close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Видоизмененная задача Дирихле для эллиптической системы вырождающейся на окружности и в нуле.

код для вставкиСкачать
Физико-математические науки
УДК 517.956
ВИДОИЗМЕНЕННАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ,
ВЫРОЖДАЮЩЕЙСЯ НА ОКРУЖНОСТИ И В НУЛЕ
© Г.А. Тренёва1
Иркутский государственный технический университет,
664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами может принадлежать разным гомотопическим классам в зависимости от точки области, в которой рассматривается эта система. Многообразия вырождения разбивают первоначальную область на части. Представляет интерес изучение влияния такого вырождения на характер разрешимости граничных задач. В работе рассмотрена система двух дифференциальных
уравнений в частных производных второго порядка с вещественным параметром, эллиптичная везде, кроме
начала координат и окружности, на которых происходит параболическое вырождение. Доказано, что видоизмененная задача Дирихле для этой системы в круге, как содержащем окружность вырождения, так и находящемся
внутри нее, разрешима: одна из компонент решения определяется единственным образом в классе ограниченных функций, а вторая – с точностью до линейной функции.
Библиогр. 5 назв.
Ключевые слова: эллиптические системы; вырождение; видоизмененная задача Дирихле.
MODIFIED DIRICHLET PROBLEM FOR THE ELLIPTIC SYSTEM DEGENERATING
ON A CIRCUMFERENCE AND AT ZERO
G.A. Treneva
Irkutsk State Technical University,
83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The system of partial differential equations with variable coefficients can belong to different homotopic types depending
on the domain point it is considered in. Degeneration manifolds split the original region into parts. The study of the degeneration effect on boundary value problems solvability is important. The article considers the system of two secondorder partial differential equations with a real parameter. This system is elliptic everywhere, except for zero point and the
circumference, where parabolic degeneration takes place. The author proves that the modified Dirichlet problem is solvable for the system within the circle that may contain a degenerating circumference or can be inside of it. One of the sol ution’s component is uniquely specified in a class of confined functions while the second one is determined to the accuracy of a linear function.
5 sources.
Key words: elliptic systems; degeneration; modified Dirichlet problem.
Для сильно эллиптических систем уравнений в
частных производных второго порядка в достаточно
малой области с гладкой границей задача Дирихле с
любыми непрерывными граничными данными всегда
разрешима и ее решение единственно. Такие системы
встречаются в стационарной изотропной теории упругости. В настоящее время системы с многими независимыми переменными, не удовлетворяющие условию
сильной эллиптичности по Вишику, еще недостаточно
изучены. Для математики их исследование важно и
актуально. Интересные результаты для не сильно
эллиптических систем с параметром или с младшими
производными получены в работах А.И. Янушаускаса
[5], Е.А. Головко, Г.А. Тренёвой [3], Л.С. Сергиенко [4]
и др. Но в данной теории еще много неясных вопросов, и один из них о том, как влияет структура системы
на разрешимость задачи Дирихле.
В области : { 2 +  2 <  2 } рассмотрим систему
двух дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка
−( 2 +  2 )∆ + 
2
−( + 


2 )∆
( +  ) = 0,
+


(1)
( +  ) = 0,
где  > 0 – вещественный параметр. Продифференцируем первое уравнение системы (1) по x, а второе –
по y:
2
( 2 +  2 )∆ + 2∆ =  2 ( +  ),

2
2
2
( +  )∆ + 2∆ =  2 ( +  )

и сложим полученные соотношения
( 2 +  2 − )∆( +  ) + 2∆ + 2∆ = 0.
(2)
Введем обозначение
 =  + .
(3)
Выразим ∆, ∆ из (1), тогда из (2), с учетом (3),
получим
( 2 +  2 )( 2 +  2 − )∆ + 2( +  ) = 0.
(4)
Характеристический определитель системы (1)
имеет вид
___________________________
1
Тренёва Галина Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, тел.: 89025660327,
e-mail: galkatren@gmail.com
Treneva Galina, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Department of Mathematics, tel.: 89025660327 ,
e-mail: galkatren@gmail.com
180
ВЕСТНИК ИрГТУ №10 (93) 2014
Физико-математические науки
∞
2
 = ( 2 +  2 )( 2 +  2 − )(12 + 22 ) .
Следовательно, система эллиптична везде, кроме точки  =  = 0 и окружности  2 +  2 = , на которых происходит параболическое вырождение. Собственные числа характеристической матрицы имеют
вид
1 = ( − ( 2 +  2 ))(12 + 22 ),
2 = −( 2 +  2 )(12 + 22 ),
т.е. система (1) сильно эллиптична при  2 +  2 >  и
слабо эллиптична при 0 <  2 +  2 <  [1].
Рассмотрим сначала краевую задачу при 2 > :
найти регулярное ограниченное решение системы (1)
в области  с границей Г: { 2 +  2 = 2 }, удовлетворяющее условиям


|Г = (, ),
( + )| = (, ),
(5)

2,

1,
Г
где (, ) ∈ ∁ (Г), (, ) ∈ ∁ (Г).
Сначала определим функцию  из уравнения (4) и
второго из краевых условий (5). Дифференцируемую
функцию (, ) можно разложить в абсолютно сходящийся ряд Фурье:
∞
 = ∑( cos φ +  sin φ).
=0
Уравнение (4) эллиптично в круге, следовательно,
все его дважды дифференцируемые решения аналитичны в круге.  представим в виде [5]:
∞
 = ∑=0[ ( 2 +  2 )   +  ( 2 +  2 )  ], (6)
где  ,  – функции от ( 2 +  2 ). Для определения
коэффициентов  ( 2 +  2 ),
 ( 2 +  2 ) подставим
(6) в уравнение (4). С учетом соотношений

 2 
= 2′ ,
= 4 2 ′′ + 2′ ,

 2


 (  ) +  (  ) =   


получим
  
( )
∆(   ) = ∆    + 2
 
  
( ) =
+2
 
= [4( 2 +  2 )′′ ]  


+ 4′ (  ) + 4′ (  )


= [4( 2 +  2 )′′ + 4′ ( + 1)]  .
Из (4) получим систему уравнений
( 2 +  2 )( 2 +  2 − )[4( 2 +  2 )′′ + 4′ ( + 1)]
+ 4( 2 +  2 )′ + 2 = 0,
2
2
2
2
( +  )( +  − )[4( 2 +  2 )′′ + 4′ ( + 1)]
+ 4( 2 +  2 )′ + 2 = 0.
2
Положим,  =  +  2 ,  =  ( ,  ):
( − )[4′′ + 4( + 1)] + 4′ + 2 = 0. (7)
В этих обозначениях получим
∞
 = ∑[  ( 2 +  2 )   +   ( 2 +  2 )  ]
=0
и, согласно краевому условию,
|Г = ∑[  (2 )  +   (2 ) ]
=0
∞
= ∑(  +  ),
=0
откуда
 =   ( 2 ) ,
Следовательно,
=
 =   (2 ) .
1
 ( 2 + 2 )( 2 + 2 )2
∑∞
( 
=0
 ( 2 ) 
2
+  ). (8)
Поделим уравнение (7) на 4 ( − ):
 +  −  ′

′′ +
 + 2
 =0
( − )
2 ( − ) 
и приведем к виду

1
 1
′′ + ( + ) ′ +
 = 0.

−
2 (−)
(9)
Уравнение (9) является дифференциальным
уравнением Римана [2] с коэффициентами 2 = 2′ =

0, 3 3′ = 0, 1 + 1′ = 1 − , −1 1′ = .
2
Из системы двух последних равенств находим
1−−√ 2 +1
1−+√ 2 +1
1 =
, 1′ =
,
2
2
′
а из соотношения 1 + 1 + 2 + 2′ + 3 + 3′ = 1 при
3 = 0 получим 3′ = . Решения уравнения (9) являются частными случаями P–функций Римана:
0, , ∞
′

 (1 , 1 ; 1 − ; ) =  { 1 , 0, 0 }
1,′ 0, 
(а само уравнение (9) может быть приведено к уравнению Гаусса и проинтегрировано).
В окрестности регулярной особой точки  = 
уравнение (9) можно представить в виде


′′ + 1 ′ + 2  = 0,
(10)
−
−
где



1 = ( − ) + 1 = 1 + ( − ) − 2 ( − )2




3
+ 3 ( − ) − ⋯,

 1 1
1
1
2 = 2 = [ 2 − 3 ( − ) + 4 ( − )2 − 5 ( − )3
2
2 




+⋯]
– голоморфные в окрестности точки  =  функции.
Один из интегралов уравнения (10) находится в виде
[5]:

1 = ( − ) ∑∞
(11)
=0  ( − ) .
′
′′
Подставляя  1 ,  1 ,  1 в уравнение (10) и приравнивая коэффициенты при степенях (– ) к нулю,
получаем систему
0 (( − 1) + ) = 0,

1
1 (( + 1) +  + 1) + 0 ( + ) = 0,

2
1
1
2 (( + 2)( + 1) +  + 2) + 1 ( + 1 + )

2

1
− 0 2 ( + ) = 0,
2

…,
ВЕСТНИК ИрГТУ №10 (93) 2014
181
Физико-математические науки

1


2
2
 ( + )2 + −1 ( +  − 1 + ) − −2
1
2
1
2
) + −3

3
1
( +  − 2 +
( +  − 3 + ) − ⋯ + +0 (−1)+1
2
) = 0,
….
Положив


( +
 2 + ( − 1) −
с корнями
1 −  + √ 2 + 1
1 −  − √ 2 + 1
, 2 =
,
2
2
разность между которыми не равна целому числу
(1 − 2 = √ 2 + 1), и систему для определения всех 
через 0 ≠ 0.
Следовательно, в окрестности  = 0 решение
уравнения (9) имеет вид

 = (3  1 + 4  2 ) ∑∞
=0   ,
и для выбора ограниченного решения нужно положить
4 = 0.
В частном случае при  = 0 из равенства (7) получим

 2 ( − )0′′ +  2 0′ =  2 [( − )0′ ] = 0,

( − )0′ = 1 , 0 = 1 ln| − | + 2 .
Для выбора ограниченного, при  = , решения
нужно положить 1 = 0.
Докажем, что уравнение (9) при 0 <  <  имеет
только нулевое решение. Умножим (7) на  и проинтегрируем от 0 до :
1 =
0 () = ( − 1) +  =  2 ,  () = (−1)+1

1
( + ),
2


приведем систему к более простой форме:
0 0 () = 0,
1 0 ( + 1) + 0 1 () = 0,
2 0 ( + 2) + 1 1 ( + 1) + 0 2 () = 0,
…,
 0 ( + ) + −1 1 ( +  − 1) + −2 2 ( +  − 2) + ⋯
+ 0  () = 0,
….
Из определяющего уравнения 0 () =  2 = 0 находим 1 = 2 = 0. При каждом натуральном  функция
0 ( + ) = 2 отлична от нуля. Значит, все  находятся через 0 ≠ 0:
1
3 2 + 2
1 = −0 , 2 = 0
, 3
2
162
3
15 + 34 2 + 16
= −0
,
….
288 3
Нетрудно показать сходимость полученного ряда
(11) в области голоморфности функции 1 , 2 . Второй
интеграл уравнения (10) находится из соотношения:


1
 2 =  1 ∫ 2 exp ( − ∫
 ) 
−
1

4 ∫[ 2 ( − )′′  + [( 2 − )] +  2 ]′  +
0
= 1 ∫| − 
|−1
= 4
−
)′  |0
3 2 +2
1
( −  − ⋯ ). (12)
 = 1 (0 − 0 ( − ) + 0
2
162
В окрестности второй регулярной особой точки
 = 0 уравнение (9) можно представить в виде


′′ + 5 ′ + 26  = 0,
(13)


где

 2 3
5 =  +
=  − − 2 − 3 − ⋯,
−
  


 2 3
6 =
= − [1 + + 2 + 3 + ⋯ ]
2( − )
2
  
– голоморфные в окрестности точки  = 0 функции.
Один из интегралов уравнения (13) находится в виде
∞
3 =  ∑    .
=0
Подставляя  3 , ′3 , ′′ 3 в уравнение (13), получим определяющее уравнение
2 ] =

+ 2 ∫ 2 

0
+ 4 ∫( 2 − )( − 2)′   =
0

= 4 ∫(′ )2  2 ( − )
0

+ 2 ∫ 2  + 2( 2 − )( − 2)2 |0

)2

2
− 4 ∫(′ )2  2 ( − )
0
() =
= 1 (0 ln| − | + 3 ()) = 1 0 ln| − | + 4 (),
где 3 (), 4 (), () – голоморфные в окрестности
точки
=
функции,
() = 0 + 1 ( − ) +
2 ( − )2 + ⋯.
Для того чтобы выбрать ограниченное в окрестности особой точки  =  решение, положим 2 = 0 в
формуле
 = 1 1 + 2 2
и получим


2 (
0
182

=0
2
0
− 2 ∫ 2 (2 − )( − 2) = 0,
0

∫  −
2(
0
)(2 )2 


+ ∫( −  + 2 − )2)2  =
0

= ∫  2 ( − )(2 )2  + ∫( − 2) [
0
0
−1
 − ] 2  = 0.
−2
При 0 <  <  и  > 2 подынтегральные выражения строго положительны. При  = 2 и  = 1 выражение ( −  + 2 − ) также положительно. При  = 0
уже было показано, что ограниченное решение уравнения (9) является константой. Следовательно, равенство нулю возможно только при ′ =  = 0. Но,
согласно (12),
ВЕСТНИК ИрГТУ №10 (93) 2014
Физико-математические науки

.
2
В силу непрерывности и единственности искомого
решения 0 = 0,  ≡ 0 для любого t > 0, в том числе
и для  > . Cледовательно,  ≡ 0 в уравнении (8).
Поэтому всякое ограниченное решение системы
(1) удовлетворяет уравнениям
 |= = 1 0 , ′ |= = −1 0
∆ =
∆ =

2
+ 2
 ,


+  2 ,
 =  +  ≡ 0.
Функция  находится как решение задачи Дирихле
для уравнения Лапласа в круге 
∆ = 0,
|Г = (, )
в виде интеграла Пуассона
=
1
2
()( 2 −2 )

.
∫
2 − 2 −2 cos(−)+ 2

 = − :  = − ∫  (, ) + ()
0
и подставим в уравнение Лапласа ∆ = 0:

− ∫  (, ) −  +  = 0,
0
∫  (, ) −  +  = − |=0 +  = 0,
0
 =  |=0

=> () = ∫  (, 0) +  + .
0
Теорема 1. При R > задача (1), (5) всегда разрешима в классе ограниченных функций, причем и
определяется единственным образом по формуле
(14), а  – с точностью до линейной функции  + ,
где ,  – произвольные постоянные.
2
Рассмотрим теперь случай R <. При интегрировании уравнения (7) от 0 до t< нет противоречия,
значит, вывод о том, что  ≡ 0, сделать нельзя. В
этом случае H находится по формуле (8), а  – ограниченное решение уравнения (7) в окрестности регулярной особой точки t=0
2
1−+√ 2 +1
2
2 
∑∞
 ( 2 +  2 ) = 3 ( 2 +  2 ) 2
=0  ( +  ) (15)
( все  выражаются через 0 ≠ 0 ).
Решение задачи Дирихле (5) для вырождающегося в начале координат уравнения Пуассона
( 2 +  2 )∆ = 
имеет вид  = 1 + 2 , где 1 является решением
задачи
( 2 +  2 )∆ = 0, |Г = (, ),
(16)
а 2 удовлетворяет задаче
( 2 +  2 )∆ =  , |Г = 0.
(17)
Для решения задачи Дирихле (16) перейдем к полярным координатам  = ,  = . Применив
метод разделения переменных, получим интеграл
Пуассона (14).
 +
2
где функция Грина задачи Дирихле для гармонических
в круге функций, исчезающая на границе, имеет вид
[5]:
1
1 1
(, ; , ) = −  +  √2 + 2 ,
2
2 2

а дробь 2  2 должна быть ограничена и иметь непре +
рывные первые производные, ограниченные в ,
1 = √( − )2 + ( − )2 , 2
= √( −

2 + 2
2
) + ( −
2

2 + 2
) .
В начале координат решение ограничено:

(14)
Для нахождения функции  проинтегрируем уравнение

Решение задачи (17) дает потенциал объемных
масс
 
1  
2 = ∫− ∫− (, ; , ) 2 2 ,
(18)
(1 + 2 )|==0

0 1

= +
∫ ∫ (0,0; , ) 2
.
2 2
 + 2
− −
Функция Грина имеет логарифмическую особенность
1
(0, 0; , ) = − (2 + 2 ),
4
а функция

2 + 2
имеет особенность, большую, чем -2, так как при l=1,
согласно равенству (8), в выражение для функции Н
входит множитель
1+√2
( 2 +  2 ) 2 ,
значит, в выражение для функции

 2 + 2
входит множи-
тель
√2−1
√2−3
(1 + √2) 2
( +  2 ) 2 = (1 + √2)( 2 +  2 ) 2 ,
2
2
 +
в котором степень √ 2 +  2 больше -2: √2 − 3 >
−2. При l=2 эта степень равна (√5 − 3), при  = 3 −
(√10 − 3), при возрастании l степень √ 2 +  2 остается больше -2. Следовательно, двумерный интеграл
(18) сходится.
Решение задачи
 |Г = − |Г + (, )
для вырождающегося в начале координат уравнения
Пуассона
( 2 +  2 )∆ = 
имеет вид  = 1 + 2 , где 1 удовлетворяет задаче
( 2 +  2 )∆ = 0,
 |Г = − |Г + (, ),
а 2 является решением задачи
( 2 +  2 )∆ =  ,
 |Г = 0.
Как и прежде, 1 определяется с точностью до
 +  как решение задачи Неймана. Функцию 2 дает
потенциал объемных масс



1
2 =
∫ ∫ (0,0; , ) 2
.
2
 + 2
− −
Теорема 2. При R < задача (1), (5) всегда разрешима в классе ограниченных функций, причем и
ВЕСТНИК ИрГТУ №10 (93) 2014
2
183
Физико-математические науки
определяется единственным образом по формулам
(14), (18), а  – с точностью до линейной функции
 + , где ,  – произвольные постоянные.
Примечание 1. Для системы дифференциальных
уравнений с младшими членами

−( 2 +  2 )∆ +  ( +  ) +  = 0,


2
2 )∆
−( + 
+  ( +  ) +  = 0,

где С=const, также справедливы теоремы 1, 2. Уравнения, аналогичные (4) и (7), имеют вид
( 2 +  2 )( 2 +  2 − )∆ + 2( +  ) +  = 0,
 + 
 2 ( − )′′ + [( + 1) − ]′ +
 = 0.
2
Примечание 2. В произвольной области 1 , лежащей внутри окружности вырождения  2 +  2 =  и
содержащей начало координат, краевая задача (5),
где вместо Г берется Г1, для системы (1) может быть
решена альтернирующим методом Шварца. Он применим для областей  ∶ { 2 +  2 ≤ 4 2 } и 2 , где 2 −
часть Ɗ1 без круга  2 +  2 ≤  2 . Область 1 представляет собой объединение 2 и круга К, кусочно-гладкие
границы которых нигде не касаются друг друга. В
2 система (1) эллиптична, а в К решение выписывается явно и удовлетворяет принцип максимума. Умея
решать краевую задачу для каждой из областей К и
2 , можно ее решить для всей области 1 [5].
Статья поступила 25.06.2014 г.
Библиографический список
1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных
4. Сергиенко Л.С., Баенхаева А.В. Первая краевая задача
производных. М.: Наука, 1981. 262 с.
для стационарного уравнения класса Шрёдингера // Вестник
2. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. М.:
Иркутского государственного технического университета.
ИЛ, 1963. 415 с.
2011. № 10. С. 275–281.
3. Головко Е.А., Тренёва Г.А. К вопросу о разрешимости
5. Янушаускас А.И. Граничные задачи для эллиптических
задачи Дирихле для одного класса многомерных эллиптичеуравнений в частных производных и интегродифференциских систем // Вестник Иркутского государственного техниальные уравнения. Иркутск: Изд-во ИГУ, 1997. 168 с.
ческого университета. 2011. № 2. С. 237–240.
184
ВЕСТНИК ИрГТУ №10 (93) 2014
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
3 157 Кб
Теги
эллиптическая, вырождающейся, система, видоизмененным, нулей, дирихле, задачи, окружности
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа