close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Поверхности определяемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и дополнительные структуры на многообразии к1 2.

код для вставкиСкачать
Естественные науки
УДК 514.763.8
ПОВЕРХНОСТИ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ СИСТЕМАМИ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА, И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ
СТРУКТУРЫ НА МНОГООБРАЗИИ К1,2
В.А.Труппова1
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет,
664074,г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Рассмотрены частные примеры многообразий в пространстве касательных элементов второго порядка. Приведено несколько примеров таких многообразий: 1. Базой многообразия является составное многообразие. 2. База
– дифференцируемое многообразие. 3. База – пространство 2-х скоростей . 4. База имеет единственную карту. 5.
База – аффинное пространство. Для последнего примера получены структурные уравнения с использованием
аппарата формального дифференцирования .
Библиогр. 10 назв.
Ключевые слова: система дифференциальных уравнений; оператор внешнего дифференцирования; дифференциальные формы.
SURFACES DEFINED BY THE SYSTEMS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE SECOND ORDER
AND ADDITIONAL STRUCTURES ON К1,2 MANIFOLD
V.A.Truppova
National Research Irkutsk State Technical University,
83 Lermontov St., Irkutsk, 664074.
Particular examples of manifolds in the space of tangent elements of the second order are examined. Several examples
of such manifolds are provided: 1. The base of manifold is a composite variety. 2. The base is a differentiable manifold.
3. The base is a space of two speeds. 4. The base has a single map. 5. The base is an affine space. Structural equations
with the use of the apparatus of formal differentiation are obtained for the final example.
10 sources.
Key words: system of differential equations; operator of exterior differentiation; differential forms.
Примеры многообразий
и их структуры
Работа посвящена рассмотрению частных примеров многообразий касательных элементов
. Для пятого
примера получены структурные уравнения с использованием аппарата формального дифференцирования. Целью исследования является применение теоре-тико – группового метода к исследованию поверхностей , определяемых системой дифференциальных уравнений .
Приведѐм несколько известных примеров пространства касательных элементов, структуры которых являются частными случаями многообразия
.
I. Многообразие
, у которого база является составным многообразием вида
, где
дифференцируемые многообразия нужного класса. В этом случае координатные функции в картах
на
запишутся так [ ]
( ̂)
,̂ перепишем:
̂
̂
̂
̂ , или, опуская индексы
0
=
,
(
)
(1)
В результате в формулах перехода от карты к карте [9 ] нужно положить:
и при p = q они примут вид
,
,
+
+ ,
.
(2)
Учитывая структурные уравнения составного многообразия [3], структурные уравнения данного типа многообразия
можно записать так:
D
D
(3)
Структура базовых форм этого многообразия также упрощается:
d
(4)
II. Пусть база многообразия
имеет вид
как и в I, – дифференцируемые мно___________________________
1
Труппова Валентина Алексеевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, тел.: (3952) 405176,
e-mail: tinatrup@rambler.ru
Truppova Valentina, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematics, tel.:
(3952) 405176, e-mail: tinatrup@rambler.ru
ВЕСТНИК ИрГТУ №2 (61) 2012
157
Естественные науки
гообразия. Такие многообразия рассматривались в [2,4,7].
Формулы (1), (2), (3) и (4) в этом случае запишутся так:
(
;
)
;D
;D
;
D
.
Случай
– аффинное пространство – встречается у В.И. Близникаса [4].
III. Пространства
с базой
пространства 2-х скоростей, рассмотрены в работах
В.И.Близникаса, З.Ю.Лупейкиса, Л.Е.Евтушика и В.В.Третьякова.
̃ У такого многообразия
IV. Пусть имеется многообразие
база имеет единственную карту,
область определения которой
совпадает с самим многообразием. Допустим , что на
задана локальная
группа Ли
преобразований , то есть пусть имеется отображение
=
̃
тогда
будем говорить , что на
задана локальная группа Ли
преобразований, если имеется область
̃ ,в
которой задана как локальная группа Ли преобразований [7]:
,x
,h
(5)
причѐм выполнены следующие условия:
1)
2) f [
]
3) f (
Ясно, что преобразования (5) индуцируют некоторые преобразования в пространстве скоростей
ускорений
, то есть в К [8].
При определении многообразия касательных элементов К формулами
(6)
(
)
где
,
(7)
в которых
, задаѐтся закон пересчѐта координат (
,
определяются
) элемента (п,w)
̃ опреде-
лѐнного в карте {
в координаты (
,
) этого же элемента, определѐнного в другой карте {
.
Если (5) рассматривать как аналог формул перехода на
в случае произвольного К, то соотношениями
(6) и (7), в которых
,
, будет определяться закон преобразования скоростей
и
ускорений
преобразовании (6) точек базы в К°.
Таким образом , если на базе
многообразия К° определить действие локальной группы
то такая
группа превращается в локальную группу Ли
преобразований многообразия К° с формулами (5), (6) и (7).
V. Допустим теперь, что базой многообразия К является аффинное пространство, то есть
В
этом случае формулы типа (1) имеют вид
,
(8)
где
параметры группы GL(n+1), единица которой имеет координаты . Преобразование (8) индуцирует
закон преобразования переменных
,
,
(
)
(9)
Системы (8) и (9) задают представление группы GL(n+1) в пространстве переменных (
которое
является многообразием одномерных касательных элементов второго порядка.
Прежде чем приступить к выводу структурных уравнений рассматриваемого многообразия, опишем перестановочность оператора дифференцирования и частной производной применительно к данному случаю. Подобные
процедуры рассматривались в [1,6].
Пусть имеется функция f ( класса
тогда легко видеть, что имеет место очевидное равенство
[
]
* + ,j, …,k = 0,1,2,…,n , то есть справедлива формула
d
.
Основываясь на (10) , можно показать справедливость соотношения
D
,
где D – оператор внешнего дифференцирования. Действительно, пусть имеется форма
где
функция класса
тогда
158
ВЕСТНИК ИрГТУ №2 (61) 2012
(10)
(11)
(
класса
Естественные науки
(
)
Дифференцируя внешним образом и учитывая, что D
]
D[
(
получаем
)
.
[ ]
Далее, так как D
,
( )
+
.
Равенство (11) доказано. Поскольку изучение носит локальный характер, то в приведѐнных доказательствах
функция и форма дифференцируемы в некоторых окрестностях соответствующих точек (
Дифференцируя (8) по всем переменным, приходим к дифференциальной форме этого закона d
, где инвариантные формы
группы GL(n+1), а также формы
имеют вид
повые параметры
и
удовлетворяют соотношениям
пишем новые выражения (
(
)
. Исходя из системы (9), за(
;
Груп-
,
)
(
)
.
(12)
Введѐм следующие обозначения:
=
=
,
=
,
=
,
,
,
(13)
Дифференцируя равенство (12), получаем дифференциальную форму группы GL(n+1) в пространстве касательных элементов второго порядка:
d
;
d
,
(14)
где
(15)
Положим
;
;
Распишем подробнее процесс отыскания формы
. Из первой системы (14) получаем
(
Учитывая (10), имеем
Так как в формы {
)
(
(d
} ни d
)
ни
)=0.
не входят, то
(
Учитывая эти равенства, получаем
=
Проведя подобные выкладки, приходим к системе форм:
;
;
.
.
Для отыскания частных производных от форм
(16)
по переменным {
воспользуемся (13) и (15):
;
d
Из (9) и (12) находим соотношения
= 0;
.
(17)
;
, которые использовались при получении (17). Учитывая (17), продифференцируем первую формулу из (14) по
(16) следует
.
+
Найдѐм производные по
ются функциями от
, из этой формулы и системы формул
=
,
=
.
(18)
при этом нужно учесть, что эти формы явля-
которые согласно (9) и (12), в свою очередь, являются функциями от
:
Учитывая (16), получим
ВЕСТНИК ИрГТУ №2 (61) 2012
159
Естественные науки
;
Дифференцируя формулы (19) р раз по
= 0;
приходим к системе форм:
;
d
Дифференцируя (18) р раз по
∑
+
;
=0.
(19)
;
=
.
учитывая (19), получим формулу р – го продолжения величины (
=
d
;
. При нахождении дифференци-
альных уравнений для форм
продифференцируем второе равенство из (14) соответственно по
d
d
:
(20)
При этом надо учесть (13) и (17). Дифференцируя р раз по переменной (
формулу р – го продолжения величин
,
оба равенства (20), получаем
∑
+
+
d
+∑
Заметим, что величины (
,
и(
связаны соотношениями
(21 )
поэтому систему (14) можно переписать так:
Продифференцируем полученные равенства сначала по (
;
.
Из равенств (22) дифференцированием приходим к системе
=p
+
+
|
=
=
+
; d
|
.
=
(22)
| |
+p
| |
p
|
|
+
Для вывода структурных уравнений пространства одномерных касательных элементов второго порядка
дифференцируем внешним образом систему (15):
D =
;
D
,
(23)
а затем, дифференцируя (23) дважды по
получаем искомые формулы:
D
; D
;
D
;D
где
– структурные формы линейной группы.
Систему дифференциальных уравнений второго порядка
,
(
будем рассматривать как конечные уравнения поверхности
ментов второго порядка (9).
Дифференцируя систему (25), получаем
(24)
)
(25)
в пространстве одномерных касательных эле-
(26)
|
где
=
|
.
Учитывая соотношения (21), дифференциалы d
можно выразить через формы
, , а затем подставить в (26). В результате приходим к системе дифференциальных вида
(27)
где
;
=
+
.
(28)
Эта система называется основной. Продолжение основной системы приводит к следующей системе дифференциальных уравнений внутреннего фундаментального объекта:
160
ВЕСТНИК ИрГТУ №2 (61) 2012
Естественные науки
; d
=
+
|
|
;
| |
=
(q>2) ;
d
;
=
| |
=
|
+q
, (q
| |
|
+
(29)
.
Преобразуем систему (28), используя соотношения (21) к виду
.
(30)
Для получения формул, с помощью которых компоненты внутреннего фундаментального объекта (p+q) – го
порядка можно выразить через частные производные от функций, стоящих в правых частях исходной системы
дифференциальных уравнений (25), нужно (30) дифференцировать соответствующее число раз, используя (29).
В результате приходим к соотношениям:
∑
∑
∑
∑
| |
…
| |
++
=
;
∑
∑
…
,
где символы
обозначают сверхиндексы и пробегают серии симметрических индексов
(
(
)[ ]
Заключение. Работа носит теоретический характер, но еѐ результаты могут быть использованы при исследовании систем обыкновенных дифференциальных уравнений механики и физики.
Библиографический список
1. Близникас В.И. О секущих поверхностях пространств опорных элементов // Тр. геометр. семинара / Казанский ун-т. Казань,
1975. Вып.VIII. С. 16–40.
2. Близникас В.И., Лупейкис З.Ю. Геометрия дифференциальных уравнений // Алгебра. Топология. М., 1974. Вып.II. С. 209–
259 ( Итоги науки ВИНИТИ АН СССР).
3. Близникас В.И. О геометрии некоторых классов оснащѐнных расслоенных пространств: дис. … докт. физ. -мат. наук.
Вильнюс, 1970. 310 с.
4. Близникас В.И. О геометрии нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений высшего порядка // Литов.
мат. сб. 1967. Т. 7, №2. С.231–248.
5. Вагнер В.В. Теория составного многообразия // Тр. семинара по вектор. и тензор. анализу. 1950. Вып. VIII. С.11–72.
6. Восилюс Р.В. Формальное дифференцирование в пространстве геометрических объектов // Литов. мат. сб. 1976. Т.15,
№4. С. 17–40.
7. Евтушик Л.Е., Лумисте Ю.Г. , Остиану Н.М. , Широков А.П. Дифференциально - геометрические структуры на многообразиях // Проблемы геометрии. Т.9: Итоги науки ВИНИТИ АН СССР. М., 1979. С. 5–246.
8. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. М.: Мир,1975. 352 с.
9. Труппова В.А. Система дифференциальных уравнений в пространстве одномерных касательных элементов второго порядка // Вестник ИрГТУ . 2010. № 6 (46). С.295–299.
10. Шинкунас Ю.И. О связностях пространства опорных сверхвекторов р-го порядка // Тр. геометр. семинара. Казань , 1975.
Вып.VIII. С. 133–144.
ВЕСТНИК ИрГТУ №2 (61) 2012
161
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа