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Эквивалентность ОДУ второго порядка уравнениям типа первого уравнения Пенлеве.

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ISSN 2074-1863
???????? ?????????????? ??????. ??? 7. ? 1 (2015). ?. 19-30.
??? 517.925
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???????? ?????: ?????? ????????? ???????, ???????????????, ?????????.
Mathematics Subject Classification: 34M55, 34M15
1.
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(4)
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Yu.Yu. Bagderina, Equivalence of second-order ODEs to equations of first Painleve?
equation type.
c ????????? ?.?. 2015.
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19
20
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(5)
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21
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2.
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3?1 )?
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?2 = ?2? ? ?1? + ??0 ? 2??1 + ??2 ,
?10 = ?10? ? 2??10 + ? (?20 + ?11 ) ? 5?0 ?1 ,
?11 = ?11? ? ??10 + ? ?21 ? ?1 ?1 ? 4?0 ?2 ,
?20 = ?20? ? ??10 + ? ?21 ? 4?1 ?1 ? ?0 ?2 ,
?21 = ?21? ? ?(?20 + ?11 ) + 2??21 ? 5?1 ?2 ,
?30 = ?20? ? ??10 + ??21 ? 4?2 ?1 ? ?1 ?2 ,
?10 = ?10? ? 3??10 + ? (2?20 + ?11 ) ? 12?0 ?10 ,
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(17)
24
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?1 ?= 0,
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(18)
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.
(19)
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(20)
2
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?
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?1 ?= 0,
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(21)
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2
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.
(22)
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1
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(?(4?1 ? 3/2 + ?2 ?3 ))3/2
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4.
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11
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,
2
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,
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.
6?3/2
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??????????
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2
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,
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(23)
27(2?2 ? 11)5
27(2?2 ? 11)3
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??????? ????????? ?????????? (23). ? ?????????, ??? ??? (7) ? ? (?) ?= 0 ??? ?????
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,
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128? 5
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.
32? 3
2
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???????:
1)? (?) = 0,
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2)? (?) = const ?= 0,
? = ?? ;
?
3)? (?) = 4 ,
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?
????????????? ? [25, �3.1, 2.4.2, 2.9.1] ????????? (4) ??????? ???? ? ?1 = 0 ???????? ?
??? (3), ???? ???, ??? ??????? ? [25, �3.1] ????????? ????? ???????, ? ? ?????????,
??????????????? ??? ??????? ???????. . .
25
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?????? ?????????? ?? [25] ?????????????? ? ????????? ????????????.
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(24)
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11
(25)
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2
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?0 = ? ?
.
(26)
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,
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? = const ?= 0,
(27)
??????????, ????? ??? ???????? ?????????? ??????? ????, ? ??? ?????????? ????????????? ????????
11
??1 = 0,
??2 = 0.
(28)
?1 = 0,
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,
2
??1 = const ?= 0,
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(33)
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1
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(35)
1
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,
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216?5/2
?????????? (35) ????????????? ?????? ???? ???????????? (33) ? ???????
?(?2 , ?22 )/?(?, ?) ?= 0, ??????? ??????????? ???????????? ????????????? ?????? ??????????. ????????? ??? ?2 , ?22 ????? ????????? ???????????? ?5 , ???2 , ??? ???? (34).
??? ?????????????? ????????????? ???????, ??? ??? ?????????? ??? ????????? (1)
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?????? ????????????? (34), ??? ??????????? ? ?? ? ??????? ?????????
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,
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2
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,
3
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2
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(38)
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?????????? ? (11), ????? ???????? ???????????
1
1
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(39)
3
3
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?2
?2
3?1
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?1
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4
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27
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??2 ?? = 19 (?22 ?11? ??1 ?2 (?12? + ?21? ) + ?12 ?22? ) + 13 (?2? ?1? ??1? ?2? ) ,
?? ?? ?? = 91 (?2 (?4 ?11? ? ?3 ?21? ) + ?1 (?3 ?22? ? ?4 ?12? )) +
+ 13 (?2? ?1? ? ?1? ?2? ) ,
(41)
??2 ?? = 91 (?42 ?11? ??3 ?4 (?12? + ?21? ) + ?32 ?22? ) + 13 (?4? ?1? ??3? ?2? ) .
??????????? ?????? ???? ??????? (40) ?????
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?1 ? 5
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+
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10
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5?12
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2?10
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+
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+
15
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5?1
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+
(49(5 ? ?1 ) ? 45?2 )+
15
3(?1 ?)?5)2
(?
)?
(?
?10
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?
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+
5?1
5?12
5?1
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?1? = ?20 + ??1 ? ??2 , ?2? = ?21 + ??1 ? ??2 .
??????????? ??????? (37), ? ??????? ??????????? ??????????? ?2 , ?22 ????????? ?
??????? (39), (41), ? ? ?? ???????? ? ???? (1), ?????????? (38) ? ?????????
?0 (?2 + ? ? ?4 )3 + 3?1 (?1 + ? ? ?3 )(?2 + ? ? ?4 )2 +
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(42)
? ?????????????? ?? , ??????????? ????????? ??????????? ????????? (1). ?????????
(42) ???????? ???????? ????, ??? ????????? (1) ? (3) ??????? ???????????????, ???????????? ?? (34). ???????? ????????, ??? ?? ?????????? ? ????, ???? ??? ???????????
????????? (1) ????????? ??????????? (33).
?? ??????????? ??????????? (12) ? ?? ????????? ? ???????? ?1 , ?2 , ?22 , ?222 ?????
???????? ?????????? ?12 ,
4
?1 ? 5
(7?12 + 45?1 + 225)?2 +
(92?12 + 2217?1 + 8910),
25
225
3
9
= (3?1 + 25)?22 , ?1122 = (3?12 + 24?1 + 125)?22 ,
10
20
2
3
= (2?1 + 15)?22 , ?2122 = (3?1 + 25)?222 , ?1222 = (?1 + 9)?222 .
5
10
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?122
?212
????????? ??? ????????? ? ?? , ???????
3
2
?0 = 2?1 ?22
[4?12 (9?2 ? 49)?03 ? 81?1 (33?1 + 875)?22
?0
2
2
+243(3?1 + 25)(23?1 + 8460?1 + 56125)?22
],
2
2
?1 = 30?1 ?22
[6?1 (9?2 ? 49)?02 ?1 ? 243(9?1 + 175)?22
?1
2
+(13?2 ? 10(17?1 + 105)?0 ? 375(343?1 + 2245))?22
?222 ],
2
?2 = 225?22 [18?1 (9?2 ? 49)?0 ?12 ? 162(3?1 + 25)?22
?222 ?1
4
2
2
?45(431?1 + 3525)?22 ?222 + 2?22 (?222 + 45?22 ?2222 )?2 ],
2 2
4
2
?3 = 153 [27(9?2 ? 49)?13 + 36?22
?222 ?1 + 90?22
(46?222
? 45?22 ?2222 )
4
?2
2
+5?22 (?1 ? 5) (49(?1 ? 5) + 45?2 )(135(3?1 + 25)?22
? 2?222 ?2 )],
28
?.?. ?????????
2
, ?2 = 45(2?1 + 15)�
??? ?0 = 9?2 + 23?1 + 1073, ?1 = 2(2?2 ? 11)?222 ? 5?22
�(2?2 ? 11) + ?1 (46?1 + 2245). ????? ????????, ??? ??? ???????? ?????????? ? ????
????? ? ?????? ?????, ????? ?1 = 0, ?222 = 0, ?2222 = 0, ??? ? ??????????? ????????.
6.
??????? ????????????? ?????????
?????? ????????? (17), (20), (24), (27) ? [25] ???????????????? ? ?????? ??? (4) ??????? ???? ????????????? ???? ??????? ??????????. ? ????????? ???? ???????? ????????,
??? ? ??????? ??????????? ??????????????? ??????????????? ????????? ? ????????? ??????????? ?? ?????????????? (2). ? ??????? ??????? ???????????, ??? ?????????? ? [20]
?????????? ?????????????? ???????? ? ????????? ?? ???????? ????? ?????????? ?????
????????????? ??? ?????????????????? ??????? ????????? ???????.
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2
??
?
?
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5?2 ? 3
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?
4 3?1 ?7/2 ?(? ? ?? ? )
?0 =
,
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(43)
??2 = 0,
(44)
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(44), ??????? ??????????? ????????? (43) ? (17) ?????????????? ? ????
? = ?(?, ?),
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?
,
?
??
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.
??
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(45)
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6?
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?
,
2
2
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?
25?2
?????????? ???????? ?????
? = const ?= 0,
(46)
11
,
2
2? ? 5?? ?
?0 = ?
.
5 6?? 3/2
(47)
?1 = 0,
?2 =
????????? (47) ? (25), (28), (31), ????? ?????????, ??? ??? (46) ????????????? ???????? ??????? 4 ? ???????? ????????????? ????????? (24). ??????????? (46) ? (24)
?????????????? (2) ????????? ?? ??????? ????????? ???????????????? ??????????? ?0
???? ?????????. ?????????? ? ??? ?????????
? = ?(?, ?),
? = ?(?, ?),
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??
?? + ? ? ??
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??????? ?????????
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5 ??? + 2? 3/2 ?? = 0,
5? 3/2 ?? + ? 3/2 (2??? ? 5??? ) = 0,
?? = 0.
????? ?? ?? ??????? ???????? ? = 5?1/5 , ? = ???2/5 ?, ?????????????, ??? (46) ????????????? ? (24) ??????? ?????????? ? = 5?1/5 , ? = ???2/5 .
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+
,
2
5
4
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(? ? ?)
(? ? ?)3
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?0 , ?1 ?= 0
(48)
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?????????? ??????????????? ????????
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1
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+
,
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6?1
??
29
?(?)
??,
(? ? ?)3
(49)
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625
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?.
= 6? 2 ?
2
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6
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,
2
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?1 (? ? ?)5/2
,
(6?0 )3/2 ? 5/2
?222 = 0
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??????? ????????? ???????. ??????????????? ??????????????
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(?
3/5
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(?0 ?1 )1/5
1
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,
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+
(50)
2/5
61/5
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63/5 ?1 (? ? ?)
????????? ?? ??????????? (34), ??????? ? ?????? ?????? ????????? ???
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?30 ? 5
,
216?21 (? ? ?)5
?
6(? ? ?)(?1 + ?2 (? ? ?))
=
.
2
?
?0 ? 2
????? ???????, ????????? (48) ??????? ? ?????? ?????????? ??????? ?? ?????? ??????????? ??????????????? (49), ?? ? ????? ??????? ???????? ??????? ?????????? (50).
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