close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Проявление кратности частот собственных колебаний конечномерных систем.

код для вставкиСкачать
Механика и машиностроение
УДК 621.06
ПРОЯВЛЕНИЕ КРАТНОСТИ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ КОНЕЧНОМЕРНЫХ
СИСТЕМ
© В.И. Соболев1, Нгуен Фу Туан2
Иркутский государственный технический университет,
664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Рассмотрены возможности устранения колебаний конечномерных линейных динамических систем по заданным
направлениям при действии мгновенного импульса. Исследованы свойства конечномерных систем, имеющих
краткие частоты собственных колебаний. Доказано, что для конечномерных систем второго и третьего порядка
условия кратности приводят к необходимости устранения перекрёcтных упругих связей.
Библиогр. 3 назв.
Ключевые слова: колебания упругих систем; мгновенный импульс; матрицы собственных векторов; собственные значения.
MULTIPLE FREQUENCY MANIFESTATION IN FINITE DIMENSIONAL SYSTEM EIGENMODE VIBRATIONS
V.I. Sobolev, Nguyen Phu Tuan
Irkutsk State Technical University,
83 Lermontov St., Irkutsk, Russia, 664074.
The paper considers the possibility to eliminate the vibrations of finite dimensional linear dynamic systems by given directions under instantaneous impulse. Having studied the features of the finite dimensional systems with short frequencies
of eigenmodes, it proves the fact that the multiplication factor in the finite dimensional systems of the second and third
order results in the need to eliminate cross elastic constraints.
3 sources.
Key words: vibrations of elastic systems; instantaneous impulse; eigenvector matrices; eigenvalues.
В более ранней работе авторов [2] было показано,
что при воздействии мгновенного импульса на конечномерную линейную динамическую модель размерности n для отсутствия собственных колебаний по некоторому направлению j , не совпадающему с
столбец матрицы
векторов матрицы
направлением воздействия i , необходимо и достаточно обеспечить n кратность собственных значений
где aij – элементы векторов
1
матрицы D  RM (здесь M – матрица инерционных параметров; R – матрица жесткостей динамической модели).
Минимальное значение амплитуд колебаний
x j (t ) , то есть ( min (max x j (t )) ) может достичь
j
t
нулевого значения при условии
sin 1t
1

sin 2t
2
 ...
sin nt
n
,
(1)
где х j (t ) ( j  1  n) – функция перемещения некоторого узла модели по направлению i ;
i –
частота
собственных колебаний; t – параметр времени.
Справедливость этого утверждения следует из
условия ортогональности векторов A j и B1 , ( j  1 ),
где A j – вектор-строка матрицы  ;
B1 – вектор-
 1 ;  – матрица собственных
D.
n
sin(i t )
,
x j (t )   aij bi1
i 1
i
A j ; bi1
– элементы век-
торов B1 .
Для системы с конечным числом степеней свобо-
D  RM 1 имеет вид
r
r
r
11   12
... 1n
m
m
m
1
1
1
r
r
r
21
22  
... 2n
m
m
,
(2)
D m
2
2
2
...
r
r
r
n1
n2
... nn  
m
m
m
n
n
n
где rij – элементы матрицы жесткостей линейноды матрица
упругой системы;
mi – инерционный параметр пере-
___________________________
1
Соболев Владимир Иванович, доктор технических наук, профессор кафедры сопротивления материалов и строительной
механики, тел.: 89246349860, e-mail: vladsobol@yandex.ru
Sobolev Vladimir, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Strength of Materials and Structural Mechanics, tel.:
89246349860, e-mail: vladsobol@yandex.ru
2
Нгуен Фу Туан, аспирант, тел.: 89247085979, e-mail: bennaydaiduong@yahoo.com
Nguyen Fu Tuan, Postgraduate, tel.: 89247085979, e-mail: bennaydaiduong@yahoo.com
32
ВЕСТНИК ИрГТУ №3 (74) 2013
Механика и машиностроение
мещения по направлению с номером i (i  1  n) .
Для системы с двумя степенями свободы нахождение это условия определяется кратностью корней
уравнения D  0 .
r11

m1
r12
m1
r21
m2
r
r 
r
f ( )  3  2  11  22  33  
 m1 m2 m3 
 r11 r22  r11 r22 r 212
      

0.
 m1 m2  m1 m2 m1m2
(3)
Кратные корни уравнения (3) или кратные собственные значения существуют при условии равенства нулю детерминанта уравнения (3):
2
 r11 r22 
r 212
 
  4 
 0.
m1m2
 m1 m2 
(4)
В силу неотрицательности левой части равенства
(4), справедливо
 r11 r22
 
 m1 m2 .
r  0
 12
(5)
Равенства (5) показывают, что условие кратности
частот собственных колебаний для систем второго
порядка приводит к необходимости формирования
двух несвязанных систем первого порядка. Динамическая система, имеющая упругие связи отличные от
нуля, кратных частот иметь не может.
Для системы с тремя степенями свободы также
предполагается, что воздействие мгновенного импульса осуществляется по направлению с номером 1.
Тогда функция перемещений некоторого узла по
направлению 2 может быть записана в виде
i 1
sin(i t )
i
. Тождественное равенство
x2 (t )  0 , достижимо тогда, когда
(6)
В этом случае справедливо соотношение
sin(1t )
 a23b31
1
 a22b21
sin(3t )
3
 r 212
r 213
r 2 23 r11 r22 





 m1m2 m1m3 m2 m3 m1 m2 
 

r r
r r
  11 33  22 33

 m m m m

2
3
 1 3

2
2
r11r22r33  2r12r13r23  r11r 23  r22r 13  r33r 212

.
m1m2 m3
(7)
При выполнении равенства (6) уравнение имеет
единственное действительное решение кратности 3:
df ( )
 32  2
d
 r11 r22 r33 
    
 m1 m2 m3 
 r 212
r 213 r 2 23 r11 r22




 m1m2 m1m3 m2 m3 m1 m2

r r
r r
  11 33  22 33
 m m m m
2
3
 1 3
Рассмотрим
детерминант
 f

 .





уравнения
f ( )  0 .
2
r
r 
r
 f   4 11  22  33  
 m1 m2 m3 
 r 212
r 213
r 2 23 r11 r22  .





 m1m2 m1m3 m2 m3 m1 m2 
 12  

r r
r r
  11 33  22 33

 m m m m

2
3
 1 3

(8)
Преобразуя равенство (8), получим
1  2  3 .
a21b11
D для системы
третьего порядка имеет вид
 0,
r12

m1
2
x2 (t )   ai 2bi1
1
обратных матриц  и  , то оно тождественно равно нулю.
Рассмотрим условия выполнимости равенства (6).
Развернутая запись определителя
или
3
Поскольку в правой части этого равенства присутствует скалярное произведение векторов взаимно
sin(2t )
2
 ( A2 , B1 )

sin 1
1
.
2
2
 r
r22   r11 r33  
11
        
 m1 m2   m1 m3  


2
  r22 r33 

 f   2    
 . (9)
m2 m3 



2
2
  r 212

r 13
r 23 
 
 6


  m1m2 m1m3 m2 m3  


ВЕСТНИК ИрГТУ №3 (74) 2013
33
Механика и машиностроение
Кратность
(
решений
уравнения
D 0
f ( )  0 ) происходит тогда, когда  f   0 . В силу
неотрицательности  f  справедливо:
 r11 r22 r33

 
 m1 m2 m3 .
r  r  r  0
 12 13 23
(10)
частот иметь не может.
Для системы с размерностью n  4 использование предыдущего подхода является невозможным.
Поскольку матрица D не симметричная, то условия
кратности определяются решением несимметричной
проблемы собственных значений [1,3].
Из условия решения проблемы собственных значений имеем
1
(11)
  D  ,
где diag (i )   ; i  1..n .
Если матрица D имеет все кратные собственные
значения k , то  можно описать в виде
diag (k )    k I , где I – единичная матрица.
Тогда равенства (11) имеюют вид
Отсюда
 1 
Из условия
1
k
1
 I
1
k
D  I .
имеем
D   .
В развернутом виде
r
1n
k  m
1
r
2n
...
k  m
2
r
12
k  m
1
r
22
k  m
2
...

...
Равенства (10) показывают, что условие кратности
частот собственных колебаний для систем третьего
порядка приводит к необходимости формирования
несвязанных систем. Динамическая система, имеющая упругие связи в виде rij  0 при i  j , кратных
 1  D    k I .
r
11
k  m
1
r
21
k  m
2
(12)
r
n1
k  m
n
1 0
0
r
n2
k  m
n
...
r
nn
k  m
n
... 0
1
... 0

...
0
0
... 1
Таким образом, справедливо:
 rij
  k при i  j , i  1..n
.
 mi
r  0 при i  j
 ij
(13)
Равенства (13) показывают, что:
1. Попытка устранения собственных колебаний
конечномерной динамической системы размерности n
по некоторому направлению приводит к необходимости формирования системы, имеющей n кратных собственных частот
2. Условие кратности частот собственных колебаний для систем с размерностью n приводит к необходимости формирования n несвязанных систем первого
порядка. Динамическая система, имеющая упругие
связи в виде rij  0 при i  j , кратных частот иметь
не может.
3. При воздействии мгновенного импульса на конечномерную систему порядка n присутствуют собственные колебания по всем направлениям.
Библиографический список
1. Икрамов Х.Д. Несимметричная проблема собственных
ИрГТУ. 2012. № 9. С. 51–53.
значений. Численные методы. М.: Наука, 1991. 240 с.
3. Кублановская. В.Н. О некоторых алгоритмах для решения
2. Соболев В.И, Нгуен Фу Туан. Конечномерные аппроксиполной проблемы собственных значений // Журнал «Вычисмации в моделировании собственных колебаний упругих
ленной математики и математической физики». 1961. № 4.
систем при воздействии мгновенного импульса // Вестник
34
ВЕСТНИК ИрГТУ №3 (74) 2013
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
2 416 Кб
Теги
частоты, кратности, система, колебания, проявления, собственных, конечномерные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа