close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Функции Грина обыкновенных дифференциальных уравнений II и III порядков и применение к одной задаче на собственные значения.

код для вставкиСкачать
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
60
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
УДК 517.958:52/59; 519.711.3
ФУНКЦИИ ГРИНА ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ II И III ПОРЯДКОВ И ПРИМЕНЕНИЕ К ОДНОЙ ЗАДАЧЕ
НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
GREEN'S FUNCTIONS OF ORDINARY DIFFERENTIAL
EQUATIONS II AND III ORDERS AND APPLY TO ONE TASK
EIGENVALUES
Н.А. Чеканов 1, И.Н. Беляева 1, Б.М. Башкатов 1,
Н.Н. Чеканова 2, В.Е. Богачев 3, И.С. Кузнецова 4
N.A. Chekanov, I.N. Belyaeva, B.M. Bashkatov,
N.N. Chekanova, V.E. Bogachev, I.S. Kuznetsova
1Белгородский
государственный национальный исследовательский университет,
Россия, 308015, г.Белгород, ул. Победы, 85
Belgorod National Research University, 85 Pobedy St, Belgorod, 308015, Russia
2
Харьковский институт банковского дела Университета банковского дела НБУ,
Украина, 61174, г. Харьков, прт. Победы, 55
Kharkov Institute of Banking of National University of Banking, 55 av. Pobedy, Kharkov, 61174, Ukraine
3
Белгородский университет кооперации, экономики и права, Россия, 308007, г.Белгород, ул. Садовая, 116 А
Belgorod University of Cooperation, Economics and Law, 116 A Sadovaya St, Belgorod, 308007, Russia
4
Алексеевский филиал Белгородского государственного национального исследовательского университета,
Alexeevka branch of Belgorod research university
E-mail: сhekanov@bsu.edu.ru;ibelyaeva@bsu.edu.ru; chekanova76@list.ru
Аннотация. В работе описаны алгоритмы символьно-численного построения функций Грина краевой задачи для дифференциальных уравнений второго и третьего порядков. Получены собственные значения
для конусообразного стержня и найдена величина внешней нагрузки, при которой стержень теряет устойчивость. Показано что полученные результаты хорошо согласуются с аналогичными величинами, имеющимися
в литературе.
Resume. The paper describes algorithms for symbolic - numerical construction of the Green's function of the
boundary value problems for differential equations of the second and third orders . Eigenvalue problem for the tapered rod is considered and the value of the external load , in which the rod loses stability is found. It is shown that
the results are in good agreement with those values available in the literature.
Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, функция Грина, краевая задача, задача на собственное значение, компьютерное моделирование.
Key words: ordinary differential equations, Green‘s function, boundary value problem, eigenvalue problem,
computer modeling.
Постановка проблемы
Пусть дано линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ):
n
n 1
d n 2
ˆ p d p d
L

p

1 n1
2
Lˆn y( x)  0 , n 0 dx n
dx
dx n2
 pn
(1)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________
i,k y(k) (a)  i,k y(k) (b)  0
и граничные условия k
k
,
i2,k  i2,k  0
.
В общей теории дифференциальных уравнений доказано, что функция Грина существует и единственна при условии, что однородные ОДУ имеют только тривиальное решение
Lˆn y( x)   y( x) .
Это соответствует тому, что при рассмотрении задачи на собственные значения имеется собственное значение равное нулю
  0 . Нетривиальные решения уравнения Lˆn y( x)   y( x) , которые
находятся из граничных условий для функции Грина, соответствуют собственным значениям
  0 . Так как функция Грина строится при помощи всех линейно независимых решений соответствующего дифференциального уравнения, то возникает задача их поиска, что представляет собой
достаточно сложную задачу, как и построение функции Грина. Поэтому возникает проблема построения функции Грина с применением современных компьютерных систем. Важнейшим понятием в теории дифференциальных уравнений является функция Грина [1-3]. Однако универсальных методов построения функции Грина не существует.
Целью статьи является разработка алгоритма и составление компьютерной программы для символьно-численного построения функции Грина в том числе в виде степенных рядов и применение
ее для исследования устойчивости конусообразного стержня при наличии внешней осевой нагрузки.
Рассмотрим следующую краевую задачу
p0 ( x) y  p1( x) y  p2 ( x) y  0 ,
(2а)
с граничными условиями
1,0 y(a)  1,1 y(a)  1,0 y(b)  1,1 y(b)  0
,
2,0 y(a)  2,1 y(a)  2,0 y(b)  2,1 y(b)  0
где
,
(2б)
p0 ( x) , p1 ( x) , p2 ( x) есть непрерывные функции вместе с их производными на отрезке [a, b] , а
1,0 1,1  2,0  2,1 1,0 1,1  2,0  2,1
,
,
,
,
,
,
,
– заданные числа.
Предположим, что в классе непрерывных решений вместе с производными данная задача на отрезке
[a, b] имеет только тривиальное решение. Однако, если ослабить требование непрерывности
первой производной, например, в точке
x   , a    b , то для краевой задачи (2) существует
ненулевое решение, которое называется функцией Грина. Обозначим ее как
Функция Грина имеет следующие свойства [1, 3-5]:
1) является непрерывной вместе со своими производными в точке
2) ее производная в точке
 G ( x,  )

 x x 0
x   терпит разрыв равный
 G ( x,  )
1

 x x 0 p0 ( )
;
x  ;
G( x,  ) .
61
62
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
3) удовлетворяет дифференциальному уравнению (2а);
4) удовлетворяет граничным условиям (2б).
При условии, что краевая задача (2) имеет только тривиальное решение y( x)  0 , то существует,
как указано выше, одна и только одна функция Грина [4].
Пусть
y1 ( x) , y2 ( x) есть два линейно независимых решения исходного дифференциального урав-
нения II порядка (2), в этом случае функцию Грина ищем в виде
G ( x,  ), a  x    b
G ( x,  )   L
GR ( x,  ), a    x  b
,
(3)
где
2
GL ( x,  )    A( )  B( )   yk ( x)
k 1
,
(4а)
.
(4б)
2
GR ( x,  )    A( )  B( )   yk ( x)
k 1
Здесь функция Грина на отрезке
a  x    b обозначается GL ( x,  ) , а на отрезке a    x  b –
GR ( x,  ) .
Из выражений (4) видно, что для построения функции Грина необходимо определить функции
Ak ( ) , Bk ( ) . Для их определения используем свойства функции Грина, в частности, ее непрерывность и скачок первой производной по x в точке x   . В результате получаем уравнения:
 2
  Bk ( ) yk ( )  0
k 1
 2
1

  Bk ( ) yk ( )   2 p ( )
0
k 1
(5)
или в развернутом виде
 B1 ( ) y1 ( )  B2 ( ) y2 ( )  0

1

 B1 ( ) y1 ( )  B2 ( ) y2 ( )   2 p( )

.
(6)
W ( )  y1( x) y2 ( x)  y2 ( x) y1 ( x)
(7)
Определитель
неоднородной системы (6) не равен нулю, так как он есть вронскиан двух линейно независимых
решений
y1 ( x) , y2 ( x) . Поэтому система (6) определена и имеет единственное решение B1 ( ) ,
B2 ( ) , из которой находим эти решения.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________
Для определения коэффициентов-функций
A1 ( ) и A2 ( ) используем краевые условия (2б). В
результате получаем следующую систему уравнений:
 A1 ( ) 1,0 y1 ( a)  1,1 y1 ( a)  1,0 y1 (b)  1,1 y1 (b)  



 A2 ( ) 1,0 y2 ( a)  1,1 y2 ( a)  1,0 y2 (b)  1,1 y2 (b)  



 B ( )  y ( a)   y  ( a)   y (b)   y  (b)  
1,1 1
1,0 1
1,1 1

 1  1,0 1
 B ( )  y ( a)   y  ( a)   y (b)   y  (b) 
1,1 2
1,0 2
1,1 2

 2  1,0 2



 A1 ( )  2,0 y1 ( a)   2,1 y1 ( a)   2,0 y1 (b)   2,1 y1 (b)  

 A2 ( )  2,0 y2 ( a)   2,1 y2 ( a)   2,0 y2 (b)   2,1 y2 (b)  

 B1 ( )  2,0 y1 ( a)   2,1 y1 ( a)   2,0 y1 (b)   2,1 y1 (b)  

 B 2 ( )  2,0 y2 ( a)   2,1 y2 ( a)   2,0 y2 (b)   2,1 y2 (b) 
.
(8)
Отметим, что если краевая задача (2) является самосопряженной, то есть выполняются условия
[6]:
p0 (b)
1,0 1,1
 2,0  2,1
 p0 (a)
 2,0  2,1
1,0 1,1
,
(9)
тогда функция Грина является симметричной G( x,  )  G( , x) .
Подставляя найденные коэффициенты функции
A1 ( ) , A2 ( ) , B1 ( ) , B2 ( ) в выражение (5)
y ( x) , y2 ( x) представляют собой степенные
находим функцию Грина в аналитическом виде. Если 1
ряды, то и функция Грина будет представлена в виде степенных рядов. В соответствии с приведенными выше формулами (3 – 9) был разработан алгоритм и составлена программа GRESA для символьно-численного построения функции Грина в среде Maple.
Алгоритм построения функции Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений II порядка
Ввод:
p0( x)  0 , p1 ( x) , p2 ( x) – коэффициенты-функции в заданном дифференциальном уравнении
второго порядка (2);
a , b – граничные точки отрезка [a, b] , на котором ищется функция Грина.
1,0 1,1  2,0  2,1 1,0 1,1  2,0  2,1
,
,
,
,
,
,
,
– коэффициенты в граничных условиях (2б) для кон-
кретной краевой задачи.
Вывод:
y1( x) , y 2( x) – фундаментальная система решений заданного дифференциального уравнения (2а);
G _ left ( x,  ) – GL ( x,  ) , функция Грина на отрезке a  x    b ;
G _ right ( x,  ) – GR ( x,  ) , функция Грина на отрезке a    x  b .
Описание шагов алгоритма:
63
64
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
1. Нахождения двух линейно независимых решений заданного дифференциального уравнения
второго порядка (2а).
2. Ввод матрицы начальных условий и вычисление ее ранга (2б).
3. Проверка краевой задачи на самосопряженность (9).
4. Вычисление и проверка коэффициентов-функций B1( ) , B 2( ) , исходя из системы уравнений
(6).
5. Вычисление и проверка коэффициентов-функций A1( ) , A2( ) , исходя из заданных граничных
условий (8).
6. Проверка существования функции Грина, то есть неравенство нулю детерминанта системы (8).
7. Построение функции Грина
G _ left ( x,  ) ( GL ( x,  ) , a  x    b ) и G _ right ( x, ) ( GR ( x,  ) ,
a    x  b ).
8. Проверка всех свойств функции Грина
G( x,  ) .
Рассмотрим следующую краевую задачу на собственные значения
d 
dy 
(1   x)4    2 y  0

dx 
dx 
(10)
с однородными краевыми условиями
y(0)  0 , y( L)  0 .
Эта задача описывает продольный изгиб стержня, имеющего форму усеченного конуса [7]. В этой
задаче необходимо определить наименьшую критическую силу, при которой стержень теряет
устойчивость. Из теории сопротивления материалов известно, что критическая сила равна произведению модуля Юнга на наименьшее собственное число. Параметр
 определяет различие диа-
метров усеченного конуса.
С помощью разработанной программы по описанному выше алгоритму была построена функция
Грина и решена задача на собственные значения (10).
y ( x) , y2 ( x) решения имеют вид:
В этой задаче два линейно независимых 1
Если значения параметра







y1 ( x)   cos 

sin 


  (1   x)  1   x
  (1   x)  ,
(11а)







y2 ( x)   sin 

cos 


  (1   x)  1   x
  (1   x)  .
(11б)
 не равны собственным значениям, определяемых равенством нулю
следующего определителя
y (0)
U 1
y1 ( L)
y2 (0)
0
y2 ( L )
,
(12)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
65
_________________________________________________________________
то получена функция Грина в следующем виде:
G ( x,  ), 0  x    L
G( x,  )   L
GR ( x,  ), 0    x  L ,
(13а)
где

sin  z1 ( x,  )  sin  z2 ( ,  )  2   3 x   2 x ctg  z1 ( x,  )     2
GL ( x,  )  


sin  z ( L,  ) 1    1   x   3  2   3 L   2 L ctg  z ( L,  )    2


 2   3L    3    4 L   2 L ctg  z2 ( , )   2 ctg  z2 ( , )   2  ,
GR ( x,  )  

(13б)
sin  z1 ( ,  )  sin  z2 ( x,  )  2    3   2  ctg  z1( ,  )     2


sin  z ( L,  ) 1    1   x   3  2   3 L   2 L ctg  z ( L,  )    2

 2   3L  x 3  x 4 L   2 L ctg z2 ( x, )   2 x ctg  z2 ( x, )   2  , (13в)
z ( L,  ) 
где
    L 
L
x
z2 ( ,  ) 
z1 ( x,  ) 
1   L 1     .
1  L ,
1 x ,
Если детерминант (12) не равен нулю, то существуют собственные значения
 , которые определя-
ются из решения следующего трансцендентного уравнения:
 L 
2
3
   L  0
1


L


.
 2   2 Lctg 
В книге [7] приведена приближенная формула (в случае

(14)
1 ) для вычисления наименьшего соб-
ственного значения краевой задачи (10) в виде:
2 
 1
 L4    
 90 45  ,
4
1
(15)
которая дает отклонение от точного значения меньше, чем на 5%.
Для конкретных значений параметров L  1 и
  0.01 нами было проведено сравнение значения
наименьшего собственного значения, полученного по точной формуле (14) с результатами, следующими из формулы Михлина (15). По формуле (14) была получена величина собственного значения равная
  3.17 , а по формуле (15) –   3.11 , которые отличаются менее, чем на 2%.
Для наглядности на рис. 1 приведены графики двух функций
f1( )       L ,
2
2
3
 L 
f 2 ( )   2 Lctg 

1 L  ,
(16)
из точек пересечения которых можно также найти величины первых собственных значений, которые согласуются с полученными выше результатами.
66
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
Рис 1. Графики функций (16)
Fig 1. Graphs of functions (16)
Рассмотрим дифференциальное уравнения II порядка вида
p0 ( x) y  p1( x) y  p2 ( x) y  0
(17а)
y(a)  y(b)  0 .
(17б)
с граничными условиями
В случае, если дифференциальное уравнение (17) не содержит регулярных особых точек в окрестности точки
x  x0 , то линейно независимые решения y1 и y2 могут быть представлены виде сте-
пенных рядов:
y1 ( x)  1 
 ck(1) ( x  x0 )k
k 2
y2 ( x)  ( x  x0 ) 
Коэффициенты
ck(1) ck(2)
,
,
 ck(2) ( x  x0 )k
k 2
(18а)
.
(18б)
определяются посредством подстановки рядов (18) в уравнение (17а) и
приравниванием коэффициентов при различных степенях независимой переменной.
При наличии полюсов не выше второго порядка в точке
x  x0 решение уравнения (17) ищется в
виде
y ( x)  ( x  x0 ) 
где показатель

 ck ( x  x0 )k ,
k 0
(c0  0),
(19)
 находится из определяющего уравнения
 (   1)  a0   b0  0 ,
a b
а коэффициенты 0 , 0 из разложений:
(20)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________


 bk ( x  x0 )k
 ak ( x  x0 )k
p1 ( x) k 0

p0 ( x)
x  x0
p2 ( x) k 0

p0 ( x)
( x  x0 )2
,
.
(21)
  2 ), но их разность
Если корни определяющего уравнения (20) различны ( 1
1  2 не равна
целому положительному числу, то линейно независимые решения имеют вид:

y1 ( x)  ( x  x0 ) 1  ck(1) ( x  x0 )k , (c0(1)  0),
k 0
y2 ( x)  ( x  x0 ) 2
(1)
c
в которых коэффициенты 0

 ck(2) ( x  x0 )k ,
k 0
(c0(2)  0)
(22а)
,
(22б)
(2)
c
и 0
остаются произвольными.
  2 ) – целое положительное число, то одно решение, соответствующее корню
Если разность ( 1
1 , по-прежнему имеет вид
y1 ( x)  ( x  x0 )
1

 ck(1)  ( x  x0 )k ,
k 0
(c0(1)  1)
,
(23)
а второе линейно независимое решение определяется рядом, содержащим логарифмический член:
y2 ( x)  ( x  x0 )  2
Если случится, что

 ck(2)  ( x  x0 )k    y1( x)  ln( x  x0 )
k 0
.
(24)
  0 , то второе линейно независимое решение будет иметь вид обобщенного
степенного ряда.
В случае равенства
1  2  0 одно частное решение уравнения (17а) имеет вид (23), а второе –
вид (24), в котором коэффициент   0 .
Из общего вида решений дифференциального уравнения (17а) следует, что линейно независимые
y ( x) , y2 ( x) удовлетворяют условиям:
решения 1

 y1 ( x0 )  1
y1 ( x) : 

 y1 ( x0 )  0 ,

 y2 ( x0 )  0
y2 ( x) : 

 y2 ( x0 )  1 .
(23)
Тогда общее решение дифференциального уравнения (17а) можно записать в виде
y( x)  C1  y1( x)  C2  y2 ( x) .
(24)
Зная общее решение (24) и основные свойства функции Грина (см. раздел 3.1), построим функцию
Грина для дифференциального уравнения (17а) с однородными граничными условиями (17б) сле-
u ( x) и u2 ( x) , которые удодующим образом. Из общего решения (24) находим частные решения 1
u ( a)  0 и
влетворяют однородным краевым условиям 1
ными решениями являются функции
u 2 (b)  0
. Легко видеть, что такими част-
67
68
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
u1( x)  y2 ( x) ,
(25а)
u 2 ( x)  y1( x)  y2 (b)  y1(b)  y2 ( x)
.
(25б)
Тогда в соответствии с общими правилами [4] функция Грина строится следующим образом
 u1 ( x) u2 ( )
W ( ) p ( ) , a  x    b,

0
G ( x,  )  
 u1 ( ) u2 ( x) , a    x  b,
W ( ) p0 ( )
(26)
u ( ) u2 ( )
W ( )  W u1, u2   1
u1 ( ) u2 ( )
(27)
где
функциональный определитель Вронского.
Для краевой задачи
y  y  0
(28а)
y( x  0)  0 , y( x  1)  0
(28б)
с граничными условиями
известна точная функция Грина в виде [4]
GL ( x,  ), 0  x    1,

G ( x,  )  
G ( x,  ), 0    x  1,
 R
(29а)
где
GL 
sinh  x  sinh   1
sinh 1
GR 
,
sinh( )sinh( x 1)
sinh(1)
.
(29б)
С использованием разработанной программы нами была получена функция Грина для этой краевой задачи в виде обобщенных степенных рядов.
GL(15) 
x
(1307674368000 
175194229827984272546525518233600000
 x14  217945728000 x 2  10897286400 x 4  259459200 x6  3603600 x8 
32760 x10  210 x12 )( 133973896036466681395200 
66986948018233340697600 2  55822456681861 11724800 4 
186074855606203724160 6  3322765278682209360 8 
36919614207580104 10  279694047027122 12  1536780478171 14 
175912452831694715136000  29318742138615785856000 3 
1465937106930789292800 5  34903264450733078400 7 
484767561815737200 9  4406977834688520 11 
28249857914670 13  134523132927 15 ) .
(30а)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________
GR(15) 

175194229827984272546525518233600000
( 1536780478171x14 
133973896036466681395200  66986948018233340697600 x 2 
5582245668186111724800 x 4  186074855606203724160 x6 
3322765278682209360 x8  36919614207580104 x10  279694047027122 x12 
175912452831694715136000 x  29318742138615785856000 x3 
1465937106930789292800 x5  34903264450733078400 x 7 
484767561815737200 x9  4406977834688520 x11  28249857914670 x13 
134523132927 x15 ) (1307674368000  217945728000 2  10897286400 4 
259459200 6  3603600 8  32760 10  210 12   14 ) .
(30б)
На рис. 2.1-2.3 представлено сравнение результатов расчета значений точной функции Грина (29)
и вычисленной по нашей программе (30).
Рис. 2.1. Теоретическая (сплошная) и практически вычисленная (точки) функция Грина для
  0.5 (центр) и   0.75
(справа) при
Fig. 2.1. Theoretical (solid) and calculated (point) Green function for
Рис. 2.2. Абсолютная погрешность вычислений
  0.75
Fig. 2.1. Absolute error calculations for
  Gtheor  G prac
(справа) при
  Gtheor  G prac
(right) when
for
  0.25
(слева),
n  15
  0.25
для
(left), (center) and (right)
  0.25
(слева),
  0.5
(центр) и
n  15
  0.25
n  15
(left),
  0.5
(center) и
  0.75
69
70
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
Рис. 2.3. Относительная погрешность
   / Gtheor 100% для   0.25
(справа) при
Fig. 2.3. The relative error
(слева),
  0.5
(центр) и
  0.75
n  15
   / Gtheor 100% for   0.25
(left),
  0.5
(center) and
  0.75
(right) when
n  15
Из рис. 2.2 видно, что точная функция Грина и ее приближение совпадают с абсолютной точно11
стью менее чем 8 10
.
Дифференциальные уравнения 3го порядка
В науке и технике чаще всего используется дифференциальные уравнения второго и четвертого
порядков [2] вместе с краевыми условиями. Однако, в некоторых случаях необходимо знать решения и функцию Грина для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка [8, 9, 10].
Обзоры работ, относящихся к этому уравнению имеются в работах [11, 12]. Это нелинейное уравнение второго порядка впервые было введено в работе киевского профессора В.П. Ермакова в 1880
году [13] Найти решение нелинейного уравнения является сложной задачей, однако, иногда их
решение можно найти рассматривая линейное обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка, как например, это сделано в работах [3, 9].
Рассмотрим следующую краевую задачу
p0 ( x) y  p1( x) y  p2 ( x) y  p3 ( x) y  0 ,
(31)
с граничными условиями
1,0 y(a)  1,1 y(a)  1,2 y(a)  1,0 y(b)  1,1 y(b)  1,2 y(b)  0
,
2,0 y(a)  2,1 y(a)  2,2 y(a)  2,0 y(b)  2,1 y(b)  2,2 y(b)  0
,
3,0 y(a)  3,1 y(a)  3,2 y(a)  3,0 y(b)  3,1 y(b)  3,2 y(b)  0
где
(32)
p0 ( x) , p1 ( x) , p2 ( x) , p3 ( x) есть непрерывные функции на этом отрезке [a, b] .
Предположим, что в классе непрерывных решений вместе с первой и второй производными данная задача на отрезке
[a, b] имеет только тривиальное решение и не существует другого решения.
Однако, если ослабить требования непрерывности второй производной, например в точке
x  ,
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________
a    b , то для краевой задачи (31), (32) существует ненулевое решение, которое называется
функцией Грина. Обозначим как G( x,  ) .
Вначале приведем основные свойства функции Грина:
1) является непрерывной вместе со своей первой производной в точке x   ;
2) ее вторая производная в точке x   терпит разрыв равный
 2 G ( x,  )
 x2

x  0
 2 G( x,  )
 x2

x  0
1
p0 ( )
;
3) удовлетворяет дифференциальному уравнению (31);
4) удовлетворяет граничным условиям (32).
Таким образом, если краевая задача (31), (32) имеет только тривиальное решение
y( x)  0 , то су-
ществует одна и только одна функция Грина.
Пусть краевая задача (31), (32) такова, что система Maple позволяет получить в явном аналитиче-
y ( x) , y2 ( x) , y3 ( x) исходного дифференциального
ском виде три линейно независимых решения 1
уравнения третьего порядка (31).
Тогда в разработанной нами программе (см. Приложение Д) функция Грина ищется в виде
G ( x,  ), a  x    b,
G( x,  )   L
GR ( x,  ), a    x  b,
(33)
где
3
GL ( x,  )    A( )  B( )  yk ( x)
k 1
,
(34а)
.
(34б)
3
GR ( x,  )    A( )  B( )   yk ( x)
k 1
Например, из выражений (34) видно, что для построения функции Грина необходимо определить
функции
Ak ( ) , Bk ( ) . Для их определения используем вышеуказанные свойства функции Грина.
Из ее свойств 1), 2) и 4) в результате получаем систему алгебраических уравнений для определения
коэффициентов
B1 ( ) , B2 ( ) , B3 ( ) .
 3
  Bk ( ) yk ( )  0,
 k 1
 3

  Bk ( ) yk ( )  0,
 k 1
 3
 B ( ) y  ( )   1 .
k
 k
2 p0 ( )
 k 1
Определитель этой системы
(35)
71
72
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
y1 y2
W ( )  W  y1, y2 , y3   y1 y2
y1 y2
y3
y3
y3
(36)
y ( x) , y2 ( x) . y3 ( x)
не равен нулю, так как он есть вронскиан трех линейно независимых решений 1
Поэтому система (35) определена и имеет единственное решение
B1 ( ) , B2 ( ) , B3 ( ) .
B1 ( ) , B2 ( ) ,
Затем из граничных условий (32) при уже известных коэффициентах-функциях
B3 ( ) находим, если они существуют, коэффициенты-функции A1 ( ) , A2 ( ) , A 3 ( ) из системы
уравнений (37):
A1 ( ) 1,0 y1 (a )  1,1 y1 (a )  1,0 y1 (b)  1,1 y1 (b)  
A2 ( ) 1,0 y2 (a )  1,1 y2 (a)  1,0 y2 (b)  1,1 y2 (b)  
A3 ( ) 1,0 y2 (a )  1,1 y2 (a)  1,0 y2 (b)  1,1 y2 (b)  
B1 ( ) 1,0 y1 (a )  1,1 y1 (a )  1,0 y1 (b)  1,1 y1 (b)  
B 2 ( ) 1,0 y2 (a )  1,1 y2 (a)  1,0 y2 (b)  1,1 y2 (b)  
B 3 ( ) 1,0 y2 (a )  1,1 y2 (a)  1,0 y2 (b)  1,1 y2 (b) 
,
(37а)
A1 ( )[ 2,0 y1 (a)   2,1 y1 (a)   2,0 y1 (b)   2,1 y 1 (b)] 
A2 ( )[ 2,0 y2 (a)   2,1 y2 (a)   2,0 y2 (b)   2,1 y2 (b)] 
A3 ( )[ 2,0 y2 (a)   2,1 y2 (a)   2,0 y2 (b)   2,1 y2 (b)] 
B1 ( )[ 2,0 y1 (a)   2,1 y1 (a)   2,0 y1 (b)   2,1 y 1 (b)] 
B2 ( )[ 2,0 y2 (a)   2,1 y2 (a)   2,0 y2 (b)   2,1 y2 (b)] 
B3 ( )[ 2,0 y2 ( a)   2,1 y2 ( a)   2,0 y2 (b)   2,1 y 2 (b)]
,
(37б)
.
(37в)
A1 ( )  3,0 y1 (a )   3,1 y1 (a )  3,0 y1 (b)  3,1 y1 (b)  
A2 ( )  3,0 y2 (a)   3,1 y2 ( a)  3,0 y2 (b)  3,1 y2 (b)  
A3 ( )  3,0 y2 (a)   3,1 y2 ( a)  3,0 y2 (b)  3,1 y2 (b)  
B1 ( )  3,0 y1 (a )   3,1 y1 (a )  3,0 y1 (b)  3,1 y1 (b)  
B 2 ( )  3,0 y2 (a)   3,1 y2 ( a)  3,0 y2 (b)  3,1 y2 (b)  
B 3 ( )  3,0 y2 (a )   3,1 y2 (a)  3,0 y2 (b)  3,1 y2 (b) 
Подставляя найденные коэффициенты-функции
A1 ( ) , A2 ( ) , A3 ( ) , B1 ( ) , B2 ( ) , B3 ( ) в вы-
ражение (34), находим функцию Грина в аналитическом виде.
В соответствии с приведенными выше формулами (33)-(37) был разработан алгоритм и составлена
программа GRETA для символьно-численного построения функции Грина в среде Maple. Текст
этой программы приведен в Приложении Д.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________
В разработанной программе GRETA в явном аналитическом виде вычисляется функция Грина
G _ left ( x,  )  GL ( x,  )  и G _ right ( x, )  GR ( x,  )  .
Для граничной задачи
y  4 xy  2 y  0
(38)
y(0)  y(1)  0 была получена функция Грина:
с краевыми условиями y(0)  0 , y(1)  0 ,
G ( x,  ), 1  x    2,
G ( x,  )   L
GR ( x,  ), 1    x  2,
(39)
где
GL ( x,  ) 
10723
 3187

22949 
Ai    
Bi    
20022
 30645

62270  Ai    Bi 1,    Ai 1,   Bi    
2

37778
 38501
2
 23373 Ai    Bi   x   13241 Ai    Ai   x  Bi   x  


20042
37273 2
Ai   x  Bi   x  Bi    
Ai   x  Bi    
12167
13064

GR ( x,  )  
1

Bi    Bi 2   x  
10000000000
,
3187
 10723

22949 
Bi   x  
Ai   x  
20022
30645


62270  Ai    Bi 1,    Ai 1,   Bi    
(40а)
2

37273
 78585
2
 47707 Bi   x  Bi    Ai     13064 Bi   x  Ai    


1
20042
Bi   x  Bi 2    
Ai   x  Bi 2    
10000000000
12167

37273
1

Ai   x  Bi    Ai    
Ai   x  Ai 2   
13064
23255813953
.
(40б)
где Ai , Bi – линейно независимые функции Эйри [14].
Рассмотрим дифференциальное уравнение третьего порядка
p0 ( x) y  p1( x) y  p2 ( x) y  p3 ( x) y  0
(41)
с граничными условиями
1,0 y(a)  1,1 y(a)  1,2 y(a)  1,0 y(b)  1,1 y(b)  1,2 y(b)  0
,
2,0 y(a)  2,1 y(a)  2,2 y(a)  2,0 y(b)  2,1 y(b)  2,2 y(b)  0
,
3,0 y(a)  3,1 y(a)  3,2 y(a)  3,0 y(b)  3,1 y(b)  3,2 y(b)  0
,
(42)
73
74
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
где
p0 ( x) , p1 ( x) , p2 ( x) , p3 ( x) есть непрерывные функции вместе с непрерывными производны-
ми первого и второго порядков на отрезке [a, b] ,
1,0 1,1 1,2  2,0  2,1  2,2 3,0  3,1 3,2
1,0 1,1 1,2  2,0  2,1  2,2 3,0 3,1 3,2
– коэффициенты в граничных условиях (42) для
,
,
,
,
,
,
,
,
,
ik2  0  ik2  0
конкретной краевой задачи, i k
, i k
,
,
,
,
,
,
,
,
, i  1,2,3 , k  0,1,2 .
Для построения функции Грина краевой задачи (41-42) вначале, решая задачу Коши в точке
x0 ,
находим линейно независимые решения для уравнения (41) в виде рядов:
y1 ( x)  1 
 ck(1)  ( x  x0 )k
k 3
y2 ( x)  ( x  x0 ) 
 ck(2)  ( x  x0 )k
k 3
y3 ( x)  ( x  x0 )2 / 2 
(1)
(2)
,
(43а)
,
(43б)
 ck(3)  ( x  x0 )k
k 3
,
(43в)
(3)
c
c
c
где k , k , k
– числовые коэффициенты.
Функцию Грина ищем в виде
G ( x,  ), a  x    b
G ( x,  )   L
GR ( x,  ), a    x  b ,
(44а)
где
3
GL ( x,  )    Ak ( )  Bk ( )  yk ( x)
k 1
,
(44б)
.
(44в)
3
GR ( x,  )    Ak ( )  Bk ( )   yk ( x)
k 1
Используя свойства функции Грина, приведенные в разделе 4.1, и в соответствии с теорией, изложенной в этом же разделе, находим коэффициенты-функции
Ak ( ) , Bk ( ) и с их помощью стро-
им функцию Грина по формулам (44). Так как линейно независимые решения (43) представлены
степенными рядами, то и функция Грина также находится в виде степенных рядов.
Рассмотрим следующую краевую задачу
y  6 y  11y  6 y  0
(45а)
с граничными условиями
y(0)  0 , y(1)  0 , y(0)  0 .
(45б)
Для уравнения (45а) решения
y1  e x , y2  e2 x , y3  e3x
(46)
составляют фундаментальную систему решений. Согласно предыдущему разделу 4.1. функция
Грина
G( x,  ) может быть построена из общих решений по формулам:
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________
G ( x,  ), a  x    b,
G( x,  )   L
GR ( x,  ), a    x  b,
(47)
где
3
GL ( x,  )    A( )  B( )  yk ( x)
k 1
,
(48а)
.
(48б)
3
GR ( x,  )    A( )  B( )   yk ( x)
k 1
Из условий непрерывности функции Грина, ее первой производной, а также скачка второй производной получаем систему для определения коэффициентов функций
B1 ( ) , B2 ( ) , B3 ( ) :
 B1 ( ) y1 ( )  B2 ( ) y2 ( )  B3 ( ) y3 ( )  0,

 B1 ( ) y1 ( )  B2 ( ) y2 ( )  B3 ( ) y3 ( )  0,
 B ( ) y( )  B ( ) y  ( )  B ( ) y  ( )  1 (2 P0( ))
1
2
2
3
3
 1
(49)
Система (49) всегда разрешима и имеет единственное решение, так как
P0( )  0 , а, следователь-
но, главный определитель этой системы есть вронскиан
W  y1, y2 , y3 
, который не равен нулю.
Из системы (49) находим решения:
1
1
1
B1 ( )   e B2 ( )  e2 B3 ( )   e3
2
4
4
,
,
.
Для нахождения коэффициентов-функций
(50)
Ai ( ) , ( i  1,2,3 ), воспользуемся граничными условия-
ми (45б) и в результате получаем систему
 A ( )  A ( )  A ( )   B ( )  B ( )  B ( ),
1
2
3
1
2
3


A
(

)

4
A
(

)

9
A
(

)


B
(

)

4
B
(

)
 9 B3 ( ),
 1
2
3
1
2

2
2

 A1 ( )  eA2 ( )  e A3 ( )  B1 ( )  eB2 ( )  e B3 ( ).
(51)
Из этой системы находим решения:
A1 ( )  
20e1  5e2  10e2  8e12  3e22  e3

 8e  5)
,
(52а)
8e1  8e2  8e2  5e  3e2  e3

 8e  5)
,
(52б)
1
4(3e
2
A2 ( ) 
1
2(3e
2
A3 ( )  
Подставляя найденные выражения для
12e1  5  6e2  3e2  8e  e3

 8e  5)
1
4(3e
2
. (52в)
Ak ( ) , Bk ( ) , ( k  1,2,3 ), в формулы (4.6.2), находим точ-
ную функцию Грина для краевой задачи (45) в виде:
GL ( x,  ), 0  x    1,

G ( x,  )  
G ( x,  ), 0    x  1,
 R
где
(53)
75
76
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
GL ( x,  ) 

e x 5 / 2e  5e12  5 / 2e 23
3e2  8e  5
 + e2 x  4e  8e12  4e23  
3e2  8e  5

GR ( x,  ) 


e3 x 3 / 2e  3e12  3 / 2e 23
3e2  8e  5
e x 3 / 2 e2  4 e1  5e12  5 / 2 e23
3e2  8e  5


,
(54а)
  e2 x  4 e  3e22  5e2  4 e23  
3e2  8e  5

e3 x 3 / 2 e  3e12  5 / 2 e 3  4 e13
3e2  8e  5

.
(54б)
С помощью разработанной программы GRETSA для краевой задачи (45) была получена приближенная функция Грина
GL ( x,  ), 0  x    1,

G ( x,  )  
G ( x,  ), 0    x  1,
 R
где
19663
82489
308167 2 216293 3 1059601 3 907379 3
98315 4
x
x 
x 
x 
x 
x
x
35489
35489
70978
212934
212934
212934
70978
3462703 4 3389837 3 2 412445 4
4699457 5 10969609 5 11655611 3 3

x 
x 
x 
x 
x 
x
851736
425868
70978
4258680
4258680
1277604
1540835 4 2 19714871 5
137641 6 46783051 6 38089733 3 4 5298005 4 3

x  
x 
x 
x 
x 
x 
141956
4258680
212934
12776040
5110416
425868
73651913 5 2 577423 6
7783739 7 120665699 3 5 17313515 4 4

x  
x 
x 
x 
x 
8517360
212934
25552080
25552080
1703472
GL(7) 
253244639 5 3 2157169 6 2 228577019 7
514613561 3 6 10969609 4 5
x  
x  
x 
x 
x 
25552080
425868
178864560
76656240
1703472
827586017 5 4 7417207 6 3 853930757 7 2 46783051 4 6 2621736551 5 5

x  
x  
x  
x  
x 
102208320
1277604
357729120
5110416
511041600


24238921 6 4 2936154371 7 3 11181149189 5 6 76787263 6 5 9595150013 7 4
x  
x  
x 
x  
x 
5110416
1073187360
1533124800
25552080
4292749440

327481357 6 6 4342398077 7 5 18519404903 7 6
x  
x  
x 
76656240
3066249600
9198748800
,
(56а)
19663
117978
521101 2
3359 3 25 4
x  1 / 2 2 
x  1 / 2 x 2   3 
x  3 x 2 
x  
35489
35489
70978
212934
24
324471 3 25 2 2 3359 3
292555 4
6656713 4

x  x  
x
x  3 / 4 5 
x  15 / 2 x 2 3
35489
4
35489
851736
851736
195827 3 2 292555 4
1505447 5 301 6 3608633 5 301 2 4 54079 3 3

x 
x 
x 
 
x 
x  
x
425868
141956
4258680
720
709780
48
70978
7807831 4 2 1505447 5
5834731 6 31962119 6 161 2 5 3807359 3 4

x  
x 
x 
x 
x  
x
1703472
709780
25552080
6388020
40
5110416
1627427 4 3 39369539 5 2 5834731 6
2886257 7 605 2 6 2218579 3 5

x  
x  
x 
x 
x  
x
283912
8517360
4258680
25552080
144
4258680
GR(7) 
(55)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________

100407955 4 4 8105023 5 3 30301211 6 2 2886257 7
26994701 3 6
x  
x 
x  
x 
x
20441664
1419560
10220832
4258680
76656240
. (56б)
На рис. 3 представлены графики функции Грина и ее производных.
Рис. 3. Трехмерные графики функции Грина (56) (слева), ее первой производной (в центре) и ее второй
производной (справа)
Fig. 3. Three-dimensional plots of the green function (56) (left), its first derivative (middle) and its second derivative
(right)
Было проведено численное сравнение точной функции Грина (54) и ее приближенного значения
(56), которое приведено на рис. 4.1-4.2.
Рис. 4.1. Теоретически (54) (сплошная) и практически (56) вычисленные (точки) функции Грина для
(слева),
  0.5 (центр) и   0.75
(справа) при
n  13
Fig. 4.1. Theoretically (54) (solid) and (56) are computed (dots) Green's functions for
(center) and
  0.75
(right) when
  0.25
  0.25
(left),
  0.5
n  13
  0.25 ,   0.5 ,   0.75 менее 8 107 , 1,5 106 , 0,00015 , соотАбсолютная погрешность  при
ветственно.
  Gtheor  Gcalc
  0.25 ,   0.5 ,   0.75 ме. Относительная погрешность  при
нее 0,038% , 3% , 1,3% , соответственно.
   / Gtheor 100%
77
78
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016 № 27 (248). Выпуск 45
________________________________________________________________
Рис. 4.2. Теоретически (54) (сплошная) и практически (56) вычисленные (точки) функции Грина для
  0.25
(слева),
  0.5 (центр) и   0.75
(справа) при
n  16
Fig. 4.2. Theoretically (54) (solid) and (56) are computed (dots) Green's functions for
(center) and
  0.75
(right)
  0.25
(left),
  0.5
n  16
  0.25 ,   0.5 ,   0.75 менее 6 109 , 8 109 , 6 107 , соотАбсолютная погрешность  при
ветственно.
  Gtheor  Gcalc
. Относительная погрешность  при   0.25 ,   0.5 ,   0.75 ме-
5
3
нее 4 10 % , 0,003% , 6 10 % , соответственно.
   / Gtheor 100%
Из приведенных расчетов следует, что полученная нами приближенная функция Грина (56) отли3
чается от точной (54) на 1,3% и 6 10 % при n  13 и n  16 , соответственно.
Выводы
В работе разработаны алгоритмы для символьно-численного построения функции Грина
дифференциальных уравнений второго и третьего порядка, согласно которому составлены программы для символьно-численного построения функции Грина, с помощью функции Грина дифференциального уравнения второго порядка исследована задача на устойчивость конусообразного
стержня при наличии внешней нагрузки. В этой задаче найдены собственные значения и величина критической нагрузки, при которой стержень теряет устойчивость – происходит выпучивание
стержня. Полученные результат хорошо согласуются с известными из текущей литературы. Исследованы также некоторые задачи, которые описываются дифференциальными уравнениями третьего порядка.
В дальнейшем планируется решение других задач на собственные значения.
Список литературы
1. Сансоне Дж. 1953. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Том 1 – М.: Изд-во иностранной литературы: 346.
Sansone J. 1953. Ordinary differential equations. V.1. , М.: Izdatelstvo inostrannoi literatury: 346.
2. Сансоне Дж. 1954. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Том 2. М.: ИЛ: 416.
Sansone J. 1954. Ordinary differential equations. V.2. – М.: Izdatelstvo inostrannoi literatury: 416.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия Математика. Физика. 2016. № 27 (248). Выпуск 45
_________________________________________________________________
3. Трикоми Ф. 1962. Дифференциальные уравнения, М.: ИЛ: 352.
Tricomi F. 1961. Differential equations. Turin: Blackie & son limited: 348.
4. Краснов М.Л. 1976. Интегральные уравнения, М.: Наука: 216.
Krasnov M.L. 1976. Integral equation.M.: Nauka: 216.
5. Филиппов А.Ф. 2005. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, М. Ижевск: НИЦ
РХД: 176.
Filippov A.F. 2005. Sbornik zadach po differential equftions, M.: Izhevsk, RCD: 176.
6. Привалов И.И. 1937. Интегральные уравнения, М.-Л.: ОНТИ: 248.
Privalov I.I. 1937. Integral equation.M. – L.: ONTI: 248.
7. Михлин С.Г. 1947. Приложения интегральных уравнений к некоторым проблемам механики,
daматематической физики и техники, М., Л.: ОГИЗ изд. тех.-теор. лит.: 304.
Mikhlin S.G. 1947. Applications of Integral equations to some problems of mechanics, M.-L.: 304.
8. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. 1980. Дифференциальные уравнения, М.:
Наука: 232.
Tikhсonov A.N. Vasilieva A.B. , Sveshnikov A.G. Differential equations,. M.: Nauka: 232.
9. Смирнов В.И. 1953. Курс высшей математики в 5-ти т. , М.: ГИТТЛ, Т. 4: 804.
Smirnov V.I. 1953. Kurs vyschey matematiki. M.: Izdatelstvo techniko-technicheskoi literatury: 804.
10. Lewis H.R. 1967. Class of Exact Invariants for Classical and Quantum Time-Dependent Harmonic
Oscillators. Journ. of math. Phys, Vol. 9, num. 11: 1976-1986.
11. Камке Э. 1965. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М.: Наука:
704.
Kamke E. 1965. Spravochnik po ordinary differential equations, M.: Nauka: 704.
12. Соловьев Е.А. 1984. Уравнение Милна и высшие порядки ВКБ приближения. Письма в
ЖЭТФ, Т.39, Вып. 2: 84-86.
Solovev E.A. 1984. Milne equation and high VKB approach. Pisma v JETPhys, V.39, IsNo.. 2: 86.
13. Pinney E. 1950. The nonlinear differential equation. Proc. Amer. Math. Soc.: 581
14. Абрамовиц М., Стиган И. 1979. Справочник по специальным функциям, М.: Наука: 832.
Abramovitz M., Stugan I. 1979. Spravochnik po special functions, M.: Nauka: 832.
79
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа