close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Конструирование кредитов с заданными платежами обслуживания.

код для вставкиСкачать
Банковское дело
33 (513) – 2012
Банковское дело
УДК 336.77.067
КОНСТРУИРОВАНИЕ КРЕДИТОВ С ЗАДАННЫМИ
ПЛАТЕЖАМИ ОБСЛУЖИВАНИЯ
А. В. ЖЕВНЯК,
кандидат физико-математических наук,
директор — научный руководитель
Института регионального
экономического развития, г. Рязань
E-mail: alzhevnyak@yandex. ru
В статье предлагается метод конструирования
кредитов с заданным темпом линейного изменения
во времени платежей обслуживания, разработанный
с помощью модификации аннуитетного кредита, где
платежи обслуживания постоянны. Установлены
границы допустимых значений темпа роста/убывания платежей обслуживания во времени.
Ключевые слова: кредит, аннуитет, реинвестирование, дисконтирование.
Задача конструирования кредитов
Каждый кредит, предоставленный заемщику,
генерирует для кредитора поток платежей обслужи‑
вания, содержащий выплаты по основному долгу и
процентам. На практике наиболее часто применя‑
ются четыре вида кредита, отличающиеся по схеме
обслуживания:
— кредит с равномерным погашением основно‑
го долга и начислением процентов на остаток ссудной
задолженности, который называют также кредитом с
амортизацией долга, кредитом с дифференцирован‑
ными платежами или классическим (для краткости
будем именовать его ординарным кредитом);
— кредит с регулярной уплатой процентов,
начисляемых на сумму основного долга, и едино‑
временным погашением основного долга в конце
срока (по аналогии с купонной облигацией такой
кредит будет называться купонным);
48
— кредит с единовременной уплатой основно‑
го долга и начисленных процентов в конце срока
(шаровый кредит);
— кредит с одинаковыми по величине пла‑
тежами обслуживания в виде постоянной ренты
(аннуитетный кредит).
На рис. 1 представлены графики, отражающие
динамику изменения во времени текущих и нара‑
щенных платежей при ежемесячном обслуживании
таких полуторагодичных кредитов при единичной
сумме займа и номинальной процентной ставке в
12 % годовых. Можно наблюдать, что в купонном
кредите текущие платежи до момента завершения
займа состоят только из процентных выплат, а в
последнем платеже к ним добавляется и платеж
в уплату основного долга, равный сумме займа. В
ординарном и аннуитетном кредитах регулярные
платежи обслуживания достаточно значительны
по сравнению, например, с купонным, что снижа‑
ет кредитный риск (риск потери актива) при не‑
предвиденном ухудшении финансового состояния
заемщика, когда возможно наступление дефолта.
В шаровом кредите единственный платеж произво‑
дится в конце срока займа и равен сумме основного
долга и накопленных процентных выплат. Текущие
платежи в ординарном кредите несколько уменьша‑
ются со временем, но мало отличаются от платежей
обслуживания аннуитетного кредита, где они пос‑
Финансы и кредит
Банковское дело
33 (513) – 2012
жей обслуживания, которые
могут достаточно произволь‑
но назначаться. Однако при
этом далеко не очевидны
ограничения на величину
платежей обслуживания в
каждый момент времени, ко‑
торые необходимо соблюсти
для того, чтобы планируе‑
мый кредит удовлетворял
требованиям возвратности
заемных средств и платности
за пользование ими. Причем
величина платы за кредит
должна устанавливаться на
основе процентной ставки
...................................ɚ
ɛ
и в качестве процентных
Рис. 1. Динамика текущих (а) и наращенных (б) платежей обслуживания ординарного,
выплат в соответствии с
купонного, шарового и аннуитетного кредитов (по горизонтальной оси — число .
некоторым принципом рас‑
расчетных периодов с момента начала кредитования и до его завершения):
пределяться во времени по
1 — ординарный кредит; 2 — купонный кредит; 3 — шаровый кредит; .
всем расчетным периодам.
4 — аннуитетный кредит
Более того, можно допус‑
тоянны. Мало отличаются и наращенные платежи тить, что подобранных «на удачу» вариантов
в этих двух кредитах. При изменении процентной графика обслуживания займа окажется несколько
ставки и срока кредита общая картина сохранится, и даже несчетное количество. Тогда возникает
и можно констатировать, что между кредитами с проблема выбора лучшего из них по тем или иным
регулярными платежами (ординарный, купонный критериям, которые должны быть наперед четко
и аннуитетный) и шаровым нет ни одного с нарас‑ сформулированы.
тающими по величине выплатами.
В исследовании будем рассматривать ситуацию,
Возникает вопрос: в какой мере при разработ‑ когда задается желаемый график общих платежей
ке графика обслуживания займа кредитор может обслуживания, включающий выплаты основного
варьировать величиной текущих платежей, уве‑ долга и процентов.
личивая их, например, в начале и снижая к концу
Математическая модель кредита
кредитного периода, причем более выраженно, чем
в ординарном кредите? И, наоборот, возможны ли
Пусть S — номинальная сумма займа, {Rj, j = 1,
кредитные схемы, где текущие платежи обслужи‑ 2…n} — денежный поток обслуживания кредита,
вания нарастают к концу срока займа, что может поступающий кредитору от заемщика, R — член
j
применяться при кредитовании надежных корпора‑ потока, выплачиваемый в конце j-го расчетного
пе‑
тивных заемщиков, которые привлекают внешние риода (постнумерандо), n — срок кредита, исчисля‑
ресурсы для инвестирования и желают иметь более емый числом расчетных периодов (например, дней,
интенсивные платежи обслуживания ближе к концу
n
срока займа, а значит, и ближе к моменту получения недель, месяцев, кварталов, лет), Rn =
R j . При
j =1
инвестиционных доходов? Именно в таком разрезе
будем рассматривать в данном исследовании задачу кредите каждый член потока Rj (S, δm , n) является
конструирования кредитов. Понятно, что купонный определенной функцией суммы займа S, процент‑
и шаровый кредиты могут рассматриваться как пре‑ ной ставки расчетного периода δm, срока кредита
дельные случаи, которые по каким-либо причинам n и обусловлен выбранной схемой обслуживания
займа. Примем, что δm = δ/m , где δ — номинальная
представляются неприемлемыми для кредитора.
На первый взгляд может показаться, что эта (годовая) процентная ставка кредита, m — число
задача решается элементарным подбором плате‑ платежей обслуживания в году.
∑
Финансы и кредит
49
Банковское дело
33 (513) – 2012
Пусть Sj — ссудная задолженность заемщика в
конце j-го расчетного периода. Динамика ее измене‑
ния описывается разностным уравнением:
Sj = Sj–1 (1+ δm) – Rj , j = 1,2...n.
В момент выдачи кредита S0 = S , а в момент
его завершения ссудная задолженность должна
быть полностью погашена ( S n = 0 ). Будем иметь в
виду также условия неотрицательности платежей
обслуживания и текущей ссудной задолженности,
откуда следует ограничение 0 ≤ Rj ≤ Sj–1 (1+ δm) на
платежи обслуживания.
Если проследить ход изменения ссудной задол‑
женности Sj заемщика, то можно получить важное
соотношение между суммой займа и основными
параметрами кредита:
мы обслуживания кредита, причем во всех случаях
должно выполняться условие возвратности займа
n
∑ G (S ,δ
j =1
j
m
, n) = S .
Будем различать кредиты, в которых начислен‑
ные проценты регулярно уплачиваются заемщиком
(без отсрочки) — кредиты 1-го рода, и кредиты с
отсрочкой выплаты начисленных процентов — кре‑
диты 2-го рода. Кредиты 1-го рода широко рас‑
пространены на практике. Простейшим примером
кредита 2-го рода является шаровый кредит, где вся
накопленная ссудная задолженность погашается
единственным шаровым платежом (balloon payment)
в конце срока займа.
Процентные платежи в кредитах 1-го рода
начисляются
на остаток ссудной задолженности
S1 S( 1 δ)
m R1 ,
,
а
текущая ссудная задолженность
P
=
S
δ
2
j
j −1 m
S 2 S1 (1 δ)
S (1 δ)
R1 (1 δ)
m R2
m
m R2 ,...
запишется в виде: S j = S j −1 (1 + δm ) − S j −1δm − G j = .S j −1 − G j
j
j ν(1 + δ ) − S
j
S
=
S
δ
−
G
= S j −1 − G j , фактически она является остатком
j
j
−
1
m
j
−
1
m
j
S j S (1 δ)
¦ Rν(1 δ)
...Sn
m
m
υ1
основного долга D j . Поскольку в таких кредитах
n
D j = S j , то справедливо разностное уравнение
n
n ν
S (1 δ)
¦ Rν(1 δ)
.
m
m
υ1
D j = D j −1 − G j , (2)
из которого последовательными подстановками
Полагая здесь S n = 0 , получим
n
R j (S ,δm , n)
j 1
j
(1 δ)
m
¦
j
S. (1)
Установленное свойство кредита будем назы‑
вать основным. Оно хорошо известно как условие
баланса [4] или замыкания контура [5] финансовой
операции.
Обычно в потоке платежей обслуживания кре‑
дита, поступающих со стороны заемщика в адрес
кредитора, выделяются две составляющие, направ‑
ляемые, соответственно, на погашение основного
долга {G j ( S , δm , n), j = 1, 2...n} и уплату процентов
{Pj (S , δm , n), j = 1, 2...n}. Эти потоки взаимосвязаны,
поскольку уменьшение текущей ссудной задолжен‑
ности за счет частичного погашения основного
долга снижает и сумму начисляемых в следующем
периоде процентов. Расщепление общего платежа
обслуживания на выплаты по основному долгу и
процентам необходимо, во-первых, для определе‑
ния доходности кредитора и затратности заемщика,
отталкиваясь от величины переплаты (дисконтиро‑
ванной суммы процентных платежей), и, во-вторых,
для отнесения процентных платежей на доходы
кредитора и затраты заемщика при исчислении на‑
логооблагаемой прибыли. Конкретный вид функций
G j ( S , δm , n) и Pj ( S , δm , n) зависит от принятой схе‑
50
находится решение D j = S − ∑ G j (необходимо
учитывать, что Dn = 0 , S =
n i =1
∑G
i =1
j
(условие обес‑
печивает возвратность заемных средств). При
этом основное свойство кредита (1) сохраняется,
j −1


а Pj = D j −1δ m =  S − G j  . При изучении кредита
i =1


вполне естественно считать, что все G j ≥ 0 (но
∑
напомним, S =
n
∑
j =1
n
∑P
G j > 0 ), Pj ≥ 0 (но
j =1
> 0 ),
j
что выражает условие платности за пользование
заемными средствами), и R j ≥ 0 , хотя
n
∑R
j =1
j
> S ..
Все описанные ограничения будут выполнены, если
потребовать
G j ≥ 0 ,....S −
j −1
∑
i =1
n
∑ G = S , (3)
G j ≥ 0 ,.... j = 1,2...n;...
i =1
i
поскольку тогда
n
n j −1


Pj =  nS − ∑∑ Gi  δm =
∑
j =1
j =1 i =1


= [S + S − G1 + S − G1 − G2 + S − G1 −
n −1

−G2 − G3 + ... + S − ∑ Gi  δm > 0,
i =1

Финансы и кредит
Банковское дело
33 (513) – 2012
В шаровом кредите как про стей‑
шем из класса кредитов 2-го рода D j = S , но
S j = S (1 + δm ) j , j = 1, 2...n − 1 , и только в конце
займа Dn = S n = S (1 + δm ) n − Rn = 0 . Поэтому здесь
расщепление общего платежа производится элемен‑
тарно по принципу {G j = 0, j = 1, 2...n − 1; Gn = S },.
Pj = 0, j = 1, 2...n − 1; Pn = S (1 + δm ) n − 1 . Более
{
}
сложные примеры кредитов 2-го рода можно полу‑
чить, допуская отсрочку выплаты процентов не на
весь срок займа, а на более короткий период.
Понимая задачу конструирования кредита
как выбор текущих платежей обслуживания Rj
надо иметь в виду, что в кредитах 1-го рода, кроме
собственно выбора этих платежей при заданных
значениях суммы займа, процентной ставки и срока
кредита, необходимо выполнить расщепление об‑
щих платежей на выплаты основного долга и про‑
центов при соблюдении условий (3). В некоторых
случаях заданными могут быть только сумма и срок
займа, а величина платежей и процентная ставка
должны определяться при выполнении условий
(3) и дополнительно установленных ограничений
на величину Rj и δm. Также может рассматриваться
и задача идентификации процентной ставки, когда
только ее требуется определить из уравнения (1) при
заданных величинах R j ( S , δm , n), S , n .
Важным показателем в кредите являются
n
n
j =1
j =1
суммарные величины R n = ∑ R j , Pn = ∑ Pj ,.
Gn =
n
∑
j =1
G j . При этом  n = S , а для кредитов
первого рода, где Pj = D j −1д
δm справедливо, что
Pn = δ m
n
∑D
j =1
j −1
= δ m Dn . Таким образом, вводится
в рассмотрение еще один важный суммарный
показатель — сумма остатков основного долга
Dn =
n
∑
j =1
D j −1 =
n −1
∑D .
j −0
j
До настоящего момента мы рассматривали
сильно упрощенную модель кредита, в которой
не учитывалось постоянное реинвестирование
кредитором поступающих от заемщика текущих
платежей обслуживания. Такая ситуация соответс‑
твует режиму простого накопления кредитором пла‑
тежей обслуживания кредита. В действительности
поступающие платежи обслуживания постоянно
реинвестируются кредитором по ставке ε расчет‑
ного периода, которую будем считать постоянной,
Финансы и кредит
в новые кредиты или иным образом, принося до‑
полнительный доход на вложенный капитал. Тогда
к концу срока первичного кредита наращенный
ссудный капитал кредитора составит
n
 n ε = ∑ R j (1 + ε) n − j =
j =1
n

= (1 + ε) n ∑ R j (1 + ε) − j = (1 + ε) n  n ε ,
j =1
n

−j
где  n ε = ∑ R j (1 + ε) — современная (дисконти‑
j =1
рованная) стоимость потока платежей обслуживания
кредита (ссудного капитала). Аналогично определим
дисконтированные и наращенные суммы выплат ос‑
n


−j
n
новного долга  n ε = ∑ G j (1 + ε) ,  n ε =  n ε (1 + ε)
j =1
n


−j
n
и процентов n ε = ∑ Pj (1 + ε) , n ε = n ε (1 + ε) ..
j =1
Очевидно, что для дисконтированных
и нара‑



щенных сумм справедливо  n ε =  n ε + n ε и
 n ε =  n ε + n ε .
Дисконтированную сумму остатков основного
долга определим несколько иначе, чем для выплат
по основному долгу и процентам. А именно в виде
n

D j −1
n ε = ∑
( j − 1)
j , дисконтируя остаток долга
j =1 (1 + ε)
расчетного периода в конце j-го расчетного периода.

Pj
1 n
Тогда для кредитов 1-го рода  n ε =
,
∑
δm j =1 (1 + ε) j
и для дисконтированных сумм будет установлена
связь:


(4)
n ε = δm n ε . В работе [1] уже была доказана теорема для
дисконтированных сумм, которая имеет важное
практическое значение при конструировании кре‑
дитов.
Теорема 1. Для всяких кредитов и любых значе‑
ний ставки дисконта сумма современной стоимости
потока платежей, направляемых в уплату основного
долга, и современной стоимости потока остатков
основного долга, умноженного на ставку дисконта,
равна номинальной сумме займа, т. е.


S =  n ε + ε n ε . (5)
Основное свойство кредита (1) является его
важнейшей характеристикой. Если поток обслу‑
живания обладает свойством (1), то такой поток
и соответствующий ему кредит будем называть
невозмущенными, а в противном случае — возму-
51
Банковское дело
щенными. Приведенная ранее теорема 1 справед‑
лива именно для потоков платежей обслуживания
невозмущенного кредита.
Собственно говоря, только невозмущенные
финансовые потоки и можно признать в качестве
потоков обслуживания кредита, определяя тем
самым кредит как финансовую операцию, генери‑
рующую поток обслуживания {R j , j = 1, 2...n}, удов‑
летворяющий выражению (1) при заданной тройке
параметров S , δm и n . Для возмущенного потока
n
n R ( S , δ , n)
j
m
=S
при  n = ∑ R j > S из уравнения ∑
(1 + r ) j
j =1
j =1
может быть найдено значение ставки дисконта
r ≠ δm , которую можно назвать внутренней нормой
доходности кредита в одном расчетном периоде
(IRRC). Далее по значению r = IRRC находится
внутренняя норма доходности (IRR) в годовом
m
исчислении IRR = (1 + IRRC ) − 1 . Отметим,
что внутренняя норма доходности находится при
заданной процентной ставке, и эта задача при
n
R (S , δ
∑
j=
1
j
m
, n) > S всегда имеет решение.
Для возмущенного кредита доходность креди‑
тора и затратность заемщика зависят не только от
величины R j (т. е. от параметров S , δm , n ), но и от
величины доступной конкретному кредитору и кон‑
кретному заемщику ставки реинвестирования e, т. е.
r (ε) [2]. Но в том случае, когда кредитор и заемщик
имеют потенциальную возможность реинвестиро‑
вания именно по ставке r = ε = IRRC , доходность/
затратность кредита будет равна r ( IRRC ) = IRRC.
При ε < IRRC доходность/затратность кредита бу‑
дут меньшими, чем IRRC , а в годовом исчислении
меньшими, чем IRR . Доходность/затратность не‑
возмущенного кредита в одном расчетном периоде
при любых значениях ставки реинвестирования
(дисконта) всегда равны процентной ставке δm , по
которой далее вычисляются номинальная годовая
ставка δ = mδm и эффективная процентная ставка
(ЭПС) δe f = (1 + δm ) m − 1 > δ .
Распространенным способом возмущения
кредита является взимание кредитором дополни‑
тельно к платежам обслуживания, удовлетворя‑

ющим основному свойству (т. е. при  n δm = S ),.
комиссионных сборов в размере αS , пропор‑
циональном сумме займа (взимается единовре‑
менно в начале первого расчетного периода, т. е.
в момент выдачи кредита), и/или βS (взимается
регулярно в конце каждого расчетного периода).
52
33 (513) – 2012
Тогда появляется платеж в нулевой момент време‑
ни R0 = αS , а регулярные платежи изменяются до
имеет
R*j = βS + R j , j = 1, 2...n . При этом заведомо

место условие: αS + βS ϕ0 (δm , n) +  n δm > S , где
n
(1 + δm ) n − 1
ϕ0 (δm , n) = ∑ 1 j =
— дисконтδm (1 + δm ) n
j =1 (1 + δ m )
функция нулевой степени (коэффициент приведе‑
ния постоянной ренты) (для упрощения примем
β = const ).
Здесь и далее в исследовании будут сущест‑
венно использоваться степенные дисконт-функ‑
n
jk
ции ϕk (ε, n) = ∑
степени k и порядка n,
j
j =1 (1 + ε)
которые уже были введены в научный оборот [3, с.
11—107] (в работе были установлены конечные и
рекуррентные формулы для их вычисления). Ука‑
занные параметры являются обобщением резуль‑
татов Я. Бернулли (Jacob Bernoulli) в классической
задаче о вычислении суммы одинаковых степеней
последовательных натуральных чисел с натураль‑
ными же показателями и обладают рядом важных
свойств, позволяющих существенно упростить
аналитическое исследование финансовых операций.
Новизна предлагаемого подхода состоит в том, что
автор рассматривает дисконт-функции (Д-функ‑
ции) не только и не столько как коэффициенты для
вычисления приведенных сумм, сколько в качестве
функций, обладающих определенными свойствами,
которые решающим образом влияют на основные
показатели финансовых операций. Это позволяет
по-новому формулировать и в самом общем виде
решать многие задачи финансового анализа, в час‑
тности по сравнениию эффективности операций
(например, сравнение эффективности различных
видов кредитов).
Аннуитетный кредит
Широко известным примером кредита с зара‑
нее заданными платежами обслуживания является
аннуитетный кредит, где все платежи обслуживания
одинаковы по величине, а поток обслуживания мо‑
жет считаться постоянной рентой.
В этом случае изначально ставится условие,
чтобы величина платежа обслуживания была посто‑
янной в каждом расчетном периоде: R j = R = const ..
Тогда требуется найти, во-первых, величину плате‑
жа R и, во-вторых, текущие платежи по основному
долгу G j и процентам Pj , полагая, что отсрочки
выплаты процентов нет, и процентные платежи
Финансы и кредит
Банковское дело
33 (513) – 2012
начисляются на остаток основного долга, имевший
место в предыдущем расчетном периоде. Следо‑
вательно, в аннуитетном кредите принимается
условие: Pj = D j −1δm , что позволяет отнести его к
кредитам 1-го рода.
Первая задача решается просто с использовани‑
ем основного свойства кредита (1), откуда следует
n
S
R ∑ (1 + δm ) − j = S и R j = R =
. Вторая из
ϕ 0 (δ m , n )
j =1
названных задач состоит в расщеплении платежа R
на платежи по основному долгу и процентам. Тогда
j
надо использовать решение D j = S − ∑ Gi разно‑
i =1
стного уравнения (2), полученного ранее при началь‑
ном условии D0 = S , и затем найти G j = R − δm D j −1 =
j −1
j −1


= R − δm  S − ∑ Gν  = G1 + δm ∑ Gν , откуда с учетом
ν =1
ν =1


G1 = R − S δ m последовательно получим
G2 = G1 (1 + δm ), G3 = G1 + δm (G1 + G2 ) =
= G1 + δm G1 + (1 + δm )G1  =
= G1 (1 + δm ) 2 ...G j = ( R − S δm )(1 + δm ) j −1 .
Поэтому Pj = R − G j = R − ( R − S δ m )(1 + δm ) j −1 .
Нетрудно проверить, что G j > 0 , что равносильно


1
− δm  > 0 , которое
условию R − S δm = S 
 ϕ0 (δm , n)

выполняется, поскольку в работе [3] доказано, что
ϕ0 (δm , n) < δ−m1 . Все процентные платежи здесь
также положительны, так как
R − ( R − S δm )(1 + δm ) j −1 > 0 ⇔
1 − (1 + δm ) j −1
⇔
+ δm (1 + δm ) j −1 > 0 ⇔
ϕ0 (δm , n)
⇔ ϕ0 (δm , n) > ϕ0 (δm , j − 1) ,
а последнее условие верно, потому что функция
ϕ0 (δm , n) строго монотонно возрастает по n [3] и
j≤n.
Далее можно проверить условие  n = S , кото‑
рое, действительно, выполняется, так как
n
 n = ( R − S δm )∑ (1 + δm ) j −1 =
j =1
= ( R − S δm )
=S
(1 + δm ) n − 1
=
δm
1 − δm ϕ0 (δm , n) (1 + δm ) n − 1
⋅
=S,
ϕ0 (δm , n)
δm
а затем найти
Финансы и кредит
n = nR − S =
nS
− S = µ (δ m , n) ST δ ,
ϕ0 (δm , n)

1 
n
− 1 — безразмерный

nδm  ϕ0 (δm , n) 
множитель (технологический коэффициент креди‑
та), несущий в себе все отличительные признаки
данной кредитной схемы (алгоритма обслужива‑
ния). Затем по известному n находится и сумма
остатков основного долга в аннуитетном кредите
 n = n δm .
Найдем также дисконтированные суммы общих
платежей, выплат основного долга и процентов:
n

ϕ ( ε, n )
R
nε = ∑
=S 0
,
j
ϕ0 (δm , n)
j =1 (1 + ε)
где µ (δm , n) =

R − S δm
n ε =
1 + δm
=
=
R − S δm
1 + δm
n
(1 + δm ) j
=
j
1 (1 + ε)
∑=
j
1
n
∑= (1 + χ)
j 1
j
=
S ϕ0 (χ, n)
,
(1 + δm ) n +1 ϕ0 (δm , n)
R − S δm
ϕ0 (χ, n) = (6)
1 + δm



n ε =  n ε −  n ε =
=

ϕ0 (χ, n) 
S
ϕ0 (ε, n) −
=
ϕ0 (δm , n) 
(1 + δm ) n +1 
= µ (ε, δm , n)TS δ ,
(7)
µ ( ε, δ m , n ) =
=

ϕ0 (χ, n) 
1
ϕ0 (ε, n) −
,
nδm ϕ0 (δm , n) 
(1 + δm ) n +1 
n
(1 + χε)− δ− 1
m =
n
гϕд0 (χе, n) = χ =
,
χ(1 1++χδ)
m
ϕ0 (χ, n) = (1 + χ)
n
−1
=
χ(1 + χ) n
(1 + δm ) n − (1 + ε) n
) n − (1 + уже
ε) n с
=
(1 + δm ) >=0(1, +иδmтеперь
n
(1 + δm ) > 0
(δm − ε)(1 + ε)
(δm − ε)(1 + ε) n
учетом дисконтирования выделен технологический
коэффициент аннуитетного кредита µ (ε, δm , n) .
Сумма остатков основного долга записывается


по сумме процентов  n ε = n ε δm . В пределе при
ε → 0 все полученные формулы переходят в полу‑
ченные ранее без учета дисконтирования.
Используя теорему 1 можно найти другие


выражения для  n ε и n ε . Для этого к уравнению




ϕ ( ε, n )
 n ε + n ε =  n ε , где  n ε = S 0
надо доба‑
ϕ0 (δm , n)
53
Банковское дело
вить уравнение, справедливость которого установ‑

ε 
n ε = S (здесь учтено,
лена теоремой 1, т. е.  n ε +


δm
что n ε = δm n ε ).
Решая данную систему уравнений, найдем

δ ϕ (δ , n) − εϕ0 (ε, n)
n ε = S m 0 m
,
(δm − ε)ϕ0 (δ m , n)

ϕ (ε, n) − ϕ0 (δm , n)
(8)
n ε = S δm 0
.
(δm − ε)ϕ0 (δ m , n)
Это другая форма для дисконтированных сумм
платежей по основному долгу и процентам в анну‑
итетном кредите. Здесь при ε = δm возникает неоп‑
ределенность типа 0 0 . Раскрывая ее, найдем


n
n ε
= lim  n ε = S
,
n +1
ε=δm
ε→δm
(1 + δm ) ϕ0 (δm , n)


δm ϕ1 (δm , n)
,
n ε
= lim n ε = S
ε=δm
ε→δm
(1 + δm )ϕ0 (δm , n)
что совпадает с полученными ранее выражениями
(6), (7) при ε = δm . Такая же неопределенность
возникает и в ранее полученных формулах, где она
раскрывается с учетом ϕ0 (χ, n) χ = 0 = ϕ0 (0, n) = n .
Последовательными преобразованиями и в общем
случае при ε ≠ δm выражения (6) и (7) приводятся к
выражению (8), для чего потребуется использовать
развернутое выражение ϕ0 (χ, n) , данное после
формулы (7).
Нетрудно видеть, что при ε = δm справедливо

условие  n δm = S , т. е. основное свойство кредита
(1) выполняется.
Потребительский кредит
Вообще говоря, термином «потребительский
кредит» именуются все кредиты, выданные на
потребительские нужды заемщика. Здесь этот тер‑
мин используется в узком смысле для обозначения
кредита, в котором задается постоянный общий
S (1 + nγ m )
платеж обслуживания в виде R j = R =
..
n
Согласно легенде, связанной с этим кредитом,
ссудная задолженность, заранее вычисленная по
простой процентной ставке γ m , равномерно распре‑
деляется на все платежи обслуживания [4, c. 113].
Нетрудно видеть, что в этом кредите фактически
применяется идея аннуитетного кредита с заранее
заданным платежом обслуживания, а используемая
по легенде процентная ставка γ m не имеет никакого
54
33 (513) – 2012
отношения к реальной ставке начисления процен‑
тов. Действительно, согласно основному свойству
кредита должно выполняться условие:
n
S (1 + nγ m )
n
, (9)
S =∑
⇔ ϕ0 (δm , n) =
j
1 + nγ m
j =1 n(1 + δ m )
откуда находится реальная процентная ставка
этого кредита δm . Решение нелинейного урав‑
нения (9) всегда существует, поскольку функция
ϕ0 (δm , n) строго монотонно убывает с ростом δm и
ϕ0 (0, n) = n > n . Важно отметить, что δm > γ m ,.
1 + nγ m
n
ибо ϕ0 (δm , n) >
, и при монотонном убыва‑
1 + nδ m
нии функции ϕ0 (δm , n) по δm уравнение (9) может
выполняться только при δm > γ m . Фактически здесь
решается упомянутая ранее задача идентификации
процентной ставки потребительского кредита.
Для расщепления общего платежа R на платежи
по основному долгу и процентам надо восполь‑
зоваться формулами для аннуитетного кредита с
S (1 + nγ m )
S
и δm , удовлетворяющим
R=
=
ϕ0 (δm , n)
n
уравнению (9). В принципе, можно, наоборот,
считать заданной реальную ставку начисления
δm и принять R = S ϕ0 (δm , n) , т. е. произвести
обычный расчет аннуитетного кредита. Тогда
параметр γ m определится из уравнения (9) как

1
n
γm = 
− 1 . При таком подходе легенда
n  ϕ0 (δm , n) 
переформатируется и превратится в способ дока‑
зательства выгодности аннуитетного кредита для
заемщика, поскольку эквивалентная ставка простых
процентов γ m всегда будет меньшей, чем реальная
ставка начисления δm .
Графики зависимости реальной процентной
ставки потребительского кредита в номинальном
годовом исчислении δ = mδm от срока кредита n
и декларированной простой процентной ставки
γ = mγ m при ежемесячном обслуживании ( m = 12 ).
представлены на рис. 2. Отсюда следует, что в ко‑
ротких кредитах (продолжительностью около года,
n ≈ 12 ) реальная процентная ставка достигает значе‑
ний, почти в 2 раза превышающих декларированный
уровень простой процентной ставки, и только при
неограниченном сроке кредитования ( n → ∞ ) она
приближается к декларированной простой процен‑
тной ставке.
Финансы и кредит
Банковское дело
33 (513) – 2012
−1
платежа Rn = R [1 + ξ(n − 1)] ≥ 0 ⇔ R > 0, ξ ≥ −(n − 1) ,.
причем неотрицательность последнего платежа
влечет за собой положительность всех преды‑
дущих. Таким образом, примем ограничение
ξ ≥ −(n − 1) −1 = ξ0 , а условие R > 0 проверим позже.
Выделим из R j , заданного в виде выражения (10),
платеж в уплату процентов Pj = D j −1δm и основного
долга G j = R j − Pj , используя разностное уравнение
D j = D j −1 − G j . Получим:
R1 = R , P1 = δm S , G1 = R1 − δm S = R − δm S ,
D1 = S − G1 = S − R + δm S = S (1 + δm ) − R ;
R2 = R (1 + ξ), P2 = δm D1 ,
Рис. 2. Реальная процентная ставка потребительского .
кредита в зависимости от срока кредита n и декларированной
простой процентной ставки γ
Конструирование кредитов с линейно
возрастающими (убывающими)
платежами обслуживания
Как было показано ранее, в потребительском
кредите фактически используется аннуитетный кре‑
дит с некоторым видоизменением величины постоян‑
ного платежа обслуживания (ренты). Важно, однако,
усмотреть здесь попытку обобщения идеи аннуитет‑
ного кредита, состоящую в достаточно произвольном
задании платежа обслуживания. Далее автор разовьет
эту идею, задавая общий платеж обслуживания в
виде линейной функции времени. В таком случае
платежи обслуживания R j = G j + Pj , j = 1, 2...n будут
иметь вид R j = С1 j + C2 , C1 , C2 = const , т. е. будут
представлять собой поток с линейно нарастающими
(при C1 > 0 ), линейно убывающими (при C1 < 0 ) или
постоянными (при C1 = 0 ) членами. Фактически речь
идет о конструировании кредитов с заданными ли‑
нейно возрастающими или убывающими платежами
обслуживания за счет модификации аннуитетного
кредита.
Принимая C1 R −1 = ξ; C2 R −1 = 1 − ξ , R, ξ = const ,.
запишем
(10)
R j = R [1 + ξ( j − 1) ].
G2 = R2 − P2 = R (1 + ξ) − δm D1 ,
D2 = D1 − G2 = D1 − R (1 + ξ) +
+δm D1 = D1 (1 + δm ) − R (1 + ξ);
R3 = R (1 + 2ξ),
P3 = δm D2 = δm D1 (1 + δm ) − δm R (1 + ξ),
G3 = R3 − P3 = R (1 + 2ξ) −
−δm D1 (1 + δm ) + δm R(1 + ξ),
D3 = D2 − G3 = D1 (1 + δm ) −
− R (1 + ξ) − R (1 + 2ξ) + δm D1 (1 + δm ) −
−δm R (1 + ξ) = D1 (1 + δm ) 2 −
− R (1 + ξ)(1 + δm ) − R (1 + 2ξ);
…
D j = D1 (1 + δm ) j −1 −
j −1
− R ∑ (1 + νξ)(1 + δm ) j −1−ν . ν =1
(11)
Справедливость выражения (11) можно дока‑
зать по индукции, так как, принимая его, получим
j
D j +1 = D1 (1 + δm ) j − R ∑ (1 + νξ)(1 + δm ) j −ν =
ν =1
= D1 (1 + δm )
j −1
(1 + δm ) −
j −1
− R (1 + δm )∑ (1 + νξ)(1 + δm ) j −1−ν −
ν =1
− R (1 + jξ) = D j (1 + δm ) − R (1 + jξ)
При ξ ≥ 0 и R > 0 все платежи R j будут
положительными. При ξ < 0 величина этого или D j = D j −1 (1 + δm ) − R [1 + ξ( j − 1) ], что соответс‑
параметра ограничивается требованием положи‑ твует уравнению динамики основного долга при
тельности первых ( n − 1 ) платежей обслуживания выборе R j в виде выражения (10).
−1
Выполняя
с учетом тождеств
R j > 0 ⇔ R1 = R > 0,...Rn −1 = R [1 + ξ(n − 2) ] > 0 ⇔ ξ > −(n − 2)
−j
.
(1 + δm ) = 1 − δm ϕ0 (δm , j ) ,
ξ(n − 2) ] > 0 ⇔ ξ > −(n − 2) −1 и неотрицательности последнего
Финансы и кредит
55
ϕ0 (δm , n)
> (n − 1) −1 ⇔
ϕ1 (δm , n) − ϕ0 (δm , n)
33 (513) – 2012
δm ϕ0 (δm , n)
⇔
> (n − 1) −1 ⇔
(1 + nδm )ϕ0 (δ m , n) − n
Банковское дело
ϕ1 (δm , j ) =
[1 + ( j + 1)δm ]ϕ0 (δm , j ) − j
δm
ϕ0 (δm , j − 1) = ϕ0 (δm , j ) −
= (1 + δm )ϕ0 (δm , j ) − 1,
ϕ1 (δm , j − 1) = ϕ1 (δm , j ) −
,
(12)
1
=
(1 + δm ) j
δm > 0 , так как
j
=
(1 + δm ) j
= (1 + δm ) [ϕ1 (δm , j ) − ϕ0 (δm , j ) ]
(13)
суммирование
j −1
∑= (1 + νξ)(1 + δ
ν 1
m
) j −1−ν =
j −1
1 + νξ
=
ν
ν =1 (1 + δ m )
= (1 + δm ) j −1 ∑
= (1 + δm ) j −1 [ϕ0 (δm , j − 1) + ξϕ1 (δm , j − 1) ] ,
получим
j −1
∑= (1 + νξ)(1 + δ ) =
+(1δ+ )δ )ϕ=(δ
∑
= (1(1++δνξ) )(1{
=
m
n
,
1 + δm
а последнее неравенство всегда имеет место для
⇔ ϕ0 (δ m , n) <
j −1−ν
n
ϕ0 (δm , n) = ∑ (1 + δm )− j .
j =1
Теперь на основании выражений (10) и (14) мож‑
но записать развернутое выражение платежей обслу‑
1 + ξ( j − 1)
живания кредита R j = S
..
(1 − ξ)ϕ0 (δm , n) + ξϕ1 (δm , n)
Сразу отметим, что при ε = 0 из полученного вы‑
ражения для R j следует, что R j = R = S ϕ0 (δm , n) ,.
т. е. рассматриваемый кредит достаточно общего
вида превращается в аннуитетный.
Далее нетрудно выполнить расщепление R j
на платеж в погашение основного долга и в уплату
процентов, используя выражения Pj = δm D j −1 и
G j = R j − Pj , справедливые для кредитов 1-го рода.
Получим
Pj = δm D j −1 = S δm (1 + δm ) j −1 ×
 (1 − ξ)ϕ (δ , j − 1) + ξϕ1 (δm , j − 1) 
× 1(δ− , j ) = 0 m
 , (15)
,
j
)
−
1
+
ξ
(1
+
δ
)
ϕ
(
δ
,
j
)
−
ϕ
[
]
}
m
m
0
m
m
1
m
0
m
(1
−
ξ
)
ϕ
(
δ
,
n
)
+
ξ
ϕ
(
δ
,
n
)
0
m
1
m


ν 1
jj −1
−1
j −1
=
=
(1
+
δ
)
(1
−
ξ
)
ϕ
(
δ
,
j
)
+
ξ
ϕ
(
δ
,
j
)
−
(1
+
δ
)
.
+ δm )ϕ0 (δm , j ) − 1 += ξ(1(1++δδmmm) ) [{ϕ{1(1(δ+mδ, mj0) ϕ
− 0ϕ
δ , j ) ]1}+=ξm (1 + δm ) [ϕ1m(δm }
G0j (=δ mR, jj −
R=δm (1 + δm ) {(1 − ξ) [ϕ0 (δm , n) − ϕ0 (δm , j − 1) ]+ ξ
m(δ
, j) − ϕ
) ]}
0(
m , mj ) − 1
m
)
j −1−ν
=
νj −11
j −1
m
j −1−ν
−1
j
−1
ξ)(ϕ
δm(1, +j )δ−((1
δj )m−−)G
.= (Rδ −, R
− ξ+) δ[ϕ
ξϕ)}
j )δ+m (1
ξϕ+1δ(δmm) ,j −1j ){(1
− (1
0 (δ m , j ) + ξϕ1 (=
δ) m+{
, (1
jϕ
0 (δ}
m. , n ) − ϕ0 (δ m , j − 1) ] + ξ [ϕ1 (δ m , n ) − ϕ1 (δ m , j − 1) ]}.(16)
m)
0 δ m , j ) − 1 + ξ(1 + δ m ) [ϕ1m
0 (0δ mj,m j ) ]}=
δm , j ) + ξϕ1 (δm , j ) − (1 + δm ) −1}.
Поэтому с учетом D1 = S (1 + δm ) − R из выра‑
жения (11) следует
D j = (1 + δm ) j {S − R [(1 − ξ)ϕ0 (δm , j ) + ξϕ1 (δm , j ) ]}
При ξ = 0 из выражений (15) и (16) следуют
формулы платежей по основному долгу и про‑
центам для аннуитетного кредита, которые были
установлены ранее:
 ϕ (δ , j − 1) 
Pj = δm D j −1 = S δm (1 + δm ) j −1 1 − 0 m
=
ϕ0 (δm , n) 

= R − ( R − S δm )(1 + δm ) j −1 ,
и D0 = S , т. к. ϕ0 (δm ,0) = ϕ1 (δm ,0) = 0 . Теперь из
D j при j = n найдем Dn и, накладывая условие
Dn = 0 , запишем
G j = R − Rδm (1 + δm ) j −1 ×
S
.
(14)
R=
×[ϕ0 (δm , n) − ϕ0 (δm , j − 1) ] = ( R − S δm )(1 + δm ) j −1 .
(1 − ξ)ϕ0 (δm , n) + ξϕ1 (δm , n)
Требуя R > 0 , получим с уче‑
Пока на выбор параметра ε было наложено
т о м
у с л о в и е одно ограничение в виде условия ξ ≥ −(n − 1) −1 = ξ0 ,.
ϕ1 (δm , n) > ϕ0 (δm , n)
ϕ0 (δm , n)
обеспечивающего положительность первых ( n − 1 )
, которое заведомо выпол‑
ξ>−
платежей обслуживания R j , j = 1,2...n − 1 и неотри‑
ϕ1 (δm , n) − ϕ0 (δm , n)
няется, если выполнено условие ξ ≥ −(n − 1) −1 = ξ0 , цательность последнего Rn , если ε < 0. Но при этом
введенное ранее для положительности последнего выплаты по основному долгу и процентам также
должны быть неотрицательными. Требуя G j R ≥ 0 ,.
платежа обслуживания Rn , поскольку
получим условие:
ϕ0 (δm , n)
> (n − 1) −1 ⇔
1 + ξ( j − 1) − δm (1 + δm ) j −1 {(1 − ξ) [ϕ0 (δm , n) − ϕ0 (δm , j − 1) ]+
ϕ1 (δm , n) − ϕ0 (δm , n)
δm ϕ0 (1δ+m ,ξn( )j − 1) − δm (1 + δ−m1 ) j −1 {(1 − ξ) [ϕ0 (δm , n) − ϕ0 (δm , j − 1) ]+ ξ [ϕ1 (δm , n) − ϕ1 (δm , j − 1) ]}≥ 0 ,
⇔
> (n − 1) ⇔
(1 + nδm )ϕ0 (δ m , n) − n
n
⇔ ϕ0 (δ m , n) <
56
Финансы и кредит
1 + δm
Банковское дело
которое преобразуется с учетом выражения (13)
в неравенство: 1 − a (δm , n, j ) ξ ≥ 0 , где функция
 δ ϕ (δ , n − 1)

a (δm , n, j ) = (1 + δm ) n  m 1 m
− ϕ0 (δm , j − 1)  .
1 + δm


Поскольку функция ϕ0 (δm , j ) строго мо‑
н отонно растет по j, а ϕ1 (δm , n − 1) > 0 , то
max a (δm , n, j ) = a (δm , n,1) , когда ϕ0 (δm ,0) = 0 и
j
a (δm , n,1) = (1 + δm ) n −1 δm ϕ1 (δm , n − 1) =
(1 + δm ) n − 1 − nδm
> 0.
δm
Однако
min a (δm , n, j ) = a (δm , n, n) =
=
j
 δ ϕ (δ , n − 1)

= (1 + δm ) n  m 1 m
− ϕ0 (δm , n − 1)  =
1 + δm


 δ ϕ (δ , n − 1) − 1 
= (n − 1)(1 + δm ) n  m 0 m
=
1 + δm


= −(n − 1) < 0.
Следовательно, функция a (δm , n, j ) знакопере‑
менна по j. Условие 1 − a (δm , n, j ) ξ ≥ 0 , безуслов‑
но, выполняется, если a (δm , n, j ) ξ ≤ 0 , но когда
a (δm , n, j ) и ε имеют одинаковый знак, возникают
ограничения.
Если a (δm , n, j ) < 0, ξ < 0 , то надо требо‑
вать: 1 + a (δm , n, j ) ξ ≥ 0 для всех 1 ≤ j ≤ n , что
обеспечивается при 1 + max a (δm , n, j ) ξ ≥ 0 , где
j
max a (δm , n, j ) = − min a (δm , n, j ) = n − 1 , т. е. полу‑
j
j
−1
чается условие 1 + (n − 1) ξ ≥ 0 и ξ ≥ −(n − 1) = ξ0 ,.
которое было установлено ранее. Предполо‑
жим теперь, что a (δm , n, j ) > 0 и ξ > 0 . Тогда по‑
33 (513) – 2012
сокращение срока кредита на один расчетный пе‑
риод, а это противоречит условиям кредитного до‑
говора с заемщиком. Поэтому будем рассматривать
значение ξ0 только как предельное, поскольку на
практике ε может выбираться сколь угодно близким
к ξ0 . Более того, можно вместо выбора значения
ξ > ξ0 задавать величину последнего платежа Rn > 0
S [1 + ξ(n − 1) ]
и из уравнения Rn =
на‑
(1 − ξ)ϕ0 (δm , n) + ξϕ1 (δm , n)
ходить соответствующее значение ε. Однако при
этом надо контролировать условие ξ ≤ ξ* , например
вычислив при ξ = ξ* наибольший платеж обслужи‑
S [1 + ξ* (n − 1) ]
вания: Rn ξ=ξ =
и при
*
(1 − ξ* )ϕ0 (δm , n) + ξ*ϕ1 (δm , n)
задании последнего платежа выполнять условие
Rn = Rn ξ=ξ . Отметим также, что при ξ = ξ* имеет
*
−1
место выражение: (1 − ξ* )ϕ0 (δm , n) + ξ*ϕ1 (δm , n) = δm
(проверяется подстановкой выражения ξ* ) и
S
R1 ξ=ξ =
= S δm = P1 ξ=ξ ,.
*
*
(1 − ξ* )ϕ0 (δm , n) + ξ*ϕ1 (δm , n)
а G1 ξ=ξ = 0 . Это вполне допустимо, поскольку все
*
остальные платежи в уплату основного долга будут
положительными.
Так как текущий остаток основного долга
D j = D j −1 − G j при G j > 0 монотонно убывает от
D0 = S до нуля ( Dn = 0 ), оставаясь положитель‑
ной величиной, то и текущий процентный платеж
Pj = D j −1δm в кредитах 1-го рода (без отсрочки вы‑
платы процентов) всегда положителен.
Найдем далее сумму процентных плате‑
жей
n
n
n −1
j =1
n −1
j =1
j =0
n = ∑ Pj = δm ∑ D j −1 = δm ∑ D j ,
где
−1
n
δm
−1
,1) D
= j −1 = ∑ D
= ξ*остатков
>0
основного
лучим новое условие: ξ ≤  max a (δm , n, j )  = .a (δnm ,=n∑
j — сумма
n
 j

(1 + δj m= 0) − 1 − nδm
j =1
−1
δm
(δm , n, j )  = a −1 (δm , n,1) =
= ξ* > 0 . Т а к и м долга, которая вычисляется как
n

(1 + δm ) − 1 − nδm
n
j −1
образом, параметр ξ должен выбираться в преде‑  n = S ∑ (1 + δm ) −
j =1
лах ξ0 ≤ ξ ≤ ξ* , и в этот диапазон входит значение
n
ξ = 0.
− R ∑ (1 + δm ) j −1 [(1 − ξ)ϕ0 (δm , j − 1) + ξϕ1 (δm , j − 1) ] .
Область допустимых значений параметра ε,
j =1
ограниченная снизу кривой ξ = ξ0 и сверху лини‑
Здесь опять используем тождества (13). Поэ‑
ей ξ = ξ* , соответствующей заданному значению
тому
ставки начисления процентов δm , представлена на
n
 n = [S + (1 − ξ) R ]∑ (1 + δm ) j −1 −
рис. 3 с указанием граничных значений для n = 18
j =1
и n = 60 . При выборе значения параметра ε на
n
нижней границе его области допустимых значений.
− R ∑ (1 + δm ) j {(1 − 2ξ)ϕ0 (δm , j ) + ξϕ1 (δm , j )} =
( ξ = ξ0 ) получим Rn = 0 , что фактически означает
j =1
Финансы и кредит
57
Банковское дело
33 (513) – 2012
и, выполнив ряд преобразований, можно записать:
n = [S + (1 − ξ) R ](1 + δm ) n − 1 +
n
= [S + (1 − ξ) R ]∑ (1 + δm ) j −1 −
j =1
n
− R (1 − 2ξ)∑ (1 + δm ) j ϕ0 (δm , j ) −
j =1
−ξR ∑ (1 + δm ) j ϕ1 (δm , j ) .
j =1
С учетом выражения (12) после сумми‑
р о в а н и я г е ом е т р и ч е с ко й п р о г р е с с и и
n
(1 + δm ) n − 1
j
входящие сюда
(1
+
δ
)
=
(1
+
δ
)
∑
m
m
δm
j =1
суммы легко вычисляются:
n
j
m
j 1
0
m
, j) =
n


j
 − n + ∑ (1 + δm )  =
j =1


(1 + δm ) n − 1 
1 
=
−
n
+
(1
+
δ
)


m
δm 
δm
,
=
1
δm
n
∑= (1 + δ ) ϕ (δ
j 1
=
m
j
1 1 + δm

δm  δm
1
m
R
[(1 − ξ)δm + ξ] n − (1 + δm )n +1 ϕ0 (δm , n)  +
δm
n(n + 1)
.
2
+ξR
n
∑= (1 + δ ) ϕ (δ
+
, j) =
При ξ = 0 из этой формулы получается выра‑
жение суммарных процентных платежей аннуи‑


n
− 1 = n(4) .
тетного кредита n ξ = 0 = S 
 ϕ0 (δm , n) 
Вообще говоря, большой необходимости в полу‑
чении столь громоздкого выражения для n нет,
поскольку его можно получить достаточно просто,
как n =  n −  n =  n − S , предварительно вычис‑
лив общую сумму платежей,
n
 n = ∑ R [1 + ξ( j − 1) ] =
j =1
=S
n(1 − ξ) + 0,5ξn(n + 1)
=
(1 − ξ)ϕ0 (δm , n) + ξϕ1 (δm , n)
= nS

(1 + δm ) n − 1  n(n + 1) 
−
n
+
(1
+
δ
)
,

−
m
δm
2 


ɚ
где
1 + 0,5ξ(n − 1)
,
(1 − ξ)ϕ0 (δm , n) + ξϕ1 (δm , n)
n
∑= j = 0,5n(n + 1) .
j 1
ɛ
Рис. 3. Область допустимых значений параметра
(темпа изменения платежей обслуживания) при n от 0 до 60 (а) и при n от 48 до 60 (б) расчетных периодов
58
Финансы и кредит
Банковское дело
33 (513) – 2012


1 + 0,5ξ(n − 1)
− 1 ..
Тогда n = S  n
 (1 − ξ)ϕ0 (δm , n) + ξϕ1 (δm , n) 
К такому компактному виду после достаточно
длинных преобразований приводится и полученное
ранее прямым вычислением выражение суммы про‑
центных платежей, что доказывает безошибочность
сделанных выкладок.
Графики текущих платежей
G j , Pj , R j и и х н а р а щ е н н ы е в е л и ч и н ы
j
j
j
i =1
i =1
i =1
 j = ∑ Gi ,  j = ∑ Pi ,  j = ∑ Ri , j = 1, 2...n
для
δm = 0,01, n = 18 при различных значениях па‑
раметра ε из области его допустимых значений.
( −0,05882 = ξ0 ≤ ξ ≤ ξ* = 0,6193 ) в зависимости от
порядкового номера платежа j (дискретного вре‑
мени) представлены на рис. 4. Наращенные вели‑
чины монотонно возрастают с ростом j. Значения
 n , n ,  n на момент завершения кредита здесь
также растут при увеличении параметра ε.
Эффективность кредитов
с учетом реинвестирования
Найдем далее дисконтированную сумму

 n ε (современную стоимость ссудного капитала
кредитора), которую легко вычислить, записывая
сначала
n

 n ε = ∑ R j (1 + ε) − j =
j =1
= R [(1 − ξ)ϕ0 (ε, n) + ξϕ1 (ε, n) ],
ɚ
ɛ
ɜ
ɝ
ɞ
ɟ
ɨɛɳɢɣ ɢɬɨɝ
Рис. 4. Аннуитетный кредит (б, д) и его модификации с убывающими (а, г) и возрастающими (в, г) платежами обслуживания
(текущие G j = G j S , Pj = Pj S , R j = R j S , (а, б, в) и наращенные  j =  j S ,  j =  j S ,  j =  j S (г, д, е) удельные
платежи (на единицу суммы займа) при δ m = 0,01, n = 18 в зависимости от дискретного времени j .
для различных значений параметра ξ
Финансы и кредит
59
Банковское дело
а затем с учетом (14) и

(1 − ξ)ϕ0 (ε, n) + ξϕ1 (ε, n)
nε = S
.
(1 − ξ)ϕ0 (δm , n) + ξϕ1 (δm , n)
33 (513) – 2012
(17)
Понятно, что основное свойство кредита (1)
в данном случае выполняется, поскольку при

= S . При ε = 0 по‑
ε = δm справедливо  n ε
ε= δm


n
=
1
лучим  n ε ε= 0 =  n . При
величина  n ε не
зависит от ξ , поскольку ϕ0 (ε,1) = ϕ1 (ε,1) = (1 + ε) −1
ϕ0 (δm ,1) = ϕ1 (δm ,1) = (1 + δm )−1 . Т о г д а
и

1 + δm
nε
=S
.
n =1
1+ ε
Очевидно, что при положительных текущих
платежах обслуживания R j > 0, j = 1, 2...n , что
обеспечивается выбором параметра ε в области
его допустимых значений, современная стоимость
ссудного капитала (17), во-первых, всегда поло‑

жительна:  n ε > 0 , а, во-вторых, с ростом ставки
дисконта ε она только уменьшается. Свойство

d nε
(1 − ξ)ϕ1 (ε, n) + ξϕ2 (ε, n)
S
=−
⋅
<0
dε
1 + ε (1 − ξ)ϕ0 (δm , n) + ξϕ1 (δm , n)
можно доказать чисто математически. Дейс‑
твительно, для отрицательно сти этой про‑
изводной необходимо и достаточно выпол‑
ϕ1 (ε, n)
нить условие ξ > −
. И оно
ϕ2 (ε, n) − ϕ1 (ε, n)
будет выполняться, если ξ ≥ −(n − 1) −1 , так как
ϕ1 (ε, n)
1
>
⇔ ϕ2 (ε, n) < nϕ1 (ε, n) , а
ϕ2 (ε, n) − ϕ1 (ε, n) n − 1
последнее неравенство при подстановке в него
−n 2 + (n 2 − 1)ε − 1 ϕ0 (ε, n) + 2(1 + ε)ϕ1 (ε, n)
ϕ2 (ε, n) =
ε
[1 + (n + 1)ε]ϕ0 (ε, n) − n
и ϕ1 (ε, n) =
сводится
ε
к верхней оценке Д-функции нулевой сте‑
2n
пени ϕ0 (ε, n) <
, доказанной в ра‑
2 + (n + 1)ε
боте [3, с. 67]. Заметим, что без требования
Rn ≥ 0 ⇔ ξ ≥ −(n − 1) −1 од н о го л и ш ь у с л о в и я
R = R1 > 0 ⇔ ξ > −
для

d nε
ϕ0 (ε, n)
недостаточно
ϕ1 (ε, n) − ϕ0 (ε, n)
< 0 , так как всегда выполняется нера‑
dε
венство ϕ12 (ε, n) < ϕ0 (ε, n)ϕ2 (ε, n) [3, с. 72], а из
ϕ0 (ε, n)
ϕ1 (ε, n)
<
него следует:
,.
ϕ2 (ε, n) − ϕ1 (ε, n) ϕ1 (ε, n) − ϕ0 (ε, n)
60
т. е. при выполнении ξ > −
вие ξ > −
ϕ0 (ε, n)
усло‑
ϕ1 (ε, n) − ϕ0 (ε, n)
ϕ1 (ε, n)
может нарушаться.

ϕ2 (ε, n) − ϕ1 (ε, n)
Из отрицательности производной
d nε
dε
следует также, что в области допустимых зна‑
чений параметра ξ положительная функция
y (ε) = (1 − ξ)ϕ0 (ε, n) + ξϕ1 (ε, n) строго монотонно

убывает по ε. Тогда, при ε < δm всегда  n ε > S , при

ε > δm , наоборот,  n ε < S , а при ε = δm справедливо,

что  n ε = S .
Вычислим теперь терминальную (наращенную
к концу срока кредита) стоимость ссудного капитала

кредитора  n ε =  n ε (1 + ε) n . Поскольку при ε ≤ δm

справедливо, что  n ε ≥ S , то тем более  n ε > S ..
Последнее справедливо и при ε > δm , хотя тогда

 n ε < S . Для доказательства этого утверждения
покажем сначала, что терминальная стоимость
ссудного капитала строго монотонно растет по ε,
поскольку ее производная


d nε d nε
=
(1 + ε) n + n(1 + ε) n −1  n ε =
dε
dε
(1 + ε) n −1 S
=
z ( ε, n , ξ ) ,
(1 − ξ)ϕ0 (δm , n) + ξϕ1 (δm , n)
z (ε, n, ξ) = (1 − ξ) [nϕ0 (ε, n) − ϕ1 (ε, n) ]+
+ξ [nϕ1 (ε, n) − ϕ2 (ε, n) ]
положительна для всех n , δm , ε , а также любых
значений ε из области допустимых значений. Дейс‑
твительно, учитывая, что
n − (1 + ε)ϕ0 (ε, n)
nϕ0 (ε, n) − ϕ1 (ε, n) =
>0
ε
nϕ1 (ε, n) − ϕ2 (ε, n) 2n − [2 + (n + 1)ε ]ϕ0 (ε, n)
=
>0
1+ ε
ε2
ϕ (ε, n)ϕ2 (ε, n) , можно записать, что
и ϕ1 (ε, n) < 0
ϕ1 (ε, n)

ϕ (ε, n)ϕ2 (ε, n) 
z (ε, n, ξ) > (1 − ξ)  nϕ0 (ε, n) − 0
+
ϕ1 (ε, n) 

+ξ [nϕ1 (ε, n) − ϕ2 (ε, n) ] =
= [nϕ1 (ε, n) − ϕ2 (ε, n) ]
(1 − ξ)ϕ0 (ε, n) + ξϕ1 (ε, n)
>0,
ϕ1 (ε, n)
п о с к о л ь к у, к а к у к а з ы в а л о с ь р а н е е ,
y (ε) = (1 − ξ)ϕ0 (ε, n) + ξϕ1 (ε, n) > 0 .
Финансы и кредит
Банковское дело
33 (513) – 2012
срока кредитования. Наоборот, ожидая возрастания будущих ставок реинвестирования ( ε > δm ),
целесообразно выдавать кредиты с меньшими
значениями ξ (вплоть до отрицательных значений),
когда величины текущих платежей обслуживания
уменьшаются с ростом времени. В стабильной

ситуации ( ε = δm ) ссудный капитал  n ε = S не зависит от ξ . Это вполне понятно и по соображениям
«здравого смысла». Действительно, ожидая в буду‑
щем снижения ставок реинвестирования, кредитору
Подставляя сюда выражения для Д-функций выгоднее замедлять оборот ссудного капитала, ос‑
тавляя у первичного заемщика как можно большую
первой степени ϕ1 (ε, n) и ϕ1 (δm , n) , получим

ϕ0 (δm , n)ϕ0 (ε, n) − n [δm ϕ0 (δm , n)часть
− εϕ0 (своих
ε, n) ] кредитных ресурсов, поскольку при
d nε
δm − ε
= S (δ m − ε ) ×
ε <2δm за счет реинвестирования (новых кредитов)
dξ
εδm [(1 − ξ)ϕ0 (δ m , n) + ξϕ1 (δm ,он
n) ]не сможет получить такие проценты, какие при‑
носит первичный кредит. И, наоборот, прогнозируя
ϕ0 (δm , n)ϕ0 (ε, n) − n [δm ϕ0 (δm , n) − εϕ0 (ε, n)]
δm − ε
nε
рост ставок реинвестирования, кредитору выгоднее
×
.
= S (δ m − ε )
2
ξ
εδm [(1 − ξ)ϕ0 (δm , n) + ξϕ1 (δm , n) ]
быстрее вернуть размещенные кредитные ресурсы
Выражение, стоящее в числителе этой дроби, с процентами, чтобы вновь их разместить на рынке
ранее уже было исследовано в работе [3, с. 364—370] уже по более высоким ставкам.
При ε < δm и, в частности, при ε = 0 наиболь‑
в связи с задачей сравнительного анализа дисконти‑

рованных сумм процентных платежей аннуитетного шее значение  n ε в области допустимых значений
параметра ξ достигается при ξ = ξ* , т. е. на верхней
и ординарного кредитов, где доказано, что
n
области допустимых значений ξ. Тогда
ϕ0 (δm , n)ϕ0 (ε, n) −
0
[δmϕ0 (δm , n) − εϕ0 (ε, n)] >границе

δm − ε
(1 − ξ* )ϕ0 (ε, n) + ξ*ϕ1 (ε, n)
nε
=S
=
n
ξ = ξ*
(1 − ξ* )ϕ0 (δm , n) + ξ*ϕ1 (δm , n)
ϕ0 (δm , n)ϕ0 (ε, n) −
[δmϕ0 (δm , n) − εϕ0 (ε, n)] > 0
δm − ε
(1 + δm ) n − 1 − (n + 1)δm  ϕ0 (ε, n) + δm ϕ1 (ε, n)
,
для любых ε > 0, δm > 0 , включая и случай, когда = S
(1 + δm ) n − 1 − (n + 1)δm  ϕ0 (δm , n) + δm ϕ1 (δm , n)
ε = δm . При ε = 0 , раскрывая неопределенность, с

d ϕ0 (ε, n)
ϕ (ε, n) , получим
(1 + δm ) n − 1 − 0,5(n + 1)δm
учетом
=− 1
 n ε ξ = ξ = Sn
,
dε
1+ ε
(1 + δm ) n − 1 − (n + 1)δm  ϕ0 (δm , n) + δm ϕ1 (δm , n)
ε= 0


d nε
d nε
2n − [2 + (n + 1)δm ]ϕ0 (где
δm , nϕ
) 0 (0, n) = n, ϕ1 (0, n) = 0,5n(n + 1) .
= lim
= Sn
>0
2
ε→0 d ξ
ε > δm наибольшее значение ссудного
dξ
Но
при
2
δ
(1
−
ξ
)
ϕ
(
δ
,
n
)
+
ξ
ϕ
(
δ
,
n
)
[
]
m
0
m
1
m
ε=0


капитала  n ε достигается при уменьшении ξ до
d nε
2n − [2 + (n + 1)δm ]ϕ0 (δm , n)
ε
ξ = ξ0 , т. е. на нижней границе области допустимых
= lim
= Sn
> 0.
2
ε→0 d ξ
значений
ξ, и составит
2
δ
(1
−
ξ
)
ϕ
(
δ
,
n
)
+
ξ
ϕ
(
δ
,
n
)
[
]
m
0
m
1
m
ε=0
Ранее уже было замечено, что  n ε > S при
d nε
ε ≤ δm . Но так как
> 0 , то  n ε > S и при
dε
ε > δm .
Попытаемся теперь выяснить, как современная

стоимость ссудного капитала кредитора  n ε зави‑
сит от параметра ε, для чего найдем производную

d nε
ϕ (δ , n)ϕ1 (ε, n) − ϕ1 (δm , n)ϕ0 (ε, n)
=S 0 m
.
2
dξ
[(1 − ξ)ϕ0 (δm , n) + ξϕ1 (δm , n)]
*

(1 − ξ0 )ϕ0 (ε, n) + ξ0 ϕ1 (ε, n)
Таким образом, можно утверждать, что

nε
=S
=

ξ = ξ0
d nε
(1 − ξ0 )ϕ0 (δm , n) + ξ0 ϕ1 (δm , n)
d nε
> 0 при 0 ≤ ε < δm ,
= 0 при ε = δm и
dξ
dξ
nϕ0 (ε, n) − ϕ1 (ε, n)
=S
.
d nε
nϕ0 (δm , n) − ϕ1 (δm , n)
< 0 при ε > δm . Значит, в том случае, когда
dξ
Дисконтированные суммы процентных плате‑
кредитор ожидает падения будущих ставок режей и выплат по основному долгу найдем из сис‑







инвестирования ( ε < δm ) для повышения ссудного

темы уравнений  n ε + n ε =  n ε ,  n ε + ε n ε = S , n ε = δm n ε
капитала  n ε надо выдавать

 кредиты

 с большим




+

=

,

+
ε

=
S
,

=
δ

n
ε
n
ε
n
ε
n
ε
n
ε
n
ε
m
n ε , т. е. используя свойства выражений (5)
значением ξ, т. е. предусматривать рост величины
и
(6)
для
кредитов
1-го рода, что уже выплнялось
текущих платежей обслуживания ближе к концу
для аннуитетного кредита. Тогда
Финансы и кредит
61
Банковское дело
33 (513) – 2012


ε n ε − δm S
n ε =
=
ε − δm
параметра ξ (вплоть до отрицательного значения
ξ0 ), кредитор еще больше уменьшит процентные

доходы n ε , и при этом даже наибольшее значение

ссудного капитала  n ε ξ = ξ не превысит первона‑
0
чальной суммы займа S.
Графики удельной (на единицу суммы займа)
современной стоимости ссудного капитала креди‑

S  (1 − ξ)ϕ0 (ε, n) + ξϕ1 (ε, n)
− δm  ,
ε
ε − δm  (1 − ξ)ϕ0 (δm , n) + ξϕ1 (δm , n)



δm ( S −  n ε )
n ε =
=
ε − δm
=

(1 − ξ)ϕ0 (ε, n) + ξϕ1 (ε, n) 
1 −
.
 (1 − ξ)ϕ0 (δm , n) + ξϕ1 (δm , n) 
При ξ = 0 из этих выражений получаются фор‑
мулы дисконтированных сумм выплат основного
долга и процентов в аннуитетном кредите. Отсюда
при ε =δm и раскрывая неопределенность, найдем



n ε
= lim   n ε + ε′n ε  =
ε=δm
ε→δm
=
S δm
ε − δm
=S−

n ε
=
δm S [(1 − ξ)ϕ1 (δm , n) + ξϕ2 (δm , n) ]
(1 + δm ) [(1 − ξ)ϕ0 (δm , n) + ξϕ1 (δm , n) ]

= −δm lim ′n ε =
ε=δm
,
ε→δm
δm S [(1 − ξ)ϕ1 (δm , n) + ξϕ2 (δm , n) ]
(1 + δm ) [(1 − ξ)ϕ0 (δm , n) + ξϕ1 (δm , n) ]


(в сумме n ε ε =δ +  n ε ε =δ = S ). Вполне очевидно,
 m 
m
что суммы  n ε и n ε монотонно убывают с ростом
ставки дисконта, поскольку среди текущих плате‑
жей G j и Pj нет отрицательных по величине.
Вычисляя производную


d n ε
δm d  n ε
=−
=
dξ
ε − δm d ξ
=S
ϕ0 (δm , n)ϕ0 (ε, n) −
n
[δmϕ0 (δm , n) − εϕ0 (ε, n)]
δm − ε
ε [(1 − ξ)ϕ0 (δm , n) + ξϕ1 (δm , n)]
2
>0
придем к заключению, что дисконтированная сумма
процентных платежей монотонно растет с ростом
ξ . Это справедливо и при ε = 0 , поскольку тогда



d n ε
d nε
n ε
=S и
=
>0.
ε=0
dξ
dξ
ε= 0
ε= 0
При уменьшении ставки дисконта до ε < δm и
увеличивая ξ, кредитор как за счет изменения ε, так
и за счет изменения ξ обеспечит рост ссудного ка‑

питала  n ε , причем вырастут и процентные доходы

n ε . Но при росте ставки дисконта до ε > δm сумма


процентных платежей n ε и ссудный капитал  n ε
уменьшаются. В такой ситуации, снижая величину
62


тора  n ε =  n ε S от срока кредита для различных
значений ставки дисконта (реинвестирования)
ε = 0 ÷ 0,03 при δ m = 0,02 и при граничных зна‑
чениях параметра ξ = ξ0 , ξ = ξ* представлены на
рис. 5.
Здесь во всех случаях, когда ε ≠ δm , выбором
параметра ξ = ξ0 или ξ = ξ*, удается увеличить ве‑
личину современной стоимости ссудного капитала
кредитора. Для δm = 0,02 и ε = 0,01 (т. е. при ε < δm ).

наибольшее значение  n ε достигается при макси‑
мально возможных ξ = ξ* и оно составит при n = 18
величину 1,1192S , т. е. в 1,054 раза выше, чем при

ξ = ξ0 , где  n ε = 1,0618S . При n = 60 и ξ = ξ* зна‑

чение  n ε в 1,127 раза выше, чем при ξ = ξ0 . При
ε > δm , наоборот, выигрыш достигается при ξ = ξ0 .


Например, при n = 18 отношение  n ε ξ = ξ  n ε ξ = ξ
0
*
составит 1,053, а при n = 60 — уже 1,112.
Таким образом, выбором параметра ξ, определяющего характер изменения во времени платежей обслуживания кредита, можно существенно
увеличить ссудный капитал кредитора. Причем
это достигается только за счет ускорения или замедления оборота кредитных ресурсов при той же
процентной ставке, т. е. без увеличения доходности
кредитора и затратности заемщика.
Заключительные замечания
1. В аналитических исследованиях удобно
(особенно для сравнительного анализа различных
расчетных схем) считать интервалы между пла‑
тежами R j постоянными, что автром и делалось
ранее. Но на практике платежи обычно связаны с
определенными календарными датами d j , поэтому
интервал между платежами d j − d j −1 получается
непостоянным. Тогда целесообразно в качестве
ставки начисления использовать среднедневную
процентную ставку δτ = δ τ , где τ — число дней
в году (обычно принимают τ = 365 ). После этого
по заданной сумме займа S, ставке начисления δτ и
сроку кредита в днях N = T τ (где T — срок кредита,
исчисленный в годах) могут быть проведены все
Финансы и кредит
Банковское дело
33 (513) – 2012
R n εɟ
R nεɟ
ɚ
ɛ

Рис. 5. Дисконтированная сумма  n ε от срока кредита n от 0 до 60 (а) и от 0 до 6 (б) для различных значений ставки дисконта
ε при граничных значениях параметра ξ = ξ0 и ξ = ξ* (однотипные прерывистые линии сверху вниз соответствуют .

возрастанию значений ε, сплошная линия соответствует случаю ε = δ m = 0,02 , когда  n ε = S и не зависит от ξ)
расчеты согласно описанному ранее алгоритму и
вычислены величины дневных (на дату d ν ) плате‑
жей Rν , Pн , Gн , где ν = 1, 2...N . Далее необходимо
привести ежедневные платежи к конкретным пла‑
d −d
тежным датам по формуле Rν (1 + δτ ) j ν , где d j
— дата ближайшего предстоящего календарного
платежа, а d j −1 ≤ d ν ≤ d j . После этого надо най‑
ти величину очередного календарного платежа,
просуммировав приведенные дневные платежи
Rj =
d j − d j −1
∑=
k 1
Rν+ k (1 + δτ )
d j − d j −1 − k
, начиная с дня, сле‑
дующего за предыдущим календарным платежом.
Аналогичным образом вычисляются календарные
выплаты основного долга и процентов.
2. Современные компьютерные технологии,
в принципе, позволяют строить график платежей
обслуживания с заданными свойствами простым
подбором. Тогда, при заданной сумме займа S, сроке
кредита n, процентной ставке δm = δ m и выбранном
темпе линейного изменения платежей обслужива‑
ния ξ, вначале надо при некотором произвольном
Финансы и кредит
R > 0 найти все платежи R j = R [1 + ξ( j − 1) ]. Затем
n
из уравнения S = ∑ R j (1 + δm ) − j , выражающего
j =1
основное свойство кредита,
надо подобрать нужное
значение R, т. е. скорректировать первоначально
выбранное значение R, а потом и все платежи Rj ..
Далее надо выполнить расщепление платежа Rj на
Pj и G j по рекуррентным формулам Pj = S j δm ,.
G j = R j − Pj , S j = S j −1 − G j , где S0 = S . При этом
как подбор величины R, так и расщепление Rj по
рекуррентным формулам выполняются вполне эле‑
ментарно в табличном процессоре Microsoft Excel.
Однако при изменении ξ все указанные операции
придется многократно повторять заново. Более
того, «слепой» выбор ξ приведет к появлению отрицательных платежей G j (при нарушении условия
ξ ≤ ξ* ) или отрицательного последнего платежа Rn
(при нарушении условия ξ ≥ ξ0 ). Вполне можно представить себе ситуацию, когда при выборе ξ наугад
попасть в диапазон значений ξ0 < ξ ≤ ξ* не удастся
даже после многих попыток. Фактически то, что
здесь автор условно назвал подбором платежей, есть
63
Банковское дело
не что иное, как решение уравнения, выражающего
основное свойство кредита, и системы рекуррент‑
ных уравнений для текущих платежей машинным
способом. Но и здесь надо знать границы области
допустимых значений параметра ξ.
3. В исследовании получены явные формулы для
расчета платежей обслуживания, выплат основного
долга и процентов, что позволяет полностью автома‑
тизировать конструирование кредитов (построение
желаемых графиков платежей обслуживания). При
этом за менеджером сохраняются функции контроле‑
ра, который должен учитывать пожелания заемщика
в приемлемых для кредитора формах.
64
33 (513) – 2012
Список литературы
1. Жевняк А. В. Математические модели и общие
свойства кредита // Финансы и кредит. 2012. № 15.
2. Жевняк А. В. Операционная и гомогенная эф‑
фективные процентные ставки как меры стоимости
кредита // Финансы и кредит. 2012. № 18.
3. Жевняк А. В. Математическая теория дис‑
контирования денежных потоков. Математическая
теория кредита. Рязань: Ринфо. 2010. 384 с.
4. Кузнецов Б. Т. Финансовая математика. М.:
Экзамен. 2005. 128 с.
5. Четыркин Е. М. Финансовая математика. М.:
Дело. 2002. 397 с.
Финансы и кредит
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
6 335 Кб
Теги
заданным, кредитов, обслуживание, конструирование, платежами
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа