close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Субоптимальные методы обработки сигналов нетеплоизолированных калориметров и датчиков давления.

код для вставкиСкачать
УЧЕНЫЕ
з:ь
»
удк
512.2:533.6.07.08
ЗАПИСКИ
Х
ЦАГИ
М
1979
5
СУБОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
НЕТЕПЛОИ30ЛИРОВАННЫХ КАЛОРИМЕТРОВ И ДАТЧИКОВ
ДАВЛЕНИЯ
Н. А. Калганов
Рассмотрены различные субоптимальные алгоритмы определения
параметров
сигналов
нетеплоизолированного
калориметра и
датчика
давления с учетом инерционноети пневмотрассы (при малых перепа­
дах давления).
Проведено
сравнение
точности субоптимальных
и оптимальных оценок. Анализируются условия, при которых погреш­
ность субоптимальных алгоритмов (простых в аппаратурной реали­
зации) не зна чигеяьио превышаег минимальную погрешность опти­
ма льных
алгори гм ов ,
Современный аэродинамический эксперимент характеризует ся направлен ­
ностью на максималь ное повышение информативности . Шумы, которые сопро­
вождают пол езную ин формацию, затрудняют определение интересующих экспе­
риментатора величи н. Как показано в работе
повышение
[1],
информативности
аэродинамического эксперимента может быть достигнуто благодаря применению
современной статистич еской теории оценки [2, 3].
для характерных условий аэродинамического аксперименга оптимальным
методом опреде ления параметров сигналов датчиков на фоне шумов является
метод максимального прав доподобия [1], который дает строгое решение обрат­
ной з а д а ч и статистич еской теории оценок [2-4]. Метод максимального правдо­
подобия позволяет определять искомые параметры с заданной погрешностью за
минимальное время или находить эти
при
параметры с минимальной погрешностью
заданном времени измерения.
Оптимальные решения
важны
для
получения
предельных
оценок
мини­
мально достижимой погрешности. В некоторых случаях целесообразно исполь­
эовать так называемые су бопгимаяьные алгоритмы оценивавия, которые имеют
большую погрешность по сравнению с оптимальными, но з а т о более просты
в аппаратурной реализации. Ряд примеров субоптимальныхалгоритмов приведен
в работе [5] . При испо аьзовании субоптимальных а л горитмов д л я оценивания
искомых параметров необходимо указывать степень их эффективности, т. е .
насколько
их
точность
В настоящей
о п р е д ел е н и я
чиков
ниже
статье
параметров
давления
с
точности
оптимальных
рас смотрены
сигналов
учетом
различные
алгоритмов.
субоптимальные
нетеплоизолированных
инерционности
пневмотрасс
алгори тмы
калориметров
при
малых
и
дат­
перепадах
давления.
].
Передаточную функцию нетеплоизолированного калориметра при опре­
делении теплового потока и
дат чика
давления с
учетом инерционности пневмо­
трассы (при малых перепадах давления) можно аппроксимировать характеристи-
8 - Уч ен ы е
з а п ис к и
Х.
5
113
кой
инерционного
звена
первого порядка
Соответственно уравнение,
[1, 6-7].
которому удовлетворяет сигнал указанных датчиков, эквивалентно следующему:
-
1 •
х
(t)
+ х (t)
fJ.
х (О)
+ nl (t),
= &1
=
О <:
t -< tk.
&2 = const.
Здесь t - время, tk - интервал времени наблюдения, 1//1- - извесгная постоянная
времени датчика, &1 - измеряемое постоянное входное воздейс твие (искомый
параметр), &2 - начальное условие, nl (t) - входное пульсирующее воздействие
аэродинамического
характера.
•
=
Полоса пропускания Ilw
р. используемых датчиков обычно много уже
характерной ширины спектра аэродинамических пульсаций. Поэтому, как пока­
зано в [1]. шум nl (t), вызванный аэродинамическими пульсациями, можно счи­
тать белым шумом с корреляционной функцией В 1 ('1:)
N 1 1) ('1:), где N 1 - спект­
ральная плотность эквивалентного белого шума, 1) ('1:) - дельта-функция Дирака.
При регистрации сигнала датчика существенны шумы приемной аппара­
туры, которые могут _быть учтены аддитивным белым щум.ом со спектральной
плотностью N 2 ; приложенным к выходу датчика [1]. Предположим также, что
шумы nl (t) и n2(t) независимы и распределены по нормальному закону.
Суммарный выходной сигнал датчика можно записать в следующем виде:
=
у (t) = х (t)
+ n2(t)
Г де 81 (t)
1 - e-tJ.t ;
=
= 8 (t, &1' (2)
+
Цt)
=
&1 81 (t)
реляционной функцией.
в ('1:) =
+
/1-N1 e-tJ.I~J
Задача оценивания параметров сигнала
неизвестна
и
0-< t -< tk.
(I)
является
мешающим
+ н, о ('1:).
(1) на интервале времени (О, t k )
&1' В общем еду чае величина &2
параметром.
Оптимальная оценка векторного параметра
методу максимального пр авдоподобия
(2)
ставится следующим - о б р а з о м : тре­
буется 110 реалиаации
сигнала датчика у (t)
определить неизвестное входное воздействие
также
+ &2 82(t) + Цt),
8 2(t) = e-tJ.t ; ~ (t) - нормальный случайный процесс с кор ­
[2],
i =
[&/], i = 1, 2, подученная по
в работе [1]. Она опре­
рассмотрена
дедяется из уравнения максимального IIравдоподобия :
где максимум находится по области допустимых значений
функционая
образом [2]:
отношения
правдоподоёня,
L [у (t)
который
3. Здесь
определяется
[[у (t) I &]-
следующим
W(y], ..• , yni&)
1&] = liт
n--оо
W (Yl' ... , yn'l&o)
где W (Уl' .• . , Уn I i) - совместная функция распредеяения многомерной вы­
борки YI' .. . , Уn при заданном значении параметра i (функция правдоподобия
этой выборки); У! = у (t/),
tj = (n
~ 1)
-
(i -
1);
i = 1, 2, ... , n;
io
-
некоторое
фиксированное значение параметра ~
Приведенное выше уравнение максимального правдоподсбия аквивадентно
следующему уравнению для логарифма функционала отношения правдоподоёия:
111 /
Если
существуют
[у (t) I~Pt ] = sup lп /[ у (t) I;] .
д
частные
IIроизводные"""дГ Iп
/
[У
->-
(t) I &],
то
уравнение
J
максимального правдоподобия может быть записано в следующем виде:
v_1п / [у (t)
(1
г де
114
v- (1
1&] = О,
-
оператор градиента по компонентам вектора &.
Решение этого уравнения относительно
параметров
сигнала
&\, &0,
датчика
у (t) при указанных выше предположенияхо шуме ~ (t), сопровождающем полез­
ный сигнал датчика, имеет вид
[2]:
л
-
1Iopt
г де матрица
Sт
= S -т1у- т,
(3)
и вектор У т
5 т ~ (1' V, (1) 5} (1) dl ); 1 ~ 1, 2, j~ 1,2,
ут=и'V,(I)y (1) dl) ; '~ 1,2.
=
Функции V j (t), i
1, 2 являются
интегральных уравнений
I
k
SВ (t -
11 ) Vj
решением
(и) аи = з, (t);
системы
неоднородных линейных
0 -< t -< t k : i
=
1, 2.
о
Если помеха е
И V 2 (t ) [1]:
(t) имеет корреляционную функцию вида (2),
V I (t) = (N1
G
(х)
+ N 2) -
\
+ (n
{I
2-
1) G (/lnt) - (n 2
V 2 (t) = 2N"2 1 о [/ln (tk -
-+-
= [n ch (х)
sh
то функции
.
(х)].
n2
[(n 2
1
=
+
+ 1) G [/ln (t k -
V 1 (t)
t)} ],~
t)],
1) sh (/J-nt k)
+ N\ /N 2•
+ 2n ch (/J-ntk)]-I,
Как показано в работе [2], оценки (3) являются несмещенными, состоятельными
и совместно эффективными. Корреляцнонная матрица оценок [2]
л
л
л
л
-+
-+
-
-+
1
M=«(1I opt-(&орt»)(&орt- (&opt»)T)=ST,
где &Т
означает транспонированный вектор
<х>
i,
-
(4)
математическое ожидание
случайной величины х.
2. Рассмотрим однопараметрическую задачу, когда неизвестен только пара­
метр &10 Без ограничения
общности
можно
опгимальная оценка входного воздействия и
и
(4),
О. в этом случае
как следует из (3)
соответственно равны
6~ opt ~
=
S тв
=
"
Одним из достаточно
[jk V 1 (t)
о
(~ o,.) ~ 5,:, простых
оптимальный
при
У
(t) dt]. [Sk V 1 (t)
[1
о
V, (1) 5, (1) dl
субоптимальных
метров сигналов на фоне помех
бия,
=
положить &2
ее дисперсия,
наличии
является
белого
з.
Г'.
(5)
(6)
алгоритмов определения пара­
алгоритм
максимального правдополо­
шума. В случае
задачи соответствующая оценка параметра
(t) dt] -1.
однопараметрической
&1 имеет вид [2]
(7)
поскольк-r в данном
случае
шум
;
(г), сопровождающий
полезный сигнад
датчика S (t, &) имеет корреляционную функцию вида (2), т. е. не является бе­
л ы м , то оценка (7) является субопгимаяьной. Сравним точность оптимальной
и субоптимальной оценок (5) и (7). Можно показагь, что дисперсия субопти­
мальной оценки (7)
cr 2{ ~1
б. ш} =
t/;1 [N1
Р1 (/ltk) р;;2 (/J-t k) + н; р;;1 (/ltk)] ,
115
где
F 1 (х) = I + е- Х - О,5е-2Х - О,75х- I (3 - 4е- Х + е - 2х).
F2 (х) = 1 - 2х- I (1 - е- Х ) О,5х- I (1 - е- 2Х) .
+
Н а рис. 1 показано отно шение Е 1
а2 р
=
1
(;2{~1
б. ш
}
при различном о тношении
opt }
интенсивностей ~ = N 1/N 2- Видно, что погрешность субоптимальной оценки (7)
приближается к погрешности оптима льной оценки при возрастании !"tk и умень­
шении ~.
Более
простая
с убоптимальна я
оценка
параметра
&1
имеет
следующий
ви д :
tk
\
у (t)dt
"
о
(8)
tk
J з,
(t) dt
о
Такой субоптимальный алгоритм является обобщением метода Хартли - Б укера
[8] н а сл учай стохастических процессов. Очевидно, что оценка (8) является
несмещенной. дисперсия этой оценки
(;21~ } =
t; 1 [N 1F- 1 (/-Lt k) + N
2
F- 2 (/-Lt k )] ,
г де
(12 !~)
л
от
/-Lt k
дл я раз-
а 2 ! &l б. ш !
=
личн ы х з н а ч ен и й параметра }
N 1/N 2• К а к видно из вгого гра фика , ма кси ма ль­
н ое увел ич е н ие д и с п ер сии по с р а вн ению с д и с пе р с и е й оцен ки (7 ) составля е т
Е2 тах
1,78.
3. С у боп гима яьны й алгорит м (8) мо жет быт ь обо б щ ен на случай дв ухпара -
=
метри чес кой за дачи, к о гда не из вестно та к же и началь ное зн а ч е н и е 1}2' В ато м
слу ч ае с убоптима льны й а л г о р итм о пре де ле н ия па рам етров &1' &2 зак лючает с я
в
следу ю щ е м .
Си гна л
датч ика
у
(!) ( 1)
интегри р уется
и н т ер в ал а х вр ем е н и ( О , t 1) и (t 2, t k ):
1
\
б
"(
з
/ -,
1\
1'.\
<,
7v
';
2
17.-
(}
-,
-...
--
I
0,2
~= oo
к-
1'->'
...... г-,
<;
~ r-- r:::::::: ~
50
t--
10
О
0,1{-
(},5
Р ис .
116
10-.
и осре дняет ся на д вух
Рис.
y~ =
где aij -
2
tk
(t k
1
t 2)
-
SУ (t) dt = а21 31 + а22;12 + ;2'
t.
интеграл от функции Sj на i-M интервале времени
1 t,
;1 = t;
S~ (t) dt;
~2=
1
(tk _ t
о
tk
2
)
f
(i, J
=
1, 2);
~ (t) dt.
~
Субоптимальные оценки искомых параметров будем искать из следующей
системы уравнений:
л
ан 31
!I
а21 ;11
Оценку
входного
л
+ а 1 2 ;12 =
У1'
}
Л_
+ а22 ;12 = У2'
(9)
л
воздействия ;11 запишем тогда в следующем
виде:
(10)
Эта оценка
является
состоятельной
и несмещенной.
a~2 (~~) a~2 (~i) (ан а22 Чем
больше
2al2
Дисперсия
втой оценки
а22 <е l ~2)
(11)
а 12 а 2 д 2
интервалы
интегрирования (О, tд и (t 2, tk) (при условии, что
2), тем меньше дисперсия величин ~i, i = 1, 2 и, следовательно,
числитель дроби (11), но при атом система (9) становится плохо
0-< ti -< t k ; i = 1,
тем меньше и
обусловленной и ее детерминант d = ан а22 - а12 а21 уменьшается. Таким образом,
существует разбиение интервала наблюдения (О, tk) на такие интервалы интег­
рирования (О, t k) на такие интервады интегрирования (О, a ) и (t2*, /k), при
которых дисперсия (11) оценки (10) параметра ;11 достигает минимума.
Пусть ддительности
интервалов интегрирования
равны, т. е. /1 =
k - /2'
Ограничимся для простоты саучаем, когда N 1
N 2• Шумом, который вызван
аэродинамическими пуяьсациями, можно пренебречь. Тогда имеют место следую­
t
«
щие
t
соотношения:
117
( ;~> = N~ и»
О
(1;1;2> =
пр и
{ н, (t) -
Обозначим через
/\,
31
t)
-
t2)~1
-<: t~ ,
t2 г 1 t 1 1 =
t 2) (t k -
оценку
параметра
1,
=
N 2t 1
N 2 (2tk - t l) t 12
31
при
в том случае ,
t)
> t 2•
когда
интервалы
,
,
Л"
ингегрирсвания (О, t 1) и (t2 , tk) пересекаются, а через 31 - оценку 31' когда интервалы (О, t;) и
t k ) не пересек аются,
(t;
Рассмотрим первый случай, т. е.
воздействия 31:
t; > t; . Дисперсия
оценки (10) входного
(12)
где
,
а1 2
= a I2(tl), =
, -1
(!J-t 1)
(I -
е
-111
1),
,
,
'-1
-!'-(tk-t')
-!'-tk
а 22 = а22иl) = (fLt1 )
(е
1 -е
).
Если выполняется неравенство
2
!J-t k « 1,
~,
а { 1 } :::::
то из формулы
2N2
fL 2t ? (tk -
(12)
приближенно получим
3
( 1)
t ;) '
Минимум этого выражения достигается при
,
1
t 1• = 3 tk
И приближенно ра-
вен
Л,
"
27N2
a~in {3 1} = 2fL2 t~- .
Таким образом, для получения оценки
(10)
параметра
3) с минимальной диспер­
сией необходимо сигнал датчика проинтегрировать на интервалах (о,
(+
:
tk )
и
tk ' tk)'
Дисперсия (4) оптимальной оценки параметра
а2
31
при тех же предположениях
Л
12N2
{310 pt } ::::: --з-·
!J-2 t k
Таким образом, отношение погрешностей субоптимальной и оптимальной оценок
входного воздействия 3\ при у к а з а н н ы х условиях составляет
/\ ,
amin{31}
а
Рассмотрим теперь случай, когда
т. е.
t;< t;. Дисперсию
Л
= 1,06.
{3 10p t }
интервалы
интегрирования
не
пересекаются ,
оценки (10) пара метра 3) можно записать в следующем
в ид е :
г де
Отметим, что в случае, когда
a~2
и, сле довательно,
118
-
t; = t; = tk - t;, выполняются
а;2 > a~2 а;2' a~2 - а;2 > а;2 - а;2'
/\ н
.Л,
а 2(& \ } >а 2 { 3 1 } .
соотношения
Если выполняется условие
I'-tk
« ],
то дисперсия
оценки
л"
&1
(]4)
При
1'; = tk -
t~ выражение (14) переходит в (]З).
Следовательно, выражение (14) достигает минимума при
t';* = tk - t;., т. е.
ногда интегрирование производится на интервалах (о, +tk) И
Л,
(+ t k, tk). В ре-
Л"
'
зулыате, оценки &1 и &1 при указанных - условиях имеют одинаковую
ного
дисперсию.
Использование рассмотренного выше оптимального алгоритма максималь­
правдоподобия
для оценки параметров сигналов нетеплоизолированного
калориметра
и датчика давления
с учетом
инерционности
пневмотрассы
при
малых
перепадах давления требует достаточно полного и точного знания априорных
данных о характере помехи (в частности, знания корреляционной функции шума
В
('t».
Приведенные субоптимальные алгоритмы оценки
параметров сигналов
датчиков не требуют таких полных и точных априорных знаний, вследствие чего
их точность несколько хуже точности оптимального алгоритма. Однако субопти­
мальные алгоритмы весьма просты в аппаратурной реализации, а их эффектив­
ность существенно возрастает при увеличении времени наблюдения, что позволяет
использовать эти алгоритмы для обработки показаний нетеплоизолированных
калориметров и
датчиков давления при
малых перепадах давления.
Автор приносит благодарность Г. Л.
Гродзовскому И
М. Л.
Дашевскому
за постановку задачи и советы, высказанные в процессе работы над статьей.
ЛИТЕРАТУРА
1. Г Р о Д з о в с к и й Г. Л . Приложение метода максимума прав­
доподобия к задачам оптимизации обработки данных аэродинамиче­
ского эксперимента .• Ученые записи ЦАГИ~, т. 8, N2 3, ]977.
2. Л е в и н Б. Р. Теоретические основы статистической радио­
техники, т. 2, М., .Советское радио', 1975.
3. И д ь е В . и др. Статистические методы в экспериментальной
физике. Перевод под ред. А. А. Тяпкина . М., .Атомиздат·, ]976.
4.• По поводу трактовки основных проблем теории оценок'.
В книге Идье В.• Статистические методы в экспериментальной физи­
ке'. Перевод под редакцией А. А . Тяпкина, М., .Атомиздат", ]976.
5. Г Р о д з о в с к и й Г. Л., И в а н о в Ю. Н., Т о к а D е в В. В.
Механика космического полета. М., .Наука",
]966.
.
П е т у н и н А. Н. Методы и техника измерений пара метр ов
газового потока. М ., .Машиностроение, ]972.
7. П е т у н и н А . Н. Измерение параметров газового потока. м.,
.Машиностроение, ]974.
8. Х и м м е л ь б а у д. Анализ процессов статистическими мето­
дами. М., .Мир", 1973.
6.
Рукопись поступила
v
19/ Il 1978
г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
2 334 Кб
Теги
метод, субоптимальных, калориметра, нетеплоизолированных, давления, сигналов, обработка, датчиков
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа