close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Формирование математической модели механизма привода утюга на базе удельных действий..pdf

код для вставкиСкачать
Вестник КрасГАУ. 20 12. № 5
Выводы
На основе преобразованного уравнения Лагранжа второго рода (в данное уравнение введены выражения: кинетической и потенциальной энергии, вычисленные через обобщенные координаты; силы трения) получено уравнение движения механизма привода утюга, выраженное через операторов передачи движения.
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
Горский Б.Е. Динамическое совершенствование механических систем. – Киев: Техника, 1987. – 200 с.
Крысин А.Г., Ширшиков А.М. Математическая модель оптимизации механизма привода утюга упаковочной машины по удельным действиям // Интенсификация процессов, оборудования и управления
пищевых производств: межвуз. сб. науч. тр. – Л.: Изд-во ЛТИХП, 1991, – С. 65–72.
Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. – М.: Наука, 1975, – 639 с.
Левитский Н.И. Теория механизмов и машин: учеб. пособие для вузов. – 2-е изд. перераб. и доп. – М.:
Наука, 1990. – 592 с.
Гусев Б.К., Ширшиков А.М. Разработка принципа удельных действий применительно к совершенствованию торгово-технологического оборудования: моногр. – Красноярск, 2011. – 134 с.
УДК 648.4:621.01.001
Б.К. Гусев, В.В. Пеленко, А.М. Ширшиков
ФОРМИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ МЕХАНИЗМА ПРИВОДА УТЮГА
НА БАЗЕ УДЕЛЬНЫХ ДЕЙСТВИЙ
Раннее было сформировано уравнение движения механизма привода утюга, выраженное посредством
операторов передачи движения. Но для решения поставленной задачи по определению путей совершенствования торгово-технологического оборудования этого мало. Необходимо построить математическую
модель рассматриваемого механизма, не только на базе операторов передачи движения, но и на базе
удельных действий. При этом необходимо учитывать полезные затраты в механических средах.
Ключевые слова: математическая и физическая модель, удельное действие, выражение принуждения, крутящий момент, энергия ускорений, количество движения, оптимизация.
B.K. Gusev, V.V. Pelenko, A.M. Shirshikov
MATHEMATICAL MODEL FORMATION OF THE IRON DRIVING MECHANISM
ON THE BASIS OF SPECIFIC ACTIONS
The equation of iron driving mechanism motion expressed in terms of transferring motion operators was formulated earlier. However, it is not sufficient for solving the problem of defining trade-related and technological
equipment improvement methods. It is necessary to create the mathematical model of the considered mechanism
not only based on transferring motion operators, but also on the basis of specific actions. In addition, effective outlays in mechanical environments must be also considered.
Key words: mathematical and physical model, specific action, expression for forcing, torque moment, acceleration energy, momentum, optimization.
Расфасовочно-упаковочное оборудование следует отнести к классу машин, предназначенных для
преодоления технологических сопротивлений при перемещении рабочего органа с требуемой скоростью [3].
103
Математика и информатика
Функцией цели такого класса машин является совершение механической работы силой mW на переме-
~
щение S . При этом ключевым удельным действием принимается удельное действие по КориолисуПонселе, которое оценивает затраты механической работы при перемещении рабочего органа с заданной
скоростью.
Для осуществления динамического анализа необходимо вычислить все удельные действия [2], которые определяют затраты механических средств. При этом необходимо осуществить разбивку рассматриваемого механизма по его узлам, а именно: привод, кулачок, коромысло, тяга, цепь, звездочка, утюг и пружина. Приоритетом при оценке закономерностей изменения удельных действий будет являться ключевое
удельное действию по Кориолису-Понселе [1, 4]. Проведем формирование функций принуждения следующих удельных действий.
Удельное действие по Гауссу
Данное удельное действие оценивает конструкции связей (шарниров, стержней), структуру и износостойкость механической системы.
При определении величины данного удельного действия К Гс в качестве подынтегральной функции
используется функция принуждения Z i механизма привода утюга
n
(1)
,
i 1
где Z i – функция принуждения рассматриваемого i-го звена.
Сформируем выражения принуждения для всех звеньев механизма.
Представим систему, состоящую из ротора электродвигателя и шкива, насаженного на вал ротора, в
виде однородного диска (рис.1). Радиус диска равен Rср. р
площади, равна
mр
mш
Rcр. р
2
Rр
Rш
2
, а масса, приходящаяся на единицу
.
Рис. 1. Схема для определения функции принуждения однородного диска
Для данного условного диска элементарное принуждение равно [2]
104
Вестник КрасГАУ. 20 12. № 5
d
где
пр
2
1
W * W dm,
2
(2)
W – действительное ускорение произвольной точки диска, м/с²;
W * – воображаемое по Гауссу ускорение произвольной точки диска, м/с²;
dr
– масса элементарной части диска, кг.
dm
r
d
Воображаемое ускорение произвольной точки тела по Гауссу представляет собой такое ускорение,
которое имела бы точку, двигаясь под действием тех же активных сил, если бы с этого момента были установлены наложенные на нее связи [2].
Действительное ускорение произвольной точки диска
W
2
где W n
р
r ,W
р
W
n*
(3)
W ,
r – нормальная и тангенциальная составляющие ускорения, м/с².
Воображаемое по Гауссу ускорение произвольной точки диска
W*
где
W n*
g W
n*
*
(4)
W ,
g – ускорение свободного падения, м/с² ;
M кр. р
2
*
r – нормальная и тангенциальная составляющие воображаемого ускор r ,W
Jр
рения, м/с² ;
М кр. р – крутящий момент на валу электродвигателя, Нм;
J Р – момент инерции ротора, кгм².
Произведя соответствующие преобразования, получим выражение функции принуждения привода:
2
пр
1,85
d
( m р mш )
1,85
(m р
2
Rср. р (
M кр. р
mш ) {g 2
р
Jр
)2
},
2
(5)
где 1,85 – коэффициент, учитывающий принуждение передаточных механизмов (от электродвигателя до приводной звездочки, расположенной на валу кулачка).
Принимая во внимание рассуждения, приведенные для привода, функциюпринуждения кулачка можно
записать в виде
2
кул
1
к
(m кул m зв
2
R ср. кул (
mступ ){g 2
M кр.кул
J кул
кул
)2
},
(6)
105
Математика и информатика
где mкул , mзв , mступ – масса кулачка, приводной звездочки и ступицы, на которую насажены кулачок и звездочка соответственно, кг;
Rср.кул
1
Rкул
3
Rзв
к
Rступ – средний радиус,
М кр.кул – крутящий момент на валу кулачка, Нм;
J кул – момент инерции кулачка, кгм² .
Используя данную методику, определим функции принуждения для всех узлов, входящих в машину.
Для механизма коромысла, исходя из условия о том, что механизм коромысла принимаем за однородный прямолинейный тонкий стержень, (схема для вычисления его принуждения приведена на рис. 2),
функция принуждения коромысла (после соответствующих преобразований) будет иметь вид:
кор
1
m кор {g 2
2
(
d 4
)
dt
2
к
lк
2
1 d2 2 2
d
( 2 ) lк 2 g ( ) 2
3 dt
dt
к l к sin
g
d2
lк cos }.
dt 2
(7)
Рис. 2. Схема для определения функции принуждения коромысла
Для определения функции принуждения тяги (механизм которого рассматриваем так же, как прямолинейный тонкий стержень с центром масс в точке S (рис. 3)), вычислим действительное ускорение произ106
Вестник КрасГАУ. 20 12. № 5
вольной точки тяги. На основании этого, произведя необходимые преобразования, получим функцию принуждения тяги.
1
d 4 2 d2 2 2 d 4 2 2
d
2
m
{
g
(
) l к ( 2 ) l к ( ) Т lТ 2 g ( ) 2 l к sin
Т
Т
2
dt
dt
dt
dt
2
d
d
d
d
2 g 2 l к cos
2 g ( ) 2 lТ Т sin
2( ) 2 l к ( ) 2 Т lТ cos(
)
dt
dt
dt
dt
d2
d 2
1 d2 2 2
d2
d
2 2 l к ( ) Т lТ sin(
)
( 2 ) lТ
g 2 lТ cos
( ) 2 lк
dt
3 dt
dt
dt
dt
2
2
2
d
d
d
l sin(
)
l
lТ cos(
)}.
2 Т
2 к
dt
dt
dt 2
(8)
Рис. 3. Схема для определения функции принуждения тяги
Принуждение цепи складывается из принуждения трех участков цепи: участок присоединения к тяге,
участок цепи, расположенный на звездочке, и участок присоединения к утюгу (рис. 4).
ц
цепи:
цТ
цЗВ
цУ
.
Рассматривая цепь, присоединенную к тяге, как ее продолжение, получим принуждение этого участка
107
Математика и информатика
цТ
lцТ
1
mц
{g 2
2
lц
d 4 2
) lк
dt
(
d2 2 2
) lк
dt 2
(
d 4
) (lТ
dt
2
цТ l цТ )
(
d2 2
) [lТ (lТ
dt 2
l цТ )
1 2
d
d
d2
d
l цТ ] 2 g ( ) 2 l к sin
2 g ( ) 2 l sin
2 g 2 l к cos
2 g ( ) 2 (lТ lцТ цТ ) sin
3
dt
dt
dt
dt
2
d
d
d
d
2( ) 2 l ( ) 2 (lТ
) 2 2 l к ( ) 2 (lТ
)
цТ l цТ ) cos(
цТ l цт ) sin(
dt
dt
dt
dt
d2
d2
d
d2
d 2 к d2
2 g 2 l cos
g 2 lцТ cos
2( ) 2 l к
l
sin(
)
(
) lк
lцТ
Т
dt
dt
dt
dt
dt 2
dt 2
d2
d2
d2
d2
sin(
) 2 2 lк
l
cos(
)
l
lцТ cos(
)}.
Т
к
dt
dt 2
dt 2
dt 2
(9)
Рис. 4. Схема для определения силы, действующей на звездочку
Определив крутящий момент на звездочке, произведя при этом соответствующие преобразования, определим принуждение участка цепи, находящегося на звездочке (рассматриваем его как часть обруча
(рис. 5)). Значение функции принуждение этого участка цепи будет иметь вид
цзв
lцзв 2
1
mц
{g
2
lц
2
R зв (
4 gR зв (
M крзв
J цзв
зв
)
108
2
M крзв
J ц . зв
зв
)
},
(10)
Вестник КрасГАУ. 20 12. № 5
где
l цзв
2
R зв – длина цепи, находящейся на звездочке, м;
М крзв – крутящий момент на звездочке, Нм;
J цзв – момент инерции цепи за звездочке, кгм²;
зв
– угловое ускорение звездочки, с 2 .
Принуждение участка цепи, присоединенного к утюгу,
цу
Hц 2
d 2 Hц
1
mц
{g 2 g
2
lц
dt 2
(
d 2 Hц
dt
2
)2} .
(11)
Подставив формулы (10) в (11) получим выражение принуждения всей цепи.
Принуждение звездочки вычисляется по формуле (1).
з2
где
1
mзв{g 2
2
1 2 M кр. зв
Rзв (
2
J зв
зв
) 2 },
(12)
m зв – масса звездочки, кг;
J зв – момент инерции звездочки, кгм².
Принуждения утюга и пружины вычисляются также по формуле (1).
у
пруж
где
1
m у {g 2
2
1
mпруж {g 2
2
2g
2g
d 2Hц
2
dt
2
d H пруж
dt 2
(
(
d 2Hц
2
) 2 };
dt
d 2 H пруж
dt 2
)2 ,
(13)
(14)
m у , mпруж – масса утюга и пружин соответственно, кг;
d 2 H пруж
dt 2
– ускорение пружины, м/с².
Рис. 5. Схема для определения функции принуждения участка цепи, расположенного на звездочке
Подставляя формулы (5)–(11) в формулу (1), получаем функцию принуждения системы, которая является только функцией времени t . Проинтегрировав данную функцию по времени, получаем величину
удельного действия по Гауссу К Гс .
109
Математика и информатика
Удельное действие по Аппелю
Удельное действие по Аппелю К А оценивает действие сил инерции, т.е. характеризует напряженность динамического режима системы. В качестве подынтегральной функции используем функцию энергии ускорений V механизма (рис. 6).
n
V
(15)
Vi ,
i 1
где Vi
1
2
miWi – энергия ускорений i го звена.
2
Энергия ускорений привода, кулачка, коромысла, участка цепи, расположенного на звездочке, и звездочки вычисляется по формуле
d2
1
J i {( 2 i ) 2
2
dt
Vi
(
d i 4
) },
dt
(16)
где J i – момент инерции рассматриваемого звена механизма, кгм;
d i d2 i
, 2 – угловая скорость и ускорение этого звена, с 1 , с 2 .
dt dt
Энергия ускорения тяги и участка цепи, присоединенного к тяге, вычисляется по формуле
Vi
1
2
[miWiS
2
J i {(
d2 2
)
dt 2
(
d 4
) }],
dt
(17)
где mi , J i – масса и момент инерции рассматриваемого звена, кг и кгм;
WiS – ускорение центра масс этого звена, м/с².
Энергия ускорений участка цепи, присоединенного к утюгу, утюга и пружины вычисляются по формуле
Vi
d 2Hц
1
mi
2
dt 2
2
(18)
,
где mi – масса рассматриваемого звена, кг.
Подставив в характеристики звеньев механизма соответствующие выражения и произведя преобразования, получим выражения энергии ускорений соответствующих механизмов звеньев:
для привода
Vпр
1
J ап
2
2
р
4
ж;
(19)
4
;
(20)
d 4
) };
dt
(21)
р
для кулачка
Vкул
1
J кул
2
2
для коромысла
Vкор
1
d2
J кор{( 2 ) 2
2
dt
110
(
Вестник КрасГАУ. 20 12. № 5
1
d
2
(mТ [l к {( ) 2
2
dt
VN
для тяги
d 4 1 2 d2 2
) }
lТ {( 2 )
dt
4
dt
d 2
) tg (
dt
(
d 4
) }]
dt
2
d
d
d2
) [( ) 2 {( ) 2
tg (
dt
dt
dt 2
d2
d
)}) J Т {( 2 ) 2 ( ) 4 };
dt
dt
l к lТ cos(
(
(
d2 d
)]
{
) (18)
dt 2 dt 2
для цепи
1
1
d2
2
{mц (lцТ (l к {( 2 ) 2
2
lц
dt
Vц
l к (lТ
(
lцТ ) cos(
d 2
) tg (
dt
)
)]}) J (
(
d 4
)
dt
1
(lТ
4
d
d
{( ) 2 [( 2
dt
dt)
2
4
lцТ ) 2 [(
d
tg (
dt
d2 2
)
dt 2
(
d 4
) ]
dt
d2 d2
)]
[
dt 2 dt 2
(22)
)};
для звездочки
Vзв
1
J зв (
2
Vу
d 2Hц 2
1
mу (
) ;
2
dt 2
для утюга
для пружины
Vпруж
2
зв
2
зв
);
d 2 H пруж 2
1
mпруж (
) .
6
dt 2
(23)
(24)
(25)
Подставив формулы (21)–(25) в формулу (15), получим функцию энергии ускорений механизма, а затем и удельное действие по Аппелю.
Удельное действие по Лагранжу
Удельное действие по Лагранжу определяет затраты кинетической энергии-времени, действие масс
элементов системы, взвешенное по квадратам их скоростей. В качестве подынтегральной функции используется кинетическая энергия Т механизма.
Удельное действие по Эйлеру
Удельное действие по Эйлеру К Э оценивает затраты потенциальной энергии-времени. В качестве
подынтегральной функции принимается модуль приращения потенциальной энергии
рой для отдельных звеньев вычисляется по известным формулам.
П , величина кото-
Удельное действие по Буридану
В качестве подынтегральной функции принимается удельное действие по Буридану К Б . Используя
модуль обобщенной силы Q , возможно оценить затраты импульса сил.
Удельное действие по Кориолису-Понселе
Удельное действие по Кориолису-Понселе рассчитывается на основе модуля произведения обобщенной силы и скорости, т.е. мощности Q , и оценивает затраты механической работы.
111
Математика и информатика
Удельное действие по импульсу Ким
Данное удельное действие оценивает затраты импульса сил сопротивления и инерции, приведенные
к электродвигателю. Подынтегральной функцией является модуль приведенного к оси электродвигателя
момента действующих в системе сил сопротивления и инерции М ПРИВ .
Под приведенным моментом понимаем момент приведенной пары сил сопротивления и инерции, условно приложенной к валу ротора электродвигателя (звено приведения). Величина этого момента определяется из условия: мощность пары равна сумме мощностей сил и пар сил, приложенных к звеньям механизма [1]:
М прив
р
М пр
р
М кул
р
М кф
р
р
МТ
Мц
р
М зв
р
Му
р
М пруж
р
р
М тр .
(26)
Выражения моментов сил сопротивления и инерции звеньев, приведенных к ротору, имеет вид:
для привода
М пр
р
J пр
d
d
dt ;
d р
2
р
dt
2
(27)
dt
для кулачка
M кул
d
dt ;
1 )}
d р
2
р
{J кул
d
dt 2
Pкул RцТ .кул cos(
(28)
dt
для коромысла
M кор
d
dt ;
2 )}
d р
2
р
d
dt 2
{J кор
Pкор RцТ .кор cos(
(29)
dt
для тяги
MТ
р
{mТ aТ
d2 d
JТ 2
dt dt
d р
1
d
lТ cos
)}/
;
2
dt
dt
d
dt
PТ (lк cos
(30)
для цепи
Mц
р
J цзв
для звездочки
M цТ
р
M цзв
Pц
зв
зв
l
ц
р
M цу
р
(
mц
lц
dH ц
1 2
d
{ lцТ cos
2
dt
M зв
р
lцТ aцТ
dt
J зв
для утюга
112
зв
d 2 H ц dH ц
Hц
dt 2
(lцТ sin
зв
/
d
р
dt
;
Rзв
dt
) J цТ
H ц )} /
d2 d
dt 2 dt
d
dt
р
(31)
;
(32)
Вестник КрасГАУ. 20 12. № 5
dH ц
2
Mу
р
(m у
d Hц
dt 2
Pу ) dt ;
d р
(33)
dt
для пружины
M ПРУЖ
р
d 2 H пруж
(mпруж
dt
2
dH пруж
C пруж H пруж
для трения (в направляющих утюга)
M Тр
р
K (M ц
р
1
Pпруж ) dt ;
d р
2
dt
р
(34)
(35)
M пруж ),
где
aТ
V ST W ST
d
{(
dt
d
dt )
d2 d
dt 2 dtl
d2
2
( dt
d
dt
lк
2
1d d
l к lТ sin(
2 dt dt
d2
dt 2 )cng (
d
dt
)
1 d2 d
2
)}
lТ
2
4 dt dt
– скалярное произведение
век-
торов скорости и ускорения центра масс тяги S T (рис. 6);
aцТ
d
[(
dt
d2 d
d
1
d
2
lк
(lТ
lцТ ){ l к sin(
2
dt
2
dt
dt dt
2
2
d
d
2
2
d
d2
1
dt
dt
) (
)ctg (
)]
(lТ
lцТ )}
2
d
d
dt
2
dt
dt
dt
V Sцц W Sцц
)
– скалярное произведение
векторов скорости и ускорения центра масс цепи, присоединенной к тяге;
К – коэффициент, учитывающий трение (значения приведены ниже).
Рис. 6. Схема для определения скалярного произведения векторов скорости и ускорения тяги
113
Математика и информатика
Удельное действие по Виттенбауэру
В качестве подынтегральной функции в выражении удельного действия по Виттенбауэру используется
произведение модуля приведенного момента (сил сопротивления и инерции) на скорость вращения вала ротора электродвигателя. Данное удельное действие оценивает затраты работы сил сопротивления и инерции.
Удельное действие по Декарту
Данное удельное действие оценивает затраты количества движения-времени звеньев (механизм привода утюга) и его можно представить в виде двух интегралов. В качестве подынтегральной функции первого
интеграла берется сумма модулей количества движения звеньев, входящих в механизм. Выражение для
определения количества движения будет иметь вид:
для кулачка
K кул
mкул
d
RцТкул ;
dt
(36)
для коромысла
K кор
mкор
d
RцТкор ;
dt
(37)
KТ
mТVSТ ;
(38)
для тяги
для цепи
Kц
mц
lц
{lцТVSцц
l
sin(
2
)
d
dt
Hц
dHц
dt
};
(39)
для утюга
Kу
mу
dH у
dt
(40)
;
для пружины
K пруж mпруж
где
d
dt
VST
2
lK
2
1 d
4 dt
2
lT
2
dH пруж
dt
(41)
;
d
d
lK
lT cos
dt
dt
– скорость
центра масс S T
тяги, м/с;
VSцц
(
d 2 2 d 2
) lк ( ) (lТ
dt
dt
1
d
d
lцТ ) 2 2
lк
(lТ
2
dt
dt
1
lцТ ) cos(
2
) – скорость центра
масс S ЦТ цепи, присоединенной к тяге, м/с.
Подынтегральной функцией второго интеграла является сумма
движения звеньев. Моменты количества движений будут иметь вид:
114
моментов (по модулю) количества
Вестник КрасГАУ. 20 12. № 5
для привода
LSпп
J пр
LSкку
J кул
d
р
dt
для кулачка
(42)
;
d
;
dt
(43)
для коромысла
LSкко
J кор
d
;
dt
(44)
для тяги
LST
JT
d
;
dt
LSццз
J цТ
(45)
для цепи
LSц
Lsцц
d
dt
J цзв
зв
;
(46)
для звездочки
LSзз
J зв
зв
(47)
Выводы
В границах математической модели оптимизации динамики механического привода удалось сформировать систему математических моделей и алгоритмы вычисления удельных действий. В результате появилась возможность проводить не только качественный и количественный анализ уровня совершенства механизма, но и осуществлять синтез аналогов имеющих более качественные характеристики.
Литература
1.
2.
3.
4.
Артоболевский И.И. Теория машин и механизмов. – М.: Наука, 1975. – 639 с.
Горский Б.Е. Динамическое совершенствование механических систем. – Киев: Техника, 1987. – 200 с.
Горский Б.Е., Гохлернер Л.С. Выбор ключевого критерия оптимизации механических систем // Изв.
вузов. Стр-во и архитектура. – 1987. – №2. – С. 109–112.
Гусев Б.К., Ширшиков А.М. Разработка принципа удельных действий применительно к совершенствованию торгово-технологического оборудования: моногр. – Красноярск, 2011. – 134 с.
115
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
1 016 Кб
Теги
действий, привод, математические, pdf, механизм, модель, базе, утюг, формирование, удельных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа