close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Вырождающиеся дифференциальные уравнения второго порядка. Асимптотические представления спектра

код для вставкиСкачать
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________
УДК 517.926.4
ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО
ПОРЯДКА. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СПЕКТРА
DEGENERATING SECOND-ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS.
ASYMPTOTIC REPRESENTATIONS OF SPECTRUM
В.П. Архипов, А.В. Глушак
V.P. Arhipov, A.V. Glushak
ФГБОУ ВПО «Орловский государственный университет им. И.С. Тургенева»,
Россия, 302026, г. Орел, ул. Комсомольская, 95
Белгородский национальный исследовательский университет, Россия, 308015, г. Белгород, ул. Победы, 85
Oryеl State University named after I.S. Turgenev, 95 Komsomolskaj St, Oryel , 302026, Russia
Belgorod National Research University, 85 Pobedy St, Belgorod, 308015, Russia
E-mail: varhipov@ inbox.ru, Glushak@.bsu.edu.ru
Аннотация. Для обыкновенных линейных вырождающихся дифференциальных уравнений второго
порядка рассматривается метод построения асимптотических представлений решений, позволяющий исследовать их в комплексной плоскости и в зависимости от параметра. Получены формулы решений, оценки резольвенты задачи Дирихле, условия дискретности спектра и асимптотические формулы для нахождения собственных значений. Для сильных степенных вырождений даны асимптотические формулы роста собственных
значений.
Resume. Here is considering the method of building asymptotic solution views of ordinary linear degenerating
second-order differential equations which allows to research them in complex surface and depending of parameter.
There have been got formulas of solutions, resolvent estimates for Dirichlet problem, discrete spectrum condition and
asymptotic formulas for eigenvalue findings. For strong power degeneracy there asymptotic formulas of eigenvalues
growth have been given.
Ключевые слова: вырождающиеся дифференциальные уравнения, асимптотические последовательности, краевые задачи, собственные значения.
Key words: degenerating differential equations, asymptotic sequences, boundary value problems, eigenvalues.
Введение
Настоящая статья является продолжением работы «Вырождающиеся дифференциальные
уравнения второго порядка. Асимптотические представления решений» [1], в которой приведены
необходимые предварительные результаты для выяснения спектральных свойств оператора
Штурма-Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
(a(t )u (t ))  b(t )u (t )  c(t , )u(t )  f (t ),
(1)
допускающего в точке t  0 вырождение старшего коэффициента, поскольку a(0)  0 . Сохраняя
для единообразия нумерацию формул первой части напомним необходимые определения и формулы.
Введем в рассмотрение дифференциальный оператор L, заданный для уравнения (1) при
c(t , )  c(t )   простейшей двухточечной краевой задачей Дирихле на отрезке [0,1]
Lu  u  (a(t )u (t ))   b(t )u (t )  (c(t )  )u(t )  f (t ),
a(0)  0, a(t )  0 при t  0, b(0)  b0  0
(38)
45
46
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
с достаточно гладкими действительными коэффициентами,
  const на функциях u (t ) , удовле-
творяющих краевым условиям (см. [2], [3])
u(0)  1u(1)  2u(1)  0, 1  2  0 , 1  0 при  2  1 , если b0  0 ,
(39)
при b0  0 условие в точке t  0 снимается (заменяется условием ограниченности)
lim u (t )   , 1u(1)  2u(1)  0, 1  2  0 , 1  0 при  2  1 .
t 0
(40)
Как и ранее, ограничимся рассмотрением задачи (38), (39) и найдем условия, позволяющие
получать асимптотические формулы распределения собственных значений. Укажем эти формулы
для сильных степенных вырождений.
Асимптотика спектра
Результаты теоремы 2 [1] показывают, что резольвента задачи (38), (39) при b  a (0)  0
является вполне непрерывным оператором с дискретным простым спектром, т.е., спектр оператора L краевой задачи (38), (39) состоит из простых действительных собственных значений { k } (см.
также [4], [5]) таких, что  k   при k   . Задача Штурма-Лиувилля заключается в определение значений параметра    k при которых существуют нетривиальные решения однородной задачи (38), (39)
Lu  u  (a(t )u )  b(t )u   c(t )u  u  0, a(0)  0, a(t )  0, t  0; b(0)  0 ,
(45)
u(0)  1u (1)   2 u(1)  0, 1   2  0 , 1  0 при  2  1 .
В силу теоремы 1 [1], общее решение уравнения (45) имеет вид
u(t , )  C1u1 (t , )  C2 u 2 (t , )
(46)
и, так как u 2 (0, )  0 при b(0)  0 , то C1  0 . Таким образом, уравнение для определения собственных значений оператора L задачи Дирихле (38), (39), а также и для задачи Дирихле (38), (40), выглядит следующим образом
u 2 (1, )  v2 (1, t , )  ( F11 (0,1, )  F12 (0,1, )  e w(1,t, ) )  0 .
(47)
Функции F11 (0, t , ), F12 (0, t , ) в (47) определены в (10), (12), а
t'
w(t , t ' , )  
t
(, )
d при (t , )  (b 2  4a(t )(c  )) 1 / 2  0, (0, )  b .
a()
Как и в теореме 2 [1] выберем t   1 в (47) и получим уравнение для определения собственных значений в удобном виде
F11 (0,1, )  F12 (0,1, )  0 .
(48)
Как следует из теоремы 1 [1], уравнение (45) имеет решение, представимое равенством (46),
для всех точек
t , соединѐнных с точкой t  0 простой кусочно-гладкой кривой  на которой
(t , )  (b 2  4a(t )(c  )) 1 / 2  0 . В условиях монотонности a(t ) ( a (t )  0, t  0 ) это условие при
t  [0,1] не может быть выполнено при
   , что делает выбор в формуле (46) и в уравнении
(48) пути интегрирования   [0,1] невозможным. Таким образом, в (48) необходимо использова-
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
47
_________________________________________________________________
ние пути интегрирования соединяющего точки t  0 и t  1 с выходом в комплексную плоскость.
Определим точку t   (0,1) , как ближайшее к t  0 решение уравнения
 2 (t  , )  b 2  4a(t  )(c  )  0 .
Для монотонной
   01  c 
a(t )
и постоянных
b, c
точка
t
(49)
находится однозначно при
b2
.
4a(1)
Покажем возможность преобразования уравнения (48) и построения асимптотических
формул для определения собственных значений задачи Дирихле (38), (39) при постоянных коэффициентах b  const  0, c  const .
Выберем путь интегрирования    , выходящий из точки t  0 вдоль отрезка 0,1 и подходящий в точке t  1 также по этому отрезку. А именно:
     [0, t  ]     [t  ,1]   ,
где
γ λδ  {t:t  t λ  δ  e iψ ,  π  ψ  0,
 t 1  t 
 : 0    min  ,
, считая
2 
2
   01  c 
для
δ  0}
(50)
t λδ  t λ  δ , t  t  
определенности
что
для некоторого
π
π


  t  re iψ ,   ψ  , r  2
6
6


и
b2
. Будем предполагать, что выполнено условие 3.
4a(1)
Условие 3. Пусть функция a(t ) удовлетворяет следующим требованиям:
1) принадлежит C 2[0,1] , a(0)  0, a(t )  0 , a(t )  0 при t  (0,1] ,
π
π


2) допускает аналитическое продолжение в   t  re iψ ,   ψ  , r  2 , так, что a(t )  0 и
6
6


Im a(t )  0 при t    \ {0} и (t , )  (b 2  4a(t )(c  )) 1 / 2  0 при t      , (0, )  b(0) .
Условие 3 в наших предположениях о коэффициентах уравнения обеспечивает справедли1
вость утверждений сформулированных в леммах 1 – 4. Действительно, w(t )  w(t , )  
t
(, )
d ,
a()
2


 α (t,λt) 

α 1(t,λt) 
α (t,λt)  
  2 a(t)

непрерывна на
  a(t)
lim Re w(t )   , функция h(t)  h(t,λ) 
t 0, t  
4
α(t,λ)  

 α(t,λ) 



  и интеграл
1
(0,1, )   h(t1 , ) dt1   сходится.
0
Уравнение (48) можно несколько упростить за счет свойств симметрии матрицы F (t1 , t 2 ) ,
связывающих две произвольные точки
t1 и t 2 кривой   , расположенные на действительной оси.
По свойству симметрии г) (см. (16) [1]) в этом случае F (t1 , t 2 )  B(t1 ) F (t1 , t 2 ) B (t 2 ) , где B(t ) – матрица
перехода к комплексно сопряженным функциям vk (t ) : (v1 (t ), v2 (t ))  (v1 (t ), v2 (t )) B(t ), B 1  B . Т.к.
 1 b()  (, ) 
 1 b()  (, ) 
v1 (t )   1 / 2 (t ) exp 
 d , v 2 (t )   1 / 2 (t ) exp 
d ,
2a()
2a()
t

t

48
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
(t.)  (b2  4a(t )(c  ))1 / 2 , (0.)  b  0 , то найдем матрицу
B(t )
для различных положений точки
t     (0,1] , считая ~  (0,1] , что возможно при аналитичности продолжения a(t ) .
Пусть  2 (t , )  b 2  4a(c  )    e i ,    2 (t , )  b 2  4a(c  ) (0    ) , тогда
(t , )  (t )  (b 2  4ac)1 / 2  1 / 2 e i / 2 , ,  1 / 2 (t )  (b 2  4ac) 1 / 4   1 / 4 e i / 4 , 0     .

При t  [0, t 
]    0, (t )  1 / 2 ;  1 / 2 (t )   1 / 4 ,
На кривой


t  [t 
;1]    , (t )  i1 / 2 ,  1 / 2 (t )   1 / 4 e i / 4 .
два действительных участка. Рассмотрим их отдельно.
t  [t ;1] (  2 (t )  0 ), (t )  i1 / 2 ,  1 / 2 (t )   1 / 4 e i / 4  
Пусть
v1 (t )  e i / 4 
1 / 2
 1 b  i () 
exp 
d ,
 t 2a()

v 2 (t )  e i / 4 
1 / 2
1 / 2
e i / 4 . Тогда
 1 b  i () 
exp 
d ,
 t 2a()

1
1


() 
1 b

 b  i () 



exp 
d  exp 
d  exp  i 
d ,
2
a
(

)
2
a
(

)
2
a
(

)




t

t

 t

v1 (t )  e i (  / 2 / 4) 
Для
1 / 2
1
1


1 / 2
 b  i () 

 b  i () 

exp 
d  iv2 (t ) , v2 (t )  e i (  / 2 / 4) 
exp 
d  iv1 (t ) .
2
a
(

)
2
a
(

)




t

t

0 1
 ,
 1 0
t  [t  ,1] имеем (v1 (t ), v 2 (t ))  (v1 (t ), v 2 (t ))  B  (v1 (t ), v 2 (t ))  i  
0 1
 ,
B  i  
1 0
0 1
  B .
B 1  i  
1 0
2
1 / 2

(t )   1 / 2 (t )  0 . Далее
Пусть теперь t  (0, t 
] (  2 (t )  0 ), тогда (t )   (t )  (t )  0, 
v1 (t )  
1 / 2
v 2 (t )  
1 / 2
t
1


 1 b()  () 
1 / 2
 b()  () 

 b()  i () 

exp 
d  
exp  
d exp  
d ,
2

a
(

)
2

a
(

)
2

a
(

)




t

t

t

t
1


 1 b()  () 
1 / 2
 b()  () 

 b()  i () 

exp 
d  
exp  
d exp  
d,
2

a
(

)
2

a
(

)
2

a
(

)




t

t

t

v1 (t )  

1 / 2
t
1



 b()  () 
 b()  i () 

exp  
d exp  
d 




 t 2  a()

t 2  a()

t
1
1
1




 b()  () 

 b()  i () 

  i () 

  i () 

exp  
d exp  
d exp  
d  v1 (t ) exp  
d,
2

a
(

)
2

a
(

)
a
(

)
a
(

)








t

t

t

t

v 2 (t ,1)  
Для
1 / 2
t  (0; t ]
1 / 2
t
1
1



 b()  () 

 b()  i () 

 i () 

exp  
d exp  
d  v 2 (t ) exp  
d .
2

a
(

)
2

a
(

)
a
(

)






t

t

t



1

 exp   i () d

0




t  a()

,
имеем (v1 (t ), v2 (t ))  (v1 (t ), v2 (t ))  
 1 i ()  

0
exp  
d 


a()

 
t



НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________


1

 exp   i () d

0


 a() 



t


,
B
1


 i () 

0
exp  
d 





t  a()




1

 exp  i () d

0


 a() 



t


  B.
B 1  
1


  i () 

0
exp  
d 





t  a()




Возвращаясь вновь к формуле (16) запишем еѐ для t1  (0, t 
] , t2  [t
,1] , учитывая получен-
ные выше формулы для матрицы B(t ) . Получим


1

1

  i exp   i () d F (t , t )  i exp   i () d F (t , t ) 




12 1 2
11 1 2





t a()

t a()

F (t1 , t 2 )  B(t1 ) F (t1 , t 2 ) B (t 2 )  
 1 i () 
 1 i () 


d F22 (t1 , t 2 )
 i exp  
d F21 (t1 , t 2 ) 
  i exp  


t a()

t a()



или
1

  i () 

F11 (t1 , t 2 )  i exp  
dF12 (t1 , t 2 ) ,
a
(

)


t

1


 i () 
F21 (t1 , t 2 )  i exp  
dF22 (t1 , t 2 ) ,


t a()

1

  i () 

F12 (t1 , t 2 )  i exp  
dF11 (t1 , t 2 ) ,
a
(

)


t

1


 i () 
F22 (t1 , t 2 )  i exp  
dF21 (t1 , t 2 ) .


t a()

1

  i () 

Наибольший интерес представляет соотношение F12 (t1 , t 2 )  i exp  
dF11 (t1 , t 2 ) ,
a
(

)


t


которое в силу непрерывности на [0,1] (лемма 3) для t 2  [t 
,1] принимает вид
1

  i () 

F12 (0, t 2 )  i exp  
dF11 (0, t 2 ) .
a
(

)


t

(51)
1

(, ) 


Подставив (51) в (48)) при t 2  1 получим F11 (0,1, )  iF11 (0,1, ) exp  i 
d  0 или


 t a()

1

(, ) 


F11 (0,1, )  iF11 (0,1, ) exp  i 
d .
a
(

)


 t

(52)
Два комплексных числа равны, когда их аргументы отличаются на 2k , поэтому
arg F11 (0,1, )  
1

t
(, )
a()
d 
1
(, )

 arg F11 (0,1, )  
d  2k ,
2
a()
t

 2 arg F11 (0,1, )  2k ,
2
 2 (, )  4a()(c  )  b 2  0 .
Уравнение для собственных значений (52) теперь имеет вид
1

t
4a()( c  )  b 2
a()
d 

 2 arg F11 (0,1, )  2k .
2
(53)
Мы хотим установить, какова скорость возрастания(убывания) слагаемых в (53) при    .
Оценка функции
F11 (t , t 0 ) дана в лемме 2 при условии монотонности (не возрастания)
1
Re w(t )  Re w(t , )  Re 
t
(, )
d на кривой
a()
    , обходящей по полуокружности   ноль функ-
49
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
50
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
ции  2 (t , )  b 2  4a(t )(c  ) , точку t  t  . Требуемый характер монотонности, очевидно, выпол

нен на [0, t 
] и [t 
,1] , а на
нимума функции
Re w(t )
  при малых   0 и каждом  существует только одна точка ми-
– это t*    . Вблизи точки t  функция
(, )
при каждом
a ()
 эквива-
лентна (  t )1 / 2 и условие существования t*    выполняется. Сформулируем это положение в
виде условия на коэффициент
a(t )
уравнения (1).
Условие 4. 1) При каждом    02   01 и некотором δ  δ λ  0 существует точка t*    такая, что функция Re w(t , ) не возрастает при движении точки
t вдоль кривой   от точки 0 к
1
точке t * и не убывает при движении от точки t * к точке t  1 ; 2) ()  (0,1)   h(t1 , ) dt1  0
0
при    .
При выполнении условия 4 arg F11 (0,1, )  0 при    и (53) может быть записано в виде
4a()(c  )  b 2
1

a()
t
d 

 o(1)  2k при    .
2
(54)
Действительно, пусть t*    – точка из условия 4. Для точек t1 , t 2 , t *    , таких, что
t1  [0, t  ], t 2  [t  ,1] свойства симметрии (15) вместе с (51) приводят к равенству
F11 (t1 , t*)  F11 (t1 , t 2 ) F11 (t 2 , t*)  F12 (t1 , t 2 ) F21 (t 2 , t*) 
 1  i () 
F11 (t1 , t 2 )
F21 (t 2 , t*) exp  
d .
F11 (t1 , t 2 )
t a()

 F11 (t1 , t 2 )( F11 (t 2 , t*)  i
1

F11 (t1 , t 2 )
  i () 

F21 (t 2 , t*) exp  
d
F11 (t1 , t 2 )


t a()

1



i

(

)
F (t , t )


1  (1  F11 (t 2 , t*))  i 11 1 2 F21 (t 2 , t*) exp  
d
F11 (t1 , t 2 )
a
(

)


t

F11 (t1 , t*)  1  1  F11 (t 2 , t*)  i
Следовательно,
F11 (t1 , t 2 )  1 
и
F11 (t1 , t 2 )  1 
F11 (t1 , t*)  1  F11 (t 2 , t*)  1  F21 (t 2 , t*)
1  F11 (t 2 , t*)  1  F21 (t 2 , t*)
.
(55)
При выполнении условия 4 для точек t1 , t * и t 2 , t * выполнены условия леммы 2 и поэтому
F11 (t1 , t*)  1 
F11 (t 2 , t*)  1 
F21 (t 2 , t*) 


1 2 (t1 ,t *)
e
 1  2(t1 , t*)  2() ,
2


1 2 (t2 ,t *)
e
 1  2(t 2 , t*)  2() при  ( )  1 ,
2


1 2 (t 2 ,t *)
e
 1  e Re w(t 2 )  2(t 2 , t*)  2() , Re w(t2 ,1)  0 ,
2
1
1
0
t
где ()  (0,1)   h(t1 , )dt1 , w(t )  w(t ,1)  
()
d  w(t ) .
a()
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________
Если выполнено условие 4 (2), то при
  
1
(t1, 2 , t*)  ()   h(t1 , )dt1  0 и можно считать, что () 
0
1
при
8
  *  0 . Тогда
1
1 1
1  F11 (t 2 , t*)  1  F21 (t 2 , t*)  1  2   2   ,
8
8 2
т.е., знаменатель в (55) не равен нулю и F11 (t1 , t 2 )  1  12() при всех
Таким образом при выполнении условия 4 и
t1  [0, t ], t2 ,  [t ,1] .
   имеет место F11 (0,1)  1  12()  0
и
arg F11(0,1)  0 , что приводит к (54). Таким образом, нами установлено следующее утверждение.
Теорема 3. Если коэффициенты краевой задачи Дирихле (38), (39) таковы, что выполнены условия 3 и 4 при b  const , c  const и b  a (0)  0 , то еѐ собственные значения  k , k  0,1,2,
действительны,  k   при k   и удовлетворяют асимптотическому равенству
1

4a()( c   k )  b 2
a()
t k
d 

 2k  o(1) ,
2
(56)
где t   (0,1) определяется как решения уравнения (49).
Замечание 5. а) Условия 3 и 4 при b  const , c  const , которые нужны для выполнения
асимптотического равенства (56) могут быть сформулированы в виде условий на коэффициенты
уравнения (38), их гладкости, а также возможность продолжения с действительной оси в комплексную плоскость. Однако это лишь усложнит формулировки и доказательства. Возможно,
непосредственная проверка этих требований, как будет показано ниже, окажется более эффективной. б) Условия 3 и 4 при b  const , c  const рассматриваются как достаточные и могут быть довольно существенно ослаблены. Например, требование постоянства коэффициентов совершенно
необязательно. в) Утверждение теоремы 3 сохраняется и для краевой задачи Дирихле (38), (40).
Пример сильного степенного вырождения
Пусть в уравнении (45) a(t )  t , m  2,3,  . Покажем, что для краевой задачи (38), (39),
m
равно как и для задачи (38), (40), в этом случае выполнены условия теоремы 3 и вычислим асимптотику собственных значений.
Теорема 4. Краевая задача Дирихле (38), (39) при a(t )  t m , b  const  0, c  const , m  2,3, 
имеет дискретный спектр, еѐ собственные значения  k , k  0,1,2, действительны,  k   при
k   и выполняются следующие асимптотические соотношения: 1) при m  2
 2

 k  
k
2C m
 Cm
2) при m  2
k
1/ 2



m /(m 1)
 2 

(1  o(1))  
 Cm 
m /(m 1)
 ln  k  2k  O(1),  k   .
k m /(m1) (1  o(1)) , С m 
B(3 / 2, (m  2) /(2m))
mb
1 2 / m
;
51
52
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
Доказательство. Проверим, что если a(t )  t , то выполняются условия 3 и 4, т.е., услоm
вия теоремы 3, а затем преобразуем асимптотическое равенство (56).
Выполнение условия 3 очевидно. Выясним, когда выполняется условие 4. Для компактно-
η  c  λ  1, тогда λ    η  
сти преобразований введем
и
(t , )  (b 2  4t m (c  )) 1 / 2  (b 2  4t m )1 / 2  (t , ), (0, )  b  0 ,  2 (t , )   2 (t , ) .




Пусть, как и ранее,   t  re i ,     , r  2 . Выберем в  путь интегрирования
6
6




      [0, t 
]     [t 
,1]    {0} , где γ ηδ  {t: t  t η  δ  e iψ ,  π  ψ  0, δ  0 },




t  t   , t
Величину
 t   , 0  
 b2 
 t , t  :  (t  , )  0, t    
 4 
 будем искать в удобном виде δ 
 b2 

мый в дальнейшем и t ηδ
 t η  δ   
 4η 
1 /m
 b2 
 δ   
 4η 
1
w(t,λ(  w(t,η(  
t
при определенном выборе
1/ m
2
1 /m
tη
Λ

1  b2 
 
Λ  4η 
 1
 t    0, ,   b 2  2 m2 .
 2
1 /m
, Λ  1 - параметр, определяе-
1

1    (0,1] . Функция
Λ

α(τ,η)
(b 2  4τ m  η)1/ 2
dτ  
dτ
a(τ )
τm
t
1
 удовлетворяет условию 4 (1). Точнее, при достаточно больших зна

чениях η возможен выбор пути интегрирования    [0, t  ]     [t  ,1] и величины  
t

(или
некоторого   1 ) так, чтобы выполнялось условие 4(1). Проверим, что при достаточно малых

t
P
 0 (  P) функция I (t )  Re w(t ) не возрастает при движении от точки
t к некоторой точке

t*    вдоль   и не убывает при движении от точки t * к точке t . Характер монотонности,


очевидно, выполнен на [0, t ] и [t  ,1] . Далее для
t    при каждом  имеем

t

t
i (, )
(, )
(, )
(, )
I (t )  Re 
d  Re 
d  Re 
d  Re 
d .
a()
a()
a()
a()
t
t
t
t
1
1

Проведем
некоторые
преобразования
для
функции
I (t )
при
t  t  ei    ,      0 .
2
 (t ) 
 аналитическая в  и имеет простой ноль в точке
Отметим, что функция 
 a (t ) 
2
t , тогда
 (t ) 
4  a (t )

  a1 (t  t  )W (t , ) , W (t , )  u(t , )  iv(t , ) , a1   2   0 ( a(t )  0 ),
a (t  )
 a(t ) 
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________
2 a (t  ) i (   ) / 2
(t )
 a1 (t  t  )W (t , ) 
e
W (t   e i , ) .
a(t )
a(t  )
~
W (t , )  W (, , )  u~(, , )  i  v~(, , ) аналитическая в  \ {t  } и
Функция
4
~
2
W (, , )  u 2 (, , )  v 2 (, , )  (u~ 2 (, , )  v~ 2 (, , )) 2  W (, , ) .
i
(57)
i
После замены   t     e , d    ie d ,     0 получим

t 
w(t ) 
0 2 a (t )
()

3/ 2
3i / 2
d


w
(

,

)



W (t   e i , )d 
t a()
 a(t  ) e

2 3 / 2 a (t  )
a(t  )
0

e 3i / 2 (u~(, , )  i  v~(, , )) d.

~
Как было принято выше W (, , )  u~(, , )  i  v~(, , ) и нетрудно видеть, что при малых

 u~(, )  1 и v~(, )  0 . Тогда для     0 и t*  
3
I (t )  I (, )  
для     0 и t*  
2 3 / 2   a (t  )
a(t  )
0
Re  e 3i / 2 d 
4 3 / 2   a (t  )


π

, т.е. при ψ   π,   функция
3
3

I (t )
3a(t  )
sin
3
2
 π 
не возрастает, а при ψ   ,0 не
 3 
убывает. Условие 4(1) выполнено, хотя точно выбрать значение t * затруднительно.
Докажем существование и единственность при некотором
кими свойствами на
   * точки t*   * ei * с та-
[ ;0] . После замены переменной интегрирования   t    ei
I (t )  I (, )  
I  () 
получим
2 3 / 2   a (t  ) 0  ~
3 ~
3 
  u (, ) cos 2  v (, ) sin 2  d ,
a(t  )
2 3 / 2 a (t  )  ~
3 ~
3 
 v (, ) sin
 u (, ) cos
  0.
a(t  )
2
2 

Уравнение, определяющее точки t * и разделяющие участки монотонности функции I (t )
принимает вид
3 ~
3
3 v (, )
u~(, ) cos
 v (, ) sin
 0 или ctg
 ~
2
2
2
u (, )
~
и при достаточно малых
(58)
  0 u~(, )  1 . Уравнение (58) можно переписать в виде

2
arcctg
3
v~(, ) 2

u~(, ) 3
 2π 
,0 и геометрически очевидно существование единственного решения в точке
на отрезке ψ  
 3 
2π 
 2π 

ψ*  
,0 ; а на отрезке ψ   π,   уравнение (58) принимает вид
3
 3 

53
54
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________

2
arcctg
3
v~(, ) 4

u~(, )
3
  0 u~(, )  1 и v~(, )  0 имеет единственное решение в точке  * *   .
и при малых

Для строгого доказательства достаточно показать, что при этих
выполняется неравен-
ство
2
 arcctg
3 
'
v~(, ) 

 1 при   [;0] .
u~(, )  
(59)
2π 

 2π 
,0 .
При этом (58) имеет единственное решение на каждом отрезке  π,   и 
3
 3 


Рассмотрим  arcctg

'
v~ (, )u~(, )  u~ (, )v~(, )
v~(, ) 

 

~

u (, )  
u~ 2 (, )  v~ 2 (, )
 
u~(, )u~ (, )  v~(, )v~ (, )
 (u~ 2 (, )  v~ 2 (, ))



 J ,
2 u~ 2 (, )  v~ 2 (, )
2
u~ 2 (, )  v~ 2 (, )
~
где W (, ) аналитическая на
 
(60)
функция и   u~ (, )  v~ (, ),    v~ (, )  u~ (, ) .
В дальнейшем удобно считать, что W (, , ) 
u1 (, , )  i  v1 (, , )
, а с учетом (57)
(u a (, , )  i  va (, , )) 2
(u~ 2 (, )  v~ 2 (, )) (u 2 (, )  v 2 (, )) 1
2
J  ~2

 (ln( W (, , ) ) 
u (, )  v~ 2 (, )
2(u 2 (, )  v 2 (, )) 2

(u 2 (, )  va2 (, ))
u 2 (, )  v12 (, )
1
1 (u 2 (, )  v12 (, ))
(ln( 21
))  ( 1 2
 2 a2
).
2
2
2
2
2 u1 (, )  v1 (, )
(u a (, )  va (, ))
u a (, )  va2 (, )
J 
(u a2 (, )  v a2 (, ))
1  (u12 (, )  v12 (, ))

2
2  u12 (, )  v12 (, )
u a2 (, )  v a2 (, )

Проведем
оценку
(u1 (, ))  (v1 (, ))
u (, )  v (, )
2
1
2
1
компонент
2




(u a (, ))  (v a (, ))
u a2 (, )  v a2 (, )
неравенства
(61)
для
(61)
.
степенного
вырождения:
a(t )  t m , m  2 .
Разлагая в ряд в окрестности t  числитель и знаменатель функции W (, , ) , будем иметь
m
m
k 2
k 2
u1 (, )  i  v1 (, )  1   a k  k 1 cos( k  1)  i  a k  k 1 sin(k  1) ,
m
m
m
k 1
k 1
u a (, )  iva (, )  1   aˆ k (t  t  ) k  1   aˆ k  k cos k  i  aˆ k  k sin k ,
k 1
a (t  ) (m  1)  (m  k  1)
a (t  ) m(m  1) (m  k  1)

, 2  k  m , aˆ k 

,1 k  m .
k 1

k!a(t  )
k!a (t  )
k!(t  ) k
k!(t  )
(k )
ak 
(k )
Выберем  
t
P
, где P  1 некоторая постоянная величина. Тогда
m
(m  1)  (m  k  1) t  k 1
( ) cos( k  1) ,
P
k!(t  ) k 1
k 2
m
u1 (, )  1   a k  k 1 cos( k  1)  1  
k 2
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________
(m  1) (m  k  1) t  k 1
( ) sin(k  1) ,
P
k!(t  ) k 1
k 2
m
m
v1 (, )   a k  k 1 sin(k  1)  
k 2
m
m
k 2
k 2
(u1 ) (, )  1   (k  1)a k  k  2 cos( k  1)   (k  1)
(m  1) (m  k  1)
cos( k  1) ,
k!( P) k  2  t 
m
(v1 ) (, )   (k  1)a k  k 2 sin(k  1) .
k 2
Оценивая по модулю, получим
(u1 ) (, ) 
C m
t
m
1
 ( P)
k 2
k 2

C m  P
(m  1) (m  k  1)
,
, C m  max (k  1)
k
t  ( P  1)
k!
(v1 ) (, ) 
C m
t
m
1
 ( P)
k 2
k 2

C m  P
,
t  ( P  1)
(m  1)  (m  k  1) t  k 1
( ) cos( k  1) 
P
k!(t  ) k 1
k 2
m
u12 (, )  v12 (, )  u1 (, )  1  
C
(m  1)  (m  k  1)
1
(m  1)  (m  k  1)
 1  m  , C m  max
 C m ,
k 1
k
P 1 2
k!
k!P
k 2
m
 1 
при P  2C m  1 .


Аналогично для u a (, )  1   aˆ k  k cos k,
va (, )   aˆ k  k sin k получим
k 1
k 1
m(m  1) (m  k  1) t  k
( ) cos k ,
P
k!(t  ) k
k 1
m
m
u a (, )  1   aˆ k  k cos k  1  
k 1
m(m  1) (m  k  1) t  k
( ) sin k ,
P
k!(t  ) k
k 1
m
m
va (, )   aˆ k  k sin k  
k 1
m(m  1) (m  k  1)
cos k ,
(k  1)!t   P k 1
k 1
m
m
(u a ) (, )   kaˆ k  k 1 cos k  
k 1
m(m  1) (m  k  1)
sin k ,
(k  1)!t   P k 1
k 1
m
m
(v a ) (, )   kaˆ k  k 1 sin k  
k 1
P  C m a
m(m  1) (m  k  1)
m(m  1) (m  k  1)
,

, C m a  max
k
t  ( P  1)
(k  1)!
(k  1)!t   P k 1
k 1
m
(u a ) (, )  
(m  1) (m  k  1)
P  C m a
m(m  1) (m  k  1)
, C m  max (k  1)
,

k 1
k
k!
t  ( P  1)
(k  1)!t   P
k 1
m
(v a ) (, )  
Ca
m(m  1)  (m  k  1) t  k
1
( )  1 m  ,
k
P
P

1
2
k
!

(
t
)
k 1

m
u a (, )  1  
при
C ma
1
 , P  2C ma  1 ,
P 1 2
Cma  max
u a2 (, )  va2 (, )  u a (, ) 
k
m(m  1) (m  k  1)
 Cma ,
k!
1
, при P  max{2Cm  1,2Cma  1} .
2
Что с учетом (60) и (61) приводит к неравенству
55
56
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
2
 arcctg
3 
'
(u a (, ))  (v a (, ))
v~(, , ) 

  (u1 (, ))  (v1 (, ))



J

2
~


2
2
u (, , )  
3
3
u1 (, )  v1 (, )
u a2 (, )  v a2 (, )

C  P
P  C ma
2
4 C m  2C ma
(2 m
4
)
1
3
t  ( P  1)
t  ( P  1)
3 P 1

при  
t
P
и P  2Cm  1 , P  2Cma  1 , P 
Пусть P*  5C m a  1 , * 
t
P*
, тогда
4
(C m  2C m a )  1 .
3
2
 arcctg
3 
'
v~(*, , ) 

 1.
u~(*, , )  
Таким образом первая часть условия 4 выполнена при   * 
надлежащем выборе




t
P*
. Покажем, что при
 выполняется и вторая часть условия 4. Пусть как и раньше при   с  
1
()  (0,1)   h(t , ) dt ,
0
h(t , ) 
2

2


 1 (t , )  1  2    2     1 (t , )  1  ( 2 )    ( 2 )   
  a 2    a 2   
  a 2    a 2   
4
4
4       
4       







2


1 2
 1   4mt m 1    m 4mt m 1   



(b  4t m  ) 1 / 2  t m  2

t
m
2
m
 
 
4
 4  (b  4t  )   (b  4t  )  


4mt 2 m 1 (4mt m 1 ) 4m(2m  1)t 2 m  2 
4m 2 t 3 m  2  2
1 2
(b  4t m  ) 1 / 2 ( 2


)
4
(b  4t m  ) 2
(b 2  4t m  ) 2
(b 2  4t m  )
m 2 t 3m  2  2  mt 2 m 1 (4mt m 1 ) m(2m  1)t 2 m  2 
m(2m  1)t 2 m  2 
5m 2 t 3m  2  2
.



(b 2  4t m  ) 5 / 2
(b 2  4t m  ) 3 / 2 (b 2  4t m  ) 5 / 2 (b 2  4t m  ) 3 / 2
1
Проверим, что () 
 h(t , ) dt  0 . В соответствии с видом пути интегрирова
0
ния рассмотрим три составляющие интеграла
1 () 
 ( )  1 ( )   2 ( )  3 ( ) , где

t

t 
0

t 
 h(t , ) dt ,  2 () 
 h(t , ) dt ,  3 () 
1
 h(t , ) dt .

t
Непосредственные преобразования показывают, что для m  1 и   1 ,  
 1 
 1 ()  O  
  

( m 1) / m

 при


   ;
 1 
 2 ()  O  
  

  1  1) / 2 
  1  ( m 1) / m 


 при    ;
 3 ()  O  
 O  
   
  





Например, для m  2 оценка
( m 1) / m

 при


m m

2 3
   и m  1 ; для m  2
для m  2  3 () 
O(ln )
при    .
1 / 2
3 ( ) получается следующим образом:
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________
1
 5m 2 t 3m2  2
m(2m  1)t 2 m2  

h
(
t
,

)
dt



  (4t m    b 2 ) 5 / 2 (4t m    b 2 ) 3 / 2 dt 
t
t
1
0   3 () 
 5m  
t 2 m1

6
(4t m    b 2 ) 3 / 2
t 1


t t
5m(2m  1)  
t 2 m2
m(2m  1)t 2 m2 
dt

 (4t m    b 2 ) 3 / 2
 (4t m    b 2 ) 3 / 2 dt 
6
t
t
1
1



2 m 1

  b 2 1 / m 

   1  1  

  4     

5m   
1




3/ 2
m
6 
(4    b 2 ) 3 / 2
1/ m

2


   b  
1 
2 
  4   1       b 
4




    


где J 2 



( m 1) / m



  J , при    ,
  J  O  1 
2
2


  








11m(2m  1)   1
t 2m2
dt .

m
6
(4t    b 2 ) 3 / 2
t

Интегрируя по частям, получим
11(2m  1) 
t m 1
J2 
 12  (4t m    b 2 ) 1 / 2

t 1

(m  1)t m  2

dt
 (4t m    b 2 )1 / 2  
t 

1


t  t 
 2 ( m 1) / m
m 1
b 
1



1



 
11(2m  1)   4 
 
1


1
/
2

m
12
(4  b 2 ) 1 / 2
 b  1  1   1

  






( m 1) / m



  J  O  1 
 J
1



  
 1





и после замены переменной интегрирования будем иметь
b12 
 1 ь 
1
b2
m
2
2 1.ь
, t  b1  , t  (  b1 ) , dt 
(  b12 ) (1ь).ь d,    b12  1    1  0 ,
4
m
  

0  J1 
11(2m  1)(m  1) 1
11(2m  1)(m  1) 1
t m2
t m2
dt

 (4t m    b 2 )1 / 2
 (t m  b12 )1 / 2 dt 
1/ 2
12
12
(
4

)
t 
t 
11(2m  1)(m  1)

12m(4) 1 / 2
1 b12


11(2m  1)(m  1)
d

1/ 2
2 1/ m
 (  b1 )
12m(4) 1 / 2
Таким образом, при
 1 
тельно, 0  ()  O  
  

выполняется для
( m 1) / m
a (t )  t m
1 b12


d
1 / 2 1 / m
  1 1 / 2 
 при    .
   


 O  
1/ 2
   ( m 1) / m 


  O  1   при m  2 и, оконча


   

 



1
   0   3 ()  O  

 при m  2 ,


при m  2 и  
() 
t

O(ln )
при
1 / 2
, где  
   и вторая часть условия 4
2m
(в оценке
3
 2 ( ) ).
Вернемся к уравнению (56) для определения собственных значений при
a(t )  t m . Имеем
57
58
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
4t m (c   k )  b 2
1

tm
t k
c  k   k
Обозначим
dt 

 2k  o(1), k   .
2
4t m  k  b 2
1

и рассмотрим поведение интеграла
tm
tk
(56)
  .
dt при k 
k 
При m  2 справедливы равенства
1

tk
4t m  k  b 2
t
 (4 k )
m
1 / m
dt
4 k b 2
1
m

0
1
 m

2
1 / m
(1  ) 1 / m , dt  (4 k ) 1 / m (b 2  ) 1 / m 1 d  
 4t  k  b  , t  (4 k )
m



1
(b 2  ) 1 / m 1 d  (4 k ) 11 / m
1 / m
2
1/ m m
m
((4 k )
(b  ) )
4 k b 2

0

d 
(b  ) 21 / m
2



1 


11 / m
d


d   C m   k
(1  Cˆ m ( k )), Cˆ m ( k )  o(1)


2
2

1
/
m
2
2

1
/
m


m 0 (b  )


)
2 (b
4 k b




1

1

B(3 / 2, (m  2) /( 2m))
при k   ,
,
Сm   2
d 
d 
2 1 / m
1 2 / m 
2 1 / m
1 2 / m
m 0 (b  )
mb
mb
0 (1  )
 (4 k ) 11 / m
а при m  2 –
1

4t m  k  b 2
t
t k
m
dt  (4 k )
1/ 2


0

d  1k/ 2
2
3/ 2
(b  )
4 k  b 2

0

d

1/ 2
2
(b  ) (b  )
2
4 k  b
 4k b d

b 2 d
1/ 2


0 (b 2  ) 3 / 2 (   b 2   )   k (ln k  O(1)) .
 0 b 2  


2
1/ 2
k
4 k  b 2
1
2
2
Таким образом, если числовая последовательность {k }, k   такова, что удовлетворяет
уравнению (56) при
a (t )  t
1
m
и

4t m  k  b 2
t
tk
m
dt  2k 

 o(1) при k   , то для неѐ вы2
полняются следующие асимптотические соотношения:
1) при m  2 Cm  k
( m 1) / m
Cm  k
2) при m  2

(1  Cˆ m (k ))  2k   o(1) ,
2
( m 1) / m


  2k  (1  o(1)),
2

1k/ 2 ln k  O(1)  2k 
Для собственных значений
1) при m  2
 2

 k  
k
2C m
 Cm
2) при m  2
k
1/ 2



k

Сm 
( m 1) / m
1

d, Cˆ m ( k )  o(1) ,
2

m 0 (b  ) 21 / m
 2

 
k
C
2
C
m
 m

(1  o(1)) ;


 o(1) .
2
k  с  k   при k   имеют место соотношения:
m /(m 1)
 2 

(1  o(1))  
 Cm 
m /(m 1)
k m /(m1) (1  o(1)) k   ;
 ln  k  2k  O(1), k   .
Полученные оценки и завершают доказательство теоремы 4.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________
Замечание 6. 1) Результаты работы позволяют получать аналогичные асимптотические
формулы роста собственных значений и для вырождений функции a(t ) другого вида. 2) Такие же
асимптотические формулы получаются для собственных значений задачи (38), (40) при b  0 .
Работа подготовлена в рамках выполнения проекта №9.101.2014/К государственного задания Орловскому государственному университету имени И.С. Тургенева.
Список литературы
1. Архипов В.П., Глушак А.В. 2016. Вырождающиеся дифференциальные уравнения второго
порядка. Асимптотические представления решений. Научные ведомости Белгородского государственного
университета. Математика. Физика, №20 (241). Выпуск 44: 5–22.
Arhipov V.P., Glushak A.V. 2016. Degenerating Second-Order Differential Equations. Asymptotic Representations of Solutions. Belgorod State University Scientific Bulletin Mathem.&Physics, №20 (241), Выпуск 44:
5–22.
2. Глушко В.П. Вырождающиеся линейные дифференциальные уравнения. II, III. Дифференц.
Уравнения. 1968. (Т.4. №11). 1969. (Т.5. №3).
Glushko V.P. Degenerating Linear Differential Equations. II,III. Differential Equations. 1968. V. 4. №
11. Pp. 1956–1966; 1968. V. 5. № 3. Pp. 443–455.
3. Розов Н.Х., Сушко В.Г., Чудова Д.И. 1998. Дифференциальные уравнения с вырождающимся
коэффициентом при старшей производной. Фундаментальная и прикладная математика, Т. 4, № 3: 1063–
1095.
Rosov N.Kh., Sushko V.G., Chudova D.I. 1998. Differential Equations with a Degenerate Coefficient
Multiplying the Highest Derivative. Fundam. Prikl. Matem., V.4, № 3: 1063–1095.
4. Архипов В.П. 2011. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с вырождающимся коэффициентом при старшей производной. Дифференц. Уравнения, Т. 47, № 10: 1383–1393.
Arkhipov V.P. 2011. Linear Second-Order Differential Equations with Degenerating Coefficient of the
Second Derivative. Differential Equations, V. 47, № 10: 1383–1393.
5. Архипов В.П., Соболев А.В. 1984. Осцилляционные свойства вырождающихся дифференциальных операторов второго порядка. ДАН СССР, Т. 275, №4: 777–779.
Arkhipov V.P., Sobolev A.V. 1984. Oscillation Properties of Degenerate Second-Order Differential Operators. Dokl. Akad. Nauk SSSR, V. 257, №4: 777–779.
59
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
2 551 Кб
Теги
асимптотическое, уравнения, спектр, дифференциальной, вырождающиеся, представление, порядке, второго
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа