close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Зорич В.А. - Математический анализ. Некоторые материалы к лекциям для студентов второго курса (2007).pdf

код для вставкиСкачать
Мо▒ков▒кий го▒│да░▒▓венн╗й │ниве░▒и▓е▓
Ме╡анико-ма▓ема▓и╖е▒кий ┤ак│л╝▓е▓
В.А. Зо░и╖
Ма▓ема▓и╖е▒кий анализ
Неко▓о░╗е ма▓е░иал╗ к лек╢и┐м дл┐ ▒▓│ден▓ов в▓о░ого к│░▒а
2006/2007 │╖ебн╗й год
Мо▒ква
2007
Зде▒╝ поме╣ен╗ неко▓о░╗е ░або╖ие ма▓е░иал╗, возник╕ие в
п░о╢е▒▒е ╖▓ени┐ об┐за▓ел╝ного к│░▒а Ма▓ема▓и╖е▒кий анализ дл┐ ▒▓│ден▓ов-ма▓ема▓иков в ▓░е▓╝ем и ╖е▓ве░▓ом ▒еме▒▓░а╡ 2006/07 │╖ебного года.
Имее▓▒┐ вводна┐ обзо░на┐ лек╢и┐ ▓░е▓╝его ▒еме▒▓░а (░┐д как
ин▒▓░│мен▓) а ▓акже изложение ┤о░м│л╗ замен╗ пе░еменн╗╡ в многоме░ном ин▓ег░але, о▓но▒┐╣ее▒┐ к ╖е▓ве░▓ом│ ▒еме▒▓░│.
П░иложен╗ неко▓о░╗е п░омеж│▓о╖н╗е кон▓░ол╝н╗е задани┐,
п░ог░амм╗ ╜кзаменов, а ▓акже ╜кзамена╢ионное задание пи▒╝менной ░або▓╗ на до▒░о╖ном ╜кзамене за ▓░е▓ий ▒еме▒▓░ в
декаб░е 2006 года.
0
Т░е▓ий ▒еме▒▓░
РЯД КАК ИНСТРУМЕНТ
Вводна┐ лек╢и┐
1
СОДЕРЖАНИЕ
Ра▒▒мо▓░ен╗ п░име░╗ зада╖, демон▒▓░и░│╛╣ие ин▒▓░│мен▓ ░┐дов в
░або▓е. По▒▓авлен╗ о▒новн╗е ▓ео░е▓и╖е▒кие воп░о▒╗, о▓но▒┐╣ие▒┐ к
дей▒▓ви┐м ▒ ░┐дами.
2
I. Зада╖и, ╜в░и▒▓и╖е▒кие дей▒▓ви┐, ▓ео░е▓и╖е▒кие воп░о▒╗.
0. Разминка.
a) Б│ка╕ка на ░езинке (зада╖а Л.Б.Ок│н┐, по▒▓авленна┐ А.Д.Са╡а░ов│).
b) Ин▓ег░ал и о╢енка ▒│мм.
c) О▓ обез╝┐н╗ до док▓о░а на│к в▒его 106 ле▓.
1. Эк▒понен▓а.
a) С▓епенн╗е ░азложени┐ ┤│нк╢ий exp , cos , sin.
b) В╗╡од в комплек▒н│╛ обла▒▓╝ и ┤о░м│ла Эйле░а.
c) Эк▒понен▓а как п░едел.
d) Умножение ░┐дов и о▒новное ▒вой▒▓во ╜к▒понен▓╗.
е) Эк▒понен▓а о▓ ма▓░и╢╗ и ░ол╝ комм│▓а▓ивно▒▓и.
f) Эк▒понен▓а о▓ опе░а▓о░а и ┤о░м│ла Тейло░а.
2. Бином Н╝╛▓она.
a) С▓епенное ░азложение ┤│нк╢ий (1 + x).
b) Ин▓ег░и░ование ░┐да и ░азложение log(1 + x).
c) Разложени┐ (1 + x2) 1 и arctg x.
d) Разложение (1 x) 1 и в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е ▒▓░анно▒▓и.
3. Ре╕ение ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ │░авнений.
a) Ме▓од неоп░еделенн╗╡ ко╜┤┤и╢иен▓ов.
b) И▒пол╝зование ╜к▒понен▓╗.
4. Об╣а┐ иде┐ п░иближени┐ и ░азложени┐.
a) См╗▒л пози╢ионной ▒и▒▓ем╗ ▒╖и▒лени┐. И░░а╢ионал╝н╗е ╖и▒ла.
b) Разложение век▓о░а по бази▒│ и аналогии в ░┐да╡.
c) Ра▒▒▓о┐ние.
II. Фо░мализа╢и┐.
1. Р┐д и его ▒│мма.
2. У▒лови┐ и п░изнаки ▒╡одимо▒▓и ╖и▒лового ░┐да.
a) К░и▓е░ий Ко╕и и необ╡одимое │▒ловие ▒╡одимо▒▓и ░┐да.
b) До▒▓а▓о╖н╗й мажо░ан▓н╗й п░изнак ▒╡одимо▒▓и.
c) Тео░ема ▒░авнени┐ дл┐ ░┐дов ▒ положи▓ел╝н╗ми
╖ленами.
P
1
d) Ин▓ег░ал╝н╗й п░изнак Ко╕и и ░┐д () = n=1 n1 .
e) Геоме▓░и╖е▒ка┐ п░ог░е▒▒и┐ и п░изнаки Ко╕и, д'Аламбе░а, Га│▒▒а.
f) П░изнак Абел┐{Ди░и╡ле и п░изнак Лейбни╢а ▒╡одимо▒▓и ░┐да.
3
I. Зада╖и, ╜в░и▒▓и╖е▒кие дей▒▓ви┐, ▓ео░е▓и╖е▒кие воп░о▒╗.
В геологии ▒на╖ала найд│▓, ░азведа╛▓ ме▒▓о░ождение, а по▓ом ░аз░аба▓╗ва╛▓. В ма▓ема▓ике ▓ак же. Ак▒иома▓ика и полезн╗й ┤о░мализм возника╛▓ как ░ез│л╝▓а▓ ░е╕ени┐ конк░е▓н╗╡ воп░о▒ов и зада╖.
Они не пада╛▓ ▒ неба, как ╜▓о може▓ показа▓╝▒┐ неоп╗▓ном│ ▒▓│ден▓│,
когда в▒е на╖инае▓▒┐ ▒ ак▒иом.
Э▓о▓ ▒еме▒▓░ в зна╖и▓ел╝ной ▒▓епени по▒в┐╣ен ░┐дам, ▓.е. по ▒│╣е▒▓в│ п░едел│ по▒ледова▓ел╝но▒▓и. Он идейно п░о▒▓ и довол╝но ▓е╡ни╖ен. Ч▓об╗ заме╖а▓ел╝но ╜┤┤ек▓ивн╗й аппа░а▓ ▓ео░ии ░┐дов не ▒вел▒┐
к аб▒▓░ак▓ном│ и▒▒ледовани╛ ▒╡одимо▒▓и ░┐да (▒│╣е▒▓вовани╛ некоего п░едела), дадим ╡о▓┐ б╗ на╖ал╝ное п░ед▒▓авление о ▓ом, где и как
░або▓ае▓ ╜▓о▓ ин▒▓░│мен▓.
0. Разминка.
a) Б│ка╕ка на ░езинке (зада╖а Л.Б.Ок│н┐, по▒▓авленна┐ им А.Д.Са╡а░ов│). 1
В╗ де░жи▓е один коне╢ ░езинового ╕н│░а длиной 1 км. О▓ в▓о░ого его кон╢а, ко▓о░╗й зак░еплен, к вам ▒о ▒ко░о▒▓╝╛ 1 ▒м/▒ ползе▓
б│ка╕ка. Кажд╗й ░аз, как ▓ол╝ко она п░оползае▓ 1 ▒м, в╗ ░а▒▓┐гивае▓е ░езинк│ на 1 км. Доползе▓ ли б│ка╕ка до ва╕ей ░│ки? Е▒ли да, ▓о
п░иблизи▓ел╝но ▒кол╝ко ей на ╜▓о по▓░еб│е▓▒┐ в░емени?
b) Ин▓ег░ал и о╢енка ▒│мм.
По▒ле неко▓о░ого ░азм╗╕лени┐ дл┐ о▓ве▓а на п░ед╗д│╣ий воп░о▒
вам може▓ оказа▓╝▒┐ полезной ▒│мма Sn = 1 + 21 + 13 R+n::: + n1 .
В▒помни▓е ин▓ег░ал и покажи▓е, ╖▓о Sn 1 < 1 x1 dx < Sn 1 .
c) О▓ обез╝┐н╗ до док▓о░а на│к в▒его 106 ле▓.
Ли▓лв│д в ▒воей изве▒▓ной книжке "Ма▓ема▓и╖е▒ка┐ ▒ме▒╝", гово░┐
о бол╝╕и╡ ╖и▒ла╡, пи▒ал, ╖▓о 106 ле▓ | в░ем┐, необ╡одимое дл┐ п░ев░а╣ени┐ обез╝┐н╗ в док▓о░а на│к 2.
По▒пее▓ ли б│ка╕ка на за╣и▓│ или ╡о▓┐ б╗ к кон╢│ ▒ве▓а?
1 Ж│░нал
Кван▓, ?, ?. См. ▓акже М.Га░дне░, А н│-ка догадай▒┐. Мо▒ква, Ми░,
1984. С▓░.187. А ▓акже Ма░▓ин Га░дне░, П│▓е╕е▒▓вие во в░емени. Мо▒ква, Ми░,
1990. С▓░.133. Ци▓и░│ем по▒ледн╛╛ книг│: "Э▓│ заме╖а▓ел╝н│╛ зада╖│ в д│╡е
па░адок▒а Зеннона об А╡илле▒е и ╖е░епа╡е п░ид│мал Д.Уилкин из Новой Каледонии.
Впе░в╗е она б╗ла оп│бликована в декаб░е 1972 г. в ░азделе занима▓ел╝н╗╡ зада╖
┤░ан╢│з▒кого ежеме▒┐╖ника Science et Vie, ко▓о░╗й ▒ п░и▒│╣им ем│ бле▒ком веде▓
П╝е░ Бе░локен."
2 Дж. Ли▓лв│д, Ма▓ема▓и╖е▒ка┐ ▒ме▒╝. Мо▒ква, Физма▓ли▓, 1962. С▓░. 111.
4
1. Эк▒понен▓а.
a) С▓епенн╗е ░азложени┐ ┤│нк╢ий exp , cos , sin.
Согла▒но ┤о░м│ле Тейло░а ▒ о▒▓а▓о╖н╗м ╖леном в ┤о░ме Лаг░анжа
ex = 1 + 1!1 x + 2!1 x2 + : : : + n1! xn + rn(x);
1 e xn+1 и j j < jxj;
где rn (x) = (n+1)!
n
cos x = 1 2!1 x2 + 4!1 x4 : : : + ((21)n)! x2n + r2n(x);
где r2n(x) = (2n1+1)! cos + 2 (2n + 1) x2n+1 и jj < jxj;
n+1
sin x = x 3!1 x3 + 5!1 x5 : : : + ((2n1)+1)! x2n+1 + r2n+1 (x);
где r2n+1(x) = (2n1+2)! sin + 2 (2n + 2) x2n+2; и jj < jxj.
По▒кол╝к│ дл┐ л╛бого ┤ик▒и░ованного зна╖ени┐ x 2 R п░и n ! 1
о▒▓а▓о╖н╗й ╖лен в каждой из п░иведенн╗╡ ┤о░м│л о╖евидно ▒▓░еми▓▒┐
к н│л╛, ▓о пи╕│▓
ex = 1 + 1!1 x + 2!1 x2 + 3!1 x3 + 4!1 x4 + 5!1 x5 + : : : + n1! xn + : : : ;
n
cos x = 1 2!1 x2 + 4!1 x4 : : : + ((21)n)! x2n + : : : ;
n+1
sin x = x 3!1 x3 + 5!1 x5 : : : + ((2n1)+1)! x2n+1 + : : : :
b) В╗╡од в комплек▒н│╛ обла▒▓╝ и ┤о░м│ла Эйле░а.
Под▒▓авим в п░ав│╛ ╖а▒▓╝ пе░вого из ╜▓и╡ ░авен▒▓в вме▒▓о x комплек▒ное ╖и▒ло ix. Тогда по▒ле п░о▒▓╗╡ а░и┤ме▓и╖е▒ки╡ п░еоб░азований м╗ в▒лед за Эйле░ом пол│╖им заме╖а▓ел╝ное ▒оо▓но╕ение
eix = cos x + i sin x:
Положив зде▒╝ x = , найдем, ╖▓о ei + 1 = 0. Э▓о знамени▓ое
░авен▒▓во, ▒оедин┐╛╣ее ┤│ндамен▓ал╝н╗е кон▒▓ан▓╗ ма▓ема▓ики: e анализ, i-алгеб░а, -геоме▓░и┐, 1-а░и┤ме▓ика, 0-логика.
М╗ оп░еделили ┤│нк╢и╛ exp дл┐ ╖и▒▓о мним╗╡ зна╖ений а░г│мен▓а
и пол│╖или ┤о░м│л│ Эйле░а eix = cos x + i sin x, из ко▓о░ой о╖евидно
▓акже ▒лед│е▓, ╖▓о
cos x = 12 (eix + e ix) и sin x = 21i (eix e ix):
c) Эк▒понен▓а как п░едел.
М╗ знаем, ╖▓о (1 + nx )n ! ex п░и n ! 1 и x 2 R . Е▒▓е▒▓венно
полага▓╝, ╖▓о ez := limn!1 (1+ nz )n , где ▓епе░╝ z = x + iy | п░оизвол╝ное
комплек▒ное ╖и▒ло. Под▒╖е▓ ╜▓ого п░едела дае▓ ez = ex(cos y + i sin y).
П░ове░╝▓е ╜▓о и пол│╖и▓е ┤о░м│л╗ дл┐ cos z и sin z.
d) Умножение ░┐дов и о▒новное ▒вой▒▓во ╜к▒понен▓╗.
5
В╗░ажение ex(cos y + i sin y) дл┐ ex+iy е▒▓е▒▓веннee пол│╖и▓╝ п░┐мо
из ▒оо▓но╕ени┐ ex+iy = exeiy , е▒ли, коне╖но, оно ▒п░аведливо и дл┐ комплек▒н╗╡ зна╖ений а░г│мен▓а ┤│нк╢ии exp.
П░ове░им ╜▓о п░┐м╗м
П│▒▓╝ u и v | комплек▒н╗е
P │множением.
1 uk и ev := P1
1 m
╖и▒ла. Полага┐ eu := 1
k=0 k!
m=0 m! v , на╡одим
P
P P
P
eu ev = ( 1k=0 k1! uk ) ( 1m=0 m1! vm) = 1k=0 1m=0 k1! m1! uk vm =
P1 1
P P
1 1 k m
n
u+v
= 1
n=0 k+m=n k! m! u v = n=0 n! (u + v ) = e :
P
М╗ зде▒╝ во▒пол╝зовали▒╝ ▓ем, ╖▓о k+m=n k!nm! ! uk vm = (u + v)n;
по▒кол╝к│ uv = vu.
е) Эк▒понен▓а о▓ ма▓░и╢╗ и ░ол╝ комм│▓а▓ивно▒▓и.
А ╖▓о е▒ли в в╗░ажении
eA = 1 + 1!1 A + 2!1 A2 + : : : + n1! An + : : : ;
▒╖и▓а▓╝ A квад░а▓ной ма▓░и╢ей, полага┐, ╖▓о и 1 обозна╖ае▓ едини╖н│╛
ма▓░и╢│ I ▓ого же ░азме░а? Нап░име░, е▒ли A едини╖на┐ ма▓░и╢а, ▓о,
как легко п░ове░и▓╝, eA окаже▓▒┐ диагонал╝ной ма▓░и╢ей ▒ ╜лемен▓ами
e на главной диагонали.
В╗╖и▒ли▓е exp A дл┐ ▒лед│╛╣и╡ ма▓░и╢ A:
0 0 1
0 0 ;
0
0 1 ;
0 0 0 1
1
0
10 ;
1 0 ;
0 0 ;
0 1 0!
0 0 1 :
0 0 0
П│▒▓╝ А1 и А2 | по▒ледние две ма▓░и╢╗ в▓о░ого по░┐дка.
Найди▓е eA1 , eA2 и │беди▓е▒╝, ╖▓о eA1 eA2 6= eA1+A2 . В ╖ем ▓│▓ дело?
Покажи▓е, ╖▓о etA = I + tA + о(t) п░и t ! 0.
П░ове░╝▓е, ╖▓о det(I + tA) = 1 + t tr A + о(1), где tr A | ▒лед
квад░а▓ной ма▓░и╢╗ A.
В╗веди▓е важное ▒оо▓но╕ение: det eA = etr A .
f) Эк▒понен▓а о▓ опе░а▓о░а и ┤о░м│ла Тейло░а.
П│▒▓╝ P (x) | много╖лен, а A = dxd | опе░а▓о░ ди┤┤е░ен╢и░овани┐.
0
Тогда (АP )(x) = dP
dx (x) = P (x).
П░ове░╝▓е, ╖▓о ▒оо▓но╕ение exp(t dxd )P (x) = P (x + t) ┐вл┐е▓▒┐ знакомой вам ┤о░м│лой Тейло░а.
К▒▓а▓и, ▒кол╝ко ╖ленов ░┐да дл┐ ex надо вз┐▓╝, ╖▓об╗ пол│╖и▓╝
много╖лен, позвол┐╛╣ий в╗╖и▒л┐▓╝ ex на о▓░езке [ 3; 5] ▒ ▓о╖но▒▓╝╛
до 10 2 ?
6
2. Бином Н╝╛▓она.
a) С▓епенное ░азложение ┤│нк╢ий (1 + x).
Зна┐ дл┐ на▓│░алн╗╡ зна╖ений ┤о░м│л│ ▒▓епени бинома
(1 + x) = 1 + 1! x + (2! 1) x2 + : : : + ( 1):::n(! n+1) xn + : : : ,
Н╝╛▓он пон┐л, ╖▓о она ▒п░аведлива дл┐ л╛б╗╡ , ▓ол╝ко ▒│мма п░и
╜▓ом може▓ б╗▓╝ бе▒коне╖ной.
Нап░име░, (1 + x) 1 = 1 x + x2 x3 + : : : , е▒ли jxj < 1.
b) Ин▓ег░и░ование ░┐да и ░азложение log(1 + x).
П░оин▓ег░и░овав по▒ледний ░┐д по о▓░езк│ [0; x], найдем, ╖▓о
log(1 + x) = x 12 x2 + 13 x3 + : : : п░и jxj < 1.
c) Разложени┐ (1 + x2) 1 и arctg x.
Аналоги╖но, напи▒ав ░азложение (1 + x2) 1 = 1 x2 + x4 x6 + : : : и
п░оин▓ег░и░овав его по о▓░езк│ [0; x], пол│╖им ░азложение
arctg x = x 31 x3 + 51 x5 : : : ,
из ко▓о░ого п░и x = 1, в░оде б╗, ▒лед│е▓, ╖▓о 4 = 1 13 + 15 17 + : : : .
Може▓ б╗▓╝ ╜▓о и ▓ак (и дей▒▓ви▓ел╝но ╜▓о ▓ак), но ╖│в▒▓в│е▓▒┐, ╖▓о
м╗ │же в╗╡одим на г░ани╢╗ дозволенного. След│╛╣ий п░име░ ▓ол╝ко
│▒или▓ на╕и опа▒ени┐.
d) Разложение (1 x) 1 и в╗╖и▒ли▓ел╝н╗е ▒▓░анно▒▓и.
П░и x = 1 ░азложение (1 + x) 1 = 1 x + x2 x3 + : : : п░иводи▓ к
░авен▒▓в│ 12 = 1 1 + 1 1 + : : : .
Ра▒▒▓авив в нем ▒кобки, можно пол│╖и▓╝ 12 = (1 1)+(1 1)+ : : : = 0,
а можно пол│╖и▓╝ и 21 = 1 + ( 1 + 1) + ( 1 + 1) + : : : = 1.
По▒ле ▓акого п░и╡оди▓▒┐ ▒▓ави▓╝ под ▒омнение по╖▓и в▒е, ╖▓о м╗ ▓ак
│▒пе╕но и беззабо▓но делали, пе░емножа┐ бе▒коне╖н╗е ▒│мм╗ (░┐д╗),
пе░е▒▓авл┐┐ и г░│ппи░│┐ в ни╡ ╖лен╗, ин▓ег░и░│┐ и╡. Во в▒ем ╜▓ом
┐вно надо ░азоб░а▓╝▒┐. Э▓им м╗ в▒ко░е займем▒┐, а пока │пом┐нем е╣е
одн│ обла▒▓╝ и▒пол╝зовани┐ ░┐дов.
3. Ре╕ение ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ │░авнений.
a) Ме▓од неоп░еделенн╗╡ ко╜┤┤и╢иен▓ов.
Ра▒▒мо▓░им п░о▒▓ей╕ее │░авнение x + x = 0 га░мони╖е▒ки╡ колебаний и б│дем и▒ка▓╝ его ░е╕ение в виде ░┐да x(t) = а0 + а1t + а2t2 + : : : .
Под▒▓авл┐┐ ░┐д в │░авнение, ▒оби░а┐ ╖лен╗ ▒ одинаков╗ми ▒▓епен┐ми t
и п░и░авнива┐ ко╜┤┤и╢иен▓╗ п░и одинаков╗╡ ▒▓епен┐╡ t в обеи╡ ╖а▒▓┐╡
│░авнени┐, пол│╖им бе▒коне╖н│╛ ▒и▒▓ем│ ▒оо▓но╕ений:
7
2а2 + а0 = 0; 2 3а3 + а1 = 0; 3 4а4 + а2 = 0; : : :
Е▒ли на╖ал╝н╗е │▒лови┐ x(0) = x0 и x0(0) = v0 дан╗, ▓о из x(t) =
а0 + а1t + а2t2 + : : : и x0(t) = а1 + а2t + : : : п░и t = 0 на╡одим а0 = x0 и
а1 = v0. Зна┐ а0 и а1, ▓епе░╝ можно по▒ледова▓ел╝но однозна╖но най▓и
о▒▓ал╝н╗е ко╜┤┤и╢иен╗ ░азложени┐.
Нап░име░, е▒ли x(0) = 0 и x0(0) = 1, ▓о
x(t) = t 3!1 t3 + 5!1 t5 : : : = sin x,
а е▒ли x(0) = 1 и x0(0) = 0, ▓о
x(t) = 1 2!1 t2 + 4!1 t4 : : : = cos x.
b) И▒пол╝зование ╜к▒понен▓╗.
А ╖▓о е▒ли ░е╕ение и▒ка▓╝ в виде x(t) = еt ? Тогда
x + x = еt(2 + 1) = 0 и, ▒ледова▓ел╝но,
2 + 1 = 0, ▓.е. = i или = i.
Но ╖▓о ╜▓о за ▒▓░анн╗е комплек▒ное колебани┐ x(t) = еit, x(t) = е it
или x(t) = c1еit + c2е it ?
П░оанализи░│й▓е ▒и▓│а╢и╛ и доделай▓е в▒е же зада╖│ до кон╢а,
нап░име░, е▒ли x(0) = 0 и x0(0) = 1 или е▒ли x(0) = 1 и x0(0) = 0.
В▒помни▓е ┤о░м│л│ Эйле░а и ▒░авни▓е ва╕и ░ез│л╝▓а▓╗ ▒ пол│╖енн╗ми
в╗╕е.
4. Об╣а┐ иде┐ п░иближени┐ и ░азложени┐.
a) См╗▒л пози╢ионной ▒и▒▓ем╗ ▒╖и▒лени┐. И░░а╢ионал╝н╗е ╖и▒ла.
В▒помним, ╖▓о озна╖ае▓ п░ив╗╖на┐ запи▒╝ = 3; 1415926::: или вооб╣е де▒┐▓и╖на┐ д░об╝ a0; a1a2a3::: Вед╝ ╜▓о ▒│мма a0100 + a110 1 +
a210 2 + a310 3 + :::
М╗ знаем, ╖▓о коне╖н╗е д░оби о▓ве╖а╛▓ ░а╢ионал╝н╗м ╖и▒лам, а
запи▒╝ и░░а╢ионал╝ного ╖и▒ла ▓░еб│е▓ бе▒коне╖ного ╖и▒ла де▒┐▓и╖н╗╡
знаков и, ▒ледова▓ел╝но, ▓░еб│е▓ ░а▒▒мо▓░ени┐ бе▒коне╖ного ╖и▒ла ▒лагаем╗╡ и бе▒коне╖н╗╡ ▒│мм | ░┐дов.
Е▒ли м╗ об░╗ваем ╜▓о▓ ░┐д на каком-▓о ме▒▓е, м╗ пол│╖аем ░а╢ионал╝ное ╖и▒ло. С ним м╗ об╗╖но и ░або▓аем. Ч▓о п░и ╜▓ом п░оизо╕ло? М╗ │п░о▒▓или об║ек▓, позволив ▒ебе неко▓о░│╛ о╕ибк│. Т.е. м╗
п░иближаем ▒ложн╗й об║ек▓ (зде▒╝ и░░а╢ионал╝ное ╖и▒ло) │добн╗ми
нам об║ек▓ами (зде▒╝ ░а╢ионал╝н╗ми ╖и▒лами), доп│▒ка┐ п░и ╜▓ом неко▓о░│╛ о╕ибк│, ко▓о░│╛ наз╗ваем ▓о╖но▒▓╝╛ п░иближени┐. Ул│╖╕ение ▓о╖но▒▓и п░иводи▓ к │▒ложнени╛ п░иближа╛╣его об║ек▓а. Комп░оми▒▒ п░и╡оди▓▒┐ и▒ка▓╝ в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ конк░е▓н╗ми об▒▓о┐▓ел╝8
▒▓вами.
b) Разложение век▓о░а по бази▒│ и аналогии в ░┐да╡.
В линейной алгеб░е и геоме▓░ии м╗ ░а▒клад╗ваем век▓о░╗ по бази▒│. Т░ади╢ионна┐ дл┐ анализа запи▒╝ f (x) = f (0)+ 1!1 f 0(0)x+ 2!1 f 00(x)x2+
::: ┤ак▓и╖е▒ки озна╖ае▓ ▓о же ▒амое, е▒ли ▒╖и▓а▓╝, ╖▓о бази▒ом ┐вл┐е▓▒┐
набо░ ┤│нк╢ий еn = xn. Э▓о ░┐д Тейло░а ┤│нк╢ии f в ▓о╖ке x0 = 0.
Аналоги╖но, е▒ли какой-▓о пе░иоди╖е▒кий ▒игнал или п░о╢е▒▒ f (t)
подве░га╛▓
▒пек▓░ал╝ном│ анализ│, ▓о ин▓е░е▒│╛▓▒┐ его ░азложением
P
1
f (t) = n=0 an cos nt + bn sin nt на п░о▒▓ей╕ие га░мони╖е▒кие колебани┐.
Такие ░┐д╗ наз╗ва╛▓▒┐ кла▒▒и╖е▒кими (или ▓░игономе▓░и╖е▒кими) ░┐дами Ф│░╝е.
Новое, ╖▓о ▓│▓ имее▓ ме▒▓о в ▒░авнении ▒ ▒и▓│а╢ией линейной алгеб░╗ ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓о ░а▒▒ма▓░ивае▓▒┐ бе▒коне╖на┐ ▒│мма, ко▓о░а┐
понимае▓▒┐ как неко▓о░╗й п░едел коне╖н╗╡ ▒│мм.
Зна╖и▓, к░оме ▒▓░│к▓│░╗ линейного п░о▒▓░ан▒▓ва, в п░о▒▓░ан▒▓ве
на╕и╡ об║ек▓ов должно б╗▓╝ оп░еделено ▓о или иное пон┐▓ие близо▒▓и
об║ек▓ов, позвол┐╛╣ее гово░и▓╝ о п░еделе по▒ледова▓ел╝но▒▓и ▒ами╡
об║ек▓ов или и╡ ▒│мм.
c) Ра▒▒▓о┐ние.
Близо▒▓╝ об║ек▓ов оп░едел┐е▓▒┐ нали╖ием ▓ого или иного пон┐▓и┐
ок░е▒▓но▒▓и об║ек▓а (ок░е▒▓но▒▓и ▓о╖ки п░о▒▓░ан▒▓ва). Э▓о наз╗вае▓▒┐ заданием ▓опологии п░о▒▓░ан▒▓ва. В ▓опологи╖е▒ки╡ п░о▒▓░ан▒▓ва╡ можно гово░и▓╝ о п░еделе и неп░е░╗вно▒▓и.
Е▒ли в п░о▒▓░ан▒▓ве ▓ем или ин╗м ▒по▒обом введено ░а▒▒▓о┐ние
межд│ об║ек▓ами | ▓о╖ками п░о▒▓░ан▒▓ва, ▓о ав▓ома▓и╖е▒ки оп░еделена и ок░е▒▓но▒▓╝ ▓о╖ки, и даже ▓о╖нее, л╛ба┐ ее -ок░е▒▓но▒▓╝.
Ра▒▒▓о┐ние межд│ ▓о╖ками одного и ▓ого же п░о▒▓░ан▒▓ва можно
изме░┐▓╝ по-░азном│. Нап░име░, ░а▒▒▓о┐ние межд│ дв│м┐ неп░е░╗вн╗ми ┤│нк╢и┐ми на о▓░езке можно изме░┐▓╝ мак▒им│мом мод│л┐ ░азно▒▓и ┤│нк╢ий на ╜▓ом о▓░езке (░авноме░на┐ ме▓░ика), а можно изме░┐▓╝ вели╖иной ин▓ег░ала о▓ мод│л┐ ░азно▒▓и ┤│нк╢ий на ╜▓ом о▓░езке
(ин▓ег░ал╝на┐ ме▓░ика). В╗бо░ ме▓░ики дик▓│е▓▒┐ ▒оде░жанием ░а▒▒ма▓░иваемой зада╖и.
И▓ак, пе░е╡одим к ░аз░або▓ке наме╖енн╗╡ идей и в╗┐▒нени╛ возник╕и╡ воп░о▒ов, ▒в┐занн╗╡ ▒ пон┐▓ием ░┐да как бе▒коне╖ной ▒│мм╗.
II. Фо░мализа╢и┐.
9
1. Р┐д и его ▒│мма.
По▒▓о┐нно в▒▓░е╖а╛╣ий▒┐ в ма▓ема▓ике ▒имвол
1
P
an или
n=1
a1 + a2 + a3 + ::: + an + ::: ;
(1)
под░аз│мева╛╣ий ▒│мми░ование бе▒коне╖ного ╖и▒ла ▒лагаем╗╡, наз╗ва╛▓ ░┐дом; a1 +a2 +a3 +:::+an = Sn | ╖а▒▓и╖на┐, ▓о╖нее, n-┐ ╖а▒▓и╖на┐
▒│мма ░┐да; an | n-й ╖лен ░┐да.
П░и░ода ╖ленов ░┐да може▓ б╗▓╝ о╖ен╝ ░азной, ли╕╝ б╗ дл┐ ни╡
имела ▒м╗▒л ░а▒▒ма▓░иваема┐ опе░а╢и┐ ▒ложени┐.
Но, ╖▓об╗ гово░и▓╝ в ▓ом или ином ▒м╗▒ле о ▒│мме ░┐да, н│жн╗ ме▓░ика или ▓опологи┐, позвол┐╛╣ие дела▓╝ п░едел╝н╗е пе░е╡од╗: ▒│ммой ░┐да об╗╖но наз╗вае▓▒┐ п░едел S = limn!1 Sn его ╖а▒▓и╖н╗╡ ▒│мм.
Е▒ли он ▒│╣е▒▓в│е▓, ░┐д наз╗ва╛▓ ▒╡од┐╣им▒┐ или гово░┐▓, ╖▓о ░┐д
▒╡оди▓▒┐. В п░о▓ивном ▒л│╖ае | ░а▒╡од┐╣им▒┐ и гово░┐▓, ╖▓о ░┐д ░а▒╡оди▓▒┐.
М╗ на╖нем ▒ ╖и▒лов╗╡ ░┐дов. Многое из ▓ого, ╖▓о б│де▓ ░а▒▒мо▓░ено на ╜▓ом знакомом об║ек▓е, легко пе░ено▒и▓▒┐ на об╣ий ▒л│╖ай.
2. У▒лови┐ и п░изнаки ▒╡одимо▒▓и ╖и▒лового ░┐да.
a) К░и▓е░ий Ко╕и и необ╡одимое │▒ловие ▒╡одимо▒▓и ░┐да.
Пе░епи▒ав к░и▓е░ий Ко╕и ▒│╣е▒▓вовани┐ п░едела по▒ледова▓ел╝но▒▓и fSng в ▓е░мина╡ ╖ленов ░┐да, пол│╖аем ▒лед│╛╣ий к░и▓е░ий Ко╕и
▒╡одимо▒▓и ░┐да:
Дл┐ ▒╡одимо▒▓и ░┐да (1) необ╡одимо и до▒▓а▓о╖но, ╖▓об╗ дл┐ л╛бого ╖и▒ла " > 0 на╕ел▒┐ номе░ N = N (") ▓акой, ╖▓о п░и л╛б╗╡ m; n,
▓аки╡, ╖▓о N < n m, имее▓ ме▒▓о о╢енка jan + ::: + am j < ".
В ╖а▒▓но▒▓и, п░и n = m о▓▒╛да ▒лед│е▓, ╖▓о дл┐ ▒╡одимо▒▓и ░┐да
необ╡одимо, ╖▓об╗ его об╣ий ╖лен an ▒▓░емил▒┐ к н│л╛ п░и n ! 1.
Вп░о╖ем, ╜▓о видно │же из ▓ого, ╖▓о an = Sn Sn 1.
Пока м╗ под░аз│мевали, ╖▓о имеем дело ▒ ╖и▒лов╗м ░┐дом (1) ▒
дей▒▓ви▓ел╝н╗ми ╖ленами. Ве░но ли в▒е ╜▓о дл┐ ░┐дов из век▓о░ов п░о▒▓░ан▒▓ва Rk и дл┐ ░┐дов комплек▒н╗╡ ╖и▒ел?
К░и▓е░ий Ко╕и показ╗вае▓, ╖▓о на ▒╡одимо▒▓╝ ░┐да вли┐е▓ ▓ол╝ко
"╡во▒▓" ░┐да. Изменение коне╖ного ╖и▒ла ╖ленов ░┐да не вли┐е▓ на его
▒╡одимо▒▓╝.
Га░мони╖е▒кий ░┐д 1 + 21 + 13 + ::: + n1 + ::: в ▒ил│ к░и▓е░и┐ Ко╕и
1 + 1 + ::: + 1 > n 1 = 1 .
░а▒╡оди▓▒┐, по▒кол╝к│ n+1
n+2
2n
2n
2
10
Э▓о▓ п░име░ показ╗вае▓, ╖▓о ▒▓░емление к н│л╛ об╣его ╖лена ░┐да
▓ол╝ко необ╡одимое, но не до▒▓а▓о╖ное │▒ловие ▒╡одимо▒▓и ░┐да.
b) До▒▓а▓о╖н╗й мажо░ан▓н╗й п░изнак ▒╡одимо▒▓и.
Е▒ли ╖лен╗ ░┐да (1) по аб▒ол╛▓ной вели╖ине мажо░и░│╛▓▒┐ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ими ╖ленами ▒╡од┐╣его▒┐ ╖и▒лового ░┐да b1 + b2 + b3 +
::: + bn + ::: (▓.е. jаnj bn ), ▓о ░┐д (1) ▒╡оди▓▒┐ и ▒╡оди▓▒┐ ░┐д
ja1j + ja2j + ja3j + ::: + janj + :::
Э▓о ▒лед│е▓ из к░и▓е░и┐ Ко╕и и о╢енок
jan + ::: + amj janj + ::: + jamj bn + ::: + bm :
Ве░ен ли мажо░ан▓н╗й п░изнак ▒╡одимо▒▓и дл┐ ░┐да (1) из век▓о░ов п░о▒▓░ан▒▓ва Rk или из комплек▒н╗╡ ╖и▒ел?
Заме▓им, ╖▓о е▒ли не░авен▒▓ва jаnj bn име╛▓ ме▒▓о ли╕╝ на╖ина┐
▒ какого-▓о номе░а N и далее, ▓о мажо░ан▓н╗й п░изнак ▒╡одимо▒▓и
о▒▓ае▓▒┐ в ▒иле, по▒кол╝к│ коне╖ное ╖и▒ло ╖ленов ░┐да не вли┐е▓ на его
▒╡одимо▒▓╝.
Е▒ли ░┐д (1) ▓аков, ╖▓о ░┐д ja1j + ja2j + ja3j + ::: + janj + ::: ▒╡оди▓▒┐
(а ╜▓о, как м╗ видели, п░имен┐┐ в╗╕е к░и▓е░ий Ко╕и, │же га░ан▓и░│е▓ ▒╡одимо▒▓╝ ▒амого ░┐да (1)3), ▓о гово░┐▓, ╖▓о ░┐д (1) ▒╡оди▓▒┐
аб▒ол╛▓но.
Так ╖▓о доказанн╗й мажо░ан▓н╗й п░изнак | ╜▓о п░изнак аб▒ол╛▓ной ▒╡одимо▒▓и.
Е▒ли ░┐д (1) ▒╡оди▓▒┐, но не ▒╡оди▓▒┐ аб▒ол╛▓но, ▓о гово░┐▓, ╖▓о он
▒╡оди▓▒┐ │▒ловно.
Так, нап░име░, ░┐д 1 1 + 21 12 + 31 13 + ::: + n1 n1 + ::: о╖евидно
▒╡оди▓▒┐, но ли╕╝ │▒ловно, а не аб▒ол╛▓но.
Аб▒ол╛▓на┐ ▒╡одимо▒▓╝, как в╗┐▒ни▓▒┐, ве▒╝ма важна и полезна ▓ам,
где п░и╡оди▓▒┐ в╗полн┐▓╝ ░азли╖н╗е опе░а╢ии ▒ ░┐дами (нап░име░, пе░емножа▓╝ ░┐д╗, п░еоб░азов╗ва▓╝ и╡, г░│ппи░ова▓╝ и пе░е▒▓авл┐▓╝
╖лен╗ ░┐да).
И▒▒ледование аб▒ол╛▓ной ▒╡одимо▒▓и, о╖евидно, ▒води▓▒┐ к и▒▒ледовани╛ ▒╡одимо▒▓и ╖и▒лов╗╡ ░┐дов ▒ нео▓░и╢а▓ел╝н╗ми или даже положи▓ел╝н╗ми ╖ленами.
c) Тео░ема ▒░авнени┐ дл┐ ░┐дов ▒ положи▓ел╝н╗ми ╖ленами.
3В
▓е╡ п░о▒▓░ан▒▓ва╡, где ▒п░аведлив к░и▓е░ий Ко╕и ▒│╣е▒▓вовани┐ п░едела
по▒ледова▓ел╝но▒▓и.
11
Р┐д ▒ нео▓░и╢а▓ел╝н╗ми ╖ленами ▒╡оди▓▒┐ ▓огда и ▓ол╝ко ▓огда,
когда по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ его ╖а▒▓и╖н╗╡ ▒│мм ог░ани╖ена ▒ве░╡│. Разов╝ем ╜▓о п░о▒▓ое набл╛дение.
1
1
P
P
П│▒▓╝ име╛▓▒┐ два ░┐да an,
bn ▒ нео▓░и╢а▓ел╝н╗ми ╖ленами
n=1
n=1
и п│▒▓╝, на╖ина┐ ▒ неко▓о░ого номе░а и далее, име╛▓ ме▒▓о ▒оо▓но╕ени┐
0 an bn. Тогда из ▒╡одимо▒▓и в▓о░ого ░┐да ▒лед│е▓ ▒╡одимо▒▓╝ пе░вого, а из ░а▒╡одимо▒▓и пе░вого ░┐да в╗▓екае▓ ░а▒╡одимо▒▓╝ в▓о░ого.
Э▓о ▓оже о╖евидно.
Напомним, ╖▓о п░о вели╖ин╗ an и bn гово░┐▓, ╖▓о они одного по░┐дка
п░и n ! 1 и пи╕│▓ an bn п░и n ! 1, е▒ли найд│▓▒┐ положи▓ел╝н╗е
по▒▓о┐нн╗е 1; 2 и 1; 2 ▓акие, ╖▓о 1an bn 2an и 1bn an 2bn
п░и в▒е╡ до▒▓а▓о╖но бол╝╕и╡ зна╖ени┐╡ n.
Тепе░╝ можно ▒дела▓╝ ▒лед│╛╣ее полезное заме╖ание, ╖а▒▓о имен│емое ▓ео░емой ▒░авнени┐ дл┐ ░┐дов ▒ положи▓ел╝н╗ми ╖ленами:
Е▒ли ╖лен╗ дв│╡ ░┐дов нео▓░и╢а▓ел╝н╗ и име╛▓ один по░┐док, ▓о
╜▓и ░┐д╗ ▒╡од┐▓▒┐ или ░а▒╡од┐▓▒┐ однов░еменно.
В ╖а▒▓но▒▓и ╜▓о ▓ак, е▒ли ╖лен╗ ▓аки╡ ░┐дов а▒имп▓о▓и╖е▒ки ╜квивален▓н╗, ▓.е. an bn п░и n ! 1.
P1
Нап░име░ ░┐д sin n1 ░а▒╡оди▓▒┐, по▒кол╝к│ sin n1 n1 п░и n ! 1,
n=1
а га░мони╖е▒кий ░┐д ░а▒╡оди▓▒┐.
Докажи▓е в╗деленн│╛ ▓ео░ем│ ▒░авнени┐, заме▓ив, ╖▓о │множение
в▒е╡ ╖ленов ░┐да на л╛б│╛ о▓ли╖н│╛ о▓ н│л┐ кон▒▓ан▓│ не вли┐е▓ на
▒╡одимо▒▓╝ ░┐да.
P
d) Ин▓ег░ал╝н╗й п░изнак Ко╕и и ░┐д () = 1n=1 n1 .
P1
Р┐д n1 помимо ▓ого, ╖▓о иг░ае▓ важн│╛ ░ол╝ в анали▓и╖е▒кой
n=1
▓ео░ии ╖и▒ел,
╖а▒▓о ▒л│жи▓ канони╖е▒ким ╜▓алоном дл┐ ▒░авнени┐ п░и
и▒▒ледовании ▒╡одимо▒▓и. Э▓о▓ ░┐д ▒╡оди▓▒┐ ▓ол╝ко п░и > 1.
П░ове░╝▓е ╜▓о, и▒пол╝з│┐ ▒лед│╛╣ий ин▓ег░ал╝н╗й п░изнак Ко╕и
▒╡одимо▒▓и.
Е▒ли ┤│нк╢и┐ f нео▓░и╢а▓ел╝на, неп░е░╗вна и моно▓онна на п░оP1 f (n) и ин▓ег░ал R1 f (x)dx ▒╡од┐▓▒┐ или
меж│▓ке 1 x, ▓о ░┐д
░а▒╡од┐▓▒┐ однов░еменно.
n=1
1
Я▒но, ╖▓о зде▒╝ ░а▒▒ма▓░ива▓╝ надо ▓ол╝ко ▒л│╖ай невоз░а▒▓а╛╣ей
12
┤│нк╢ии f , ина╖е и ░┐д, и ин▓ег░ал о╖евидно ░а▒╡од┐▓▒┐.
Е▒ли же ┤│нк╢и┐ f невоз░а▒▓а╛╣а┐, ▓о ▒п░аведлив╗ не░авен▒▓ва
kR+1
f (k + 1) f (x)dx f (k) , ▒│мми░│┐ ко▓о░╗е пол│╖аем
k
m
X
k=n+1
f (k) Zm
n
f (x)dx X
m 1
k =n
f (k):
(2)
О▒▓ае▓▒┐ ▒о▒ла▓╝▒┐ на к░и▓е░ий Ко╕и ▒╡одимо▒▓и ░┐да и не▒об▒▓венного ин▓ег░ала (▓.е. ┤ак▓и╖е▒ки на к░и▓е░ий Ко╕и ▒│╣е▒▓вовани┐ п░едела ┤│нк╢ии).
В ▒в┐зи ▒ о╢енками (2) в▒помни▓е б│ка╕к│ на ░езинке.
e) Геоме▓░и╖е▒ка┐
п░ог░е▒▒и┐ и п░изнаки Ко╕и, д'Аламбе░а, Га│▒▒а.
P
1
На░┐д│ ▒ ░┐дом n=1 n1 , п░и и▒▒ледовании ▒╡одимо▒▓и ░┐дов ▒ помо╣╝╛ ▓ео░ем╗ ▒░авнени┐ и в ▒в┐зи ▒о ▒▓епенн╗ми ░┐дами ▓ипа ░┐да
Тейло░а ╖а▒▓о и▒пол╝з│е▓▒┐
и, возможно, даже более ┤│нP qn |канони╖е▒кий
дамен▓ал╝н╗й ░┐д 1
бе▒коне╖на┐
геоме▓░и╖е▒ка┐ п░ог░е▒▒и┐.
n=1
Заме▓╝▓е, именно он лежи▓ в о▒нове на╕ей п░ив╗╖ной пози╢ионной ▒и▒▓ем╗ ▒╖и▒лени┐.
P qn ▒╡оди▓▒┐ п░и jqj < 1 и его ▒│мма ░авна (1 q) 1, поР┐д 1
n=1
▒кол╝к│ 1 + q + q2 + : : : + qn = 1 1qnq+1 ! 1 1 q п░и n ! 1.
Я▒но ▓акже,
╖▓о п░и jqj < 1 ╜▓о▓ ░┐д ▒╡оди▓▒┐ аб▒ол╛▓но, по▒кол╝к│
P
1
▒╡оди▓▒┐ ░┐д n=1 jqjn.
П░и jqj 1 ░┐д ░а▒╡оди▓▒┐, по▒кол╝к│ в ╜▓ом ▒л│╖ае его об╣ий ╖лен
не ▒▓░еми▓▒┐ к н│л╛.
П░одемон▒▓░и░│ем и▒пол╝зование ╜▓ого ░┐да и ▓ео░ем╗ ▒░авнени┐.
П░изнак Ко╕и (╖а▒▓о ли╡о наз╗ваем╗й "░адикал╝н╗м") ▒о▒▓ои▓ в ▒лед│╛╣ем.
P1 an | данн╗й ░┐д и q = lim pn janj.
П│▒▓╝
n!1
n=1
Тогда ▒п░аведлив╗ ▒лед│╛╣ие │▓ве░ждени┐ :
) е▒ли q < 1, ▓о ░┐д аб▒ол╛▓но ▒╡оди▓▒┐ ;
) е▒ли q > 1, ▓о ░┐д ░а▒╡оди▓▒┐ ;
) ▒│╣е▒▓в│╛▓ как аб▒ол╛▓но ▒╡од┐╣ие▒┐, ▓ак и ░а▒╡од┐╣ие▒┐ ░┐д╗,
дл┐ ко▓о░╗╡ q = 1.
Доказа▓ел╝▒▓во:
13
) Е▒ли q < 1, ▓о можно в╗б░а▓╝ ╖и▒ло p 2 R ▓ак, ╖▓о q < p < 1.
Фик▒и░овав ╖и▒ло p, в ▒оо▓ве▓▒▓вии ▒ оп░еделением ве░╡него
p п░едела
найдем номе░ N 2 N ▓акой, ╖▓о п░и n > N в╗полнено n janj < p.
P1
Таким об░азом, п░и n > N б│дем име▓╝ janj < pn и, по▒кол╝к│ ░┐д pn
n=1
1
P
an (по ▓ео░еме ▒░авнени┐) ▒╡оди▓▒┐
п░и 0 p < 1 ▒╡оди▓▒┐, ░┐д
n=1
аб▒ол╛▓но.
) По▒кол╝к│ q = nlim
ja j и q > 1, ▓о an не ▒▓░еми▓▒┐ к н│л╛ п░и
!1 n
n ! 1 и ░┐д ░а▒╡оди▓▒┐.
1
1
P
P
) М╗ │же знаем, ╖▓о ░┐д n1 ░а▒╡оди▓▒┐, а ░┐д n12 ▒╡оди▓▒┐.
n=1
n=1
▒о▒▓ои▓ в ▒лед│╛╣ем.
1
P
jan+1 j
П│▒▓╝ дл┐ ░┐да
an ▒│╣е▒▓в│е▓ п░едел nlim
= q.
!1 jan j
n=1
Тогда ▒п░аведлив╗ ▒лед│╛╣ие │▓ве░ждени┐ :
) е▒ли q < 1, ▓о ░┐д ▒╡оди▓▒┐ аб▒ол╛▓но ;
) е▒ли q > 1, ▓о ░┐д ░а▒╡оди▓▒┐ ;
) ▒│╣е▒▓в│╛▓ как аб▒ол╛▓но ▒╡од┐╣ие▒┐, ▓ак и ░а▒╡од┐╣ие▒┐ ░┐д╗,
дл┐ ко▓о░╗╡ q = 1.
П░изнак д'Аламбе░а
В ▒амом деле:
) Е▒ли q < 1, ▓о найде▓▒┐ ▓акое ╖и▒ло p, ╖▓о q < p < 1; ┤ик▒и░овав
p и │╖и▓╗ва┐ ▒вой▒▓ва п░едела, найдем номе░ N 2 N ▓акой, ╖▓о п░и
j
л╛бом n > N б│де▓ jajna+1
< p. По▒кол╝к│ коне╖ное ╖и▒ло ╖ленов не
nj
вли┐е▓ на ╡а░ак▓е░ ▒╡одимо▒▓и ░┐да, без ог░ани╖ени┐ об╣но▒▓и б│дем
j
▒╖и▓а▓╝, ╖▓о jajna+1
< p п░и л╛бом n 2 N.
nj
j
a
j
n
+1
По▒кол╝к│ janj jajnanj1j : : : jjaa21jj = jajna+11j j ; м╗ пол│╖аем, ╖▓о jan+1j 1
ja1j pn . Но ░┐д P ja1jpn ▒╡оди▓▒┐ его ▒│мма, о╖евидно, ░авна 1ja1pj ,
n=1
1
P
по╜▓ом│ ░┐д an аб▒ол╛▓но ▒╡оди▓▒┐.
n=1
) Е▒ли q > 1, ▓о, на╖ина┐ ▒ неко▓о░ого номе░а N 2 N, п░и л╛бом
n > N б│дем име▓╝ jajann+1j j > 1, ▓.е. janj < jan+1j, и, ▒ледова▓ел╝но, дл┐
░┐да не в╗полнено │▒ловие an ! 0, необ╡одимое дл┐ ▒╡одимо▒▓и.
) Зде▒╝ можно во▒пол╝зова▓╝▒┐ п░име░ами, п░иведенн╗ми в╗╕е п░и
14
доказа▓ел╝▒▓ве п░изнака Ко╕и.
P1
В╗┐▒ним, нап░име░, п░и каки╡ зна╖ени┐╡ x 2 R ▒╡оди▓▒┐ ░┐д n1! xn:
n=1
П░и x = 0 он, о╖евидно, ▒╡оди▓▒┐ и даже аб▒ол╛▓но.
jan+1 j
jxj
=
lim
= 0.
П░и x 6= 0, полага┐ an = n1! xn, имеем nlim
j
a
j
n
n
!1
n!1 +1
Таким об░азом, ╜▓о▓ ░┐д аб▒ол╛▓но ▒╡оди▓▒┐ п░и л╛бом зна╖ении
x 2 R.
1
А п░и каки╡ комплек▒н╗╡ z ▒╡оди▓▒┐ ░┐д P n1! zn ?
n=1
Убеди▓е▒╝, ╖▓о к░и▓е░ий Ко╕и, мажо░ан▓н╗й п░изнак ▒╡одимо▒▓и
░┐да, п░изнаки Ко╕и и д'Аламбе░а как и и╡ доказа▓ел╝▒▓ва о▒▓а╛▓▒┐ в
▒иле и дл┐ ░┐дов ▒ комплек▒н╗ми и век▓о░н╗ми ╖ленами.
П░изнак Га│▒▒а.
У╖и▓╗ва┐ накопленн╗й оп╗▓, докажи▓е по▒ледова▓ел╝но ▒лед│╛╣ие │▓ве░ждени┐:
1
P
) е▒ли bnbn+1 = 1 + n, n = 1; 2; : : : , и ░┐д n аб▒ол╛▓но ▒╡оди▓▒┐,
n=1
▓о ▒│╣е▒▓в│е▓ п░едел nlim
b
=
b
2
R;
n
!1
1
P
p
a
n = 1 + + , n = 1; 2; : : : , п░и╖ем ░┐д
) е▒ли an+1
n аб▒ол╛▓но
n
n
n
=1
▒╡оди▓▒┐, ▓о an ncp п░и n ! 1;
1
P1
P
) е▒ли ░┐д an ▓аков, ╖▓о aann+1 = 1+ np + n и ░┐д n аб▒ол╛▓но
n=1
1
P
▒╡оди▓▒┐, ▓о ░┐д an аб▒ол╛▓но ▒╡оди▓▒┐ п░и p > 1 и ░а▒╡оди▓▒┐ п░и
n=1
n=1
p 1 (п░изнак Га│▒▒а аб▒ол╛▓ной ▒╡одимо▒▓и ░┐да ).
f) П░изнак Абел┐{Ди░и╡ле (в ╖а▒▓но▒▓и, п░изнак Лейбни╢а) ▒╡одимо▒▓и ░┐да.
В▒е, ╖▓о м╗ пол│╖или в╗╕е, за и▒кл╛╖ением об╣его к░и▓е░и┐ Ко╕и
и необ╡одимого │▒лови┐ ▒╡одимо▒▓и ░┐да, по ▒│╣е▒▓в│ о▓но▒ило▒╝ к аб▒ол╛▓ной ▒╡одимо▒▓и.
П░иведем ▓епе░╝ один п░изнак, ╖а▒▓о позвол┐╛╣ий │▒▓анавлива▓╝
▒╡одимо▒▓╝ ░┐да даже ▓огда, когда ░┐д ▒╡оди▓▒┐ ли╕╝ │▒ловно.
Напомним ▒на╖ала ▒лед│╛╣ее ▓ожде▒▓во, наз╗ваемое п░еоб░азова15
нием Абел┐
:
m
X
k =n
ak bk = Ambm An 1 bn +
X
m 1
k=n
Ak (bk bk+1);
(3)
где ak = Ak Ak 1, k = n; : : :; m:
Е▒ли bn; bn+1; : : :; bm | моно▓онна┐ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ве╣е▒▓венн╗╡ ╖и▒ел, ▓о, даже е▒ли an; an+1; : : : ; am комплек▒н╗е ╖и▒ла или век▓о░╗, на о▒новании ▓ожде▒▓ва (3) можно пол│╖и▓╝ ▒лед│╛╣│╛ н│жн│╛
нам о╢енк│:
X
m ak bk 4 max jAkj maxfjbnj; jbmjg:
k=n n 1km
(4)
Пол│╖и▓е ее.
▒╡одимо▒▓и ░┐да:
P1 a b ; до▒▓а▓о╖но, ╖▓об╗ в╗полн┐ла▒╝
Дл┐ ▒╡одимо▒▓и ░┐да
n=1 n n
л╛ба┐ па░а ▒лед│╛╣и╡ │▒ловий :
P
P
1) ╖а▒▓и╖н╗е ▒│мм╗ Sk = kn=1 an ░┐да 1n=1 an ог░ани╖ен╗ ;
1) по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ╖и▒ел bn моно▓онна и ▒▓░еми▓▒┐ к н│л╛ ;
П░изнак Абел┐{Ди░и╡ле
или
P
2) ░┐д 1n=1 an ▒╡оди▓▒┐ ;
2) по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ╖и▒ел bn моно▓онна и ог░ани╖ена.
В ▒амом деле, моно▓онно▒▓╝ по▒ледова▓ел╝но▒▓и bn позвол┐е▓ во▒пол╝зова▓╝▒┐ о╢енкой (4), положив в ней Ak = Sk Sn 1 :
Е▒ли в╗полнена па░а │▒ловий 1), 1); ▓о, ▒ одной ▒▓о░он╗, ▒│╣е▒▓в│е▓ ▓ака┐ по▒▓о┐нна┐ M; ╖▓о jAk j M п░и л╛бом k 2 N; а ▒ д░│гой
▒▓о░он╗, каково б╗ ни б╗ло ╖и▒ло " > 0; п░и в▒е╡ до▒▓а▓о╖но бол╝╕и╡ зна╖ени┐╡ n и m б│де▓ в╗полнено не░авен▒▓во maxfjbnj; jbmjg < 4M" :
Зна╖и▓, из (4)
▒лед│е▓, ╖▓о п░и в▒е╡ до▒▓а▓о╖но бол╝╕и╡ зна╖ени┐╡ n
P
m
и m б│де▓ j k=n ak bk j < "; ▓.е. дл┐ ░а▒▒ма▓░иваемого ░┐да в╗полнен
к░и▓е░ий Ко╕и ▒╡одимо▒▓и.
В ▒л│╖ае па░╗ │▒ловий 2), 2) ог░ани╖енной оказ╗вае▓▒┐
вели╖ина
P
maxfjbnj; jbmjg: В ▓о же в░ем┐, ввид│ ▒╡одимо▒▓и ░┐да 1n=1 an ; по к░и▓е░и╛ Ко╕и дл┐ л╛бого " > 0 п░и л╛б╗╡ до▒▓а▓о╖но бол╝╕и╡ зна╖ени┐╡ n
и k > n б│де▓ jAk j = jSk Sn 1j < ": У╖и▓╗ва┐ ╜▓о, из не░авен▒▓ва (4)
16
внов╝ закл╛╖аем, ╖▓о дл┐ ░а▒▒ма▓░иваемого ░┐да в╗полнен к░и▓е░ий
Ко╕и ▒╡одимо▒▓и.
Убеди▓е▒╝, ╖▓о доказанн╗й п░изнак ▒╡одимо▒▓и
P ░┐да как и его
доказа▓ел╝▒▓во о▒▓а╛▓▒┐ в ▒иле, е▒ли ╖лен╗ ░┐да 1n=1 an комплек▒н╗е
╖и▒ла или век▓о░╗ п░о▒▓░ан▒▓ва Rk:
И▒▒лед│й▓е п░и x 2 R и ░азли╖н╗╡ 2 R ▒╡одимо▒▓╝ ▒лед│╛╣и╡
░┐дов:
P1 1 einx ; P1 cos nx ; P1 sin nx :
n=1 n
n=1 n
n=1 n
Ча▒▓н╗м ▒л│╖аем доказанного п░изнака Абел┐{Ди░и╡ле ┐вл┐е▓▒┐ п░изнак Лейбни╢а, │▓ве░жда╛╣ий, ╖▓о
е▒ли по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ bn моно▓онно ▒▓░еми▓▒┐ к н│л╛, ▓о ░┐д
b1 b2 + b3 b4 + : : : ▒о знако╖е░ед│╛╣ими▒┐ ╖ленами (наз╗ваем╗й иногда
░┐дом Лейбни╢а) ▒╡оди▓▒┐.
Разно▒▓╝ межд│ ▒│ммой ▒╡од┐╣его▒┐ ░┐да и его n-й ╖а▒▓и╖ной ▒│ммой наз╗ва╛▓ n-м о▒▓а▓ком ░┐да.
П░ове░╝▓е, ╖▓о n-й о▒▓а▓ок ░┐да Лейбни╢а по мод│л╛ не п░ево▒╡оди▓ мод│л┐ (n + 1)-го ╖лена ░┐да. В ╖а▒▓но▒▓и, ▒│мма ░┐да Лейбни╢а
по мод│л╛ не бол╝╕е мод│л┐ пе░вого ╖лена ░┐да.
17
ВОПРОСЫ
к коллокви│м│ по ма▓ема▓и╖е▒ком│ анализ│
дл┐ ▒▓│ден▓ов в▓о░ого к│░▒а в▓о░ого по▓ока
Лек▓о░ п░о┤е▒▒о░ В.А.ЗОРИЧ, 2006/07 │╖.год
Тема: РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
0. Р┐д, п░име░╗ по┐влени┐ и и▒пол╝зовани┐. (Пози╢ионна┐ ▒и▒▓ема
▒╖и▒лени┐; воп░о▒╗ п░иближени┐ и ░┐д Тейло░а; ░а▒п░о▒▓░анение ╜к▒понен▓╗ в комплек▒н│╛ обла▒▓╝ и ┤о░м│ла Эйле░а; ╜к▒понен▓а о▓ ма▓░и╢╗, о▓ опе░а▓о░а и ┤о░м│ла Тейло░а; ░е╕ение │░авнений ме▓одом
неоп░еделенн╗╡ ко╜┤┤и╢иен▓ов.) Опе░а╢ии ▒ ░┐дами, возника╛╣ие воп░о▒╗ и ┤о░м│ли░овки о▒новн╗╡ ▓ео░ем, да╛╣и╡ на ни╡ о▓ве▓╗.
1. С╡одимо▒▓╝ ░┐да. К░и▓е░ий Ко╕и ▒╡одимо▒▓и ░┐да. Тео░ема
▒░авнени┐ и о▒новн╗е до▒▓а▓о╖н╗е п░изнаки ▒╡одимо▒▓и
(мажо░ан▓P
н╗й, ин▓ег░ал╝н╗й, Абел┐|Ди░и╡ле). Р┐д (s) = 1n=1 n s .
2. Равноме░на┐ ▒╡одимо▒▓╝ ▒емей▒▓в и ░┐дов ┤│нк╢ий. К░и▓е░ий
Ко╕и и о▒новн╗е до▒▓а▓о╖н╗е п░изнаки ░авноме░ной ▒╡одимо▒▓и ░┐да
┤│нк╢ий (мажо░ан▓н╗й, Абел┐|Ди░и╡ле).
3. До▒▓а▓о╖н╗е │▒лови┐ комм│▓и░овани┐ дв│╡ п░едел╝н╗╡ пе░е╡одов. Неп░е░╗вно▒▓╝, ин▓ег░и░ование, ди┤┤е░ен╢и░ование и п░едeл╝н╗й пе░е╡од.
4. Обла▒▓╝ ▒╡одимо▒▓и и ╡а░ак▓е░ ▒╡одимо▒▓и ▒▓епенного ░┐да.
Фо░м│ла Ко╕и|Адама░а. Тео░ема Абел┐ (в▓о░а┐). Тейло░ов▒кие ░азложени┐ о▒новн╗╡ ╜лемен▓а░н╗╡ ┤│нк╢ий. Фо░м│ла Эйле░а. Ди┤┤е░ен╢и░ование и ин▓ег░и░ование ▒▓епенного ░┐да.
5. Не▒об▒▓венн╗й ин▓ег░ал. К░и▓е░ий Ко╕и и о▒новн╗е до▒▓а▓о╖н╗е п░изнаки ▒╡одимо▒▓и (мажо░ан▓н╗й, Абел┐|Ди░и╡ле).
6. Равноме░на┐ ▒╡одимо▒▓╝ не▒об▒▓венного ин▓ег░ала, зави▒┐╣его
о▓ па░аме▓░а. К░и▓е░ий Ко╕и и о▒новн╗е до▒▓а▓о╖н╗е п░изнаки ░авноме░ной ▒╡одимо▒▓и (мажо░ан▓н╗й, Абел┐|Ди░и╡ле).
7. Неп░е░╗вно▒▓╝, ди┤┤е░ен╢и░ование и ин▓ег░и░ование ▒об▒▓венного ин▓ег░ала, зави▒┐╣его о▓ па░аме▓░а.
8. Неп░е░╗вно▒▓╝, ди┤┤е░ен╢и░ование и ин▓ег░и░ование не▒об▒▓венного ин▓ег░ала, зави▒┐╣его о▓ па░аме▓░а. Ин▓ег░ал Ди░и╡ле.
18
9. Эйле░ов╗ ин▓ег░ал╗. Обла▒▓и оп░еделени┐, ди┤┤е░ен╢иал╝н╗е
▒вой▒▓ва, ┤о░м│л╗ понижени┐, ░азли╖н╗е п░ед▒▓авлени┐, взаимо▒в┐з╝.
Ин▓ег░ал П│а▒▒она.
10. Дел╝▓аоб░азн╗е ▒емей▒▓ва ┤│нк╢ий. Тео░ема о ▒╡одимо▒▓и ▒ве░▓ки.
Кла▒▒и╖е▒ка┐ ▓ео░ема Вейе░╕▓░а▒▒а о ░авноме░ном п░иближении неп░е░╗вной ┤│нк╢ии алгеб░аи╖е▒ким много╖леном.
19
ЗАДАЧИ
к коллокви│м│ по ма▓ема▓и╖е▒ком│ анализ│
дл┐ ▒▓│ден▓ов в▓о░ого к│░▒а в▓о░ого по▓ока
Лек▓о░ п░о┤е▒▒о░ В.А.ЗОРИЧ, 2006/07 │╖.год
Тема: РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
0. В╗ де░жи▓е один коне╢ ░езинового ╕н│░а длиной 1 км. О▓ в▓о░ого его кон╢а, ко▓о░╗й зак░еплен, к вам ▒о ▒ко░о▒▓╝╛ 1 ▒м/▒ ползе▓
б│ка╕ка. Кажд╗й ░аз, как ▓ол╝ко она п░оползае▓ 1 ▒м, в╗ ░а▒▓┐гивае▓е ░езинк│ на 1 км. Доползе▓ ли б│ка╕ка до ва╕ей ░│ки? Е▒ли да, ▓о
п░иблизи▓ел╝но ▒кол╝ко ей на ╜▓о по▓░еб│е▓▒┐ в░емени?
По▒ле неко▓о░ого ░азм╗╕лени┐ дл┐ о▓ве▓а на п░ед╗д│╣ий воп░о▒
вам може▓ оказа▓╝▒┐ полезной ▒│ммаR nSn = 1 + 12 + 31 + ::: + n1 . В▒помни▓е
ин▓ег░ал и покажи▓е, ╖▓о Sn 1 < 1 x1 dx < Sn 1 .
1. P | полином. В╗╖и▒ли▓е (et dxd )P (x).
2. П░ове░╝▓е, ╖▓о век▓о░-┤│нк╢и┐ etАx0 ░е╕ае▓ зада╖│ Ко╕и x_ =
Ax; x(0) = x0 (x_ = Ax | ▒и▒▓ема │░авнений, задаваема┐ ма▓░и╢ей A).
3. Найди▓е ▒ ▓о╖но▒▓╝╛ до o(1=n3 ) а▒имп▓о▓ик│ положи▓ел╝н╗╡ ко░ней 1 < 2 < ::: < n < ::: │░авнени┐ sin x + 1=x = 0 п░и n ! 1.
4. a) Покажи▓е, ╖▓о ln 2 = 1 1=2 + 1=3 ::: .
Скол╝ко ╖ленов ╜▓ого ░┐да надо вз┐▓╝, ╖▓об╗ зна▓╝ ln 2 ▒ ▓о╖но▒▓╝╛
до 10 3 ?
t
1 3
1 5
b) П░ове░╝▓е ╖▓о 12 ln 1+
1 t = t + 3 t + 5 t + :::.
t
И▒пол╝з│┐ ╜▓о ░азложение, │добно в╗╖и▒л┐▓╝ ln x, полага┐ x = 1+
1 t.
c) Полага┐ в b) t = 1=3, найди▓е, ╖▓о
1 ln 2 = 1 + 1 ( 1 )2 + 1 ( 1 )5 + :::
2
3 3 3
5 3
Скол╝ко ╖ленов ╜▓ого ░┐да надо вз┐▓╝, ╖▓об╗ зна▓╝ ln 2 ▒ ▓о╖но▒▓╝╛
до 10 3 ? С░авни▓е ▒ ▓ем, ╖▓о б╗ло в a).
Э▓о один из п░иемов │л│╖╕ени┐ ▒╡одимо▒▓и.
5. П░ове░╝▓е, ╖▓о в ▒м╗▒ле Абел┐
a) 1P 1 + 1 ::: = 12 .
1 sin k' = 1 ctg 1 '
b)
' 6= 2n; n 2 Z .
k=1
2
2
20
P
c) 21 + 1
' 6= 2n; n 2 Z .
k=1 cos k' = 0
6. Докажи▓е лемм│ Адама░а:
a) Е▒ли f 2 C (1)(U (x0)), ▓о f (0 x) = f (x0) + '(x)(x x0),
где ' 2 C (U (x0)) и '(x0) = f (x0).
b) Е▒ли f 2 C (n)(U (x0)), ▓о
f (x) = f (x0) + 1!1 f 0 (x0)(x x0) + ::: + (n 1 1)! f (n 1)(x0)(x x0)n 1 + '(x)(x x0)n;
где ' 2 C (U (x0)) и '(x0) = n1! f (n)(x0).
c) Как в╗гл┐д┐▓ ╜▓и ▒оо▓но╕ени┐ в коо░дина▓ной запи▒и, когда
x = (x1; :::; xn), ▓о-е▒▓╝, когда f |┤│нк╢и┐ n пе░еменн╗╡?
7. a) П░ове░╝▓е, ╖▓о ┤│нк╢и┐
Z 1 cos xt
1
J0(x) = p 2 dt
1 t
0
│довле▓во░┐е▓ │░авнени╛ Бе▒▒ел┐ y00 + x1 y0 + y = 0.
b) Поп░об│й▓е ░е╕и▓╝ ╜▓о │░авнение, и▒пол╝з│┐ ▒▓епенн╗е ░┐д╗.
c) Найди▓е ▒▓епенное ░азложение ┤│нк╢ии J0(x).
8. П░ове░╝▓е ▒п░аведливо▒▓╝
а▒имп▓о▓и╖е▒ки╡
░азложений
R
P
+1 1 t
1
()
x
k;
a) (; x) := x t e dt ' e
k=1 ( k+1) x
R
P
p
b) Erf(x) := x+1 e t2 dt ' 12 e x2 1k=1 (3=2 1k)x2k 1
п░и x ! +1.
9. a) В▒лед за Эйле░ом найди▓е, ╖▓о ░┐д 1 1!x + 2!x2 3!x3 + :::
▒в┐зан ▒ ┤│нк╢ией
Z +1 e
S (x) :=
t
1 + xt dt :
0
b) С╡оди▓▒┐ ли ╜▓о▓ ░┐д?
c) Дае▓ ли он а▒имп▓о▓и╖е▒кое ░азложение S (x) п░и x ! 0?
10. a) Линейн╗й п░ибо░ A, ╡а░ак▓е░и▒▓ики ко▓о░ого по▒▓о┐нн╗ во
в░емени, в о▓ве▓ на в╡одной ▒игнал (t) в виде -┤│нк╢ии в╗дал
▒игнал (┤│нк╢и╛) E (t). Каков б│де▓ о▓ве▓ п░ибо░а на в╡одной
▒игнал f (t); 1 < t < +1?
b) В▒егда ли по п░еоб░азованном│ ▒игнал│ f^ := Af однозна╖но во▒▒▓анавливае▓▒┐ и▒╡одн╗й ▒игнал f ?
21
ВОПРОСЫ
к ╜кзамен│ по ма▓ема▓и╖е▒ком│ анализ│ за ▓░е▓ий ▒еме▒▓░
дл┐ ▒▓│ден▓ов в▓о░ого к│░▒а в▓о░ого по▓ока
Лек▓о░ п░о┤е▒▒о░ В.А.ЗОРИЧ, 2006/07 │╖.год
1. К░и▓е░ий Ко╕и ▒╡одимо▒▓и ░┐да. Тео░ема ▒░авнени┐ и о▒новн╗е до▒▓а▓о╖н╗е п░изнаки ▒╡одимо▒▓и
(мажо░ан▓н╗й, ин▓ег░ал╝н╗й,
P
Абел┐|Ди░и╡ле). Р┐д (s) = 1n=1 n s .
2. Равноме░на┐ ▒╡одимо▒▓╝ ▒емей▒▓в и ░┐дов ┤│нк╢ий. К░и▓е░ий
Ко╕и и о▒новн╗е до▒▓а▓о╖н╗е п░изнаки ░авноме░ной ▒╡одимо▒▓и ░┐да
┤│нк╢ий (мажо░ан▓н╗й, Абел┐|Ди░и╡ле).
3. До▒▓а▓о╖н╗е │▒лови┐ комм│▓и░овани┐ дв│╡ п░едел╝н╗╡ пе░е╡одов. Неп░е░╗вно▒▓╝, ин▓ег░и░ование, ди┤┤е░ен╢и░ование и п░едeл╝н╗й пе░е╡од.
4. Обла▒▓╝ ▒╡одимо▒▓и и ╡а░ак▓е░ ▒╡одимо▒▓и ▒▓епенного ░┐да.
Фо░м│ла Ко╕и|Адама░а. Тео░ема Абел┐ (в▓о░а┐). Тейло░ов▒кие ░азложени┐ о▒новн╗╡ ╜лемен▓а░н╗╡ ┤│нк╢ий. Фо░м│ла Эйле░а. Ди┤┤е░ен╢и░ование и ин▓ег░и░ование ▒▓епенного ░┐да.
5. Не▒об▒▓венн╗й ин▓ег░ал. К░и▓е░ий Ко╕и и о▒новн╗е до▒▓а▓о╖н╗е п░изнаки ▒╡одимо▒▓и (мажо░ан▓н╗й, Абел┐|Ди░и╡ле).
6. Равноме░на┐ ▒╡одимо▒▓╝ не▒об▒▓венного ин▓ег░ала, зави▒┐╣его
о▓ па░аме▓░а. К░и▓е░ий Ко╕и и о▒новн╗е до▒▓а▓о╖н╗е п░изнаки ░авноме░ной ▒╡одимо▒▓и (мажо░ан▓н╗й, Абел┐|Ди░и╡ле).
7. Неп░е░╗вно▒▓╝, ди┤┤е░ен╢и░ование и ин▓ег░и░ование ▒об▒▓венного ин▓ег░ала, зави▒┐╣его о▓ па░аме▓░а.
8. Неп░е░╗вно▒▓╝, ди┤┤е░ен╢и░ование и ин▓ег░и░ование не▒об▒▓венного ин▓ег░ала, зави▒┐╣его о▓ па░аме▓░а. Ин▓ег░ал Ди░и╡ле.
9. Эйле░ов╗ ин▓ег░ал╗. Обла▒▓и оп░еделени┐, ди┤┤е░ен╢иал╝н╗е
▒вой▒▓ва, ┤о░м│л╗ понижени┐, ░азли╖н╗е п░ед▒▓авлени┐, взаимо▒в┐з╝.
Ин▓ег░ал П│а▒▒она.
10. Дел╝▓аоб░азн╗е ▒емей▒▓ва ┤│нк╢ий. Тео░ема о ▒╡одимо▒▓и ▒ве░▓ки.
Кла▒▒и╖е▒ка┐ ▓ео░ема Вейе░╕▓░а▒▒а о ░авноме░ном п░иближении неп░е░╗вной ┤│нк╢ии алгеб░аи╖е▒ким много╖леном.
11. Век▓о░ное п░о▒▓░ан▒▓во ▒о ▒кал┐░н╗м п░оизведением. Неп░е░╗вно▒▓╝ ▒кал┐░ного п░оизведени┐ и ▒в┐занн╗е ▒ ╜▓им его алгеб░аи╖е▒кие ▒вой▒▓ва. О░▓огонал╝н╗е и о░▓оно░ми░ованн╗е ▒и▒▓ем╗ век▓о░ов.
22
Тео░ема Пи┤аго░а. Ко╜┤┤и╢иен▓╗ Ф│░╝е и ░┐д Ф│░╝е. П░име░╗ ▒кал┐░н╗╡ п░оизведений и о░▓огонал╝н╗╡ ▒и▒▓ем в п░о▒▓░ан▒▓ва╡ ┤│нк╢ий.
12. Лемма о пе░пендик│л┐░е. Эк▒▓░емал╝ное ▒вой▒▓во ко╜┤┤и╢иен▓oв Ф│░╝е. Не░авен▒▓во Бе▒▒ел┐ и ▒╡одимо▒▓╝ ░┐да Ф│░╝е. У▒лови┐
полно▓╗ о░▓оно░ми░ованной ▒и▒▓ем╗.
13. Кла▒▒и╖е▒кий (▓░игономе▓░и╖е▒кий) ░┐д Ф│░╝е в ве╣е▒▓венной
и комплек▒ной ┤о░ме. Лемма Римана. П░ин╢ип локализа╢ии и ▒╡одимо▒▓╝ ░┐да Ф│░╝е в ▓о╖ке. П░име░: ░азложение cos(x) в ░┐д Ф│░╝е и
░азложение sin(x)=x в бе▒коне╖ное п░оизведение.
14. Гладко▒▓╝ ┤│нк╢ии, ▒ко░о▒▓╝ │б╗вани┐ ее ко╜┤┤и╢иен▓ов Ф│░╝е
и ▒ко░о▒▓╝ ▒╡одимо▒▓и ее ░┐да Ф│░╝е.
15. Полно▓а ▓░игономе▓░и╖е▒кой ▒и▒▓ем╗ и ▒╡одимо▒▓╝ в ▒░еднем
▓░игономе▓░и╖е▒кого ░┐да Ф│░╝е.
16. П░еоб░азование Ф│░╝е и ин▓ег░ал Ф│░╝е (┤о░м│ла об░а╣ени┐).
П░име░: в╗╖и▒ление f^ дл┐ f (x) := exp( a2x2).
17. П░еоб░азование Ф│░╝е и опе░а▓о░ ди┤┤е░ен╢и░овани┐. Гладко▒▓╝ ┤│нк╢ии и ▒ко░о▒▓╝ │б╗вани┐ ее п░еоб░азовани┐ Ф│░╝е. Равен▒▓во Па░▒евал┐. П░еоб░азование Ф│░╝е как изоме▓░и┐ п░о▒▓░ан▒▓ва
б╗▒▓░о │б╗ва╛╣и╡ ┤│нк╢ий.
18. П░еоб░азование Ф│░╝е и ▒ве░▓ка. Ре╕ение одноме░ного │░авнени┐ ▓еплоп░оводно▒▓и.
19. А▒имп▓о▓и╖е▒ка┐ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ и а▒имп▓о▓и╖е▒кий ░┐д.
П░име░: а▒имп▓о▓и╖е▒кое ░азложение ┤│нк╢ии Ei(x). Разли╖ие межд│
▒╡од┐╣ими▒┐ и а▒имп▓о▓и╖е▒кими ░┐дами. А▒имп▓о▓ика ин▓ег░ала Лапла▒а (главн╗й ╖лен). Фо░м│ла С▓и░линга.
23
ЭКЗАМЕНАЦИОННОЕ ЗАДАНИЕ
по ма▓ема▓и╖е▒ком│ анализ│ за ▓░е▓ий ▒еме▒▓░
дл┐ ▒▓│ден▓ов в▓о░ого к│░▒а в▓о░ого по▓ока
Лек▓о░ п░о┤е▒▒о░ В.А.ЗОРИЧ, 2006/07 │╖.год
Мо▒ква, 19 декаб░┐ 2006 г.
1. Ра▒▒мо▓░им по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ffn g ве╣е▒▓веннозна╖н╗╡ ┤│нк╢ий, оп░еделенн╗╡, нап░име░, на о▓░езке [0; 1].
a. Какие вид╗ ▒╡одимо▒▓и по▒ледова▓ел╝но▒▓и ┤│нк╢ий В╗ знае▓е?
b. Дай▓е оп░еделение каждой из ни╡.
c. Какова ▒в┐з╝ межд│ ними? (Докажи▓е ╜▓│ ▒в┐з╝ или п░иведи▓е
по┐▒н┐╛╣ий п░име░, когда ▓акой ▒в┐зи не▓).
2. Дана 2-пе░иоди╖е▒ка┐ ┤│нк╢и┐ f . Она ▓ожде▒▓венно ░авна н│л╛
на ин▓е░вале ] ; 0[ и f (x) = 2x на о▓░езке [0; ]. Найди▓е ▒│мм│ S
▒▓анда░▓ного ▓░игономе▓░и╖е▒кого ░┐да Ф│░╝е ╜▓ой ┤│нк╢ии.
3. a. Изве▒▓но ░азложение ┤│нк╢ии (1+x) 1 в ▒▓епенной ░┐д ("геоме▓░и╖е▒ка┐ п░ог░е▒▒и┐"). Пол│╖и▓е о▓▒╛да ▒▓епенное ░азложение ┤│нк╢ии ln(1 + x) и обо▒н│й▓е Ва╕и дей▒▓ви┐.
b. Каков ░ади│▒ ▒╡одимо▒▓и пол│╖енного ░┐да?
c. С╡оди▓▒┐ ли ╜▓о▓ ░┐д п░и x = 1 и, е▒ли да, ▓о б│де▓ ли его ▒│мма
░авна ln2? По╖ем│?
4. a. Изве▒▓но, ╖▓о ▒пек▓░ал╝на┐ ┤│нк╢и┐ (╡а░ак▓е░и▒▓ика) p линейного п░ибо░а (опе░а▓о░а) А в▒╛д│ о▓ли╖на о▓ н│л┐. Как, зна┐ ┤│нк╢и╛
p и пол│╖енн╗й ▒игнал g = Аf , най▓и пе░еданн╗й ▒игнал f ?
b. П│▒▓╝ ┤│нк╢и┐ p ▓акова: p(!) 1 п░и j!j 10 и p(!) 0 п░и
j!j > 10. П│▒▓╝ изве▒▓ен ▒пек▓░ g^ (п░еоб░азование Ф│░╝е) п░ин┐▓ого
▒игнала g, а именно, g^(!) 1 п░и j!j 1 и g^(!) 0 п░и j!j > 1.
Наконе╢, п│▒▓╝ изве▒▓но, ╖▓о в╡одной ▒игнал f не ▒оде░жи▓ ╖а▒▓о▓ за
п░еделами ╖а▒▓о▓, п░оп│▒каем╗╡ п░ибо░ом А (▓.е. за п░еделами ╖а▒▓о▓
j!j 10). Найди▓е в╡одной ▒игнал f .
5. Найди▓е главн╗й ╖лен а▒имп▓о▓ики n-й ┤│нк╢ии Бе▒▒ел┐
Z
1
In(x) = ex cos cos nd
0
п░и x ! +1.
24
Че▓ве░▓╗й ▒еме▒▓░
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ
ИНТЕГРАЛЕ
Лек╢и┐ А
25
СОДЕРЖАНИЕ
В╗вод и пе░вое об▒│ждение ┤о░м│л╗ замен╗ пе░еменн╗╡ в к░а▓ном
ин▓ег░але.
26
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
1.
По▒▓ановка воп░о▒а и ╜в░и▒▓и╖е▒кий в╗вод ┤о░м│л╗
замен╗ пе░еменн╗╡.
Ра▒▒ма▓░ива┐ ин▓ег░ал в одноме░ном ▒л│╖ае, м╗ пол│╖или в ▒вое
в░ем┐ важн│╛ ┤о░м│л│ замен╗ пе░еменной в ▓аком ин▓ег░але. Тепе░╝
на╕а зада╖а ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓об╗ най▓и ┤о░м│л│ замен╗ пе░еменн╗╡
в об╣ем ▒л│╖ае. У▓о╖ним воп░о▒.
П│▒▓╝ Dx | множе▒▓во в Rn, f | ин▓ег░и░│ема┐ на Dx ┤│нк╢и┐,
а ' : Dt ! Dx | о▓об░ажение t 7! '(t) множе▒▓ва Dt Rn на Dx.
Сп░а╕ивае▓▒┐, по каком│ закон│, зна┐ f и ', на╡оди▓╝ ┤│нк╢и╛ в Dt
▓ак, ╖▓об╗ име▓╝ ░авен▒▓во
Z
Dx
f (x) dx =
Z
Dt
(t) dt;
позвол┐╛╣ее ▒води▓╝ в╗╖и▒ление ин▓ег░ала по Dx к в╗╖и▒лени╛ ин▓ег░ала по Dt?
П░едположим ▒на╖ала, ╖▓о Dt е▒▓╝ п░омеж│▓ок I Rn, а ' : I !
Dx | ди┤┤еомо░┤ное о▓об░ажение ╜▓ого п░омеж│▓ка на Dx . Л╛бом│
░азбиени╛ P п░омеж│▓ка I на п░омеж│▓ки I1; I2; : : :; Ik ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓
░азложение Dx на множе▒▓ва '(Ii); i = 1; : : : ; k. Е▒ли в▒е ╜▓и множе▒▓ва
изме░им╗ и пе░е▒ека╛▓▒┐ попа░но ли╕╝ по множе▒▓вам ме░╗ н│л╝, ▓о
в ▒ил│ адди▓ивно▒▓и ин▓ег░ала
Z
Dx
f (x) dx =
k Z
X
i=1 '(Ii )
f (x) dx:
(1)
Е▒ли f неп░е░╗вна на Dx , ▓о по ▓ео░еме о ▒░еднем
Z
f (x) dx = f (i ) ('(Ii));
'(Ii )
где i 2 '(Ii). По▒кол╝к│ f (i) = f ('(i )), где i = ' 1(i ), ▓о нам
о▒▓ае▓▒┐ ▒в┐за▓╝ ('(Ii)) ▒ (Ii) = jIij.
Е▒ли б╗ ' б╗ло линейн╗м п░еоб░азованием, ▓о '(Ii) б╗л б╗ па░аллелепипед, об║ем ко▓о░ого, как изве▒▓но из анали▓и╖е▒кой геоме▓░ии
27
и алгеб░╗, б╗л б╗ ░авен j det '0j (Ii). Но ди┤┤еомо░┤изм локал╝но
┐вл┐е▓▒┐ по╖▓и линейн╗м о▓об░ажением, по╜▓ом│, е▒ли ░азме░╗ п░омеж│▓ков Ii до▒▓а▓о╖но мал╗, ▓о ▒ малой о▓но▒и▓ел╝ной пог░е╕но▒▓╝╛
можно ▒╖и▓а▓╝, ╖▓о ('(Ii)) j det '0(i)j (Ii) (можно показа▓╝, ╖▓о
п░и неко▓о░ом в╗бо░е ▓о╖ки i 2 Ii б│де▓ име▓╝ ме▒▓о даже ▓о╖ное
░авен▒▓во). Таким об░азом,
k Z
X
i=1 '(Ii )
f (x) dx k
X
i=1
f ('(i ))j det '0(i)j jIij:
(2)
Но ▒п░ава в ╜▓ом п░иближенном ░авен▒▓ве ▒▓ои▓ ин▓ег░ал╝на┐ ▒│мма
о▓ ┤│нк╢ии f ('(t))j det '0(t)j по п░омеж│▓к│ I , о▓ве╖а╛╣а┐ ░азбиени╛ P
╜▓ого п░омеж│▓ка ▒ о▓ме╖енн╗ми ▓о╖ками . В п░еделе п░и (P ) ! 0
из (1) и (2) пол│╖аем
Z
Dx
f (x) dx =
Z
Dt
f ('(t))j det '0(t)j dt:
(3)
Э▓о и е▒▓╝ и▒кома┐ ┤о░м│ла вме▒▓е ▒ ее об║┐▒нением. Наме╖енн╗й п│▓╝ к ней можно п░ой▓и ▒о в▒еми обо▒новани┐ми. Соб▒▓венно,
нам надо ▓ол╝ко показа▓╝ законно▒▓╝ по▒леднего п░едел╝ного пе░е╡ода,
п░едполагав╕его, ╖▓о ▒▓о┐╣ий в (3) ▒п░ава ин▓ег░ал ▒│╣е▒▓в│е▓, а
▓акже │▓о╖ни▓╝ и▒пол╝зованн│╛ ▒в┐з╝ ('(Ii)) j det '0(i)j jIij.
П░оделаем ╜▓о.
2.
Неко▓о░╗е ▒вой▒▓ва гладки╡ о▓об░ажений и ди┤┤ео-
мо░┤измов.
а) Напомним, ╖▓о л╛бое гладкое о▓об░ажение ' замкн│▓ого ог░ани╖енного п░омеж│▓ка I Rn (как и л╛бого в╗п│клого компак▓а) ┐вл┐е▓▒┐ лип╕и╢ев╗м. Э▓о ▒лед│е▓ из ▓ео░ем╗ о коне╖ном п░и░а╣ении и
ог░ани╖енно▒▓и '0 (в ▒ил│ неп░е░╗вно▒▓и) на компак▓е:
j'(t2) '(t1)j sup jj'0( )jj jt2 t1j L jt2 t1j:
2[t1;t2]
(4)
b) Э▓о, в ╖а▒▓но▒▓и, озна╖ае▓, ╖▓о п░и о▓об░ажении ' ░а▒▒▓о┐ние
межд│ ▓о╖ками не може▓ │вели╖и▓╝▒┐ более, ╖ем в L ░аз.
Нап░име░, е▒ли какое-▓о множе▒▓во E I имело диаме▓░ d, ▓о диаме▓░ его об░аза '(E ) не бол╝╕е, ╖ем Ld, и множе▒▓во '(E ) можно пок░╗▓╝ (n-ме░н╗м) к│биком ▒ ░еб░ом вели╖ин╗ Ld и об║емом (Ld)n .
28
Так, е▒ли E | n-ме░н╗й к│бик ▒ ░еб░ом , и об║емом n, ▓оpего об░аз
пок░╗вае▓▒┐ ▒▓анда░▓н╗м коо░дина▓н╗м к│биком об║ема (L n)n.
c) Из ╜▓ого ▒леде▓, ╖▓о п░и гладком о▓об░ажении об░аз множе▒▓ва
ме░╗ н│л╝ ▓акже ┐вл┐е▓▒┐ множе▒▓вом ме░╗ н│л╝ (в ▒м╗▒ле n-ме░ной
ме░╗). [Вед╝ в оп░еделении множе▒▓ва ме░╗ н│л╝, как легко заме▓и▓╝,
можно ог░ани╖и▓╝▒┐ пок░╗▓и┐ми из к│биков вме▒▓о пок░╗▓ий об╣ими
n-ме░н╗ми п░омеж│▓ками | "п░┐мо│гол╝н╗ми па░аллелепипедами".]
Е▒ли гладкое о▓об░ажение ' : Dt ! Dx к ▓ом│ же имее▓ и гладкое
об░а▓ное о▓об░ажение ' 1 : Dx ! Dt, ▓.е. е▒ли ' | ди┤┤еомо░┤изм,
▓о, о╖евидно, и п░ооб░аз множе▒▓ва ме░╗ н│л╝ ▓оже имее▓ ме░│ н│л╝.
d) По▒кол╝к│ п░и ди┤┤еомо░┤изме ┐кобиан det '0 о▓об░ажени┐ в▒╛д│
о▓ли╖ен о▓ н│л┐, а ▒амо о▓об░ажение взаимно однозна╖но, ▓о (в ▒ил│ ▓ео░ем╗ об об░а▓ной ┤│нк╢ии) вн│▓░енние ▓о╖ки л╛бого множе▒▓ва п░и
▓аком о▓об░ажении пе░е╡од┐▓ во вн│▓░енние ▓о╖ки об░аза ╜▓ого множе▒▓ва, а г░ани╖н╗е ▓о╖ки | в г░ани╖н╗е ▓о╖ки об░аза.
В▒помина┐ оп░еделение доп│▒▓имого (изме░имого по Жо░дан│) множе▒▓ва как ог░ани╖енного множе▒▓ва, г░ани╢а ко▓о░ого имее▓ ме░│
н│л╝, можем закл╛╖и▓╝, ╖▓о п░и ди┤┤еомо░┤изме об░аз изме░имого
множе▒▓ва ▓акже ┐вл┐е▓▒┐ изме░им╗м множе▒▓вом.
(Э▓о ве░но и дл┐ л╛б╗╡ гладки╡ о▓об░ажений.) Но дл┐ ди┤┤еомо░┤измов е╣е и п░ооб░аз изме░имого множе▒▓ва, о╖евидно, ┐вл┐е▓▒┐
изме░им╗м множе▒▓вом.
e) По▒леднее, в ╖а▒▓но▒▓и, озна╖ае▓, ╖▓о е▒ли ' : Dt ! Dx | ди┤┤еомо░┤изм, ▓о из ▒│╣е▒▓вовани┐ ин▓ег░ала, ▒▓о┐╣его в левой ╖а▒▓и
доказ╗ваемой ┤о░м│л╗ (3), (на о▒новании к░и▓е░и┐ Лебега) в╗▓екае▓
и ▒│╣е▒▓вование ин▓ег░ала, ▒▓о┐╣его ▒п░ава.
3. Св┐з╝ ме░ об░аза и п░ооб░аза п░и ди┤┤еомо░┤изме.
Покажем ▓епе░╝, ╖▓о е▒ли ' : I ! '(I ) | ди┤┤еомо░┤изм, ▓о
Z
('(I )) = det '0(t) dt ;
(5)
I
в п░едположении положи▓ел╝но▒▓и подин▓ег░ал╝ной ┤│нк╢ии det '0.
О▓▒╛да по ▓ео░еме о ▒░еднем, в ╖а▒▓но▒▓и, пол│╖и▓▒┐, ╖▓о найде▓▒┐
▓ака┐ ▓о╖ка 2 I , ╖▓о
('(I )) = det '0( ) jI j;
29
(6)
Фо░м│ла (5) ┤ак▓и╖е▒ки е▒▓╝ ╖а▒▓н╗й ▒л│╖ай ┤о░м│л╗ (3), когда
f 1.
Дл┐ линейн╗╡ о▓об░ажений она изве▒▓на, ╡о▓┐, возможно, без об▒│ждени┐ де▓алей, ▒в┐занн╗╡ ▒ ▓ем, ╖▓о она ▒п░аведлива по о▓но╕ени╛ к
линейн╗м о▓об░ажени┐м не ▓ол╝ко п░о▒▓ей╕и╡ па░аллелепипедов, но и
л╛б╗╡ изме░им╗╡ множе▒▓в. По┐▒ним ╜▓о. Изве▒▓но, ╖▓о линейное о▓об░ажение ░а▒клад╗вае▓▒┐ в компози╢и╛ п░о▒▓ей╕и╡, ко▓о░╗е, ▒ ▓о╖но▒▓╝╛ до возможной пе░е▒▓ановки па░ коо░дина▓, ▒вод┐▓▒┐ к изменени╛ ▓ол╝ко одной из ни╡: │множени╛ на ╖и▒ло или добавлени╛ к одной
из коо░дина▓ д░│гой. Тео░ема Ф│бини позвол┐е▓ ▒каза▓╝, ╖▓о в пе░вом ▒л│╖ае об║ем л╛бого изме░имого множе▒▓ва │множи▓▒┐ на ▓о▓ же
множи▓ел╝, ╖▓о и │множаема┐ коо░дина▓а (▓о╖нее, на его мод│л╝, е▒ли
░а▒▒ма▓░ива╛▓▒┐ нео▓░и╢а▓ел╝н╗е | нео░иен▓и░ованн╗е об║ем╗). Во
в▓о░ом ▒л│╖ае ┤иг│░а ╡о▓┐ и мен┐е▓▒┐, но ее об║ем о▒▓ае▓▒┐ п░ежним,
по▒кол╝к│ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ие одноме░н╗е ▒е╖ени┐ ли╕╝ ▒двига╛▓▒┐, ▒о╡░ан┐┐ линейн│╛ ме░│. Наконе╢, пе░е▒▓ановка па░╗ коо░дина▓ мен┐е▓
о░иен▓а╢и╛ п░о▒▓░ан▒▓венного ░епе░а (оп░едели▓ел╝ ▓акого линейного
п░еоб░азовани┐ ░авен 1), но не мен┐е▓ зна╖ени┐ нео░иен▓и░ованного
об║ема ┤иг│░. (На ┐з╗ке ▓ео░ем╗ Ф│бини ╜▓о п░о▒▓о ▒мена по░┐дка
дв│╡ ин▓ег░и░ований.)
О▒▓ае▓▒┐ в▒помни▓╝, ╖▓о де▓е░минан▓ компози╢ии линейн╗╡ о▓об░ажений ┐вл┐е▓▒┐ п░оизведением де▓е░минан▓ов ▒омножи▓елей.
И▓ак, ▒╖и▓а┐, ╖▓о дл┐ линейн╗╡ и а┤┤инн╗╡ о▓об░ажений ┤о░м│ла
(5) │же │▒▓ановлена, докажем ее дл┐ п░оизвол╝ного ди┤┤еомо░┤изма ▒
положи▓ел╝н╗м ┐кобианом.
а) Во▒пол╝з│ем▒┐ е╣е ░аз ▓ео░емой о коне╖ном п░и░а╣ении, но ▓епе░╝ ╖▓об╗ о╢ени▓╝ возможное о▓клонение о▓об░ажени┐ ' : I ! '(I )
о▓ а┤┤инного о▓об░ажени┐ t 7! A(t) = '(a) + '0(a)(t a), где t |
пе░еманна┐, а a | ┤ик▒и░ованна┐ ▓о╖ка п░омежи▓ка I . О▓об░ажение
A : I ! A(I ) е▒▓╝ п░о▒▓о линейна┐ ╖а▒▓╝ ▓ейло░ов▒кого ░азложени┐ о▓об░ажени┐ ' в ▓о╖ке a 2 I .
П░имен┐┐ ▓ео░ем│ о коне╖ном п░и░а╣ении к ┤│нк╢ии t 7! '(t)
0
' (a)(t a), на╡одим
j'(t) '(a) '0(a)(t a)j sup jj'0( ) '0(a)jj jt aj:
(7)
2[a;t]
У╖и▓╗ва┐ ░авноме░н│╛ неп░е░╗вно▒▓╝ неп░е░╗вной ┤│нк╢ии '0 на
компак▓е I , из (7) закл╛╖аем, ╖▓о ▒│╣е▒▓в│е▓ нео▓░и╢а▓ел╝на┐ ┤│нк╢и┐
30
7! "(), ▒▓░ем┐╣а┐▒┐ к н│л╛ п░и ! +0, ▓ака┐, ╖▓о дл┐ л╛б╗╡ ▓о╖ек
t; a 2 I Rn
p
jt aj n =) j'(t) A(t)j = j'(t) '(a) '0(a)(t a)j "() : (8)
b) Тепе░╝ пе░ейдем непо▒░ед▒▓венно к доказа▓ел╝▒▓в│ ┤о░м│л╗ (5).
Позволим ▒ебе ▒на╖ала мален╝кое ▓е╡ни╖е▒кое облег╖ение: б│дем ▒╖и▓а▓╝, ╖▓о длин╗ ░ебе░ па░аллелепипеда I ▒оизме░им╗ и, ▒ледова▓ел╝но,
его можно ░азби▓╝ на одинаков╗е к│бики fIig ▒кол╝ │годно
малого
░азP
P
n
n
ме░а ░ебе░ i = и об║ема i = , ▓.е. I = [iIi и jI j = i jIij = i in.
В каждом к│бике Ii ┤ик▒и░│ем неко▓о░│╛ ▓о╖к│ ai, по▒▓░оим ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ее а┤┤инное о▓об░ажение Ai(t) = '(ai) '0(ai)(t ai), ░а▒▒мо▓░им об░аз Ai(@Ii) г░ани╢╗ @Ii к│бика Ii п░и о▓об░ажении Ai и воз╝мем
"()-ок░е▒▓но▒▓╝ ╜▓ого об░аза, ко▓о░│╛ обозна╖им ╖е░ез i.
В ▒ил│ (8) об░аз '(@Ii) г░ани╢╗ @Ii к│бика Ii п░и ди┤┤еомо░┤изме
' лежи▓ в i. Зна╖и▓, име╛▓ ме▒▓о ▒лед│╛╣ие вкл╛╖ени┐
Ai(Ii) n i '(Ii) Ai(Ii) [ i
и не░авен▒▓ва
jAi(Ii)j jij j'(Ii)j jAi(Ii)j + jij:
С│мми░│┐ и╡, на╡одим, ╖▓о
X
i
X
jAi(Ii)j
Но п░и ! +0
X
i
i
jij j'(I )j =
jAi(Ii)j =
X
i
X
i
j'(Ii)j det '0(ai)jIij !
Z
I
X
i
jAi(Ii)j +
X
i
jij: (9)
det '0(t) dt ;
по╜▓ом│ дл┐ P
доказа▓ел╝▒▓ва ┤о░м│л╗ (5) в на╕ем ▒л│╖ае о▒▓ало▒╝ п░ове░и▓╝, ╖▓о i jij ! 0 п░и ! +0:
c) О╢еним ▒ве░╡│ об║ем jij, опи░а┐▒╝ на о╢енки (4) и (8). Согла▒но
(4) ░еб░а па░аллелепипеда Ai(Ii) име╛▓ длин│ не бол╝╕│╛, ╖ем L, где
= i длина ░еб░а к│бика Ii. По╜▓ом│ (n 1)-ме░на┐ "пло╣ад╝" каждой из 2n г░аней па░аллелепипеда Ai(Ii) не бол╝╕е, ╖ем (L)n 1. М╗
бе░ем "()-ок░е▒▓но▒▓╝ ▓акой г░ани. Ее об║ем о╢енивае▓▒┐ вели╖иной
31
(2 + 2) "() (L)n 1, где в▓о░а┐ двойка напи▒ана дл┐ погло╣ени┐ вклада
▒к░│гленн╗╡ ╖а▒▓ей ╜▓ой ок░е▒▓но▒▓и, возника╛╣и╡ около к░а┐ ▒амой
г░ани. Таким об░азом, jij < 2n 4 Ln 1 "() n ; по╜▓ом│
X
i
jij < 8nLn
1
X
i
"() in = 8nLn 1 "() jI j ;
P
и м╗ видим, ╖▓о jij ! 0 п░и ! +0.
i
d) П░оведенна┐ о╢енка вели╖ин╗ jij заодно показ╗вае▓, ╖▓о ▒кол╝
│годно малое │мен╝╕ение ░ебе░ и▒╡одного п░омежи▓ка I , ко▓о░ое, возможно, ▒ледовало б╗ ▒дела▓╝, ╖▓об╗ пол│╖и▓╝ и╡ ▒оизме░имо▒▓╝, в п░еделе не вли┐е▓ на ░ез│л╝▓а▓.
4. Неко▓о░╗е п░име░╗, заме╖ани┐ и обоб╣ени┐.
И▓ак ┤о░м│ла (3) дл┐ ▒л│╖а┐ Dt = I и неп░е░╗вной ┤│нк╢ии f доказана. Ра▒▒мо▓░им и об▒│дим неко▓о░╗е п░име░╗. Э▓и об▒│ждени┐
заодно покаж│▓, ╖▓о на ▒амом деле м╗ │же доказали ┤о░м│л│ (3) не
▓ол╝ко дл┐ Dt = I и не ▓ол╝ко дл┐ неп░е░╗вной ┤│нк╢ии f .
a) П░енеб░ежим╗е множе▒▓ва. И▒пол╝з│ем╗е на п░ак▓ике замен╗
пе░еменн╗╡ или ┤о░м│л╗ п░еоб░азовани┐ коо░дина▓ иногда име╛▓ ▓е
или ин╗е о▒обенно▒▓и (нап░име░, где-▓о може▓ б╗▓╝ на░│╕ение взаимной однозна╖но▒▓и, об░а╣ение в н│л╝ ┐кобиана или о▓▒│▓▒▓вие ди┤┤е░ен╢и░│емо▒▓и). Как п░авило, ╜▓и о▒обенно▒▓и б╗ва╛▓ на множе▒▓ва╡
ме░╗ н│л╝ и по▓ом│ ▒░авни▓ел╝но легко п░еодолева╛▓▒┐.
Нап░име░, е▒ли нам н│жно пе░ей▓и о▓ ин▓ег░ала по к░│г│ к ин▓ег░ал│ по п░┐мо│гол╝ник│, м╗ ╖а▒▓о делаем замен│ пе░еменн╗╡
x = r cos ';
y = r sin ':
(10)
Э▓о ╡о░о╕о изве▒▓н╗е ┤о░м│л╗ пе░е╡ода о▓ пол┐░н╗╡ коо░дина▓ к дека░▓ов╗м на пло▒ко▒▓и. П░и
╜▓ом о▓об░ажении п░┐мо│гол╝ник I =
V
2
f(r; ') 2 R j 0 r R 0 ' 2g п░еоб░аз│е▓▒┐ в к░│г K =
f(x; y) 2 R2 j x2 + y2 R2g. Э▓о о▓об░ажение гладкое, но оно не
┐вл┐е▓▒┐ ди┤┤еомо░┤измом: в▒┐ ▒▓о░она п░┐мо│гол╝ника I , на ко▓о░ой r = 0, пе░е╡оди▓ п░и ╜▓ом о▓об░ажении в одн│ ▓о╖к│ (0; 0); об░аз╗
▓о╖ек (r; 0) и (r; 2) ▒овпада╛▓. Однако е▒ли ░а▒▒мо▓░е▓╝, нап░име░,
множе▒▓ва I n @I и K n E , где E | об║единение г░ани╢╗ @K к░│га K
и ░ади│▒а, ид│╣его в ▓о╖к│ (0; R), ▓о ог░ани╖ение о▓об░ажени┐ (10) на
32
обла▒▓╝ I n @I окаже▓▒┐ ее ди┤┤еомо░┤измом на обла▒▓╝ K n E . Зна╖и▓, е▒ли вме▒▓о п░┐мо│гол╝ника I вз┐▓╝ лежа╣ий ▒▓░ого вн│▓░и него
╖│▓╝ мен╝╕ий п░┐мо│гол╝ник I , ▓о к нем│ и его об░аз│ K п░именима
┤о░м│ла (6). А ▓огда, и▒╖е░п╗ва┐ п░┐мо│гол╝ник I ▓акими п░┐мо│гол╝никами I и заме╖а┐, ╖▓о п░и ╜▓ом и╡ об░аз╗ K и▒╖е░п╗ва╛▓ к░│г K ,
╖▓о jIj ! jI j и jK j ! jK j, в п░еделе пол│╖аем ┤о░м│л│ (6) п░имени▓ел╝но к ▒амой и▒╡одной па░е K; I .
Сказанное, е▒▓е▒▓венно, о▓но▒и▓▒┐ и к об╣ей пол┐░ной (▒┤е░и╖е▒кой) ▒и▒▓еме коо░дина▓ в Rn.
Разов╝ем ▒деланное набл╛дение.
b) И▒╖е░пани┐ и п░едел╝н╗е пе░е╡од╗.
m б│дем наз╗ва▓╝ ▓ак│╛ по▒ледоваИ▒╖е░панием множе▒▓ва E R
▓ел╝но▒▓╝ изме░им╗╡ множе▒▓в fEn g, ╖▓о En En+1 E п░и л╛бом
S1
n 2 N и En = E .
n=1
fEn g | и▒╖е░пание изме░имого множе▒▓ва E , ▓о :
lim
(
E
)
=
(E ) ;
n
n!1
b) дл┐ л╛бой ┤│нк╢ии f 2 R(E ) ▓акже f jEn 2 R(En ) и
Лемма. Е▒ли
a)
lim
n!1
Z
En
f (x) dx =
Z
E
f (x) dx:
(a) По▒кол╝к│ En En+1 E , ▓о (En ) (En+1 ) (E ) и nlim
(En )
!1
(E ). Дл┐ доказа▓ел╝▒▓ва ░авен▒▓ва a) покажем, ╖▓о в╗полн┐е▓▒┐
▓акже не░авен▒▓во nlim
(En ) (E ).
!1
Г░ани╢а @E множе▒▓ва E | компак▓ ме░╗ н│л╝, по╜▓ом│ ее можно
пок░╗▓╝ коне╖н╗м ╖и▒лом о▓к░╗▓╗╡ п░омеж│▓ков, ▒│мма об║емов ко▓о░╗╡ мен╝╕е напе░ед заданной вели╖ин╗ " > 0. П│▒▓╝ | об║единение в▒е╡ ╜▓и╡ о▓к░╗▓╗╡ п░омеж│▓ков. Тогда множе▒▓во O = E [ о▓к░╗▓о в Rm, п░и╖ем по по▒▓░оени╛ O ▒оде░жи▓ зам╗кание E множе▒▓ва E и (O) (E ) + () < (E ) + ".
Дл┐ каждого множе▒▓ва En и▒╖е░пани┐ fEn g пов▓о░им опи▒анное
по▒▓░оение ▒о зна╖ением "n = "=2n . Пол│╖им по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ о▓к░╗▓╗╡ множе▒▓в On = En [ n ▓аки╡, ╖▓о En On , (On ) (En ) +
S1
S1
(n) < (En ) + "n и On En E .
n=1
n=1
33
Си▒▓ема о▓к░╗▓╗╡ множе▒▓в ; O1; O2; : : : об░аз│е▓ о▓к░╗▓ое пок░╗▓ие компак▓а E .
П│▒▓╝ ; O1; O2; : : :; Ok | извле╖енное из него коне╖ное пок░╗▓ие
компак▓а E . По▒кол╝к│ E1 E2 : : : Ek , ▓о множе▒▓ва ; 1; : : :; k ;
Ek ▓оже об░аз│╛▓ пок░╗▓ие E и, зна╖и▓,
(E ) (E ) (Ek ) + () + (1) + : : : + (k ) < (Ek ) + 2":
О▓▒╛да ▒лед│е▓, ╖▓о (E ) nlim
(En ).
!1
(b) То, ╖▓о f jEn 2 R(En ), нам ╡о░о╕о изве▒▓но и ▒лед│е▓ из к░и▓е░и┐
Лебега ▒│╣е▒▓вование ин▓ег░ала по изме░имом│ множе▒▓в│. По │▒лови╛ f 2 R(E ), зна╖и▓, ▒│╣е▒▓в│е▓ по▒▓о┐нна┐ M ▓ака┐, ╖▓о jf (x)j M
на E . Из адди▓ивно▒▓и ин▓ег░ала и об╣ей о╢енки ин▓ег░ала пол│╖аем
Z
Z
Z
f (x) dx f (x) dx = f (x) dx M(E n E ):
n
EnEn
E
En
О▓▒╛да ▒ │╖е▓ом доказанного в a) закл╛╖аем, ╖▓о │▓ве░ждение b) дей▒▓ви▓ел╝но ▒п░аведливо.
Адди▓ивно▒▓╝ ин▓ег░ала и возможно▒▓╝ и▒╖е░пани┐ обла▒▓и ин▓ег░и░овани┐ ▓акими обла▒▓┐ми, где ┤о░м│ла замен╗ пе░еменн╗╡ заведомо дей▒▓в│е▓, позвол┐е▓ п░имен┐▓╝ ее и к и▒╡одн╗м обла▒▓┐м. Вооб╣е, иде┐ и▒╖е░пани┐ лежи▓ в о▒нове многи╡ кон▒▓░│к╢ий анализа, в
╖а▒▓но▒▓и, в о▒нове оп░еделени┐ не▒об▒▓венного ин▓ег░ала. Об ╜▓ом в
п░одолжении.
М╗ п░ивели п░┐мое доказа▓ел╝▒▓во ┤о░м│л╗ замен╗ пе░еменной.
Свободно владе╛╣ие ди┤┤е░ен╢иал╝н╗м и▒╖и▒лением ┤│нк╢ий многи╡
пе░еменн╗╡ могли б╗ п░едпо╖е▒▓╝ иной под╡од, нап░име░, ▓о▓, ко▓о░╗й
изложен в │╖ебнике. Там же (в о▒новном ▓ек▒▓е и в зада╖а╡) ▒▓ои▓
взгл┐н│▓╝ на ┤о░м│ли░овки важн╗╡ ма▓ема▓и╖е▒ки╡ ┤ак▓ов, ко▓о░╗е
▓е▒но ▒в┐зан╗ ▒ ░азби░аем╗ми воп░о▒ами.
34
Че▓ве░▓╗й ▒еме▒▓░
НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
И ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В НИХ
Лек╢и┐ B
35
СОДЕРЖАНИЕ
Не▒об▒▓венн╗е к░а▓н╗е ин▓ег░ал╗. Обоб╣ение и дал╝ней╕ее об▒│ждение ┤о░м│л╗ замен╗ пе░еменн╗╡ в к░а▓ном ин▓ег░але. Инва░иан▓но▒▓╝ ин▓ег░ала и воп░о▒ о ▓ом, ╖▓о же м╗ ин▓ег░и░│ем. Зада╖и и
пе░▒пек▓ив╗.
36
5. Не▒об▒▓венн╗е к░а▓н╗е ин▓ег░ал╗.
a) П│▒▓╝ fEn g | и▒╖е░пание множе▒▓ва E , а ┤│нк╢и┐ f : E ! R
ин▓ег░и░│ема на множе▒▓ва╡ En 2 fEn g. Тогда вели╖ина
Z
E
Z
f (x) dx := nlim
f (x) dx;
!1
En
е▒ли │казанн╗й п░едел ▒│╣е▒▓в│е▓ и его вели╖ина не зави▒и▓ о▓ в╗бо░а
л╛бого ▓акого и▒╖е░пани┐ множе▒▓ва E , наз╗вае▓▒┐ не▒об▒▓венн╗м ин▓ег░алом о▓ ┤│нк╢ии f по множе▒▓в│ E .
С▓о┐╣ий в левой ╖а▒▓и по▒леднего ░авен▒▓ва ▒имвол ин▓ег░ала об╗╖но пи╕│▓ дл┐ л╛бой заданной на E ┤│нк╢ии, но гово░┐▓, ╖▓о ╜▓о▓ ин▓ег░ал ▒│╣е▒▓в│е▓ или ▒╡оди▓▒┐, е▒ли ▒│╣е▒▓в│е▓ │казанн╗й в оп░еделении п░едел. Е▒ли же ▓акого об╣его дл┐ в▒е╡ │казанн╗╡ и▒╖е░паний
п░едела не ▒│╣е▒▓в│е▓, ▓о гово░┐▓, ╖▓о ин▓ег░ал о▓ ┤│нк╢ии f по множе▒▓в│ E не ▒│╣е▒▓в│е▓ или ╖▓о ин▓ег░ал ░а▒╡оди▓▒┐.
Цел╝ оп░еделени┐ ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓об╗ ░а▒п░о▒▓░ани▓╝ пон┐▓ие
ин▓ег░ала на ▒л│╖ай неог░ани╖енной под╗н▓ег░ал╝ной ┤│нк╢ии или неог░ани╖енной обла▒▓и ин▓ег░и░овани┐.
Введенн╗й ▒имвол не▒об▒▓венного ин▓ег░ала ▒овпадае▓ ▒ ▒имволом
об╗╖ного | ▒об▒▓венного ин▓ег░ала, по╜▓ом│ необ╡одимо зна▓╝, ╖▓о
е▒ли E | изме░имое множе▒▓во и f 2 R(E ), ▓о ин▓ег░ал о▓ f по E в
не▒об▒▓венном ▒м╗▒ле ▒│╣е▒▓в│е▓ и ▒овпадае▓ ▒ ▒об▒▓венн╗м ин▓ег░алом о▓ ┤│нк╢ии f по множе▒▓в│ E .
Но именно об ╜▓ом гово░и▓ │▓ве░ждение b) доказанной в╗╕е лемм╗.
Совок│пно▒▓╝ в▒е╡ и▒╖е░паний л╛бого ▒кол╝-ниб│д╝ обил╝ного множе▒▓ва п░ак▓и╖е▒ки необоз░има, да в▒еми и▒╖е░пани┐ми и не пол╝з│╛▓▒┐. П░ове░к│ ▒╡одимо▒▓и не▒об▒▓венного ин▓ег░ала ╖а▒▓о облег╖ае▓
▒лед│╛╣ее │▓ве░ждение.
У▓ве░ждение 1. Е▒ли ┤│нк╢и┐ f : E ! R нео▓░и╢а▓ел╝на и ╡о▓┐
б╗ дл┐ одного и▒╖е░пани┐ fEn g множе▒▓ва E │казанн╗й в оп░еделении п░едел ▒│╣е▒▓в│е▓, ▓о не▒об▒▓венн╗й ин▓ег░ал о▓ ┤│нк╢ии f по
множе▒▓в│ E ▒╡оди▓▒┐.
П│▒▓╝ fEk0 g | д░│гое и▒╖е░пание множе▒▓ва E , на ╜лемен▓а╡ ко▓о░ого ┤│нк╢и┐ f ин▓ег░и░│ема. Множе▒▓ва Enk := Ek0 \ En, n = 1; 2; : : :
об░аз│╛▓ и▒╖е░пание изме░имого множе▒▓ва Ek0 , по╜▓ом│ из │▓ве░жде37
ни┐ b) лемм╗ ▒лед│е▓, ╖▓о
Z
Z
Z
Enk
En
f (x) dx = nlim
f (x) dx nlim
f (x) dx = A:
!1
!1
Ek0
По▒кол╝к│ f 0, а Ek0 Ek0 +1 E , ▓о
Z
9 klim
f (x) dx = B A:
!1
Ek0
Но ▓епе░╝ и▒╖е░пани┐ fEn g, fEk0 g ░авноп░авн╗, по╜▓ом│ A B и,
зна╖и▓, A = B .
RR e (x2+y2 ) dx dy.
П░име░ 1. В╗╖и▒лим не▒об▒▓венн╗й ин▓ег░ал
R2
2
Б│дем и▒╖е░п╗ва▓╝ пло▒ко▒▓╝ R по▒ледова▓ел╝но▒▓╝╛ к░│гов En =
f(x; y) 2 R2 j x2 + y2 < n2g. По▒ле пе░е╡ода к пол┐░н╗м коо░дина▓ам
легко пол│╖аем, ╖▓о
ZZ
En
e
(x2 +y2 )
dx dy =
Z2 Zn
d' e r2 r dr = (1 e n2 ) ! 0
0
п░и n ! 1.
В ▒ил│ доказанного │▓ве░ждени┐ │же можно закл╛╖и▓╝, ╖▓о ░а▒▒ма▓░иваем╗й ин▓ег░ал ▒╡оди▓▒┐ и ░авен .
Из пол│╖енного ░ез│л╝▓а▓а можно извле╖╝ полезное ▒лед▒▓вие, е▒ли
░а▒▒мо▓░е▓╝ ▓епе░╝ и▒╖е░пание пло▒ко▒▓и квад░а▓ами En0 = f(x; y) 2
R2 j jxj < n ^ jyj < ng. По ▓ео░еме Ф│бини
ZZ
En0
e
(x2 +y2 )
dx dy =
0 Zn
12
dy e (x2+y2 ) dx = @ e t2 dtA :
Zn Zn
n
n
n
В ▒ил│ доказанного в╗╕е │▓ве░ждени┐ по▒ледн┐┐ вели╖ина п░и n !
1 должна ▒▓░еми▓╝▒┐ к . Таким об░азом, м╗ в▒лед за Эйле░ом и
П│а▒▒оном пол│╖аем, ╖▓о
Z+1
1
e
x2 dx = p:
38
Неко▓о░╗е дополни▓ел╝н╗е не вполне о╖евидн╗е на пе░в╗й взгл┐д
о▒обенно▒▓и оп░еделени┐ не▒об▒▓венного к░а▓ного ин▓ег░ала б│д│▓ │казан╗ ниже.
b) Мажо░ан▓н╗й п░изнак ▒╡одимо▒▓и не▒об▒▓венного ин▓ег░ала.
У▓ве░ждение 2. П│▒▓╝ f и g | оп░еделенн╗е на множе▒▓ве E
и ин▓ег░и░│ем╗е на одни╡ и ▓е╡ же его изме░им╗╡ подмноже▒▓ва╡
Rjfg((xx))jdx g(x) E
┤│нк╢ии, п░и╖ем
ного ин▓ег░ала
и
R f (x) dx
на
в╗▓екае▓ ▒╡одимо▒▓╝ ин▓ег░алов
E
R jf j(x) dx
. Тогда из ▒╡одимо▒▓и не▒об▒▓вен-
E
.
E
Дей▒▓ви▓ел╝но, п│▒▓╝ fEn g | и▒╖е░пание множе▒▓ва E , на ╜лемен▓а╡
ко▓о░ого обе ┤│нк╢ии g и f ин▓ег░и░│ем╗. Из к░и▓е░и┐ Лебега в╗▓екае▓ ин▓ег░и░│емо▒▓╝ R┤│нк╢ии jf j на
множе▒▓ва╡ ERn , n 2 N, по╜▓ом│
R
можно запи▒а▓╝, ╖▓о
jf j(x) dx jf j(x) dx =
jf j(x) dx n
R g(x) dx = REn+gk(x) dx R gE(xn) dx; где k иEnn+|k nEл╛б╗е
на▓│░ал╝-
En+k nEn
En+k
En
н╗е ╖и▒ла. Э▓и не░авен▒▓ва ▒ │╖е▓ом │▓ве░ждени┐ 1 и к░и▓е░и┐ Ко╕и
▒│╣е▒▓вовани┐
п░едела по▒ледова▓ел╝но▒▓и позвол┐╛▓ закл╛╖и▓╝, ╖▓о
R
ин▓ег░ал jf j(x) dx ▒╡оди▓▒┐.
E
Ра▒▒мо▓░им ▓епе░╝ ┤│нк╢ии f+ := 21 (jf j + f ), f := 12 (jf j f ). О╖евидно, 0 f+ jf j и 0 f 6 jf j. В ▒ил│ │же доказанного не▒об▒▓венн╗е ин▓ег░ал╗ о▓ ┤│нк╢ий f+ и f по множе▒▓в│ E ▒╡од┐▓▒┐. Но
f = f+ f , зна╖и▓, ▒╡оди▓▒┐ и не▒об▒▓венн╗й ин▓ег░ал о▓ ┤│нк╢ии f
по ╜▓ом│ же множе▒▓в│ (и он ░авен ░азно▒▓и ин▓ег░алов о▓ ┤│нк╢ий f+
и f ).
Дл┐ ▓ого, ╖▓об╗ │▓ве░ждением 2 можно б╗ло ╜┤┤ек▓ивно пол╝зова▓╝▒┐ п░и и▒▒ледовании ▒╡одимо▒▓и не▒об▒▓венн╗╡ ин▓ег░алов, полезно
име▓╝ неко▓о░╗й набо░ ╜▓алонн╗╡ ┤│нк╢ий дл┐ ▒░авнени┐. Ра▒▒мо▓░им
в ╜▓ой ▒в┐зи
n
П░име░ 2. В n-ме░ном едини╖ном ╕а░е B R ▒ в╗коло▓╗м ╢ен▓░ом 0 ░а▒▒ма▓░ивае▓▒┐ ┤│нк╢и┐ 1=r, где r = d(0; x) | ░а▒▒▓о┐ние о▓
▓о╖ки x 2 B n 0 до ▓о╖ки 0. В╗┐▒ним, п░и каки╡ зна╖ени┐╡ 2 R ин▓ег░ал о▓ ╜▓ой ┤│нк╢ии по обла▒▓и B n 0 ▒╡оди▓▒┐. Дл┐ ╜▓ого по▒▓░оим
и▒╖е░пание обла▒▓и кол╝╢ев╗ми обла▒▓┐ми B (") = fx 2 B j " < d(0; x) <
1g.
39
Пе░е╡од┐ к пол┐░н╗м коо░дина▓ам ▒ ╢ен▓░ом 0, по ▓ео░еме Ф│бини
пол│╖аем
Z dx
B (")
r (x) =
Z
S
Z1 rn 1 dr Z1 dr
f (') d'
r = c r n+1 ;
"
"
где d' = d'1 : : : d'n 1 , f (') | неко▓о░ое п░оизведение ▒ин│▒ов │глов
'1; : : :; 'n 2, по┐вл┐╛╣ее▒┐ в ┐кобиане пе░е╡ода к пол┐░н╗м коо░дина▓ам в Rn, а c | вели╖ина ин▓ег░ала по S , ко▓о░а┐ зави▒и▓ ▓ол╝ко о▓ n
и не зави▒и▓ о▓ r и ".
П░и " ! +0 пол│╖енна┐ вели╖ина ин▓ег░ала по B (") б│де▓ име▓╝
коне╖н╗й п░едел, е▒ли < n. В о▒▓ал╝н╗╡ ▒л│╖а┐╡ по▒ледний ин▓ег░ал
▒▓░еми▓▒┐ к бе▒коне╖но▒▓и, когда " ! +0.
И▓ак, м╗ показали, ╖▓о ┤│нк╢и┐ d(01 ;x) , где d | ░а▒▒▓о┐ние до ▓о╖ки 0,
ин▓ег░и░│е▓▒┐ в п░около▓ой ок░е▒▓но▒▓и ╜▓ой ▓о╖ки ли╕╝ п░и < n,
где n | ░азме░но▒▓╝ п░о▒▓░ан▒▓ва.
Аналоги╖но показ╗вае▓▒┐, ╖▓о вне ╕а░а B , ▓.е. в ок░е▒▓но▒▓и бе▒коне╖но▒▓и, ╜▓а же ┤│нк╢и┐ ин▓ег░и░│е▓▒┐ в не▒об▒▓венном ▒м╗▒ле, ли╕╝
когда > n.
n
i
П░име░ 3. П│▒▓╝ I = fx 2 R j 0 x 1; i = 1; : : : ; ng | n-ме░н╗й
к│б, а Ik | его k-ме░на┐ г░ан╝, задаваема┐ │▒лови┐ми xk+1 = : : : = xn =
0. На множе▒▓ве I n Ik ░а▒▒мо▓░им ┤│нк╢и╛ d1(x) , где d(x) | ░а▒▒▓о┐ние
о▓ ▓о╖ки x 2 I n Ik до г░ани Ik . В╗┐▒ним, п░и каки╡ зна╖ени┐╡ 2 R
ин▓ег░ал о▓ ╜▓ой ┤│нк╢ии по множе▒▓в│ I n Ik ▒╡оди▓▒┐.
Заме▓им, ╖▓о е▒ли x = (x1; : : : ; xk ; xk+1; : : :; xn), ▓о
p
d(x) = (xk+1)2 + : : : + (xn)2:
П│▒▓╝ I (") | ╜▓о к│б I , из ко▓о░ого │далена "-ок░е▒▓но▒▓╝ г░ани Ik .
По ▓ео░еме Ф│бини
Z dx Z
Z
Z du
k+1 : : : dxn
dx
1
k
d(x) = dx : : : dx
((xk+1)2 + : : : + (xn )2)=2 =
juj ;
I (")
Ik
In k (")
In k (")
где u = (xk+1 ; : : :; xn), In k (") | г░ан╝ In k Rn k, из ко▓о░ой │далена
"-ок░е▒▓но▒▓╝ ▓о╖ки u = 0.
Но на базе п░иоб░е▓енного в п░име░е 2 оп╗▓а ┐▒но, ╖▓о по▒ледний
ин▓ег░ал ▒╡оди▓▒┐ ли╕╝ п░и < n k. Зна╖и▓, ░а▒▒ма▓░иваем╗й нами
40
не▒об▒▓венн╗й ин▓ег░ал ▒╡оди▓▒┐ ли╕╝ п░и < n k, где k | ░азме░но▒▓╝ г░ани, около ко▓о░ой ┤│нк╢и┐ може▓ неог░ани╖енно воз░а▒▓а▓╝.
c) Аб▒ол╛▓на┐ ▒╡одимо▒▓╝ не▒об▒▓венного ин▓ег░ала.
Заме╖ание. П░и доказа▓ел╝▒▓ве │▓ве░ждени┐ 2 б╗ло п░ове░ено,
╖▓о ▒╡одимо▒▓╝ ин▓ег░ала о▓ ┤│нк╢ии jf j вле╖е▓ ▒╡одимо▒▓╝ ин▓ег░ала
о▓ ┤│нк╢ии f . Оказ╗вае▓▒┐, дл┐ не▒об▒▓венного ин▓ег░ала в ▒м╗▒ле его
оп░еделени┐, данного в╗╕е, ве░но и об░а▓ное │▓ве░ждение, ╖его не б╗ло
в ░а▒▒ма▓░ивав╕ем▒┐ нами п░ежде ▒л│╖ае не▒об▒▓венного ин▓ег░ала на
п░┐мой, где м╗ ░азли╖али аб▒ол╛▓н│╛ и неаб▒ол╛▓н│╛ (│▒ловн│╛) ▒╡одимо▒▓и не▒об▒▓венного ин▓ег░ала. Ч▓об╗ ▒░аз│ пон┐▓╝ ▒│▓╝ возник╕его нового ┐влени┐, ▒в┐занного ▒ данн╗м оп░еделением, ░а▒▒мо▓░им
▒лед│╛╣ий п░име░.
П░име░ 4. П│▒▓╝ ┤│нк╢и┐ f : R+ ! R оп░еделена на множе▒▓ве R+
нео▓░и╢а▓ел╝н╗╡ ╖и▒ел ▒лед│╛╣ими │▒лови┐ми: f (x) = ( 1)nn 1 , е▒ли n
1 x < n; n 2 N. 1
P n1
По▒кол╝к│ ░┐д ( 1)n ▒╡оди▓▒┐, ▓о, как легко виде▓╝, п░едел п░и
n=1
A
R
A ! 1 ин▓ег░ала f (x) dx ▒│╣е▒▓в│е▓ и ░авен ▒│мме │казанного ░┐да.
0
Однако ╜▓о▓ ░┐д не ▒╡оди▓▒┐ аб▒ол╛▓но, и пе░е▒▓ановкой его ╖ленов
можно пол│╖и▓╝ ░┐д, нап░име░, ░а▒╡од┐╣ий▒┐ к +1. Ча▒▓и╖н╗е ▒│мм╗
нового ░┐да можно ин▓е░п░е▓и░ова▓╝ как ин▓ег░ал╗ о▓ ┤│нк╢ии f по
об║единени╛ En ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ ╖ленам ░┐да о▓░езков ве╣е▒▓венной
о▒и. Множе▒▓ва En в ▒овок│пно▒▓и, о╖евидно, об░аз│╛▓ и▒╖е░пание
обла▒▓и R+ задани┐ ┤│нк╢ии f .
R1
Таким об░азом, не▒об▒▓венн╗й ин▓ег░ал f (x) dx о▓ п░ед║┐вленной
0
┤│нк╢ии f : R+ ! R в п░ежнем его понимании ▒│╣е▒▓в│е▓, а в ▒м╗▒ле
данного в╗╕е оп░еделени┐ не ▒│╣е▒▓в│е▓.
М╗ видим, ╖▓о ▓░еб│ема┐ в ╜▓ом оп░еделении незави▒имо▒▓╝ п░едела о▓ в╗бо░а и▒╖е░пани┐ ╜квивален▓на незави▒имо▒▓и ▒│мм╗ ░┐да о▓
по░┐дка ▒│мми░овани┐ его ╖ленов. По▒леднее, как нам изве▒▓но из ▓ео░ем╗ Римана, в ▓о╖но▒▓и ░авно▒ил╝но аб▒ол╛▓ной ▒╡одимо▒▓и.
На деле п░ак▓и╖е▒ки в▒егда п░и╡оди▓▒┐ ░а▒▒ма▓░ива▓╝ ли╕╝ ▒пе╢иал╝н╗е и▒╖е░пани┐ ▒лед│╛╣его вида. П│▒▓╝ оп░еделенна┐ в обла▒▓и D
┤│нк╢и┐ f : D ! R неог░ани╖ена в ок░е▒▓но▒▓и неко▓о░ого множе▒▓ва
E @D. Тогда м╗ │дал┐ем из D ▓о╖ки, лежа╣ие в "-ок░е▒▓но▒▓и
41
множе▒▓ва E , и пол│╖аем обла▒▓╝ D(") D. П░и " ! 0 ╜▓и обла▒▓и по░ожда╛▓ и▒╖е░пание D. Е▒ли же обла▒▓╝ неог░ани╖енна┐, ▓о ее
и▒╖е░пание можно пол│╖и▓╝, вз┐в дополнени┐ в D к ок░е▒▓но▒▓┐м бе▒коне╖но▒▓и. Именно ▓акие ▒пе╢иал╝н╗е и▒╖е░пани┐ м╗ в ▒вое в░ем┐
и ░а▒▒ма▓░ивали в одноме░ном ▒л│╖ае, и именно ╜▓и ▒пе╢иал╝н╗е и▒╖е░пани┐ непо▒░ед▒▓венно вед│▓ к обоб╣ени╛ на ▒л│╖ай п░о▒▓░ан▒▓ва
л╛бой ░азме░но▒▓и пон┐▓и┐ главного (в ▒м╗▒ле Ко╕и) зна╖ение не▒об▒▓венного ин▓ег░ала, о ко▓о░ом м╗ в ▒вое в░ем┐ │же гово░или, из│╖а┐
не▒об▒▓венн╗е ин▓ег░ал╗ на п░┐мой.
d) Замена пе░еменн╗╡ в не▒об▒▓венном ин▓ег░але.
В закл╛╖ение дадим ▓епе░╝ ┤о░м│л│ замен╗ пе░еменн╗╡ в не▒об▒▓венн╗╡ ин▓ег░ала╡ и ▓ем ▒ам╗м ▒делаем ве▒╝ма ╢енное, ╡о▓┐ и о╖ен╝
п░о▒▓ое дополнение к ▓ео░еме о замене пе░еменн╗╡ в к░а▓ном ин▓ег░але, доказанной в╗╕е дл┐ ▒л│╖а┐, когда в ┤о░м│ле (3) замен╗ пе░еменной Dt = I , а f | неп░е░╗вна┐ ┤│нк╢и┐.
Тео░ема П│▒▓╝ ' : Dt ! Dx | ди┤┤еомо░┤ное о▓об░ажение о▓n
n
к░╗▓ого множе▒▓ва Dt Rt на ▓акое же множе▒▓во Dx Rx, а
┤│нк╢и┐ f : Dx ! R ин▓ег░и░│ема на изме░им╗╡ компак▓н╗╡ подмноR f (x) dx ▒╡оже▒▓ва╡ множе▒▓ва Dx . Е▒ли не▒об▒▓венн╗й ин▓ег░ал
Dx
R ((f ')j det '0j)(t) dt ▓акже ▒╡оди▓▒┐
и и╡ зна╖еди▓▒┐, ▓о ин▓ег░ал
Dt
ни┐ ▒овпада╛▓.
Оп╗▓ бо░╝б╗ ▒ множе▒▓вами ме░╗ н│л╝, неог░ани╖енн╗ми обла▒▓┐ми и о▒обенно▒▓┐ми ┤│нк╢ий, ко▓о░╗й ╖и▓а▓ел╝ мог п░иоб░е▒▓и на
░а▒▒мо▓░енн╗╡ п░име░а╡ и ░а▒▒│ждени┐╡, позволи▓ ем│ ▓епе░╝ ▒амо▒▓о┐▓ел╝но доказа▓╝ ▒┤о░м│ли░ованное │▓ве░ждение (по к░айней ме░е
во в▒е╡ н│жн╗╡ ем│ ▒л│╖а┐╡).
О▓ме▓им ▓ол╝ко, ╖▓о л╛бое о▓к░╗▓ое множе▒▓во в п░о▒▓░ан▒▓ве Rn,
о╖евидно, можно и▒╖е░па▓╝ п░о▒▓ей╕ими ┤иг│░ами, ▒о▒▓авленн╗ми из
к│биков. До▒▓а▓о╖но ░а▒▒мо▓░е▓╝ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ в▒е более мелки╡
к│би╖е▒ки╡ ░е╕е▓ок в▒его п░о▒▓░ан▒▓ва Rn и б░а▓╝ ▓е к│бики, ко▓о░╗е
попада╛▓ в на╕│ обла▒▓╝.
Е▒ли в▒помни▓╝ оп░еделение ин▓ег░ала по множе▒▓в│, ▓о можно доказа▓╝ и ▓акое ▒лед▒▓вие ╜▓ой ▓ео░ем╗.
У▓ве░ждение 3. П│▒▓╝ ' : Dt ! Dx | ди┤┤еомо░┤ное о▓об░ажеn
n
ние о▓к░╗▓ого множе▒▓ва Dt Rt на ▓акое же множе▒▓во Dx Rx ,
42
f : Ex ! R ин▓ег░и░│ема на изме░имом компак▓е Ex Dx .
0
Тогда ┤│нк╢и┐ (f ')j det ' j : Et ! R ин▓ег░и░│ема на изме░имом ком1 (E ) D и имее▓ ме▒▓о ░авен▒▓во
пак▓е Et = '
x
t
а ┤│нк╢и┐
Z
Ex
Z
f (x) dx = ((f ')j det '0j)(t) dt:
Et
e) Фо░м│л│ замен╗ имеем, а ╖▓о ин▓ег░и░│ем, ▓епе░╝ непон┐▓но.
Фо░м│ла замен╗ пе░еменн╗╡ в к░а▓ном ин▓ег░але имее▓ много полезн╗╡ п░именений и ▒лед▒▓вий, п░и╖ем не ▓ол╝ко в в╗╖и▒ли▓ел╝ном
а▒пек▓е, но и в ▓ео░е▓и╖е▒ком плане.
Нап░име░, она показ╗вае▓, ╖▓о введенн╗е ▒ и▒пол╝зованием оп░еделенной ▒и▒▓ем╗ коо░дина▓ пон┐▓и┐ ме░╗ п░омеж│▓ка, ме░╗ изме░имого множе▒▓ва и ▒амого ин▓ег░ала о▓ ┤│нк╢ии по изме░имом│ множе▒▓в│, на ▒амом деле не зави▒┐▓ о▓ в╗бо░а индивид│ал╝ной дека░▓овой
▒и▒▓ем╗ коо░дина▓ в Rn.
Дей▒▓ви▓ел╝но, пе░е╡од о▓ одной ▒и▒▓ем╗ дека░▓ов╗╡ коо░дина▓
в Rn к д░│гой ▓акой же ▒и▒▓еме имее▓ ┐кобиан, по мод│л╛ ░авн╗й едини╢е. В ▒ил│ ┤о░м│л╗ замен╗ пе░еменной о▓▒╛да ▒лед│е▓ ░авен▒▓во
Z
Z
Ex
f (x) dx = (f ')(t) dt:
Et
Но ╜▓о и озна╖ае▓, ╖▓о ин▓ег░ал оп░еделен инва░иан▓но: вед╝ е▒ли p |
▓о╖ка множе▒▓ва E , x = (x1; : : :; xn) | ее коо░дина▓╗ в пе░вой ▒и▒▓еме,
t = (t1; : : :; tn) | во в▓о░ой, а x = '(t) | ┤│нк╢и┐ пе░е╡ода о▓ одни╡
коо░дина▓ к д░│гим, ▓о f (p) = fx(x1; : : : ; xn) = ft(t1; : : :; tn); где ft =
fx '. Зна╖и▓, м╗ показали, ╖▓о
Z
Ex
fx(x) dx =
Z
Et
ft(t) dt;
где Ex и Et | запи▒╝ множе▒▓ва E в ▒и▒▓еме коо░дина▓ x и t ▒оо▓ве▓▒▓венно. И▓ак, инва░иан▓но▒▓╝ ин▓ег░ала дей▒▓ви▓ел╝но имее▓ ме▒▓о.
Однако, ▒░авнив ┤о░м│л│ замен╗ пе░еменной в одноме░ном и многоме░ном ин▓ег░але, м╗ заме╖аем неко▓о░│╛ аппа░а▓н│╛ ди▒га░мони╛.
В одноме░ном ▒л│╖ае ┤о░м│ла пол│╖ала▒╝ ▒ама ▒обой, е▒ли в лейбни╢ево подин▓ег░ал╝ное в╗░ажение f (x)dx вме▒▓о x под▒▓ави▓╝ x = '(t).
43
В многоме░ном ▒л│╖ае ни╖его подобного м╗ не набл╛даем. Более ▓ого,
е▒ли, как ╜▓о м╗ до ▒и╡ по░ делали, вме▒▓о x пи▒а▓╝ (x1; : : : ; xn), а вме▒▓о dx пи▒а▓╝ (dx1 dxn), ▓о под▒▓ановка x1 = '1(t1; : : : ; tn); : : :; xn =
'n(t1; : : :; tn) вме▒▓о x = '(t) не да▒▓ ни╖его по╡ожего на ▓│ ┤о░м│л│
замен╗ пе░еменн╗╡, ко▓о░│╛ м╗ пол│╖или.
Э▓о дей▒▓ви▓ел╝но ▒е░╝езн╗й воп░о▒. О▓ве▓ на него веде▓ к ▒ов░еменном│ взгл┐д│ на ди┤┤е░ен╢иал и ин▓ег░ал, к к░а▒ивом│ и полезном│ аппа░а▓│ ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ ┤о░м, к и╡ ди┤┤е░ен╢иал╝ном│ и
ин▓ег░ал╝ном│ и▒╖и▒лени╛, к ▒ов░еменной ┤о░м│ле Н╝╛▓она-Лейбни╢а,
вкл╛╖а╛╣ей в▒е изве▒▓н╗е и пе░▒они┤и╢и░ованн╗е ┤о░м│л╗ анализа,
▒в┐з╗ва╛╣ие ин▓ег░и░ование и ди┤┤е░ен╢и░ование.
Но дл┐ ╜▓ого н│жно б│де▓ п░ежде в▒его ве░н│▓╝▒┐ и л│╖╕е пон┐▓╝
оп░еделение ди┤┤е░ен╢иала.
(О╖ен╝ полезно о▒вежи▓╝ или пополни▓╝ знани┐ ди┤┤е░ен╢иал╝ного
и▒╖и▒лени┐ ┤│нк╢ий многи╡ пе░еменн╗╡, вкл╛╖а┐ ▓ео░ем│ о не┐вной
┤│нк╢ии и ее важней╕ие ▒лед▒▓ви┐, да╛╣ие в нелинейном ▒л│╖ае локал╝н╗е ва░иан▓╗ ▓ео░ем линейной алгеб░╗, а ▓акже и╡ геоме▓░и╖е▒кие ин▓е░п░е▓а╢ии и п░иложени┐.)
44
ВОПРОСЫ
к ╜кзамен│ по ма▓ема▓и╖е▒ком│ анализ│ за ╖е▓ве░▓╗й ▒еме▒▓░
дл┐ ▒▓│ден▓ов в▓о░ого к│░▒а в▓о░ого по▓ока
Лек▓о░ п░о┤е▒▒о░ В.А.ЗОРИЧ, 2006/07 │╖.год
1. Ин▓ег░ал Римана на n-ме░ном п░омеж│▓ке. К░и▓е░ий Лебега
▒│╣е▒▓вовани┐ ин▓ег░ала.
2. К░и▓е░ий Да░б│ ▒│╣е▒▓вовани┐ ин▓ег░ала о▓ ве╣е▒▓веннозна╖ной
┤│нк╢ии на n-ме░ном п░омеж│▓ке.
3. Ин▓ег░ал по множе▒▓в│. Ме░а Жо░дана множе▒▓ва и ее геоме▓░и╖е▒кий ▒м╗▒л. К░и▓е░ий Лебега ▒│╣е▒▓вовани┐ ин▓ег░ала по изме░имом│ множе▒▓в│. Линейно▒▓╝ и адди▓ивно▒▓╝ ин▓ег░ала.
4. О╢енки ин▓ег░ала.
5. Сведение к░а▓ного ин▓ег░ала к пов▓о░ном│: ▓ео░ема Ф│бини и
ее важней╕ие ▒лед▒▓ви┐.
6. Фо░м│ла замен╗ пе░еменн╗╡ в к░а▓ном ин▓ег░але. Инва░иан▓но▒▓╝ ме░╗ и ин▓ег░ала.
7. Не▒об▒▓венн╗е к░а▓н╗е ин▓ег░ал╗: о▒новн╗е оп░еделени┐, мажо░ан▓н╗й п░изнак ▒╡одимо▒▓и, канони╖е▒кие ин▓ег░ал╗. В╗╖и▒ление
ин▓ег░ала Эйле░а-П│а▒▒она.
8. Пове░╡но▒▓╝ ░азме░но▒▓и k в Rn и о▒новн╗е ▒по▒об╗ ее задани┐.
Аб▒▓░ак▓ное k-ме░ное многооб░азие. К░ай k-ме░ного многооб░ази┐ как
(k 1)-ме░ное многооб░азие без к░а┐.
9. О░иен▓и░│ем╗е и нео░иен▓и░│ем╗е многооб░ази┐. Спо▒об╗ задани┐ о░иен▓а╢ии аб▒▓░ак▓ного многооб░ази┐ и (гипе░)пове░╡но▒▓и в Rn.
О░иен▓и░│емо▒▓╝ к░а┐ о░иен▓и░│емого многооб░ази┐. Согла▒ованна┐ о░иен▓а╢и┐ многооб░ази┐ и к░а┐.
10. Ка▒а▓ел╝н╗й век▓о░ и ка▒а▓ел╝ное п░о▒▓░ан▒▓во к многооб░ази╛ в ▓о╖ке. Ин▓е░п░е▓а╢и┐ ка▒а▓ел╝ного век▓о░а как ди┤┤е░ен╢иал╝ного опе░а▓о░а.
11. Ди┤┤е░ен╢иал╝на┐ ┤о░ма в обла▒▓и D Rn. П░име░╗: ди┤┤е░ен╢иал ┤│нк╢ии, ┤о░ма ░або▓╗, ┤о░ма по▓ока. Коо░дина▓на┐ запи▒╝
ди┤┤е░ен╢иал╝ной ┤о░м╗. Опе░а╢и┐ вне╕него ди┤┤е░ен╢и░овани┐.
12. О▓об░ажение об║ек▓ов и ▒оп░┐женное о▓об░ажение ┤│нк╢ий на
╜▓и╡ об║ек▓а╡. П░еоб░азование ▓о╖ек и век▓о░ов ка▒а▓ел╝н╗╡ п░о▒▓░ан▒▓в в ╜▓и╡ ▓о╖ка╡ п░и гладком о▓об░ажении. Пе░ено▒ ┤│нк╢ий
45
и ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ ┤о░м п░и гладком о▓об░ажении. Ре╢еп▓ в╗полнени┐ пе░ено▒а ┤о░м в коо░дина▓ном виде.
13. Комм│▓и░ование пе░ено▒а ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ ┤о░м ▒ опе░а╢и┐ми и╡ вне╕него │множени┐ и ди┤┤е░ен╢и░овани┐. Ди┤┤е░ен╢иал╝на┐
┤о░ма на многооб░азии. Инва░иан▓но▒▓╝ (ко░░ек▓но▒▓╝) опе░а╢ий над
ди┤┤е░ен╢иал╝н╗ми ┤о░мами.
14. С╡ема под▒╖е▓а ░або▓╗ и по▓ока. Ин▓ег░ал о▓ k-┤о░м╗ по kме░ной гладкой о░иен▓и░ованной пове░╡но▒▓и. У╖е▓ о░иен▓а╢ии. Незави▒имо▒▓╝ ин▓ег░ала о▓ в╗бо░а па░аме▓░иза╢ии. Об╣ее оп░еделение
ин▓ег░ала о▓ ди┤┤е░ен╢иал╝ной k-┤о░м╗ по k-ме░ном│ компак▓ном│
о░иен▓и░ованном│ многооб░ази╛.
15. Фо░м│ла Г░ина на квад░а▓е, ее в╗вод, ин▓е░п░е▓а╢и┐ и запи▒╝ на
┐з╗ке ин▓ег░алов о▓ ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣и╡ ди┤┤е░ен╢иал╝н╗╡ ┤о░м. Об╣а┐ ┤о░м│ла С▓ок▒а. Ред│к╢и┐ к k-ме░ном│ п░омеж│▓к│ и доказа▓ел╝▒▓во дл┐ k-ме░ного п░омеж│▓ка. Кла▒▒и╖е▒кие ин▓ег░ал╝н╗е ┤о░м│л╗
анализа как конк░е▓н╗е ва░иан▓╗ об╣ей ┤о░м│л╗ С▓ок▒а.
16. Фо░ма об║ема в Rn и на пове░╡но▒▓и. Зави▒имо▒▓╝ ┤о░м╗
об║ема о▓ о░иен▓а╢ии. Ин▓ег░ал пе░вого ░ода и его незави▒имо▒▓╝
о▓ о░иен▓а╢ии. Пло╣ад╝ и ма▒▒а ма▓е░иал╝ной пове░╡но▒▓и как ин▓ег░ал╗ пе░вого ░ода. Запи▒╝ ┤о░м╗ об║ема k-ме░ной пове░╡но▒▓и
S k Rn в локал╝н╗╡ па░аме▓░а╡ и запи▒╝ ┤о░м╗ об║ема гипе░пове░╡но▒▓и S n 1 Rn в дека░▓ов╗╡ коо░дина▓а╡ об║емл╛╣его п░о▒▓░ан▒▓ва.
17. О▒новн╗е ди┤┤е░ен╢иал╝н╗е опе░а▓о░╗ ▓ео░ии пол┐ (grad, rot,
div) и и╡ ▒в┐з╝ ▒ опе░а▓о░ом d вне╕него ди┤┤е░ен╢и░овани┐ в евклидовом о░иен▓и░ованном п░о▒▓░ан▒▓ве R3.
18. Запи▒╝ ░або▓╗ и по▓ока пол┐ в виде ин▓ег░алов пе░вого ░ода.
О▒новн╗е ин▓ег░ал╝н╗е ┤о░м│л╗ ▓ео░ии пол┐ в R3 как век▓о░на┐ запи▒╝ кла▒▒и╖е▒ки╡ ин▓ег░ал╝н╗╡ ┤о░м│л анализа.
19. По▓ен╢иал╝ное поле и его по▓ен╢иал. То╖н╗е и замкн│▓╗е ┤о░м╗.
Ди┤┤е░ен╢иал╝н╗й необ╡одим╗й п░изнак ▓о╖но▒▓и ┤о░м╗ и по▓ен╢иал╝но▒▓и век▓о░ного пол┐, его до▒▓а▓о╖но▒▓╝ в одно▒в┐зной обла▒▓и.
Ин▓ег░ал╝н╗й к░и▓е░ий ▓о╖но▒▓и 1-┤о░м и век▓о░н╗╡ полей.
20. Локал╝на┐ ▓о╖но▒▓╝ замкн│▓ой ┤о░м╗ (лемма П│анка░е). Глобал╝н╗й анализ. Гомологии и когомологии. Тео░ема де Рама.
21. П░име░╗ п░иложений ┤о░м│л╗ С▓ок▒а: в╗вод о▒новн╗╡ │░авнений ме╡аники ▒пло╕ной ▒░ед╗. Физи╖е▒кий ▒м╗▒л г░адиен▓а, ░о▓о░а и
диве░ген╢ии.
46
ПРОМЕЖУТОЧНОЕ КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
по ма▓ема▓и╖е▒ком│ анализ│ в ╖е▓ве░▓ом ▒еме▒▓░е 4
дл┐ ▒▓│ден▓ов в▓о░ого к│░▒а в▓о░ого по▓ока
Лек▓о░ п░о┤е▒▒о░ В.А.ЗОРИЧ, 2006/07 │╖.год
В╗╖и▒ли▓е зна╖ени┐ п░иведенн╗╡ ниже ┤о░м ! в Rn на │казанн╗╡
набо░а╡ век▓о░ов:
a) ! = x2dx1 на век▓о░е = (1; 2; 3) 2 T R3(1;2;3);
b) ! = dx1 ^ dx3 + x1dx2 ^ dx4 на │по░┐до╖енной па░е век▓о░ов 1; 2 2
T R4(1;0;0;0). (Полагаем 1 = (11; :::; 14); 2 = (21 ; :::; 24).)
1
n
1
n
2. П│▒▓╝ f ; :::; f | гладкие ┤│нк╢ии а░г│мен▓а x = (x ; :::; x ) 2
Rn. В╗░ази▓е ┤о░м│ df 1 ^ ::: ^ df n в ▓е░мина╡ ┤о░м dx1; :::; dxn.
3
3. В обла▒▓и D R дей▒▓в│е▓ век▓о░ное поле ▒ил F . Ра▒▒╖и▓╗ваем
░або▓│, необ╡одим│╛ дл┐ пе░еме╣ени┐ в ╜▓ом поле из ▓о╖ки a 2 D в
▓о╖к│ b 2 D вдол╝ гладкого п│▓и D.
a) Напи╕и▓е ┤о░м│л│ дл┐ под▒╖е▓а ╜▓ой ░або▓╗ в виде ин▓ег░алa
"пе░вого" и "в▓о░ого" ░ода (▓.е. в ▓е░мина╡ ds и dx; dy; dz ▒оо▓ве▓▒▓венно).
b) П░ове░╝▓е, ╖▓о в г░ави▓а╢ионном поле F ╜▓а ░або▓а не зави▒и▓
о▓ п│▓и и ░авна ...?
3
4. a) В обла▒▓и D R имее▓▒┐ век▓о░ное поле V (нап░име░, поле
▒ко░о▒▓и неко▓о░ого ▓е╖ени┐). Напи╕и▓е ┤о░м│л│ дл┐ под▒╖е▓а по▓ока
век▓о░ного пол┐ V ╖е░ез о░иен▓и░ованн│╛ пове░╡но▒▓╝ S = S+2 D
в виде ин▓ег░ала "пе░вого" и "в▓о░ого" ░ода (▓.е. в ▓е░мина╡ d и
dy ^ dz; dz ^ dx; dx ^ dy ▒оо▓ве▓▒▓венно).
b) Вз┐▓ в╗п│кл╗й многог░анник D R3. На каждой его г░ани по▒▓░оен век▓о░, нап░авленн╗й вдол╝ вне╕ней но░мали и по вели╖ине ░авн╗й пло╣ади ▒оо▓ве▓▒▓в│╛╣ей г░ани. Физика гово░и▓, ╖▓о ▒│мма ╜▓и╡
век▓о░ов ░авна н│л╛ (ина╖е по▒▓░оим ве╖н╗й двига▓ел╝). Ма▓ема▓ика
дае▓ ▓о же. Покажи▓е ╜▓о.
c) П░┐м╗м ░а▒╖е▓ом в╗веди▓е закон А░╡имеда (под▒╖и▓ай▓е в╗▓алкива╛╣│╛ ▒ил│, дей▒▓в│╛╣│╛ на ▓ело, пог░│женное, нап░име░, в наполненн│╛ водой ванн│, как ░ез│л╝▓и░│╛╣│╛ давлени┐ на пове░╡но▒▓╝
▓ела).
1.
4 Взамен
о▓▒│▓▒▓в│╛╣его коллокви│ма.
47
имо▒▓и
(мажо░ан▓н╗й, ин▓ег░ал╝н╗й,
P
Абел┐|Ди░и╡ле). Р┐д (s) = 1n=1 n s .
2. Равноме░на┐ ▒╡одимо▒▓╝ ▒емей▒▓в и ░┐дов ┤│нк╢ий. К░и▓е░ий
Ко╕и и о▒новн╗е до▒▓а▓о╖н╗е п░изнаки ░авноме░ной ▒╡одимо▒▓и ░┐да
┤│нк╢ий (мажо░ан▓н╗й, Абел┐|Ди░и╡ле).
3. До▒▓а▓о╖н╗е │▒лови┐ комм│▓и░овани┐ дв│╡ п░едел╝н╗╡ пе░е╡одов. Неп░е░╗вно▒▓╝, ин▓ег░и░ование, ди┤┤е░ен╢и░ование и п░едeл╝н╗й пе░е╡од.
4. Обла▒▓╝ ▒╡одимо▒▓и и ╡а░ак▓е░ ▒╡одимо▒▓и ▒▓епенного ░┐да.
Фо░м│ла Ко╕и|Адама░а. Тео░ема Абел┐ (в▓о░а┐). Тейло░ов▒кие ░азложени┐ о▒новн╗╡ ╜лемен▓а░н╗╡ ┤│нк╢ий. Фо░м│ла Эйле░а. Ди┤┤е░ен╢и░ование и ин▓ег░и░ование ▒▓епенного ░┐да.
5. Не▒об▒▓венн╗й ин▓ег░ал. К░и▓е░ий Ко╕и и о▒новн╗е до▒▓а▓о╖н╗е п░изнаки ▒╡одимо▒▓и (мажо░ан▓н╗й, Абел┐|Ди░и╡ле).
6. Равноме░на┐ ▒╡одимо▒▓╝ не▒об▒▓венного ин▓ег░ала, зави▒┐╣его
о▓ па░аме▓░а. К░и▓е░ий Ко╕и и о▒новн╗е до▒▓а▓о╖н╗е п░изнаки ░авноме░ной ▒╡одимо▒▓и (мажо░ан▓н╗й, Абел┐|Ди░и╡ле).
7. Неп░е░╗вно▒▓╝, ди┤┤е░ен╢и░ование и ин▓ег░и░ование ▒об▒▓венного ин▓ег░ала, зави▒┐╣его о▓ па░аме▓░а.
8. Неп░е░╗вно▒▓╝, ди┤┤е░ен╢и░ование и ин▓ег░и░ование не▒об▒▓венного ин▓ег░ала, зави▒┐╣его о▓ па░аме▓░а. Ин▓ег░ал Ди░и╡ле.
9. Эйле░ов╗ ин▓ег░ал╗. Обла▒▓и оп░еделени┐, ди┤┤е░ен╢иал╝н╗е
▒вой▒▓ва, ┤о░м│л╗ понижени┐, ░азли╖н╗е п░ед▒▓авлени┐, взаимо▒в┐з╝.
Ин▓ег░ал П│а▒▒она.
10. Дел╝▓аоб░азн╗е ▒емей▒▓ва ┤│нк╢ий. Тео░ема о ▒╡одимо▒▓и ▒ве░▓ки.
Кла▒▒и╖е▒ка┐ ▓ео░ема Вейе░╕▓░а▒▒а о ░авноме░ном п░иближении неп░е░╗вной ┤│нк╢ии алгеб░аи╖е▒ким много╖леном.
11. Век▓о░ное п░о▒▓░ан▒▓во ▒о ▒кал┐░н╗м п░оизведением. Неп░е░╗вно▒▓╝ ▒кал┐░ного п░оизведени┐ и ▒в┐занн╗е ▒ ╜▓им его алгеб░аи╖е▒кие ▒вой▒▓ва. О░▓огонал╝н╗е и о░▓оно░ми░ованн╗е ▒и▒▓ем╗ век▓о░ов.
22
Тео░ема Пи┤аго░а. Ко╜┤┤и╢иен▓╗ Ф│░╝е и ░┐д Ф│░╝е. П░име░╗ ▒кал┐░н╗╡ п░оизведений и о░▓огонал╝н╗╡ ▒и▒▓ем в п░о▒▓░ан▒▓ва╡ ┤│нк╢ий.
12. Лемма о пе░пендик│л┐░е. Эк▒▓░емал╝ное ▒вой▒▓во ко╜┤┤и╢иен▓oв Ф│░╝е. Не░авен▒▓во Бе▒▒ел┐ и ▒╡одимо▒▓╝ ░┐да Ф│░╝е. У▒лови┐
полно▓╗ о░▓оно░ми░ованной ▒и▒▓ем╗.
13. Кла▒▒и╖е▒кий (▓░игономе▓░и╖е▒кий) ░┐д Ф│░╝е в ве╣е▒▓венной
и комплек▒ной ┤о░ме. Лемма Римана. П░ин╢ип локализа╢ии и ▒╡одимо▒▓╝ ░┐да Ф│░╝е в ▓о╖ке. П░име░: ░азложение cos(x) в ░┐д Ф│░╝е и
░азложение sin(x)=x в бе▒коне╖ное п░оизведение.
14. Гладко▒▓╝ ┤│нк╢ии, ▒ко░о▒▓╝ │б╗вани┐ ее ко╜┤┤и╢иен▓ов Ф│░╝е
и ▒ко░о▒▓╝ ▒╡одимо▒▓и ее ░┐да Ф│░╝е.
15. Полно▓а ▓░игономе▓░и╖е▒кой ▒и▒▓ем╗ и ▒╡одимо▒▓╝ в ▒░еднем
▓░игономе▓░и╖е▒кого ░┐да Ф│░╝е.
16. П░еоб░азование Ф│░╝е и ин▓ег░ал Ф│░╝е (┤о░м│ла об░а╣ени┐).
П░име░: в╗╖и▒ление f^ дл┐ f (x) := exp( a2x2).
17. П░еоб░азование Ф│░╝е и опе░а▓о░ ди┤┤е░ен╢и░овани┐. Гладко▒▓╝ ┤│нк╢ии и ▒ко░о▒▓╝ │б╗вани┐ ее п░еоб░азовани┐ Ф│░╝е. Равен▒▓во Па░▒евал┐. П░еоб░азование Ф│░╝е как изоме▓░и┐ п░о▒▓░ан▒▓ва
б╗▒▓░о │б╗ва╛╣и╡ ┤│нк╢ий.
18. П░еоб░азование Ф│░╝е и ▒ве░▓ка. Ре╕ение одноме░ного │░авнени┐ ▓еплоп░оводно▒▓и.
19. А▒имп▓о▓и╖е▒ка┐ по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ и а▒имп▓о▓и╖е▒кий ░┐д.
П░име░: а▒имп▓о▓и╖е▒кое ░азложение ┤│нк╢ии Ei(x). Разли╖ие межд│
▒╡од┐╣ими▒┐ и а▒имп▓о▓и╖е▒кими ░┐дами. А▒имп▓о▓ика ин▓ег░ала Лапла▒а (главн╗й ╖лен). Фо░м│ла С▓и░линга.
23
ЭКЗАМЕНАЦИОННОЕ ЗАДАНИЕ
по ма▓ема▓и╖е▒ком│ анализ│ за ▓░е▓ий ▒еме▒▓░
дл┐ ▒▓│ден▓ов в▓о░ого к│░▒а в▓о░ого по▓ока
Лек▓о░ п░о┤е▒▒о░ В.А.ЗОРИЧ, 2006/07 │╖.год
Мо▒ква, 19 декаб░┐ 2006 г.
1. Ра▒▒мо▓░им по▒ледова▓ел╝но▒▓╝ ffn g ве╣е▒▓веннозна╖н╗╡ ┤│нк╢ий, оп░еделенн╗╡, нап░име░, на о▓░езке [0; 1].
a. Какие вид╗ ▒╡одимо▒▓и по▒ледова▓ел╝но▒▓и ┤│нк╢ий В╗ знае▓е?
b. Дай▓е оп░еделение каждой из ни╡.
c. Какова ▒в┐з╝ межд│ ними? (Докажи▓е ╜▓│ ▒в┐з╝ или п░иведи▓е
по┐▒н┐╛╣ий п░име░, когда ▓акой ▒в┐зи не▓).
2. Дана 2-пе░иоди╖е▒ка┐ ┤│нк╢и┐ f . Она ▓ожде▒▓венно ░авна н│л╛
на ин▓е░вале ] ; 0[ и f (x) = 2x на о▓░езке [0; ]. Найди▓е ▒│мм│ S
▒▓анда░▓ного ▓░игономе▓░и╖е▒кого ░┐да Ф│░╝е ╜▓ой ┤│нк╢ии.
3. a. Изве▒▓но ░азложение ┤│нк╢ии (1+x) 1 в ▒▓епенной ░┐д ("геоме▓░и╖е▒ка┐ п░ог░е▒▒и┐"). Пол│╖и▓е о▓▒╛да ▒▓епенное ░азложение ┤│нк╢ии ln(1 + x) и обо▒н│й▓е Ва╕и дей▒▓ви┐.
b. Каков ░ади│▒ ▒╡одимо▒▓и пол│╖енного ░┐да?
c. С╡оди▓▒┐ ли ╜▓о▓ ░┐д п░и x = 1 и, е▒ли да, ▓о б│де▓ ли его ▒│мма
░авна ln2? По╖ем│?
4. a. Изве▒▓но, ╖▓о ▒пек▓░ал╝на┐ ┤│нк╢и┐ (╡а░ак▓е░и▒▓ика) p линейного п░ибо░а (опе░а▓о░а) А в▒╛д│ о▓ли╖на о▓ н│л┐. Как, зна┐ ┤│нк╢и╛
p и пол│╖енн╗й ▒игнал g = Аf , най▓и пе░еданн╗й ▒игнал f ?
b. П│▒▓╝ ┤│нк╢и┐ p ▓акова: p(!) 1 п░и j!j 10 и p(!) 0 п░и
j!j > 10. П│▒▓╝ изве▒▓ен ▒пек▓░ g^ (п░еоб░азование Ф│░╝е) п░ин┐▓ого
▒игнала g, а именно, g^(!) 1 п░и j!j 1 и g^(!) 0 п░и j!j > 1.
Наконе╢, п│▒▓╝ изве▒▓но, ╖▓о в╡одной ▒игнал f не ▒оде░жи▓ ╖а▒▓о▓ за
п░еделами ╖а▒▓о▓, п░оп│▒каем╗╡ п░ибо░ом А (▓.е. за п░еделами ╖а▒▓о▓
j!j 10). Найди▓е в╡одной ▒игнал f .
5. Найди▓е главн╗й ╖лен а▒имп▓о▓ики n-й ┤│нк╢ии Бе▒▒ел┐
Z
1
In(x) = ex cos cos nd
0
п░и x ! +1.
24
Че▓ве░▓╗й ▒еме▒▓░
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ
ИНТЕГРАЛЕ
Лек╢и┐ А
25
СОДЕРЖАНИЕ
В╗вод и пе░вое об▒│ждение ┤о░м│л╗ замен╗ пе░еменн╗╡ в к░а▓ном
ин▓ег░але.
26
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
1.
По▒▓ановка воп░о▒а и ╜в░и▒▓и╖е▒кий в╗вод ┤о░м│л╗
замен╗ пе░еменн╗╡.
Ра▒▒ма▓░ива┐ ин▓ег░ал в одноме░ном ▒л│╖ае, м╗ пол│╖или в ▒вое
в░ем┐ важн│╛ ┤о░м│л│ замен╗ пе░еменной в ▓аком ин▓ег░але. Тепе░╝
на╕а зада╖а ▒о▒▓ои▓ в ▓ом, ╖▓об╗ най▓и ┤о░м│л│ замен╗ пе░еменн╗╡
в об╣ем ▒л│╖ае. У▓о╖ним воп░о▒.
П│▒▓╝ Dx | множе▒▓во в Rn, f | ин▓ег░и░│ема┐ на Dx ┤│нк╢и┐,
а ' : Dt ! Dx | о▓об░ажение t 7! '(t) множе▒▓ва Dt Rn на Dx.
Сп░а╕ивае▓▒┐, по каком│ закон│, зна┐ f и ', на╡оди▓╝ ┤│нк╢и╛ в Dt
▓ак, ╖▓об╗ име▓╝ ░авен▒▓во
Z
Dx
f (x) dx =
Z
Dt
(t) dt;
позвол┐╛╣ее ▒води▓╝ в╗╖и▒ление ин▓ег░ала по Dx к в╗╖и▒лени╛ ин▓ег░ала по Dt?
П░едположим ▒на╖ала, ╖▓о Dt е▒▓╝ п░омеж│▓ок I Rn, а ' : I !
Dx | ди┤┤еомо░┤ное о▓об░ажение ╜▓ого п░омеж│▓ка на Dx . Л╛бом│
░азбиени╛ P п░омеж│▓ка I на п░омеж│▓ки I1; I2; : : :; Ik ▒оо▓ве▓▒▓в│е▓
░азложение Dx на множе▒▓ва '(Ii); i = 1; : : : ; k. Е▒ли в▒е ╜▓и множе▒▓ва
изме░им╗ и пе░е▒ека╛▓▒┐ попа░но ли╕╝ по множе▒▓вам ме░╗ н│л╝, ▓о
в ▒ил│ адди▓ивно▒▓и ин▓ег░ала
Z
Dx
f (x) dx =
k Z
X
i=1 '(Ii )
f (x) dx:
(1)
Е▒ли f неп░е░╗вна на Dx , ▓о по ▓ео░еме о ▒░еднем
Z
f (x) dx = f (i ) ('(Ii));
'(Ii )
где i 2 '(Ii). По▒кол╝к│ f (i) = f ('(i )), где i = ' 1(i ), ▓о нам
о▒▓ае▓▒┐ ▒в┐за▓╝ ('(Ii)) ▒ (Ii) = jIij.
Е▒ли б╗ ' б╗ло линейн╗м п░еоб░азованием, ▓о '(Ii) б╗л б╗ па░аллелепипед, об║ем ко▓о░ого, как изве▒▓но из анали▓и╖е▒кой геоме▓░ии
27
и алгеб░╗, б╗л б╗ ░авен j det '0j (Ii). Но ди┤┤еомо░┤изм локал╝но
┐вл┐е▓▒┐ по╖▓и линейн╗м о▓об░ажением, по╜▓ом│, е▒ли ░азме░╗ п░омеж│▓ков Ii до▒▓а▓о╖но мал╗, ▓о ▒ малой о▓но▒и▓ел╝ной пог░е╕но▒▓╝╛
можно ▒╖и▓а▓╝, ╖▓о ('(Ii)) j det '0(i)j (Ii) (можно показа▓╝, ╖▓о
п░и неко▓о░ом в╗бо░е ▓о╖ки i 2 Ii б│де▓ име▓╝ ме▒▓о даже ▓о╖ное
░авен▒▓во). Таким об░азом,
k Z
X
i=1 '(Ii )
f (x) dx k
X
i=1
f ('(i ))j det '0(i)j jIij:
(2)
Но ▒п░ава в ╜▓ом п░иближенном ░авен▒▓ве ▒▓ои▓ ин▓ег░ал╝на┐ ▒│мма
о▓ ┤│нк╢ии f ('(t))j det '0(t)j по п░омеж│▓к│ I , о▓ве╖а╛╣а┐ ░азбиени╛ P
╜▓ого п░омеж│▓ка ▒ о▓ме╖енн╗ми ▓о╖ками . В п░еделе п░и (P ) ! 0
из (1) и (2) пол│╖аем
Z
Dx
f (x) dx =
Z
Dt
f ('(t))j det '0(t)j dt:
(3)
Э▓о и е▒▓╝ и▒кома┐ ┤о░м│ла вме▒▓е ▒ ее об║┐▒нением. Наме╖енн╗й п│▓╝ к ней можно п░ой▓и ▒о в▒еми обо▒новани┐ми. Соб▒▓венно,
нам надо ▓ол╝ко показа▓╝ законно▒▓╝ по▒леднего п
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
7
Размер файла
322 Кб
Теги
анализа, лекция, 2007, математические, pdf, материалы, некоторые, курс, студентов, второго, зорич
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа