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Структура пространств модулярных форм феномен рассечения.

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5
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c 2013
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Sk (?0 (N ), ?) ? Mk (?0 (N ), ?) ??? ????? ??????? N , ??? ??? ????????? ???????? k0 Sk0 (?0 (N ), ?) ? ?????????? ????????????, ???????????
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????? ? ??????????? [3; 4].
1.
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Q
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Q
(?1)k s
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? r0
0
2sp 6 rp = 2r0 ,
? p + pr ?1 ,
0
r
?(rp , sp , p) =
2p ,
2sp 6 rp = 2r0 + 1,
?
rp ?sp
2p
,
2sp > rp ,
?
? 0, k ? 1 (mod 2),
? 1 , k ? 2 (mod 4),
?k =
? 41
, k ? 0 (mod 4),
? 4
? 0, k ? 1 (mod 3),
? 1 , k ? 2 (mod 3),
хk =
? 31
3 , k ? 0 (mod 3).
??????? 1 [4].
= (?1)k , ??
???? k ? ?????, ? ? ???????? ??????? ?? ?????? N, ?(?1) =
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Y
X
1 Y
(k ? 1)N
(1+p?1 )?
?(rp , sp , p)+ ?k и
?(x)+хk и
12
2
2
p|N
p|N
x:x +1?0(N )
X
?(x)
x:x2 +x+1?0(N )
???? k > 2, ?? dimC (M2?k (?0 (N ), ?)) = 0. ????? ????? ?????????? ?????
dimC (Sk (?0 (N ), ?)). ???? k 6 0, ?? dimC (Sk (?0 (N ), ?)) = 0. ????? ????? ?????????? ????? ?dimC (M2?k (?0 (N ), ?)).
2.
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3.1. ??????? 1. ???????
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????????????????? ???-????????????. ?? ???????????? ? (n) ? ???????? ?????????????? ??????? ???????????. ??????? ?(z) ?????????? ????? ???? ??????????? E4 (z) ? E6 (z) :
E 3 (z) ? E62 (z)
.
? 24 (z) = 4
1728
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7
???????? [4] ???????????? ??????? ? ???, ???:
1) ????? ??????? ?? Mk (?) ????? ???? ??????? ? ????
X
cij E4i (z)E6j (z);
4i+6j=k
2) ????? ??????? ?? Sk (?),
24
k > 12, ????? ???? ??????? ? ????
f (z) = ? (z)g(z),
g(z) ? Mk?12 (?).
3.2. ??????? ? ????????
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???-?????????????, ????? ????? ??????????? ????????.
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1) ????? f (z) ? ????????????????? ?-???????????? ????????? ????, ??????????? ?????????? ???????????? Sl (?0 (N ), ?). ????? ????? ??????? g(z) ? V1 ?
=
?
= Sk (?0 (N ), ?k ), l|k, ????? ??? g(z) = f (z)h(z), h(z) ? V2 ?
= Mk?l (?0 (N ), ?k?1 ).
2) ????? f (z) ? ????????????????? ?-???????????? ??????? ????, ??????????? ?????????? ???????????? Sl (?0 (N )). ????? ????? ??????? g(z) ? V1 ?
=
?
= Mk?l (?0 (N )).
= Sk (?0 (N )), l|k, ????? ??? g(z) = f (z)h(z), h(z) ? V2 ?
??????????????.
1 ??????.
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???????????????? ? V1 . ??????????????? ???????????, ??? dimV1 = dimV2 . ?????????????, V1 ?
= V2 .
2 ??????.
????? g(z) ? V1 . ??? ??? ??????? f (z) ???????????? ? ?????????????? ????????, ??????? ords (f ) = 1 ??? ????? ?????????????? ??????? s, ?? fg(z)
(z) ????????
?????????? ?????? ?? V2 .
?? ???????????? ??? ????, ??? ???? f1 (z) ? Mk1 (?0 (N ), ?1 ) ? f2 (z) ?
? Mk2 (?0 (N ), ?2 ), ?? f1 (z)f2 (z) ? Mk1 +k2 (?0 (N ), ?1 ?2 ).
??????? 3.
????? V1 ? ???????????? ?????????????? ????, ????????? ? ?????? ??????? ???????, ????? ????? ??????? ?? V1 ???????? ?????????? ??????????? ??
??????? G1 , G2 , ..., Gs ?? ???????????? V2 ??????? kl , ????????? ?? ????????????????? ?-???????????? F (z), ??????? ????? ???????? ?????????? ??????????? ?? G1 , G2 , ..., Gs .
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2
2
2
2
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2
2
2
2
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??? ?????? ??????????????? ?????????? ? ????????? ?????? ????????? ???????????. ?? ???????? ???????? ????????? ???????, ? ??????? ???????? ??? ???????? ???? ??????????????.
8
?.?. ?????????????
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V1
V2
k
l
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F (z)
Sk (?0 (36))
M2 (?0 (36))
2|k 2
1
64
Sk (?0 (32))
M2 (?0 (32))
2|k 2
1
82 и 42
Sk (?0 (27))
M2 (?0 (27))
2|k 2
1
92 и 32
Sk (?0 (24))
M2 (?0 (24))
2|k 2
1
12и6и4и2
Sk (?0 (20))
M2 (?0 (20))
2|k 2
1
102 и 22
Sk (?0 (15))
M2 (?0 (15))
2|k 2
1
15и5и3и1
Sk (?0 (14))
M2 (?0 (14))
2|k 2
1
14и7и2и1
Sk (?0 (11))
M2 (?0 (11))
2|k 2
1
112 и 12
Sk (?0 (12), ?k ) M3 (?0 (12), ?) 3|k 3
3
3
( ?3
d ) 6 и2
Sk (?0 (16), ?k ) M3 (?0 (16), ?) 3|k 3
6
( ?1
d ) 4
Sk (?0 (7), ?k )
3
3
( ?7
d ) 7 и1
M3 (?0 (7), ?)
3|k 3
Gi
48 и 2?4 ; 18 и 2?4 ;
128 и 6?4 ; 38 и 6?4 ;
368 и 18?4 ; 98 и 18?4 ;
96 и 3?2 ; 16 и 3?2 ;
186 и 6?2 ; 26 и 6?2 ;
366 и 12?2 ; 46 и 12?2
48 и 2?4 ; 18 и 2?4 ;
88 и 4?4 ; 28 и 4?4 ;
168 и 8?4 ; 48 и 8?4 ;
328 и 16?4 ; 88 и 16?4
96 и 3?2 ; 16 и 3?2 ;
276 и 9?2 ; 36 и 9?2 ;
3
1 и 3?2 и 93 ; 33 и 9?2 и 273
48 и 2?4 ; 18 и 2?4 ;
88 и 4?4 ; 28 и 4?4 ;
128 и 6?4 ; 38 и 6?4 ;
248 и 12?4 ; 68 и 12?4
48 и 2?4 ; 18 и 2?4 ;
208 и 10?4 ; 58 и 10?4 ;
14 и 2?2 и 54 и 10?2 ;
204 и 10?2 и 44 и 2?2 ;
12 и 36 и 5?4 ; 152 и 56 и 3?4 ;
14 и 3?2 и 5?2 и 154 ;
1?2 и 34 и 54 и 15?2
4
1 и 2?2 и 74 и 14?2 ;
1?2 и 24 и 7?2 и 144 ;
114 и 76 и 2?16 ;
1414 и 26 иP
7?16 P
?
f (z) = 1 + n=1 ( d|n d)q n ;
114 и14
f (z)
9
?3
39 и 1?3 ; 1 и 3 ;
69 и 2?3 ; 29 и 6?3 ;
129 и 4?3 ; 49 и 12?3 ;
63 и 23
14 и 26 и 4?4 ;
24 и 46 и 8?4 ;
164 и 86 и 4?4 ;
84 и 46 и 2?4 ;
44 и 86 и 16?4 ;
44 и 26 и 1?4 ;
46
77 и 1?1 ;
17 и 7?1 ; 73 и 13
9
????????? ??????????? ?????????? ????: ??????? ...
????????? ???????
k
Sk (?0 (8), ? )
M3 (?0 (7), ?)
k
Sk (?0 (5), ? 2 ) M2 (?0 (5), ?)
3|k
2|k;
k>4
( ?2
d )
3
2
2
8 и4и2и1
2 ( d5 )
54 и 14
Sk (?0 (6))
M4 (?0 (6))
4|k
4 1
62 и32 и22 и12
Sk (?0 (9))
M4 (?0 (9))
4|k
4 1
38
Sk (?0 (8), ?k )
M2 (?0 (8), ?)
2 ( d2 )
44 и 24
Sk (?0 (4), ?k )
M5 (?0 (4), ?)
Sk (?0 (3), ?k )
M3 (?0 (3), ?)
Sk (?0 (4))
M2 (?0 (4))
Sk (?0 (2))
M2 (?0 (2))
2|k;
k>4
5|k
3|k;
k>6
2|k;
k > 12
2|k;
k>8
4
2
4
5 ( ?1
d ) 4 и2 и1
6
6
3 ( ?3
d ) 3 и1
1?2 и 2?1 и 411 и 8?2 ;
8?2 и 4?1 и 211 и 1?2 ;
82 и 4 и 2 и 12
55 и 1?1 ;
15 и 5?1
1?4 и 28 и 3?4 и 68 ;
6?4 и 38 и 2?4 и 18 ;
14 и 216 и 3?12 ;
64 и 316 и 2?12 ;
62 и 32 и 22 и 12
3?4 и 912 ; 3?4 и 112 ;
1?3 и 38 и 93 ;
13 и 3?4 и 99 ; 38
1?2 и 23 и 4 и 82 ;
12 и 2 и 43 и 82
226 и 4?4 и 1?12 ;
1?4 и 226 и 4?12 ;
44 и 22 и 14
1?3 и 39 ; 19 и 3?3
2 1
212
2?4 и 48 ;
1?8 и 220 и 4?8
2 1
18 и 28
116 и 2?8 ; 1?8 и 216
??????????????.
???????????? Sk (?0 (4)) ? Mk (?0 (4)).
???????????? ?????? ?0 (4) ?????????? ??? ??????????????? ??????????????
??????? {0}, {?}, { 12 }. ????? ??????? ?? Mk (?0 (4)) ???????? ????? ??????????? ??????? k2 ?? G1 (z) = ? ?4 (2z)? 8 (4z) ? G2 (z) = ? ?8 (z)? ?8 (4z)? 20 (2z).
??????? ??? ?? ????????.
??? M2 (?0 (4)) ??????? G1 (z) ? G2 (z) ???????? ?????. ? ?????????????? ????????: ord? (G1 ) = 1, ord 21 (G1 ) = 0; ord? (G2 ) = 0, ord 12 (G2 ) = 1.
????? f (z) ? Mk (?0 (4)). ???? f (z) ????? ???? ? ?, ??
1
2,
f (z)
G2 (z)
f (z)
G1 (z)
= h(z) ?
??
= h(z) ? Mk?2 (?0 (4)). ??
? Mk?2 (?0 (4)), ???? f (z) ????? ???? ?
????????????? ???????? h(z) ???????? ?????????? ??????????? ??????? k?2
2
?? G1 (z) ? G2 (z).
????????????????? ?-???????????? F (z) = ? 12 (2z) = G1 (z)G22 (z) ?
f (z)
? 16G1 (z)2 G2 (z)[2]. ????? f (z) ? Sk (?0 (N )), k > 6. ? ???? ?????? ?12
(2z) ?
? Mk?6 (?0 (N )), ??? ??? ords F (z) = 1 ??? ????? ?????????????? ??????? s.
????? ???????, ??????? f (z) ???????? ?????????? ??????????? ??????? k2
?? G1 ? G2 , ????????? ?? F (z).
10
?.?. ?????????????
k
k
???????????? Sk (?0 (4), ? 2 ) ? Mk (?0 (4), ? 2 ), ?(d) = ( d5 ), 2|k, k > 4.
?? ????? ???????????? ? ?????????????? ??? ???????????? ????, ??? ???? f1 (z) ? Mk1 (?0 (N ), ?1 ) ? f2 (z) ? Mk2 (?0 (N ), ?2 ), ?? f1 (z)f2 (z) ?
? Mk1 +k2 (?0 (N ), ?1 ?2 ).
???????????? ?????? ?0 (5) ?????????? ??? ??????????????? ??????????????
k
???????: {0}, {?}. ????? ??????? ?? Mk (?0 (5), ? 2 ) ???????? ????? ??????????? ??????? k2 ?? G1 (z) = ? ?1 (z)? 5 (5z) ? G2 (z) = ? ?1 (5z)? 5 (z).
??????? ??? ?? ????????.
??? M2 (?0 (5), ?) ??????? G1 (z) ? G2 (z) ???????? ?????. ? ??????????????
????????: ord? (G1 ) = 1, ord0 (G1 ) = 0; ord? (G2 ) = 0, ord0 (G2 ) = 1.
k
=
????? f (z) ? Mk (?0 (5), ? 2 ). ???? f (z) ????? ???? ? ?, ?? Gf1(z)
(z)
k
= h(z) ? Mk?2 (?0 (5), ? 2 ?1 ), ???? f (z) ????? ???? ? 0, ??
f (z)
G2 (z)
= h(z) ?
k
2 ?1
). ?? ????????????? ???????? h(z) ???????? ?????????? ???? Mk?2 (?0 (5), ?
???????? ??????? k?2
?? G1 (z) ? G2 (z).
2
????????????????? ?-???????????? F (z) = ? 4 (5z)? 4 (z) = G1 (z)G2 (z). ?????
k
f (z) ? Sk (?0 (5), ? 2 ), k > 4. ? ???? ?????? Ff (z)
(z) ? Mk?4 (?0 (N )), ??? ???
ords (F (z)) = 1 ??? ????? ?????????????? ??????? s.
????? ???????, ??????? f (z) ???????? ?????????? ??????????? ??????? k2
?? G1 ? G2 , ????????? ?? F (z).
???????????? Sk (?0 (12), ?k ) ? Mk (?0 (12), ?k ), ?(d) = ( ?3
d ), 3|k.
?????????? ???????
G1 (z) = ? ?3 (z)? 9 (3z);
G2 (z) = ? ?3 (3z)? 9 (z);
G3 (z) = ? ?3 (2z)? 9 (6z);
G4 (z) = ? ?3 (6z)? 9 (2z);
G5 (z) = ? ?3 (4z)? 9 (12z);
G6 (z) = ? ?3 (12z)? 9 (4z);
G7 (z) = ? 3 (2z)? 3 (6z).
????? ??????? ?? ???????????, ????????? ? ?????????, ???????? ??????????
??????????? ??????? k3 ?? ???? ???????. ??????? ??? ?? ????????.
??? ???????????? M3 (?0 (12), ?k ) ??? ???? ??????? ???????? ?????.
????? ??? k, ?????????? ?? 3, ?????
k
k
k
Mk (?0 (12), ?k ) ?
= Sk (?0 (12), ?k )? < G13 > ? < G23 > ? < G33 > ?
k
k
k
? < G43 > ? < G53 > ? < G63 >
k?3
???? f (z) ? Sk (?0 (12), ?k ), ?? Gf7(z)
). ????? ????????? ????(z) ? Mk (?0 (12), ?
????????? ????????.
??? ????????? ??????????? ?????????????? ?????????? ??????????.
3.
???????? ????????
? ????? ?????? ???????????? ????????? ???????? ???????:
1) ????????? ???? ?? ?????????? ?????? ?? ???????? ???? ???: ????????
???? ??????????? ?????????? ????, ??????????? ???-??????????????;
????????? ??????????? ?????????? ????: ??????? ...
11
2) ??????? ????????? ????????: ? ????? ??????? ???????????? Sk+l (?0 , ?и?1 )
???????? ????????????? ??????????? Sl (?0 , ?) ? Mk (?0 , ?1 ). ? ????????????? ?
?????? ?????? ?????? ???????????? Sl (?0 , ?) ?????????. ????????? ??????, ???
??????? ???? ? ?????? ??????? ???????????;
3) ???????? [2], ???
X
(0,a )modN
Gk 2
(z) ? Mk (?0 (N )),
a2 ?(Z/N Z)?
Y
(0,a2 )modN
Gk
(z) ? M?(N )k (?0 (N )).
a2 ?(Z/N Z)?
????? ??? ??? ????????? ????? ???-???????. ????? ????????? ????? ??????????, ???? N ? ???? ?? ??????? ?? ???????.
??????????
[1]
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????????? ? ???????? 22/V /2013;
? ????????????? ???????? ? 22/V /2013.
12
?.?. ?????????????
THE STRUCTURE OF MODULAR FORM:
THE PHENOMEN OF THE SECTION
c 2013
G.V. Voskresenskaya3
In the article we study the structure of spaces of modular forms Sk (?0 (N ), ?)
and Mk (?0 (N ), ?) for the levels N such that for a value k0 Sk0 (?0 (N ), ?) is
a one-dimensional space generated by a multiplicative ?-product.
Key words: spaces of modular forms, Dedekind eta-function, parabolic vertex.
Paper received 22/V /2013.
Paper accepted 22/V /2013.
3 Voskresenskaya Galina Valentinovna (galvosk@mail.ru), the Dept.of Algebra and Geometry,
Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.
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