close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О проблеме существования точного показателя Ляпунова комплексных дифференциальных уравнений с действительным независимым переменным.

код для вставкиСкачать
3. Aleksandrov A. Yu. Construction of Lyapunov's Functions for a Class of Nonlinear Systems /
A. Yu. Aleksandrov, A. V. Platonov // Nonlinear Dynamics and Systems Theory. — 2006. — Vol. 6,
No. 1. — P. 17—29.
4. Aleksandrov A. Yu. On the Asymptotic Stability of Switched Homogeneous Systems /
A. Yu. Aleksandrov, A. A. Kosov, A. V. Platonov // Systems and Control Letters. — 2012. —
Vol. 61. — P. 127—133.
5. Boyd S. Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory / S. Boyd, L. El Ghaoui,
E. Feron, V. Balakrishnan. — Philadelphia : SIAM, 1994. — 193 p.
6. Liberzon D. Basic Problems in Stability and Design of Switched Systems / D. Liberzon,
A. S. Morse // IEEE Control Systems Magazine. — 1999. — Vol. 19, No. 5. — P. 59—70.
7. Rosier L. Homogeneous Lyapunov Function for Homogeneous Continuous Vector Field /
L. Rosier // Systems and Control Letters. — 1992. — Vol. 19. — P. 467—473.
8. Vassilyev S. N. Stability Analysis of Nonlinear Switched Systems via Reduction Method /
S. N. Vassilyev, A. A. Kosov, A. I. Malikov // Preprints of the 18th IFAC World Congress. Milano,
Italy. August 28. — September 2, 2011. — P. 5718—5723.
9. ZDai G. Disturbance Attenuation Properties of Time-controlled Switched Systems / G. Zhai,
B. Hu, K. Yasuda, A. N. Michel // J. of the Franklin Institute. — 2001. — Vol. 338. — P. 765—
779.
Поступила
11.01.2012.
УДК 517.9
О ПРОБЛЕМЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ТОЧНОГО
ПОКАЗАТЕЛЯ ЛЯПУНОВА КОМПЛЕКСНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМ НЕЗАВИСИМЫМ
ПЕРЕМЕННЫМ*
О. В. Дружинина, О. Н. Масина, А. А. Шестаков
В статье доказаны теоремы о существовании точного показателя Ляпунова для решения комплексной дифференциальной системы с действительным независимым переменным. Доказано существование ведущих координат, а также рассмотрены вопросы
существования однократных и многократных точных показателей Ляпунова.
Введение. Статья является дальнейшим
развитием исследования работ о существовании точных показателей Ляпунова решений
обыкновенных комплексных систем дифференциальных уравнений с действительным
независимым переменным [2; 8]. Вопросами,
близкими к тематике настоящей статьи, занимались многие отечественные и зарубежные
ученые, в том числе О. Перрон [10—12],
И. Г. Петровский [13—14], В. В. Немыцкий и В. В. Степанов [6], Ф. Хартман [7],
В. В. Козлов [3], В. В. Козлов и С. Д. Фурта [4], Ф. Хартман и А. Уинтнер [9],
Б. Ф. Былов, Л. Э. Виноград, Д. М. Гроб-
ман и В. В. Немыцкий [1], В. М. Матросов, Л. Ю. Анапольский, С. Н. Васильев [5].
В данной статье установлено существование ведущих координат решений линейной
комплексной дифференциальной системы
при ее линейных возмущениях специального
вида, а также рассмотрено существование
однократных и многократных точных показателей Ляпунова. Методом решения указанных задач является метод редукции
изучаемой обыкновенной дифференциальной
системы к так называемым сопровождающей
канонической форме некоторого индекса
* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований
(РФФИ) (проект № 10-08-00826-а).
© Дружинина О. В., Масина О. Н., Шестаков А. А., 2012
22
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
s и теоремы о ведущих координатах решений.
В разделе 1 дана постановка задачи.
В разделе 2 рассмотрена сопровождающая
каноническая форма индекса s. В разделе 3
доказано существование ведущих координат
решений комплексных дифференциальных
уравнений. В разделах 4 и 5 уточнена теорема о существовании точных показателей Ляпунова для линейного дифференциального
уравнения высшего порядка.
Совокупность свойств правой части комплексного дифференциального уравнения
dz
= L z + Z(t, z) с действительным незавиdt
симым переменным назовем условием С,
если комплексная матрица не равна тождественно нулю и если функция Z(t,z) есть
непрерывная комплексная d-мерная векторфункция, то для решения z(t) изучаемого
уравнения существует и выполнено неравенство
zm = yn (m < n), zn = ym , zi = yi,
i = 1, 2, K , d, i № m, n.
Тогда изучаемое уравнение примет вид
dyi
=
dt
}
где числа d и Te зависят от заданного числа
e > 0.
1. Постановка задачи. Рассмотрим комплексное дифференциальное изучаемое уравнение с действительным независимым переменным t:
dz
= L z + Z(t, z).
(1.1)
dt
Элементарной операцией над матрицей
L
назовем одновременную перестановку
двух строк и двух столбцов матрицы с теми
же индексами [1]. Очевидна следующая
лемма.
Щ
Лемма 1. Пусть L — матрица, полученная из матрицы L размеров (d ґ d) с
помощью конечного числа элементарных
операций.
Тогда главные диагонали матриц
Щ€
L и L , состоящие из собственных значений l1, K, l d, совпадают с точностью до
порядка следования этих значений и, следовательно, характеристические
уравнения
Щ
матриц L и L также совпадают.
Осуществим в изучаемом уравнении для
индексов m и n следующую перенумерацию
переменных z1, ... , zd:
Серия «Физико-математические науки»
(1.3)
рицы L = (lij ) путем элементарной опера(m),(n)
. При перенумерации (1.1) матции I
рица L подвергается элементарной опера(m),(n)
ции I
. При неособом линейном преобразовании z = Kz$, K = (k ) L -система преij
образуется в эквивалентную перенумерованную систему
dz$ i
€ d
= l i z$ i + е mij z$ j +
dt
j =1
€
€
€
$
$
+ Zi (t, z1, K , z$ d ), i = 1, K , d,
i =1
{
j
где L % = (l%ij ) — матрица, полученная из мат-
d
Se = zi1 < d, zi2 < d, i = 1, 2, K , d, t і Te ,
е l%ij y j + Zi t, K , yn, K ,
..., ym, K , i = 1, 2, K , d,
Z t, z1 - Z t, z2 < e е zi1 - zi2 , x1, x 2 О C d
на множестве
(1.2)
(1.4)
где
€
€
$ (t, z$ , K , z$ ) =
Z
i
d
1
е k%ij Zj (t, z$1, K , z$d ),
j
i = 1, K , d.
Если выполнено условие С и если действительные части ai собственных чисел
li матрицы L перенумерованы так, что
a1 і a2 і K і ad, то решение z(t) # 0 уравнения (1.1) имеет точный показатель Ляпунова
d
lim
t ®+Ґ
ln е zi (t)
i =1
t
,
(1.5)
равный действительной части ap некоторого
собственного значения lp матрицы L .
В настоящей статье это утверждение будет доказано для однократного и r-кратного
(r > 1) точных показателей. В случае однократного точного показателя рассмотрен вопрос о существовании координаты zm(t) решения z(t) # 0 уравнения (1.1) такого, для которого существует точный показатель Ляпунова
23
lim
ln zm (t)
,
(1.6)
t
равный пределу (1.5). В случае r-кратного
(r > 1) точного показателя рассмотрен вопрос о существовании точного показателя Ляпунова
t ®+Ґ
ln
s+ r
е zi (t)
s+1
(1.7)
,
t
равного пределу (1.5), где s — число, фигурирующее в сопровождающей канонической
форме индекса s.
Кроме того, в статье поставлена задача о
существовании ведущих координат для решений уравнений (1.1), удовлетворяющих
условию С. Поставленные задачи будут решены в следующих разделах.
2. Приведение уравнения (1.1) к сопровождающей канонической форме индекса s при условии С. В разделе будет
рассмотрена каноническая форма уравнения
(1.1), отличная от жордановой канонической
формы и называемая нами сопровождающей
канонической формой уравнения (1.1). Сопровождающая каноническая форма для
матриц с кратными характеристическими
числами является эффективной формой исследования точных показателей решений,
так как жорданова форма имеет сложную
трудно исследуемую форму в случае кратных характеристических чисел.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 2.1 (о приведении уравнения
к сопровождающей канонической форме
индекса s). Пусть задано дифференциальlim
t ®+Ґ
dz
= Lz + Z(t, z), удовлетвоdt
ряющее условию С. Пусть L — постоянная матрица размеров (d ґ d) с элементами lij и характеристическими числами
ное уравнение
l1, l2, K, l d. Тогда существуют перенуме€ €
рация L$ = (l$ij ) и матрица K размеров
(d ґ d) с элементами kij такие, что при заданном натуральном числе s О {1, 2, K ,
K , d - 1} линейное преобразование
(2.1)
z = Kz$, det K № 0
переводит L -систему к ее перенумерации
€
€€ €
dz$
= Lz$ €z$ + Z$(t, z$ ),
(2.2)
dt
24
обладающей следующими свойствами:
€
ж K$1 K$ 2 ц
P1. K = з $€
$€ ч .
и K3 K4 ш
$€
$
€ $
жМ
1 M2 ц
$
P2. M ::= KL K, M = з $€ $ € ч
и M3 M4 ш
€
$ ,K
$ — треугольные
P3. K
квадратные
1
4
матрицы соответственно размеров (s ґ s) и
(d – s, d – s), наддиагональные элементы
которых равны нулю; K$ 3 — нулевая прямо$ — треугольная матрица размеров (s, s); K
2
угольная прямоугольная матрица размеров
(s, s), поддиагональные элементы которой
равны нулю.
$ — треугольные квадратные
P . M$ и M
4
1
4
матрицы соответственно размеров (s ґ s),
(d – s, d – s), поддиагональные элементы
$ — нулевая прямокоторых равны нулю; М
2
$ —
угольная матрица размеров s ґ (d – s); М
3
прямоугольная матрица размеров (d – s) ґ s.
P5. Главные диагональные элементы
матрицы M представляют собственные значения l1, l2,K, l d матрицы L с точностью
до порядка.
P6. Для произвольно малого числа
m0 > 0 элементы mij матрицы М удовлетворяют неравенствам mij < m0, i, j = 1, 2, K, d.
Дифференциальную систему (2.2), обладающую свойствами P1—P6, назовем сопровождающей канонической формой некоторого целого индекса s (или s-сопровождающей канонической формой).
Доказательство. Рассмотрим сначала
существование сопряженной канонической
$ , соотформы индекса s = 1. Матрицы K$ i, M
i
ветствующие индексу s = 1, по-прежнему
обозначим теми же самыми буквами. Тогда
матричное соотношение
$€ = K
$€L$ €K
$,
M
(2.3)
эквивалентно
уравнений
системе
d
j -1
a= j
a=1
d2 алгебраических
е liakaj = е kiamaj + kijl j,
(2.4)
i, j = 1, 2, K, d
относительно искомых элементов kij при
i > j и искомых элементов mij при i < j матВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
$ и М
$ . Суммирование от единицы до
риц K
нуля принято в (2.4) равным нулю.
В уравнениях (2.4) элементы kij при
i < j равны нулю и lj (j = 1, 2, ..., d) являются собственными значениями в какой-нибудь заданной нумерации матрицы L % .
Идея доказательства однозначной разрешимости системы d2 алгебраических уравнений (2.4) состоит в доказательстве однозначной разрешимости и эквивалентной этой системе совокупности, состоящей из систем d
алгебраических уравнений, соответствующих
одному и тому же фиксированному индексу
j О {1, 2, K, d}. Эти системы последовательно с возрастанием индекса j однозначно
разрешимы относительно входящих в системы неизвестных, что устанавливается методом индукции по j.
Случай j = 1. Система (2.4) при j = 1
относительно неизвестных k11, k21, ..., k2d
имеет вид:
(l11 - l1)k11 + K + l 1d kd1 = 0,
KKKKKKKKKKK......
ld1k11 + K +(ldd - l1)kd1 = 0.
(2.5)
Обозначим матрицу уравнений (2.5) через G1 и через G1(р) с вычеркнутым p-м столбцом. Имеется по крайней мере одна матрица
G1(p), ранг которой совпадает с рангом G1.
Необходимым и достаточным условием для
разрешимости системы (2.5) относительно
k11 № 0, k21, K, kd1
является совпадение
рангов матриц G1 и G1(1). Этого всегда можно
достигнуть с помощью элементарной операции.
Будем в дальнейшем считать числа
k11 № 0, k21, K, kd1 известными. В матрице
G1 все еще возможна элементарная операция
I(2),(d), так как при этой операции ранг матрицы G1(1) не изменяется.
Случай j = 2. Система (2.4) при j = 2
имеет вид:
-k11m12 + l12k22 + K +l1dkd2 = 0
-k21m12 + (l22 - l2 )k22 + K +l2dkd2 = 0 (2.6)
..............................................
-kd1m12 + ld2k22 + K +(ldd - l 2 )kd2 = 0.
Серия «Физико-математические науки»
Легко убедиться, что ранг матрицы
l12
ж k11
з
- l2
k
l
G2 ::= з 21 22
зK
K
зз
ld2
и kd1
K
l1d ц
ч
K
l2d ч
(2.7)
K
K ч
чч
K l22 - l2 ш
системы (2.6) меньше числа d и определитель det G2 равен нулю.
Пусть G(2p) — матрица, получаемая из
матриц G2 вычеркиванием p-го столбца. Для
разрешимости уравнений (2.6) относительно
искомых коэффициентов m12, k22, k32, K,
K, kd2 при k22 № 0 необходимо и достаточно, чтобы матрицы G2 и G(2)
имели одинако2
вый ранг. Элементарной операцией можно
имели
добиться, чтобы матрицы G2 и G(2)
2
одинаковый ранг, и тогда система (2.6) будет
разрешима при k22 № 0 относительно m12,
k22, K, kd2. Будем в дальнейшем считать
числа m12, k22, K, kd2 известными. В матрице G2 возможна элементарная операция.
Предположим по индукции, что система
(2.4) разрешима до j = n - 1 > 2 включительно: все kij и mij при j < n – 1 известные числа и все kij (i < n – 1) не равны
нулю. Тогда легко показывается, что система
(2.4) будет разрешима и при j = n – 1.
Система (2.4) при j = n является системой d линейных уравнений с неизвестными
-m1d, -m2d, K, -mn -1,n, kn,n, kn +1,n, K, kdn
с матрицей Gn.
Далее рассуждения такие же, как и при
j = 1, 2.
Если m0 > 0 произвольно мало, то mij
могут быть определены так, чтобы mij < m0.
Это утверждение следует из того, что kij и mij
удовлетворяют только однородным линейным уравнениям. Утверждение теоремы для
индекса s = 1 доказано. Докажем теперь существование сопровождающей канонической
системы индекса s > 1. С этой целью в матричном соотношении (2.5) произведем следующие элементарные операции:
I(1),(d -s+1), I(2),(d -s+ 2), K, I(s),(d),
I(d +1),(1), I(d +2),(2), K, I(d),(d -s).
25
Тогда (2.3) будет иметь вид:
€ €€
K$ L K$ = М s,
(2.8)
где матрицы в (2.8) обладают свойствами,
описанными в теореме 2.1.
Соотношения (2.8) представляют совокупность d2 алгебраических уравнений, которые однозначно разрешимы. Возникающая
из L % матрица перестановочна с матрицей
L . Для вновь образованной главной диагонали элементы ld -s+1, K, ld, l1, K, ld -s
лишь представляются между собой, что означает, что имеют место свойства P1—P6. Теорема 2.1 доказана.
3. Существование ведущих координат.
В этом разделе доказано существование ведущих координат уравнения (1.1) при условии С.
Теорема 3.1 (о скорости стремления к
нулю координат решений при t ® +Ґ ).
Пусть для комплексного уравнения (1.1)
выполнены условия С и действительные части перенумерации таковы, что a1 і a2 і K
K і ad.
Пусть as+1, K, as+r является r-кратным точным показателем Ляпунова, таким, что
Так как уравнение (1.1) приведено к сопровождающей канонической форме индекса s,
то mij = 0 при i < s и j > s. Воспользуемся
легко проверяемыми неравенствами
2
d $€(s+1) 2
€(s+1)
zi
і 2ai z$ i
dt
-
€(s+1) s $€(s+1)
2m0 z$ i
е zi
j =1
$€ (t) ::=
w
4
s
€
е z$ i (t) ,
1
d
е
s+ r +1
$€3 (t) ::=
w
€
z$ i (t) ,
$€ (t) ::=
w
суммирование которых по i = 1, 2, ..., s
приводит к неравенствам
€
$1
dw
€
€
$€1 + w
$€2 ). (3.5)
і 2a sw$ 1 - 2dm0w$ 1 - 2de(w
dt
$€3 + w
$€4 < 2w
$€3, то
$€1 Ј w
$€2 = w
Так как w
€
dw$ 1
$€1 - 8dew$€3 . (3.6)
$€1 - 2dm0w
і 2a sw
dt
Кроме того, справедливы неравенства
$€3
dw
$€3 + 2(dm0 + de)(w$€1 + w
$€2) Ј
Ј 2as+1w
dt
$€3 + 8(dm0 + de)w
$3
Ј 2as+1w
или
€
€
€
w$1 - ew$ 3
і (2a s - 2dm0 )w$1 dt
(3.7)
$€3 .
- [ a s+1 + 8d e + 8(dm0 + de )щы ew
2
s+ r
€
е z$ i (t) ,
s+1
d
е
s+1
€
z$ i (t)
(3.1)
существуют пределы
$€ (t)
$€ (t)
w
w
= 0, lim $€4
= 0, (3.2)
lim $€1
t ®+Ґ w3 (t)
t ®+Ґ w3 (t)
$€ (t) медленнее стремится
т. е. знаменатель w
3
$€ (t) и
к нулю при t ® +Ґ, чем числитель w
1
€
$
w4 (t).
Доказательство. Пусть выполнено условие C и уравнение (1.1) имеет s-каноническую форму. Рассмотрим случай, когда
существует решение z(s+1)(t) уравнения (1.1),
такое, что
d
lim
t ®Ґ
ln е zi(s+1)(t)
i =1
t
= as+1, as+1 < as,1 < s Ј d - 1.
26
Из оценки (3.7) следует, что существует
число t2 О (a s+1, a s ), такое, что функция
€
€
(w$ 1 - ew$ 3 ) exp - 2t2t стремится к нулю, так
$€1 Ј ew
$€3. Так
что справедливо неравенство w
как в конце концов выполнено неравенство
€
$ 3 > 0 и число e < 0 произвольно, сущеw
€
$ 3 t ствует предел (3.2), т. е. функция w
медленнее стремится к нулю, чем функция
€
w$ (t).
1
Рассмотрим теперь случай s + r < d. Так
как уравнение (1.1) является каноническим
индекса s, то
=
(3.3)
,
i = 1, 2, ..., s,
as > as+1 = K = as+ r > as+ r +1, s + r Ј d.
Тогда для функций вида
$ (t) ::=
w
1
- 2e
(3.4)
€(s+1) d $€(s+1)
z$ i
е zi
j =1
mi,s+1 = K = mi, j -1 = 0
при
i і s + 2. Следовательно, при i і s + 1 справедлива оценка
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
2
d $€(s +1) 2
€(s+1)
Ј 2ai z$ i
+
zi
dt
€(s+1) s $€(s+1)
+ 2m0 z$ i
+
[е zj
j =1
€(s+1)
+ 2e z$ i
d
€
е z$ j
(s+1)
j =i +1
] + (3.8)
d
€(s+1)
,
е z$ j
j =1
суммируя которую при i і s + r + 1, K, d,
получим
€
€
€
€
$ 4 + 2dm0 (w
$1 + w
$ 2) +
wў4 Ј 2as+ r +1w
€
€
€
$€1 + w
$ 4 ).
$3 + w
+ 2de(w
то
€
€
€
€
€
€
$ 1 Ј ew
$3 и w
$1 + w
$3 +w
$ 4 < 4w
$ 3,
Так как w
$€ў4 < 2a s+ r +1w
$€4 + 2dm0 ( ew
$€3 + w
$€4 ) + 8dew$€
w
или
€
$€ў4 і 2as+ r w
$€3 - 8d(m0 + e)w
$ 3.
w
Отсюда следует, что
€
€
$4
ew$ 3 - w
> 2as+ r - 10dm0 - 8d e + e
dt
€
€
$ 3 - 2a s+ r +1 + 2dm0 $w4.
ґw
Функция
eґ
€
€
ew$ 3 - w$ 4 exp - 2t1t в конце
концов монотонно возрастает, и в конце кон€
€
цов выполнено неравенство w$ 4 < ew$ 3. Поэтому существует второй предел (3.3). Теорема 3.1 доказана.
Теорема 3.2 (о существовании ведущих
координат). Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Тогда
lim
€ (s+1)
z$ k
t ®Ґ s+ r
е
i =s+1
zi(s+1)
=0
(3.9)
для всех индексов k, кроме k > s + 1 и
k > s + r, где r — кратность показателя
as+1.
Доказательство. Утверждение (3.9) следует, если в (3.2) числитель заменить одним слагаемым, а знаменатель оставить прежним.
Теоремы 3.1 и 3.2 являются обобщением
теорем И. Г. Петровского о ведущих координатах для действительной L-системы на
комплексные дифференциальные уравнения
Серия «Физико-математические науки»
с действительным независимым переменным при условиях С. Отметим, что условие
И. Г. Петровского включает гиперболичность матрицы А, в то время как при условиях С требуется лишь L є/ 0.
4. Существование однократного точного показателя Ляпунова. С помощью сопровождающей канонической системы индекса s здесь устанавливается существование
координаты zm(t) решения z(t) уравнения
(1.1), для которого существует предел (1.6),
равный пределу (1.5).
Теорема 4.1 (о существовании точного
показателя Ляпунова). Пусть для уравнения
(1.1) выполнено условие С и a1 і a2 і K
K і ad. Пусть решение z(p)(t) уравнения
(1.1) сопряжено с однократным показателем
ap, который отличен от всех других величин
a i , i = 1, K, d, i № p. Тогда существует по
(p)
крайней мере одна координата zm решения
z(p)(t), которая отлична в конце концов от
нуля и для которой предел
lim
ln zm (t)
(4.1)
t
равен действительной части ap собственного
значения матрицы L .
Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы 4.1. Предположим, что
t ®+Ґ
as+1 № ai, i = 1, 2, K, d,
i № s + 1,0 < s < d - 1.
(4.2)
Будем предполагать, что уравнение (1.1)
приведено к сопровождающей канонической
форме индекса s причем s равно числу в
(4.2). Тогда r = 1, где r — кратность показателя ap. По теореме 3.2 о ведущих координатах для каждого индекса j № s + 1 существует предел
€
z$ j
€
lim € = 0, z$ s+1 # 0.
(4.3)
$ s+1
t ®Ґ z
Линейное преобразование, приводящее
уравнение (1.1) к сопровождающей канонической форме индекса s, имеет вид:
€
zs+1 = ks+1,s+1 z$ s+1 ,
(4.4)
и, следовательно, получим:
27
€
kij z$ j
= lim е
=
$€s+1
t ®Ґ j =1 ks+1,s+1 z
d
zi
zs+1 # 0 и lim
t ®Ґ zs+1
=
(4.5)
ki,s+1
ks+1,s+1
, i = 1, 2, K , d.
Тогда из (4.5) получим:
zm № 0, km,s+1 № 0, lim
t ®Ґ
ki,s+1
zi
=
,
p
km,s+1 (4.6)
zm
Справедливо следующее предложение.
Теорема 5.1 (о существовании точного
показателя Ляпунова, r > 1). Пусть: 1) для
уравнения (1.1) выполнено условие С;
( p)
2) z (t) № 0 — решение уравнения (1.1),
сопряженное с r-кратным (r > 1) точным показателем ap. Тогда при подходящей нумерации для решения z(p)(t) существует предел
ln
i = 1, 2, K, d.
По теореме о ведущих координатах существует предел
ln
( p)
zs+
1
= as+1.
t
Из (4.5) следует, что
lim
t ®Ґ
(p)
zm
ln
lim
t
t ®Ґ
Так как
получим:
ziў
(p)
zm
# 0,
(p)
zm
(4.7)
то из уравнения (1.1)
d
zj
j
(p)
zm
е lij
=
= as+1.
+
Z(t, z)
(p)
zm
,
( p)
zm
Ј e1,
мы 3.1 все коэффициенты mj,s+1 в канонической форме индекса s в случае 1-кратного
точного показателя равны нулю. Поэтому
d
lim
ziў
t ®Ґ z( p)
m
= lim
j =1, j №s+1
=
kijm j,s+1 + ki,s+1
km,s+1
t ®Ґ
ki,s+1
km,s+1
t
,
(5.1)
равный действительной части ap собственного значения lp.
Доказательство. Пусть выполнено условие C, и пусть as+1 < as, 1 Ј s Ј d - 1. Будем предполагать, что L -система приведена к сопряженной канонической форме
индекса s, причем число s то же самое,
$€ (t),
что и в (5.1). Рассмотрим функции w
i
i = 1, 2, 3, 4, определенные
€
€
$2 и
Так как w$ 1 Ј w
но,
в (3.1).
€
€
$ 2 > 0,
$1 + w
w
то
€
€
€
€
1 €
( w$ 1 + w$ 2 ) Ј w$ 2 Ј w$ 1 + w$ 2 и, следователь2
€
$2
ln w
= 2a s+1.
(5.2)
t ®Ґ
t
С помощью линейного преобразования
zi =
i
е kij z$ j , i = s + 1, K , d (5.3)
j =s+1
€
€
переменные zs+1, K, zd и z$ s+1, K , z$ d переходят друг в друга. Из (7.3) следуют равенства
=
l s+1.
Следовательно, существование предела
(4.1) доказано.
5. Существование r-кратного точного
показателя Ляпунова. С помощью сопряженной канонической системы индекса s > 1
в этом разделе устанавливается существование предела (1.7), равного пределу (1.5).
28
s+1
lim
где e1 = ge > 0 — постоянная. В силу теоре-
е
е z(p)(t)
t ®+Ґ
0<
и в конце концов справедливо неравенство
Z(t, z)
lim
s+ r
ln
lim
d
i =s+1
t
t ®Ґ
ln
и lim
€
е z$ i
d
= a s+1
(5.4)
е zi
i =s+1
= a s+1.
t
Если все собственные значения имеют
равную действительную часть, то утверждения
t ®Ґ
очевидны. Пусть теперь as+1, K, as+r —
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
r-кратный точный показатель Ляпунова, для
которого as > as+1 = K = as+r > as+r +1. Тогда имеем
$€ = w
$€ ,
$€3 + w
w
4
2
€
$3
dw
$€3 - 2(dm0 + de)(w
$€2 + w
$€3 ) і
і 2a s+r w
dt
$€3 - 2(dm0 + de)(w
$€3 + w
$€4 ),
і 2as+ r w
€
€
$4
dw
€
€
$1 + w
$ 2) Ј
$ 4 + 2(dm0 + de)(w
Ј 2as+ r +1w
dt
€
€
€
$ 3 - 2d(m0 + e)(w
$3 +w
$ 4 ).
Ј 2as+ r w
Из предыдущих неравенств получаем:
€
€
$3 - w
$ 4)
d(w
$€3 і 2as+ r - 8d(m0 + e)w
dt
$€4.
- 2a s+ r +1 + 8d(m0 + e)w
Обозначим через t1 число, принадлежащее промежутку (as+ r +1, as+ r ). Тогда из
последнего неравенства для достаточно малых значений m0 и e будем иметь
€
$€3 - w$€4 )
d(w
$€3 - w
$€4 ).
і 2t1(w
dt
€
€
Поэтому функция (w$ 3 - w$ 4 ) exp(-2t1t)
монотонно возрастает. Убедимся, что эта
функция неограниченно возрастает. Действительно, из неравенства
€
1 $€
$4
w3 - w
€
2
$3 > [2 a s+r - 6d(m0 + e )щы w
dt
€
$4
- [2 a s+r +1 + 6d(m0 + e )щы w
ж 1 $€
$€ ц
3 - w4 ч exp(-2tt)
вытекает, что функция з 2 w
и
ш
неограниченно
$€4 < w$€3 и w
$€
w
3
€
€
0 < (w$ 3 + w$ 4 ) =
возрастает. Поэтому имеем
> 0. Из (5.2) и неравенств
€
€
$€2 следует
w$ 2 < 2w$ 3 Ј w
€
ln w$ 3
= 2a s+1.
lim
(5.5)
t ®Ґ
t
Так как в силу (5.3) переменные
€
zs+1, K, zs+ r и z$ s+1, K , z$ s+ r переходят
друг в друга, то из (5.5) получаем:
ln
lim
t ®Ґ
s+ r
(p)
е zi (t)
i =s+1
t
= a s+1.
(5.6)
Предположение охватывает все случаи, в
которых предел меньше числа a1. Если же
предел равен числу a1, то рассуждения аналогичны. Теорема 5.1 доказана.
Следствие 5.1. Пусть выполнены условия теоремы 5.1. Тогда предел (5.1) может
существовать при всех возможных перенумерациях, а не только для некоторой перенумерации.
Справедливость
следствия
вытекает
из рассмотрения уравнений dzi dt = a p zi
(i = 1, 2, K, d),
так как их решение
zi = ci exp a pt, ci № 0 может быть подвергнуто любой перенумерации и для каждого r,
1 Ј r Ј d.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Былов Б. Ф. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости /
Б. Ф. Былов, Л. Э. Виноград, Д. М. Гробман, В. В. Немыцкий. — М. : Наука, 1966. — 576 с.
2. Дружинина О. В. Об асимптотических свойствах решений обыкновенной дифференциальной
системы в логарифмической шкале роста / О. В. Дружинина, А. А. Шестаков // ДАН. —
2010. — Т. 433, № 3. — С. 299.
3. Козлов В. В. Асимптотические движения и проблема обращения теоремы Лагранжа — Дирихле / В. В. Козлов // ПММ. — 1986. — Т. 50, вып. 6. — С. 928—937.
4. Козлов В. В. О решениях систем дифференциальных уравнений с обобщенно-степенной асимптотикой / В. В. Козлов, С. Д. Фурта // Мат. заметки. — 1995. — Т. 58, вып. 12. — С. 851—
861.
5. Матросов В. М. Метод сравнения в математической теории систем / В. М. Матросов,
Л. Ю. Анапольский, С. Н. Васильев. — Новосибирск : Наука, 1980. — 481 с.
6. Немыцкий В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений / В. В. Немыцкий,
В. В. Степанов. — 3-е изд., испр. — М. : УРСС, 2004. — 552 с.
Серия «Физико-математические науки»
29
7. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. — М. : Мир,
1970. — 720 с.
8. Шестаков А. А. Об асимптотическом поведении решений нелинейной системы дифференциальных уравнений / А. А. Шестаков, А. У. Пайвин // ДАН. — 1948. — Т. 58, № 5. —
С. 495—498.
9. Hartman P. Asymptotic Integrations of linear Differential Equations / P. Hartman,
A. Wintner // Amer. J. Math. — 1955, 77. — P. 45—87.
10. Perron O. Ьeber lineare Differentialgleichungen, dei denen die unab-hangig Variable reel list,
I und II / O. Perron // Jou rn. fьr die Reine und Ange-wandte Mathematik. — 1913. —
Bd. 142. — S. 254—270.
11. Perron O. Ьber stabilitдt und asymptotishen Verchalten der Integrate von Differentialgbichungs
systemen / O. Perron // Math. Zeitschrift. — 1929. — Bd. 29. — S. 129—160.
12. Perron O. Ьber eine Matrixtransformation / O. Perron // Math. Zeitschrift. — 1930. —
Bd. 32. — S. 465—473.
13. Petrowsky I. Ьeber das Verhalten der Integralkurven eines Systems gewhnlicher
Differentialgleichungen in der Nдhe eines singulдren Punktes / I. Petrowsky // Мат. сб. — 1934. —
Т. 41. — № 1. — С. 107—155.
14. Petrowsky I. Nachtag zu meiner Arbeit «Ьber das Verhalten der Inte-gralkurven eines systems
gewцhnlicher Differential gleichungen in der Nдhe eines singulдren Punktes» / I. Petrowsky // Мат.
сб. — 1935. — Т. 42, № 3. —С. 403.
Поступила
13.02.2012.
УДК 517.912
ИССЛЕДОВАНИЕ ВОПРОСА
О СУЩЕСТВОВАНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
РЕШЕНИЙ*
А. В. Зубов, О. А. Зубова, О. А. Иванова,
К. А. Пешехонов
В статье приведен метод успешного построения указанной дифференциальной системы. Получен не только критерий существования периодических решений, но и
методы построения этих решений, основанные на численном интегрировании указанной дифференциальной системы.
В настоящей статье изучаются свойства
инвариантных множеств динамических периодических систем, определяющих уходящие движения. Предложена методика свертки фазового пространства в многомерный
тор таким образом, что инвариантные множества, соответствующие предельным множествам уходящих движений, оказываются ограниченными. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости таких множеств.
Постановка задачи. Сначала рассмот-
рим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
x& s = fs ( x1, ..., xk, z1, ..., zn -k ) ,
z& j = g j ( x1, ..., xk, ..., z1, ..., zn -k ) ,
s = 1, ..., k,
(1)
j = 1, ..., n - k.
Условия существования и единственности решений системы (1) будем считать выполненными. Пусть правые части системы
(1) являются периодическими функциями
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) (проект № 10-08-000624).
© Зубов А. В., Зубова О. А., Иванова О. А., Пешехонов К. А., 2012
30
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа