close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Асимптотика решений функционально-дифференциального уравнения второго порядка в пространствах со степенным весом.

код для вставкиСкачать
 Shkj hkj (t )
••• Известия ДГПУ, №2, 2015
6
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
НАУКИ
УДК 517.929
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ВТОРОГО ПОРЯДКА В ПРОСТРАНСТВАХ
СО СТЕПЕННЫМ ВЕСОМ
THE ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF SOLUTIONS
OF FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION OF THE SECOND
ORDER IN THE SPACES WITH THE POWER WEIGHT
© 2015 Алейдаров
М. С.
Дагестанский государственный университет
© 2015 Aleydarov
M. S.
Dagestan State University
Резюме. Получена асимптотическая формула для всех решений функциональнодифференциального уравнения (ФДУ) второго порядка с замкнутыми операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве со степенным весом, а также получены условия на
переменные части коэффициентов и отклонений аргумента.
Abstract. The author of the article obtains the asymptotic formula for all solutions of the functional
differential equation (FDE) of the second order with closed operator coefficients in Hilbert’s space with
the power weight, and gets the conditions on the coefficients of the variables and the argument deviations
as well.
Rezjume. V stat'e poluchena asimptoticheskaya formula dlya vsekh reshenij funkcional'nodifferencial'nogo uravneniya (FDU) vtorogo poryadka s zamknutymi operatornymi koehfficientami v
gil'bertovom prostranstve so stepennym vesom, a takzhe polucheny usloviya na peremennye chasti koehfficientov i otklonenij argumenta.
Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение, степенной вес, асимптотика, гильбертово пространство.
Keywords: functional differential equation, power weight, asymptotics, Hilbert’s space.
Klyuchevye slova: funkcional'no-differencial'noe uravnenie, stepennoj ves, asimptotika, gil'bertovo
prostranstvo.
В работе [4] получены условия разрешимости ФДУ:
k
где D k  1 d , Akj , Akj  t  : Y  Y – замкнуt
k
k
i dt
D u  t     Akj  Akj  t  Shkj hkj (t ) D u  t   f  t тые
, t  t0операторы, Akj , Akj  t  : X  Y – вполне
k 0 j 0
непрерывные операторы, X  Y , X , Y – гильбертовы
пространства, u  u u  X ,
,
(1)
D k u t   f t  , t  t
X
Y
1
2
t
t
m
k
t
0
Естественные и точные науки •••
7
hkj  const , hkj  t  – непрерывно дифферен-
1 j m
Shu(t )  u(t  h) , при малых в некотором
j  0,1,2, , m , k  0,1.
Введем
1
и
Akj (t )
обозначение:
m
Lpu (t )  Dt2u  t    Akj Shkj Dtk u  t  .
inf
t  min( t0 ,t0  hkj )

kj (t ) ,
k  0,1,
Тогда для любого   0 имеется конечное число решений вида uv (t )  ei t pv (t ), v  1, q
уравнения Lpu (t )  0 , где v – полюс резоль-
t  hkj (t )   при t   и hkj  t   r  1 ,
смысле коэффициентах

t1  min t0 , t0  hkj ,
цируемые функции, такие, что
v
hkj (t )
1 венты
m
R ( ) в полосе 0  Imv   , pv (t ) –
Lpu (t )  Dt2u  t    Akj Shkj Dtpk u  t 
с коэффициентами из X, степень
k 0 многочлен
j 0
которого на единицу меньше кратности по-
люса
k 0 j 0
v , что имеет место
1

2
2n
(1

t
)
u
(
t
)

u
(
t
)
dt

c
(1

t
)
f
(
t
)
dt

(1  t 2n ) Dtk u (




Y
ции u (t )
при t   понимает- 
u
(
t
)
v 1
k  0 t0

k
t0
t0
X
v 1
2


q
1 
интеграла

ся сходимость
несобственного
2
2
2n
(m)
( m)
2n
(1

t
)
u
(
t
)

u
(
t
)
dt

c
(1

t
)
f
(
t
)
dt

(1  t 2 n ) Dtk u (t ) dt 
2 


v

t

Y
q
X
v 1
k  0 t0

0
0
(1  t 2 n ) u (t )  Xu (t ) tdt
Под асимптотическим поведением функ-

q


k
v 1
t0
В данной работе, снимая условия малости
коэффициентов, получаем асимптотическую формулу для всех решений уравнения
n
(1). Определение пространств X (2,t n, ) , Y(0,
,
t , )
Akj –
замкнутые


( m)
v
0, t  t0
,0   (t )  1
1,
t

t

1
0

 (t )  C  ,  (t )  
0
решения уравнения (1) и обозначения содержатся в работе [4].
Имеет место следующая Теорема
Пусть выполнены условия:
а)
(m)
при m=0,1, где постоянная c не зависит от
решения u (t ) и его производной u (t )
Доказательство
Пусть
X
0
2
q
2n
Тогда для функции
w(t )   (t )u(t ) имеем:
m
Zw(t )  Dt2 (t )u (t )    A0 j  A0 j (t ) Sh0 j h0 j (t ) (t ) Sh0 j h0 j (t ) 
 j 0
операторы,
m
непрерывk  0,1, j  0,1,...m Akj – вполне
2
Zw(t )  Dt  (t )u (t )    A0 j  A0 j (t ) Sh0 j h0 j (t ) (t ) Sh0 j h0 j (t ) 
ные операторы, k  0,1, j  1,2,...m,
 j 0
m
Akj (t )  c exp(at ), t  t0 , k  0,1, j  1,..., m, a  const  0;  A1 j  A1 j (t ) Sh
Y
j 0
t ), t  t0 , k  0,1, j  1,..., m, a const
 0;
A  A (t ) S
m

R p ( ) –
1j
б)
j 0
1j

 (t ) Sh
h1 j h1 j ( t )
1 j  h1 j
 (t ) Sh
1 j  h1 j ( t )
1 j  h1 j ( t )
m
  A1 j  A1 j (t ) Sh1 j h1 j (t )
j 0

  A1 j  A1 j (t ) Sh1 j h1 j (t ) (t ) Sh1 j h1 j (t ) u (t )  F1 (t ).
j 0

m
(t )
мероморфна,  Rp ( )  O(1),   Прибавляя
,0  Im  a, и отнимая слагаемое:
X

Rp ( )  O(1),   ,0  Im  a,
m
 (t )   A1 j  A1 j (t ) Sh
X
на прямой
Im     a    ,   0
  a    ,   0 нет полюсов
 m R p ( ) ;
m
Dt u (t )    A0 j  A0
1 j  h1 j ( t )
 j 0
j 0
m

 A0 j  A0 j (t ) S h0 j h0 j (t )u (t )  ,
D
u
(
t
)


t
1 j  h1 j ( t )
в) hkj (t )  c exp(
j 0
 j 0 at ), t  t0  hkj , hkj (t )  H (t0 , ),

 (t )   A1 j  A1 j (t ) Sh
По учим:
t  hkj  t  hkj   C1  t  C2 , C1  0, C2  0, j  0,1, , m, k  0,1 ;


1
m
Zw(t )   (t ) f1 (t )  { (t )  2i (t ) Dt   A0 j 
m
j 0
n
г) f (t )  Y(0,
t0 , ) ; Zw(t )   (t ) f1 (t )  { (t )  2i (t ) Dt   A0 j  A0 j (t ) (1  S h h ( t ) ) (t ) S h


0j
0j
j 0
д) u (t ) – решение уравнения (1),
m


k

f1 (t )  { (t )D
L2(((tT), D
 A
t )i
),t X
), 
T  min
(tj) (,t ) 
t u (2
kj 0
A0t1j,inf
(1  S h0 j h0 j ( t ) ) (t ) S h0 j h0 j ( t ) 
j 0
1 j m
t t1
••• Известия ДГПУ, №2, 2015
8
t 1
m

i  A1 j  A1 j (t ) (1  Sh1 j h1 j (t ) ) (t ) Sh1 j h1 j (t )  u (tv) ( ) 
j 0

t 1
0
 1
v
(

)


A1 j  A1 j (t ) (1  Sh1 j h1 j (t ) ) (t ) Sh1 j h1 j (t )  u (t )2


1 0 it
e [  (t )  2i (t ) Dt v(t )  u(t )]d
2 t0
e it [  (t )  2i (t ) Dt v(t )  u(t )]dt ,
t0

или
1
 it
A
(

)

Akj (t )Shkj hkj (t ) (t )
Shkj hkj (t ) Dtk u (t )d
m
m
m e
 2 m

kj
 Dt   A0 j Sh0 j   A1 j Sh1 j Dt w(t )  F1 (t )   A0 j Sh0 j ( (t )v(t ))2t0A1 j Sh1 j Dt ( (t )u (t )) 
j 0
j 0
j 0
j 0




m
m1
 it
k

A
(

)

A
S
D
w
(
t
)

F
(
t
)

A
S
(

(
t
)
v
(
t
))

A1 j Sh1ej Dt ( (A
t )kju ((tt)))S
hkj hkj (t ) (t) Shkj hkj (t ) Dt u (t )dt ,
kj





1 j h1 j t
1
0 j h0 j
j 0
j 0
j 2
0 t

0

m
m

A0 j Sh0 j ( (t )v(t ))   A1 j Sh1 j Dt ( (t )u (t )) 
 h0 j
(3)
1
Z kj ( ) 
e it Akj [ Shkj  (t ) Shkj  Shkj hkj (t ) (t ) S
j 0

2 t0
m
m
  Aoj  Aoj (t ) Sh h (t ) ((t )u (t ))    A1 j  A1 j (t ) Sh h (t ) ( (t )u (t ))  F (t ).
1
j 0
Z kj ( ) 
e it Akj [ Sjhkj0 (t ) Shkj  Shkj hkj (t ) (t ) Shkj hkj (t ) ]Dtk u (t )dt ,

m
2 t
 A1 j  A1 j (t ) Sh h (t ) (0 (t )u (t ))  F (t ).
(

(
t
)
u
(
t
))


(t )

j 0
1
h h ( t ) (t )u (t )dt
A1 ( ) 
e it A1 j (t )S
Таким образом, имеем:

1j
1j
2

t
0
m
m
0j
0j
1j
1j
1j
1j


Zw(t )   Dt2   A0 j Sh0 j   A1 j Sh1 j Dt w(t )   (t ) f1 (t )  { (t )  2i (t ) 
1
j 0
0 ) 

 e  it A1 j (
A1 (j
t )Sh h (t ) (t )u (t )dt ,
m

  A1 j Sh1 j Dt w(t )   (t ) f1 (t )  { (t )  2i (t ) 
j 0

2

1j
1j
t0

1

Z1 ( ) 
e it A1 j [ Sh1 j  (t ) Sh1 j  Sh1 j h1 j (t ) ( (t )u
k

   Akj (t )Shkj hkj (t )  (t )Shkj hkj (t ) Dt  i  A1 j (t )Sh1 j h1 j (t ) (t )2Sh1 j t h1 j (t ) 
0
j 0
 k 0 j 0

1
m
Z1 ( ) 
e it A1 j [ Sh1 j  (t ) Sh1 j  Sh1 j h1 j (t ) ( (t )u (t ))]dt ,
k

Sh1tj h1 j (t ) 
hkj ( t )  (t ) S hkj hkj ( t ) Dt  i  A1 j (t )S h1 j h1 j ( t ) (t2)
0
1
m
m
j 0
t 1
1 1 it
A
(

)

e A (t )
S
 (t )u (t )dt
k
  A1 j (t )Sh1 j h1 j (t ) (t ) Sh1 j h1 j (t )   Akj [Shkj  (t )S1hkj Dt  Shkj 2hkj (t ) (t )Shkj h1kjj (t ) Dtkh]1 jh1 j (t )
t1
m
1
j 0
1
m
k 0 j 0
t1 1
1
m
 it
k t )S
Ak ( ) 

Shekj hkj (tA) D
] h
1 jt(
t ) (t ) Sh1 j h1 j ( t )   Akj [ Shkj  (t ) Shkj D1t   Shkj hkj (t ) (t )
2

t
k 0 j 0
 (t )u (t )dt ,
1 j  h1 j ( t )
1
t 1
1 1 it
Z1  ( ) 
e A1 j [ Sh1 j  (t ) Sh1 j  Sh1 j h1 j (t ) ( (t )u
[Shkj  (t )Shkj D  Shkj hkj (t ) (t )Shkj hkj (t ) D ] 
2 t1
m
t1 1

  A1Zj [ S(h) 
(t ) S1h  Seh iht A(t )[S(t ) S
]
h h ( t )  u (t )  F (t ).

1 
1j
h1 j  (t ) S h1 j  S h1 j h1 j ( t ) ( (t )u (t ))]dt .

j 0

2 t1

2
Так как u, F  L ( R, Y ) , то, применив к


(2)
j [ S h1 j  (t ) S h1 j  S h1 j h1 j ( t ) (t ) S h1 j h1 j ( t ) ]  u (t )  F (t ).
полученному уравнению преобразование

k
t
k
t
1j
1j
1j
1j
Введем обозначения:
f (  ) 

1
e it (t ) f1 (t )dt ,

2 t0
1j
1j
Фурье [6. С. 380], получим:
w()  Rp ()  f ()  v ()  
 Akj ( )  Z kj ( )  
1
m
k 0 j 0
Естественные и точные науки •••
1
m
9
m

) (tZ) 1
2
 ( )  v ( )   
  (i))}
Akj ()  Z kj ( )    ( A1 ( )  Z1 ( )  A1  ( w
m
k 0 j 0
j 0
q
   ( A1 ( )  Z1 ( )  A1  ( )  Z1  ( ))}
1
w
(
t
)

i
2

res eit w( ) 

j 0

t
v 1 в
где резольвента Rp ( ) – мероморфна
полосе 0  Im   a .
Из условий теоремы следует регулярность выражения внутри фигурных скобок в
правой части равенства (3) в полосе
0  Im     a  ,   0 .
Учитывая условия а) теоремы, налагаемые на
dAkj ( )
d
 c1  D v(t  hkj  hkj (t )) dt
2
k
t
Y
t0
В силу условий на функцию u(t), следует
регулярность
Akj (t )
в
полуплоскости
Im   a .
Таким образом, выражение в фигурных
скобках в правой части равенства (2) представляет собой регулярную функцию в области Im    ,
поэтому
в
полосе
a  Im     a   полюса w() совпа-2




q
) . (t )
дают с полюсами резольвенты
e t w(t ) R
p (w


Представим функцию
f y ( ) 
1
2

e
Imt
v 1
  e
v
it
w( )d 
  e
it
w( )d
Im 
(4)
Im 
it
Вычеты функции e w( ) являются решениями
однородного
уравнения
Lp w(t )  0 , которые обозначим через:
wv (t )  i 2 res eit w( ) .
v
q

Y
1
2
i t
Таким образом,
Akj (t ) , получим:
2
2
v
e  w( ) 

 res

q

v
f ( ) в виде:
v 1
w(t )   wv (t ) 
v 1
1
2
  e
it
w( )d 
Im 
По теореме Планшереля [3. С. 27]
q


e  w(t )   wv (t )   w( )
v 1

 L2
t
L2 (Im   )
или

e
t

q


w
(
t
)

wv (t ) 


v 1


2
dt 
 
Im 
X
w( ) X d  
2
Im
2

2
dt

w
(

)
d


R
(

)
F
(

)
d 


 p
X
X
X
Im 
Im 
1
m
  Rp ( ){ f ( )  v ( ) [ Akj ( )  Z kj ( )] 
 (t ) f1 (t )(cos(Re t )  i sin(Re
t ))dt
k 0 j 0
Im 

t0
1
m
Rp ( ){ f ( )  v ( ) [ Akj ( )  Z kj ( )] 
 (t ) f1 (t )(cos(Re
t )  i si n(Ret))dt

Im 
По теореме Коши имеем:
k 0 j 0
2


 [ A1 ( )  Z1 ( )  A1  ( )  Z1  ( )] d   c  
j 0
X
 Im 
m
q
1
it
e w( )d    res eit w( )
2


m
2i 


v 1 v
2
2
 [ A1 ( )  Z1 ( )  A1  ( )  Z1  ( )] d   c   [ f ( ) Y  v ( ) Y 
или
j 0
X
s i
s i
 Im 
 mq
1 
it
it
i1t m
it

2
2
e
w
(

)
d


e
w
(

)
d


e
w
(

)
d


e
w
(

)
d

res ei2t w( )
 
 



v( )

[
A
(

)

Z
(

)
]
[
A
 Z1 ( )
2 i  Im 0
kj
kj
Y  v 1 1
Y
s
Im 0 
sY
k 0 j 0
j 0
1
m
m
s i
s i
2
) 2 ]q [ A i(t ) 2  Z ( ) 2  A ( ) 2  Z ( ) 2 ]d  
it
it  [ A ( 
i)t

Z
(

1e

1 
1 
   e w()d    e w(k )0dj0  kj e wY ( )dkj  Y
res
w(Y ) 1
Y
Y
Y
j 
0

v
s
Im 0
s
 v1
m

2
2
2
2
2
2
( )s i iZt kj ( ) ] q[ A1 ( )it  Z1 ( )  A1  ( )  Z1  ( ) ]d  
Y
Y
Y
Y
  Y e w()d Y  j 
0 res e w( )

v
.
Согласно теореме Планшереля [3. С. 27].
s
 v1




Переходя в последнем равенстве к пределу при
s   , получим:


t

••• Известия ДГПУ, №2, 2015
10


2
Im 
f  ( ) Y d  

e
2 t


t0

 (t ) f1 (t ) Y 
dt   e2 t f (t ) Y dt
(1 
t 2 n) uf( m()t(t)) Y dt
 uv(m) (t )
2
2
 (1  t Im) u

2n
t0
2
v ( ) d  
X
(m)

2 q

t0
2
v ( )q d( m) 
v 1
t0
t0
2



2

1 
X
t0
k  0 t0
 (t ) f1 (t ) Y dt  e (1 ft (t)) uY dt(t )fu(v( mt )) (tY) dtdt  c   (1  t 2n ) f (t ) Y2 dt    (1 
2
v ( )
2
d 
2 t
t0
2n
2
q
(m)
t0v 1
2
1 
 

2
2
dt  c   (1  t 2 n ) f (t ) Y dt    (1  t 2 n ) Dtk u (t ) dt 
X
k  0 t0

X
t0

2

(1  1t 2n ){ 2 n(t ) k  2 2 (t) u(t ) X }dt
(t )  Yuv (t ) dt  c   (1  tX ) f (t ) Y dt    (1  t ) Dt u (t ) dt 
X
Im 

v 1
k  0 t0

X
t0
2n
2n
 (1  t ){  (t )  2  (t ) u(t ) X }dt
2

Таким образом, получили, что
2
2
2
2
при m=0,1, где постоянная c не зависит от
решения u (t ) и u(t ) .
Теорема доказана.
Литература
1. Алейдаров С. М. О единственности решения уравнения с линейным отклонением аргумента в пространствах со степенным весом // Диффер. уравнения. 1986. Т. 22. № 12. C. 2170–2171.
2. Алейдаров С. М., Алейдаров М. С. Конечномерность ядра оператора L в гильбертовом пространстве
со степенным весом // Вестник Дагестанского государственного университета. Естественные науки.
2011. № 1. С. 60–64. 3. Алиев Р. Г. ФДУ в гильбертовом пространстве. Махачкала: ДГУ, 2011. 348 с.
4. Алиев Р. Г., Алейдаров М. С. Разрешимость ФДУ второго порядка в пространствах со степенным весом // Вестник Дагестанского государственного университета. Естественные науки. 2014. № 1.
С. 109–116. 5. Зайнулабидова З. М. О задачах Коши, Дарбу, Гурса для одного класса вырождающихся
гиперболических уравнений // Известия Дагестанского государственного педагогического университета. Естественные и точные науки. 2009. № 2. С. 13-16. 6. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М. : Мир, 1972. 739 c.
References
1. Aleydarov S. M., The uniqueness of the solution of linear equation with the argument linear deviation in
spaces with the power weight // Differen. equations. 1986. Vol. 22. # 12. P. 2170-2171. 2. Aleydarov
S. M., Aleydarov M. S. The finite-dimensionality of the kernel of the L operator in a Hilbert space with the
power weight // Bulletin of DSU. Natural Sciences. 2011. Vol.1. P. 60-64. 3. Aliev R. G. FDU in Hilbert
space. Makhachkala: DSU Publishing House, 2011. 348 p. 4. Aliev R. G., Aleydarov M. S. Solvability of FDU
of the second order in the spaces with the power weight // Bulletin of DSU. Natural Sciences. 2014. Vol.1.
P. 109-116. 5. Zaynulabidova Z. M. Cauchy, Darboux and Goursat problems for a class of degenerate hyperbolic equations // Proceedings of Dagestan State Pedagogical University. Natural and Exact Sciences.
2009. # 2. P. 13-16. 6. Kato T. The perturbation theory of linear operators. M. : Mir, 1972. 739 p.
Literatura
1. Alejdarov S. M. O edinstvennosti reshenija uravnenija s linejnym otkloneniem argumenta v prostranstvah so stepennym vesom // Differ. uravnenija. 1986. T. 22. № 12. C. 2170–2171. 2. Alejdarov
S. M., Alejdarov M. S. Konechnomernost' jadra operatora L v gil'bertovom prostranstve so stepennym
vesom // Vestnik Dagestanskogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvennye nauki. 2011. № 1. S. 60–
64. 3. Aliev R. G. FDU v gil'bertovom prostranstve. Mahachkala: DGU, 2011. 348 s. 4. Aliev R. G., Alejdarov M. S. Razreshimost' FDU vtorogo porjadka v prostranstvah so stepennym vesom // Vestnik Dagestanskogo gosudarstvennogo universiteta. Estestvennye nauki. 2014. № 1. S. 109–116. 5. Zajnulabidova
Z. M. O zadachah Koshi, Darbu, Gursa dlja odnogo klassa vyrozhdajushhihsja giperboliche-skih uravnenij //
Izvestija Dagestanskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta. Estestvennye i tochnye nauki.
2009. № 2. S. 13-16. 6. Kato T. Teorija vozmushhenij linejnyh operatorov. M. : Mir, 1972. 739 c.
Статья поступила в редакцию 17.03.2015 г.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа