )
(t ) W22 0, T ,
и
f ( x, t )
1
( x) W22 0, l ,
1
x l,
( x) W21 0, l , f ( x, t ) W21 QT
и вы-
полнены условия согласования
(T )
1
(0),
(T )
1
(l ),
'(T )
1
(0),
'(T )
1
(l ).
(8)
Задача III:
utt ( x, t ) u xx ( x, t )
u ( x, 0)
u ( x, T )
в
QT ,
( x), ut ( x, 0)
( x) при 0
( x), ut ( x, T )
1
(9)
x l,
( x) при 0
(10)
x l,
(11)
( x) W21 0, l и f ( x, t ) W21 QT .
2
Решение поставленных задач будем искать в классе W2 QT .
в которой
( x),
1
( x) W22 0, l ,
1
f ( x, t )
( x),
1
Определение 1. Будем говорить, что функция двух переменных u ( x, t ) принадлежит классу
2
W2 QT , если сама функция и еѐ частные производные первого порядка непрерывны в замкнутом
прямоугольнике Q T и если у этой функции существуют все обобщѐнные частные производные второго порядка, каждая из которых принадлежит классу L2 0
лежит классу L2 0
t T при любом x
x l при любом t
0, T и принад-
0, l .
Определение 2. Будем говорить, что функция одной переменной
(t ) (соответственно
(t ) )
2
2
принадлежит классу W 2 0, T (соответственно классу W 2 0, T ), если эта функция определена для
всех t
ряет
0 ), принадлежит классу W22 0, T
T (соответственно для всех t
условиям
(T ) 0,
(0) 0,
для
'(0) 0, (t ) 0
всех
t
0
и, кроме того, удовлетво-
(соответственно
условиям
'(T ) 0, (t ) 0 для всех t T ).
Теперь дадим определения решений поставленных задач I-III.

2
Определение 3. Решением из W2 QT
смешанной задачи I (соответственно смешанной зада-
чи II) называется такая функция u ( x, t ) , которая удовлетворяет уравнению (1) для любого t
и для почти всех x
0, l , а также для любого x
626
0, l и для почти всех t
0, T
0, T и, кроме того,
Математика
М.Ф.Абдукаримов
удовлетворяет в классическом смысле краевым условиям (2) и начальным условиям (3) (соответственно краевым условиям (6) и финальным условиям (7)).

Определение 4. Решением из W22 QT
задачи III называется такая функция u ( x, t ) из этого
класса, которая удовлетворяет уравнению (9) для любого t
также для любого x
0, l и для почти всех t
0, T и для почти всех x
0, l , а
0, T и, кроме того, удовлетворяет в классическом
смысле условиям (10) и (11).
3°. Основной результат работы. Центральным результатом настоящей работы является следующая
Теорема. Если момент времени T удовлетворяет неравенствам l
вольных
заданных
f ( x, t ) W21 QT
пяти
функций
( x),
1
( x) W22 0, l ,
существуют граничные управления u(0, t )
2l , то для произ-
T
( x),
1
( x) W21 0, l
(t ) и u(l , t )
и
(t ) из класса
W22 0, T , переводящие процесс колебаний из начального состояния (3) в финальное состояние (7) и
подчинѐнные условиям согласования (4) и (8), то есть существуют граничные управления
(t ) из класса W22 0, T , которые удовлетворяют условиям согласования
2
(4) и (8) и такие, что решение из класса W2 QT смешанной задачи (1) – (3) удовлетворяет для всех
(t ) и u(l , t )
u(0, t )
0, l условиям (7).
x
Эти
граничные
(t )
(t ), (t )
(t )
(t )
управления
(0)
1
2
(0)
неоднозначно
( x)dx
f (x
, )d dx
f (x
, )d dx
(t l )
( x)dx
0
(l )
,
,
при
t
l,
0 0
при l
l
1
2
, при 0 t
t T
(t )
(t ),
(t )
суммами
0 0
t
(l )
выражаются
t T
(t )
0
1
2
и
(t ) с помощью соотношений
(t )
t
1
2
определяются
(l t )
l T
( x)dx
l t
, )d dx
(t l )
f (x
, )d dx
,
, при 0 t
,
l T
( x)dx
l t
f (x
l t 0
l
(l t )
t T,
при
t
l,
l t 0
(t ),
при l
627
t T,
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
1
(t )
(t )
в
(t ),
при 0 t
T t
1
2
1 (0)
1
2
1 (0)
1
2
1 (l )
T
1 (l
, )d dx
1
l
t)
l T t
T
1 (l
l
t)
(t l )
1
1
f (x T
, )d dx
1
,
f (x T
, )d dx
1
(t l )
1
–
две
l T
( x)dx
f (x
, )d dx ,
совершенно
l
1
2
1
0 0
T
(l )
'(l )
f (l
, )d
1
(0)
1
' (l )
(t ) и
1
, (T ) 0,
' (T ) 0,
1
t
l,
1
, при l
t
T,
постоянные,
( x)dx
f (x T
, )d dx ,
0 0
'(0)
удовлетворяющие при
условиям
f ( , )d
0
,
1
' (l )
f (l T
, )d ,
1
[
2
1
0
ям
1
' (l )
,
(T )
0,
0, а
' (T )
1
(0)
1
,
0,
1
1
'(0)
' (T l )
0,
1
1
(T l )
1
,
1
T
1
(0)
f (T
' (0)
, )d ] услови-
0
1
,
1
(0)
0,
1
'(0)
0,
.
пар граничных управлений u(0, t )
(t ), (t ) ,
1
'(T l )
Для доказательства этой теоремы достаточно при l
из функций
при
(t ) – две произвольные функции из класса W22 0, T l , удовлетворяющие при
(l )
(T l )
,
T
(0)
(l )
T
1
t
l T
(l )
0
1
2
,
0
,
t T,
при 0
произвольные
(t ) – две произвольные функции из класса W22 l , T ,
и
, при l
l T t 0
и
T l,
0
l,
T
1 ( x ) dx
l T t
(l )
t
l T t 0
l
1
2
при
,
T
1 ( x ) dx
l
(l )
1
f (x T
1
0 0
l
1
2
1
1
(t ),
(0)
(t )
, )d dx
T tT
1 ( x) dx
0
1 (l )
1
2
f (x T
0 0
t)
1 (T
которых
1
1 ( x ) dx
T t
1
2
,
T tT
t)
1 (T
0
1
2011, том 54, №8
(t ), u(l , t )
2
T
2l установить существование двух
(t ) , u (0, t )
2
(t ), u (l , t )
(t ) , состоящих
(t ), (t ) из классов W 2 0, T и W 2 0, T , первая из которых отвечает за-
даче
628
Математика
М.Ф.Абдукаримов
u tt ( x, t ) u xx ( x, t )
u ( x, 0)
u ( x, T )
f ( x, t ) в QT ,
( x), u t ( x, 0)
( x) при 0
0, u t ( x, T )
0 при 0
x l,
x l
– о полном успокоении процесса колебаний при произвольно заданном начальном состоянии
u( x, 0)
( x), ut ( x, 0)
( x) с какими угодно
( x) W22 0, l и
( x) W21 0, l (задача об ус-
покоении), а вторая из которых отвечает задаче
u tt ( x, t ) u xx ( x, t )
f ( x, t )
в QT ,
u ( x, 0) 0, u t ( x, 0) 0 при 0
u ( x, T )
1
( x), u t ( x, T )
1
x l,
( x) при 0
– о приведении первоначально покоящейся системы в состояние
1
( x) W22 0, l и
1
1
x l
( x),
1
( x)
с произвольными
( x) W21 0, l (задача о возбуждении).
Продолжим функцию f ( x, t ) нечѐтно относительно точек x
и l , 2l . так, чтобы f ( x, t ) принадлежала классу W21 ( l
0 и x
l на сегменты
l, 0
x 2l ) (0 t T ) . Затем рассмотрим
следующие две функции:
u ( x, t )
(t x)
(t x 2l )
(t x l )
1
(t x l )
2
T x t
f ( , )d d ,
(12)
f ( , )d d .
(13)
t x t
t x t
u ( x, t )
(t x)
(t x 2l )
Первая из этих функций при l
2
работы [3]) из класса W2 QT
функция при l
T
T
(t x l )
(t x l )
1
20x
t
2l является единственным решением (в силу, например,
смешанной задачи II с нулевыми финальными условиями. Вторая

2l является единственным решением из класса W22 QT
смешанной задачи I с
нулевыми начальными условиями.
Далее, для отыскания вышеуказанных двух пар граничных управлений приходится использовать функции (12), (13) и выполнять необходимые преобразования.
Пользуясь случаем, выражаю глубокую благодарность академику РАН В.А.Ильину, профессору Б.А.Алиеву и доценту Л.В.Крицкову за полезные обсуждения и постоянное внимание при выполнении настоящей работы.
Поступило 10.07.2011 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Ильин В.А. – Дифференц. уравнения, 1999, т. 35, №11, с. 1517-1534.
2. Ильин В.А., Тихомиров В.В. – Дифференц. уравнения, 1999, т. 35, №5, с. 692-704.
629
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2011, том 54, №8
3. Абдукаримов М.Ф. – Сб. ст. молодых ученых фак-та ВМК МГУ, 2011, в. №8, с. 6-19.
4. Lions J.L. – SIAM Review, 1988, v. 30, no. 1, pp. 1-68.
5. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М., 1985.
6. Егоров А.И. – ДАН УССР, серия физ-мат. и техн. наук, 1986, №5, с. 60-63.
7. Васильев Ф.П. – Дифференц. уравнения, 1995, т. 31, №11, с. 1893-1900.
8. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М. – Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн., 1993, №3, с. 8-15.
9. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Разгулин А.В. – Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн., 1993, №2, с. 3-8.
М.Ф.Абдукаримов
ДОИР БА ОРОМКУНЇ ВА БЕДОРКУНИИ РАВАНДИ ЛАПИШ БО ЁРИИ
МУОДИЛАИ ЃАЙРИЯКЉИНСАИ МАВЉЇ БАРОИ ФОСИЛАЊОИ КАЛОН
Донишгоњи давлатии Маскав ба номи М.В.Ломоносов
Дар маќола нишон дода шудааст, ки дар њолати T
мењвар аст, чунин идоракунињои сарњадии u(0, t )
l будан, ки дар ин љо l – дарозии
(t ) ва u(l , t )
(t ) , 0
t
T , мављуданд,
ки системаи лапиши бо ёрии муодилаи ѓайриякљинсаи мављї додашударо аз њолати ибтидої ба
њолати интињої меоранд. Инчунин нишон дода шудааст, ки ин идоракунињо ягона нестанд ва
барои њисоби онњо формулањои ошкори аналитикї пешнињод карда шудаанд.
Калимањои калидї: идоракунии сарњадї – муодилаи ѓайриякљинсаи мављї – раванди лапиш – оромкунии системаи дар лапиш буда.
M.F.Abdukarimov
ABOUT CALMING AND EXCITATION OF THE OSCILLATORY PROCESS
DESGRIBED BY A NON-HOMOGENEOUS WAVE EQUATION, FOR LARGE
INTERVALS OF TIME
M.V.Lomonosov Moscow State University
In this paper it is proved that, in the case T
controls u(0, t )
(t ) and u(l , t )
(t ) , 0
t
l where l is a string’s length there exist the boundary
T , which provide transition of an oscillatory process
described by a non-homogeneous wave equation from an arbitrary initial state to any preassigned final state.
These anon unique controls are given by explicit analytic formulae.
Key words: boundary control – no homogeneous wave equation – oscillatory process – calming an oscillating system.
630
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа