close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Точно интегрируемые модели волновых процессов.

код для вставкиСкачать
Уфа : УГАТУ, 2007
Вестник УГАТУ
¯
Управление, ВТ и И
T. 9, № 7 (25). C. 83–89
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
УДК 517.9
А. В. Ж И БЕ Р, О. С. КОСТРИГИНА
ТОЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МОДЕЛИ
ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Получен критерий интегрируемости по Дарбу двумерных динамических систем
уравнений. Описан класс точно интегрируемых моделей, обладающих полным
набором интегралов первого и второго порядков. Характеристическая алгебра
Ли; - и -интегралы; тензор Римана
Работа посвящена исследованию проблемы интегрируемости нелинейных двумерных
систем
0 0 (1)
Последние описывают широкий класс
нелинейных явлений в самых различных
областях теоретической и математической
физики.
Изучаемые системы (1) обладают нетривиальной группой внутренних симметрий, генерируемой алгеброй Ли-Беклунда. Симметрийный метод классификации интегрируемых уравнений очень эффективен в случае эволюционных уравнений, однако, при
симметрийной классификации гиперболических уравнений возникают серьезные технические трудности даже в простейшей ситуации (см., например, [1], [2]).
Для решения задачи классификации интегрируемых гиперболических систем уравнений (1) используется подход, основанный на
исследовании структуры характеристической
алгебры Ли.
Рассмотрим набор независимых переменных
6-интеграл -го порядка — это функция
)
, удовлетворяющая соот .
ношению )
+ -интегралы ) ) ) называются независимыми, если ) функционально
независимы. В статье [3] показано, что максимальное число независимых -интегралов
равно порядку исходной системы.
Определение 2. Система уравнений (1) называется интегрируемой по Дарбу, если у нее
существует максимальное число независимых
- и 6-интегралов.
Понятие характеристической алгебры Ли
было введено в [4] для систем гиперболических уравнений вида
0 + + где
— оператор полноОбозначим через го дифференцирования по переменной 6 .
Определение 1. Функция ) называется -интегралом порядка си ) . Аналогично
стемы (1), если (2)
(см. также [5]–[9]).
Определим - и 6 -характеристические алгебры Ли системы уравнений (1). Пусть 0 —
пространство локально-аналитических функций, зависящих от конечного числа перемен на
. Оператор ных функциях из 0 действует по правилу
+ где
+ 7
7 7
7
7
0 0 7
7
7
7
0 7
Выполнено при поддержке грантов РФФИ №№ 05-01-00775-а,06-01-92051-КЭ-а, 05-01-97910-р_агидель_а
84
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
+ -характеристическая алгебра Ли уравнений (1) есть алгебра , порожденная векторными полями + + + . Аналогично
определяется 6 -характеристическая алгебра
Ли .
В статье [5] приведены примеры двухкомпонентных динамических систем (1) с конечномерными - и 6 -характеристическими алгебрами Ли. Так, например, для систем уравнений
8
8
8 const
'( '( .
+ - и 6-интегралы этих систем имеют вид
8
9 8
9 8
9 8
9 Теорема 1. Система уравнений (1) интегрируема по Дарбу, если и только если характеристические алгебры Ли и конечномерны. При этом, если — число -интегралов
-го порядка, , то
dim 9 9 9 соответственно.
В настоящей работе получен критерий интегрируемости по Дарбу нелинейных гиперболических систем уравнений (1), приведен
список точно интегрируемых моделей по Дарбу с - и 6 -характеристическими алгебрами
Ли и размерности dim dim .
А также описан класс двухкомпонентных систем (1), обладающих тремя интегралами первого порядка и одним второго.
1. КРИТЕРИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
ПО ДАРБУ
В статьях [4], [6] показано, что система (2)
обладает полным набором -интегралов тогда и только тогда, когда характеристическая алгебра конечномерна. В этом пункте мы
обобщаем этот результат на уравнения (1). А
именно справедливо утверждение.
(3)
Приведем краткую схему доказательства
теоремы 1.
Пусть система уравнений (1) интегрируема по Дарбу. Тогда существует набор -интегралов 9 , порядка , удовлетворяющий условию
79
det
7
(4)
Теперь, в силу (4) от перемен можно перейных ти к набору независимых переменных
9 9 9 , где 9 9 9 , 9 9 , В
новых переменных оператор + запишется
так:
7
7
0 7
7
7
7
0 0 7
7
+) и
9 Ясно, что алгебра Ли, порожденная эле) , конечномерна.
ментами + + +
Обратно, предположим, что алгебра конечномерна. Обозначим через : линейную
оболочку элементов + + + . Ясно, что
: Удобно в дальнейшем рассматривать подалгебру . Последняя содержит элементы вида
+) + + ;
7
7
; 7
7
7
7
Если dim , то есть линейная оболочка
) , , и система уравэлементов +
нений
7
7
; 9 7
7
имеет функционально независимых решений 9 , образующих полный набор
А. В. Жибер, О. С. Костригина ¯ Точно интегрируемые модели ...
-интегралов первого порядка. В этом случае,
так как dim: и , , то формула (3) верна.
Пусть dim . Тогда базис алгебры
состоит из элементов +) , ,
где
+) ; 7
7
; 85
Теорема 2. Система уравнений (1), (6)
обладает максимальным числом - и 6 -интегралов первого порядка, если и только если выполнены соотношения
) 7 7 7 7 7
7
Если , то система уравнений
7
7
; 9 7
7
79
; 9 7
7 7
7
7
(7)
имеет функционально независимых решений 9 , которые являются -интегралами.
Далее рассмотрим уравнения
7
7
7
; ; ) 7
7
7
7
7
; ; ) 7
7
(5)
) 9 9 при этом ord) . Таким образом, исходная
система (1) обладает полным набором -интегралов 9 9 9 ) . При этом справедлива формула (3), так как , .
Аналогично рассматриваются случаи 5
5 и dim 5 .
2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
С ИНТЕГРАЛАМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В этом пункте рассматриваются системы
уравнений (1) с полным набором - и 6 -ин , , то
тегралов 9 , 9
есть с - и 6 -характеристическими алгебрами
Ли и размерности .
Из уравнений
9 следует, что правая часть системы (1) имеет
вид
0 9 где функции — решение системы уравнений
Система уравнений (5) имеет функционально независимых решений
9 ) — со— тензор Римана, а Здесь пряженный тензор Римана.
+ -интегралы 9 задаются формулами
(6)
7 7 (8)
Условие совместности уравнений (8) за) (см. (7)).
писывается так Отметим, что соотношения (7) эквива) +) , ,) ,) ,
лентны равенствам +
.
Здесь
7
7
7
7
7
7
,) , , 7
7
+) + + При этом векторные поля + + + ,
+) +) +) образуют базис -характеристической алгебры Ли , а поля
, , , ,) ,) ,) задают базис алгебры ).
С другой стороны, соотношения (7) выражают тот факт, что инварианты Лапласа линеаризованной системы уравнений для системы (1), (6) есть нулевые матрицы.
Для двухкомпонентных систем (1) справедливо утверждение.
86
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Теорема 3. Любая система уравнений (1)
( ) с полным набором - и 6 -интегралов первого порядка точечным преобразованием <= приводится к следующей
=
= = = =
)
*
7
> "= = (9)
7=
Интегралы системы (9) вычисляются по
формулам
9 = = 9 ? "= = = ? = = = 9 = = 9 ? "= = = ? = = = то из соотношений (12) получаем,что
0 " 0 .
Здесь ", , , — функции переменных , записывается следуюРавенство 9
щим образом:
9 9 9 " 9 (14)
Ясно, что 9 9 . Не ограничивая
или " , или " . В первом
случае мы приходим к вырожденной системе
" 8 8 8 8 3. ДВУХКОМПОНЕНТНЫЕ
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Здесь мы рассматриваем системы (1) при
, обладающие тремя интегралами перво-
го порядка и одним второго.
Теорема 4. Любая невырожденная система
уравнений (1) с интегралами
(10)
точечной заменой приводится к одному из следующих видов
где 8 8 , , .
Подстановка последних соотношений
в (14) дает
9 8 9 Здесь , — функции переменных , .
Если
9 8 9 9 8 9 9 8 9 или
(11)
то
+
+
+ 8 +
+ ++ +
+ 8 +
Доказательство. Из условий (10) следуют
соотношения
9 9 9 0 9 0 9 9 9 0 9 0 Так как
+
+ 9 9 + + + 9 9 + +
+
+
+ +
+
Во втором случае из (14) следуют формулы
= ? "= = ? = 9 9 9 9 общности, можно считать, что 9 . Тогда
где функции = , = , "= и = связаны
соотношениями
(13)
(12)
Следовательно,
8 8 и поэтому
8 8 8
(15)
А. В. Жибер, О. С. Костригина ¯ Точно интегрируемые модели ...
Таким образом
или
;" A ; ; ; " ; " 8 8 8 8 @ " 3 @ @ @ " @ и мы приходим к системе уравнений
8 (16)
; ; где 8 8, ; ; , ; ; , . Систему (16)
точечной заменой # = , = = можно
привести к виду
87
Теперь, из (14) при
9
; @
9
A Тогда, учитывая (17), из первого и третьего
равенств системы (21) находим
C C а значит, система (17) имеет вид
(18)
Можно показать, что для системы (1),
обладающей интегралами второго порядка 9
и 9 , справедливы соотношения
;9 @9 A9 39 B
При 9 имеем (см. (19))
(21)
@ 3 3 3 3 " 3 (17)
получаем, что
; A A A A " A D D A D A Таким образом, система (17) приводится к одной из следующих:
; ; (22)
либо
(19)
где ;, @ , , A , 3, B — функции переменных , .
Из соотношений (19) дифференцированием получаем равенства
; ; ; (23)
;9 @ 9 0 0 3 3 3 ,
здесь 3 3 3 =, ; ;, , .
Если ; , то в силу первых уравнений
систем (22), (23) имеем
A 9 39 0 0 9 9 9 ; (20)
где многоточием обозначены слагаемые, зави . Далее, из (19),
сящие от переменных , , (20) с учетом соотношений(13) будем иметь
";9 @9 A9 39 ;9 @ 9 ;9 @9 A9 39 A 9 39 9
Поэтому
и ; ; . Теперь точечным преобразованием ' , системы (22), (23) приводятся к следующим
(24)
; (25)
Сделав замену , & для системы (25), получаем
(26)
88
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
И, наконец, системы (24), (26) заменой приводятся к виду
; ; или
;
(29)
(30)
9 9 9 Последнее соотношение запишем в виде
+ 9 , 9 (31)
8 ) (32)
A
3. При " и 8 ; ) (33)
Точечной заменой уравнения (31)–(33) приводятся к виду
Рассмотрим 6 -интеграл системы (30).
Имеем
9
;
; @ " ) " A
2. При " и ; (28)
(27)
Если -интеграл первого порядка зависит от
переменной , то из (14) получаем, что правые части системы (27), (28) есть однородные
полиномы второй степени.
что ; ; и поПри 9 получаем,
,
сле точечной замены ; , приходим к уравнениям
8 " 8 ; " ; " A Теперь, при ; замена , системы (22), (23) преобразует в
следующие:
Имеем три случая:
A
1. При " , "
; @ (34)
Здесь , — однородные полиномы вто . Для систерой степени по переменным , мы (34) верны предыдущие рассуждения.
Таким образом, любая невырожденная система (1) с интегралами (10) точечной заменой приводится к либо к системе (18), либо к
системе (29). Тем самым теорема доказана.
Замечание. Система (11) обладает интегралами вида (10) тогда и только тогда, когда функция является решением следующего уравнения
где
7
7
7
; 7
7 7 7
7
, 7
7 +
Так как система (30) обладает двумя 6 -интегралами первого порядка, то + , . Откуда находим, что , а следовательно, система (30) имеет «квадратичный» вид.
Если соотношения (15) не выполнены, то
либо
" A либо
" A 7 7 7 7
7 7 При этом
9 ? 9 9
) *
? 9 9
а 6 -интегралы 9
и 9
определяются из урав-
нения в частных производных первого порядка
7
7
7
9
7
7 7 Для таких систем уравнений -характеристическая алгебра Ли имеет размерность 5,
а размерность 6 -характеристической алгебры
Ли равна 4.
А. В. Жибер, О. С. Костригина ¯ Точно интегрируемые модели ...
ВЫВОДЫ
Для системы нелинейных уравнений на
основе понятия характеристической алгебры
Ли предложен тест на проверку интегрируемости в квадростурах.
Построены все -компонентные волновые
уравнения, имеющие законов сохранения
первого порядка специального вида (- 6 -интегралов).
Найдены новые примеры двухкомпонентных систем уравнений с тремя интегралами
первого порядка и одним второго.
Предложенные интегрируемые модели могут быть использованы при исследовании
волновых процессов, в частности, для проверки и обоснования вычислительных экспериментов в этой области.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
Жибер, А. В. Системы уравнений Ü , Ý , обладающие симметри-
ями / А. В. Жибер, А. Б. Шабат // Докл. АН
СССР. 1984. Т. 277, № 1. С. 29–33.
Жибер, А. В. Квазилинейные гиперболические уравнения с бесконечной алгеброй симметрий / А. В. Жибер // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58, № 4. С. 33–54.
Гурьева, А. М. О характеристическом уравнении квазилинейной гиперболической системы уравнений / А. М. Гурьева, А. В. Жибер
// Вестник УГАТУ. 2005. Т. 6, № 2 (13). С. 26–
33.
Лезнов, А. Н. Группа внутренних симметрий
и условия интегрируемости двумерных динамических систем / А. Н. Лезнов, В. Г. Смирнов, А. Б. Шабат // Теоретическая и математическая физика. 1982. Т. 51, № 1. С. 10–21.
Костригина, О. С. О нелинейных гиперболических системах уравнений с конечномерной
характеристической алгеброй Ли / О. С. Костригина // Труды теор. и мат. физики : тр.
6.
7.
8.
9.
89
38-й рег. молодежн. конф. 29 янв.–2 фев. Екб. :
УрО РАН, ИММ, 2007. С. 164–168.
Шабат, А. Б. Экспоненциальные системы типа 1 и матрицы Картана : препринт / А. Б. Шабат, Р. И. Ямилов. Уфа : БФ АН СССР, 1981.
20 с.
Habibullin, I. T. Characteristic algebras of
fully discrete hyperbolic type equations /
I. T. Habibullin // Semmetry, Integrability and
Geometry: Methods and Applications. 2005.
V. 1, № 23. P. 1–9.
Жибер, А. В. О характеристических алгебрах
Ли уравнений ÜÝ Ü / А. В. Жибер,
Р. Д. Муртазина // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. Т. 12, № 7. С. 65–
78.
Жибер, А. В. Квадратичные системы, симметрия, характеристичекие и полные алгебры / А. В. Жибер, Ф. Х. Мукминов // Задачи математической физики и ассимптотика их
решений : сб. науч. тр. БНЦ УрО АН СССР.
Уфа, 1991. С. 14–32.
ОБ АВТОРАХ
Жибер Анатолий Васильевич, проф., вед. науч.
сотр. ИМ УНЦ РАН. Дипл.
математик (Новосиб. гос.
ун-т, 1969). Д-р физ.-мат.
наук по диф. уравнениям
(защ. в ИМиМ УрОРАН,
Екб., 1994). Иссл. в обл. совр.
группового анализа диф.
уравнений.
Костригина Ольга Сергеевна, асп. каф. математики.
Дипл. инж.-мат. (УГАТУ,
2005). Готовит дис. о нелин.
интегрируемых гиперболич.
сист. уравнений и характеристич. алгебрах Ли.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
639 Кб
Теги
процессов, волновые, точно, модель, интегрируемых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа