close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Задачник по высшей математике. Кузнецов Л.А

код для вставкиСкачать
Задачник по высшей математике. Кузнецов Л.А
 Кузнецов Л.А. Задачник по высшей математике СОДЕРЖАНИЕ 1. Аналитическая геометрия......................................................................................................................3 2. Векторный анализ..................................................................................................................................8 3. Графики................................................................................................................................................16 4. Дифференциальные уравнения...........................................................................................................27 5. Производные........................................................................................................................................39 6. Интегралы.............................................................................................................................................46 7. Пределы................................................................................................................................................57 8. Линейная алгебра.................................................................................................................................61 9. Ряды......................................................................................................................................................68 10. Кратные интегралы.............................................................................................................................73 11. Векторный анализ...............................................................................................................................84 1. Аналитическая геометрия Задача 1. Написать разложение вектора x
по векторам .
,
,
r
q
p
}.1,2,1{
},2,0,3{
},4,1,1{
},18,2,13{
r
q
p
x
.0
,5
,2
1092
,22
,153
1824
,22
,133
.
r
q
p
x
Задача 2. Коллинеарны ли векторы 1
с и 2
с, построенные по векторам a
и b
? .3,26},1,7,2{},1,2,1{
21
abcbacba }.8,26,10{}12)1(61);7(226;22)1(6{26
1
baс }.4,13,5{)}1(31;237);1(32{3
2
abс 4
8
13
26
5
10
векторы 1
c и 2
c коллинеарны. Задача 3. Найти косинус угла между векторами AB
и AC
. ).1,1,1(
),6,4,3(
),3,2,1(
C
B
A
.29)3(24},3,2,4{
222
ABAB
.3)2()1(2},2,1,2{
222
ACAC
.0
293
231224
)^cos( ACAB
.
2
)^(
ACAB Задача 4. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a
и b
. .5
,6
pqb
qpa
.
6
5
)^(,4,
2
1
qpqp .31
2
1
231
6
5
sin4
2
1
31)^sin(31
565656)5()6(
qpqp
qpqppqqqppqppqqpS
Задача 5. Компланарны ли векторы a
,
b
и c
. }.4,2,4{},1,2,1{},4,3,7{
cba 01812143281256
424
121
437
),,( cba векторы a
,
b
и c
не компланарны. Задача 6. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках 4,321
,,AAAA и его высоту, опущенную из вершины 4
A на грань 321
AAA. ),1,1,0(
1
А ).3,6,1(
),9,5,1(
),5,3,2(
4
3
2
A
A
A
.4,5,1
,8,4,1
,6,4,2
41
31
21
AA
AA
AA
.
6
74
168024323032
6
1
451
841
642
6
1
,,(
6
1
4131
2
1
AAAAAAV .45180
2
1
1610064
2
1
4108
2
1
841
642
2
1
2
1
.
3
3
1
3121
321
3214321
kji
kji
AAAAS
S
V
hhSV
AAA
AAAAAAA
.
45
37
456
743
h
Задача 7. Найти расстояние от точки 0
М до плоскости, проходящей через точки 321
,,МММ. ),1,3,2(
1
М ).8,4,5(
),7,3,6(
),2,1,4(
0
3
2
М
М
М
Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки ,0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
,0
604
322
132
zyx
,
,08882412
,0)1(8)3(24)2(12
222
000
CBA
DCzByAx
d
zyx
zyx
.11
28
308
784
308
8)24()12(
8888)4(24)5(12
222
d Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
А
перпендикулярно вектору BC
. }.1,1,3{BC Т.к. вектор BC
искомой плоскости, то его можно взять в качестве вектора нормали, следовательно .063
,0)8()2()0(3
zyx
zyx
Задача 9. Найти угол между плоскостями. .04639
,017426
zyx
zyx
.01cos
,1
84
84
7056
84
12656
84
)6(39)4(26
)6()4(3296
cos
}.6,3,9{
},4,2,6{
222222
2
1
arr
n
n
Задача 10. Найти координаты точки А
, равноудаленной от точек B
и C
. ).10,6,2(),3,2,1(),0,0,( CBxA .1404106)2(
,14232)1(
2222
2222
xxxAC
xxxAB
ACAB
по условию
).3,4,1(
),2,3,4(
),8,2,0(
C
B
A
63
,1262
,1404142
,1404142
22
22
x
x
xxxx
xxxx
Отсюда, ).0,0,63(
A Задача 11. Пусть k
-коэффициент гомотетии с центром в начале координат. Верно ли, что точка A
принадлежит образу плоскости ? .2,0567:),1,1,1(
kzyxA
При преобразовании подобия с центром в начале координат плоскость переходит в плоскость . .01067:'
,0:
,0:
zyx
DkCzByAx
DCzByAx
,010167)1,1,1(
A .012
Таким образом, точка A
не принадлежит образу плоскости . Задача 12. Написать канонические уравнения прямой. .0143
,0223
zyx
zyx
}.6,1,9{
.69
131
231
21
S
kji
kji
nnS
Найдем координаты одной из точек, через которые проходит прямая ),,(
000
zyx. Зададим координате z
значение 0
z
. 2
,8
126
,023
0143
,023
y
x
y
yx
yx
yx
Итак, получается точка с координатами ).0,2,8(
Уравнение прямой .
6
1
2
9
8 zyx
Задача 13. Найти точку пересечения прямой и плоскости. .32
,1
,2
,022
,
2
3
1
1
1
2
tz
ty
tx
zyx
zyx
Подставим в уравнение плоскости .1
,01
,0232222
,02)32()1(2)2(
t
t
ttt
ttt
Таким образом, координаты искомой точки ).1,2,3(
Задача 14. Найти точку '
М
, симметричную точке М
относительно прямой. .
1
3
0
5,1
1
1
),3,3,3(
zyx
М .0
,0)3(1)3(0)3(1
zx
zyx
Найдем точку пересечения прямой и плоскости. .3
,5,1
,1
1
3
0
5,1
1
1
tz
y
tx
zyx
.1
,022
,0)3()1(
t
t
tt
)2;5,1;2(
0
M - координаты точки пересечения. Отсюда, ,13222
2
0
'
0
MMM
MM
M
xxx
xx
x ,035,122
2
0
'
0
MMM
MM
M
yyy
yy
y .13222
2
0
'
0
MMM
MM
M
zzz
zz
z Следовательно, )1,0,1('M - искомая точка. 2. Векторный анализ Задача 1. Найти производную скалярного поля ),,( zyxu в точке М
спо направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности S
, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz
. ).4,0,3(
,23496:
,)1ln(
222
2222
M
zzyxxS
zxyxu
.1cos,0cos;0cos
.12)12(00
,1200|
.)42(18)62(
,23496
).,,(
222
222
N
kjiN
kzjyixk
z
F
j
y
F
i
x
F
gradF
zzyxxF
zyxgradFN
M
.coscoscos z
U
y
U
x
U
N
U
;0|;0|;6,0|
.0;
1
2
;
1
2
2222
MMM
z
U
y
U
x
U
z
U
yx
y
y
U
yx
x
x
U
.0)1(00006,0 N
U
Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей ),,( zyxu и ),,( zyxv в точке М
юс
с
.
3
1
,
2
1
,
2
1
,,3
2
222
M
yz
x
uzyxv
искомый угол. ;
)(
cos
gradUgrad
gradUgrad
,622 kzjyixgrad ,3222| kjigrad
M
,4)32()2()2(
222
grad ,
21
3222
k
yz
x
j
zy
x
i
yz
gradU ,362323| kjigradU
M
,12)36()23()23(
222
grad .1
12
4
3632232232
cos Задача 3. Найти векторные линии в векторном поле a
. .63 zkxia
Дифференциальные уравнения векторных линий поля a
: z
dz
x
dx
Cydy
z
dzdy
x
dx
2
,0
603
0
.
,lnlnln2
2
Czx
Czx
Задача 4. Найти поток векторного поля а
через поверхности S, вырезаемую плоскостью P
(нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями). .4:),0(:,)1(
2222
zPzzyxSkzyzjxzia 4
0
4
0
43
4
0
2
22
22
4
0
22
.32|
4
1
2
1
2
1
|arcsin
22
,
zdzzdz
z
yz
yz
y
z
dyyzzdzdydzyzzxzdydzdydza
dxdyadxdzadydzadSna
z
z
z
zS S S
x
S
zyx
S
.32|
4
1
2
1
2
1
|arcsin
22
4
0
4
0
4
4
0
3
2
22
4
0
2222
zdzzdz
z
xz
xz
x
z
dxxzzdzdxdzxzzyzdxdzdxdza
z
z
S S S
z
z
y
.
176
112
32
32
,112|5656|
2
1
4
1
)(
)1()1()1(
2
0
2
0
2
0
2
0
4
0
24
4
0
3
2
0
2222
dddd
dddxdyyxdxdzzdxdya
S S S
z
z
z
Задача 5. Найти поток векторного поля a через часть плоскости P
, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz. .132:,432
zyxPzkyjxia ,
14
1
cos,
14
3
cos,
14
2
cos
.14194}1,2,3{
.)cos4cos3cos2(
,)coscoscos(
nn
dzyx
daaadna
S
zyx
.
4
1
|25
2
7
3
1
610
2
7
3
1
)344(
))321(494(14
14
4
14
33
14
22
,14941)()(1
2/1
0
3
2
3
1
0
2/1
0
2/1
0
322
2/1
0
3
2
3
1
0
2'2'
x
x
Dxy
yx
xxxdxxxdyyxdx
dyyxyxdxdxdy
zyx
dxdydxdydxdyzzd
Задача 6. Найти поток векторного поля a
через часть плоскости P
, расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью ).Oz .1:,)17(9
zyxPkzyja
,
3
1
cos,
3
1
cos,
3
1
cos
.3}1,1,1{
.)cos4cos3cos2(
,)coscoscos(
nn
dzyx
daaadna
S
zyx
.|
2
9
2
7
78)9778(
3
3
1
)1)1(7
3
1
9
3
1
0
,3111)()(1
1
0
1
0
1
0
1
0
22
1
0
1
0
2'2'
x
x
ч
yx
dxyyxyydyyyxdx
dyyxydx
dxdydxdydxdyzzd
.
6
910
|
32
97
2
98
2
99
2
97
)98(
2
99
1
0
322
xxxdxxx Задача 7. Найти поток векторного поля а
через замкнутую поверхность S
(нормаль внешняя). .0,0,0,22:,)()3()(
2
zyxzyxSkxzjyxzixea
z
;
321
JJJJ .
3
1
|
12
1
2
1
4
1
1|
4
1
2
1
2
1
2
1
1)(
2
0
322
2
0
22
2
0
2
0
2
2
0
2
0
1
yyye
dyyyedyzyzze
dzzyedydydzxeJ
y
y
y
z
yoz
D
y
zz
.
6
13
6
7
1
2
1
3
2
56|
2
1
3
2
5622106
|6
2
3
6
2
1
636)3(
1
0
432
1
0
32
1
0
22
0
22
1
0
22
0
2
xxxxdxxxx
dxxzzzxzdzxzxzdxdzdxyxzJ
x
xoz
D
x
.
3
8
6
5
6
13
3
1
.
6
5
2
1
3
4
22|
2
1
3
4
222442
|
2
1
2222)(
321
1
0
432
1
0
32
1
0
22
0
22
1
0
22
0
22
3
JJJJ
xxxxdxxxx
dxyxyxyydyxyxdxdxdyxzJ
x
yox
D
x
Задача 8. Найти поток векторного поля а
через замкнутую поверхность S
(нормаль внешняя). ,3 zjxia
).0(
,6
:
222
22
zyxz
yxz
S .303
,
z
a
y
a
x
a
adiv
dxdydzadivdanП
z
y
x
V
Перейдем к цилиндрической системе координат zz
ry
rx
sin
cos
0
0
0
6
0
23
0
6
0
2
2
6
0
6
00
.)629(6|)629(6)629(6)6(6
)6(6233
ddrrrrd
drrrrddzrdrddxdydzП
V
r
Задача 9. Найти поток векторного поля а
через замкнутую поверхность S
(нормаль внешняя). ,)()()(
2
kyzxjzxyiyzxa .1,0
,2
:
22
zz
yx
S
Воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса. .
,
zyz
z
a
y
a
x
a
adiv
dxdydzadivdSanП
z
y
x
S V
.)( dxdydzzyxП Цилиндрический системы координат .
,sin
,cos
zz
ry
rx
Отсюда, dvrrddzzrrrdvd
2
0
1
0
22
2
0
1
0
1
0
2
1
sincos)sincos(
.
3
1
3
1
0|
2
1
cos
3
1
sin
3
1
2
1
sin
3
1
cos
3
1
|
2
1
sin
3
1
cos
3
1
2
0
2
0
2
0
1
0
33
ddvrr
Задача 10. Найти работу силы F
при перемещении вдоль линии L
от точки M
к точке N
. :,)2()2(
22
LjxyiyxF отрезок ).2,0(),0,4(,NMMN
MO
.04,0,0
xdyy L
xdxxdyxydxyx
0
4
0
4
3222
.
3
64
|
3
1
)2()2(
2) ON
.20,0,0
ydxx L
ydyydyxydxyx
2
0
2
0
3222
.
3
8
|
3
1
)2()2(
L
dyxydxyx.24
3
72
3
8
3
64
)2()2(
22
Задача 11. Найти циркуляцию векторного поля а
вдоль контура Г
чв направлении, соответствующем возрастанию параметра ).t ,
2
ykjzxia .3sin3cos4
,sin3,cos2
:
ttz
tytx
Г
.cos3sin4
,cos3
,sin2
ttdz
tdtdy
tdtdx
Г
zyx
tttttdzadyadxaЦ
2
0
)3sin3cos4(cos3sincos22(
.24|)12sin92(cos)cos9122sin2()cossin9sin12
cos9cossin9cos122sin2())cos3sin4(sin3
2
0
2
0
2
2
0
2
tttdtttdtttt
tttttdtttt
Задача 12. Найти модуль циркуляции векторного поля а
вдоль контура Г
. ,352 xkzjyia
+
+
=
.3
,122
:
22
zyx
yx
Г
Формула Стокса .235
352
kji
kzy
zyx
kji
arot =+---=
=+-=
=+-=
2/1
2/1
2/1
2/1
2
0
2/1
2/1
3
0
2/1
2/1
3
0
2
0
2/1
0
2
1
)3(3)3(5
235
235
ddxxdyy
rdrddzdxdzdy
dxdydxdzdydzЦ
y
x
Dyoz Dxoz Dxoy
.2629215|
2
1
|
2
1
33|
2
1
35
2
0
2/1
2/1
2
2/1
2/1
2
xxyy 3. Графики Задача 1. Построить графики функций с помощью производной первого порядка. .)2(
22
xxy 1) ;)(yD. 2) Функция ни четная, ни нечетная. 3) )1)(2(4)2(2)2(2
22
xxxxxxxy. При 0
y, 0
,1
,2
x
x
x
(0;0)- точка минимума, (2;0)- точка минимума, (1;1)- точка максимума. Задача 2. Построить графики функций с помощью производной первого порядка. .21
3 2
xxy 1) ;)(yD. 2) Функция ни четная, ни нечетная. 3) .
)2(3
22
3
22
xx
x
y
При 0
y, 1
x
; y
не существует в точках 0
x
и 2
x
. (-1;2)- точка максимума. Задача 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках. .4,2,59
108
2
2
x
xy ОДЗ 0
x
. .
1084108
4
2
3
2
x
x
x
xy
При 0
y, 4;23x; y
не существует при 4;20x. .0)4(
,5)3(
,3)2(
y
y
y
;5)3(min
;3)2(max
4;2
4;2
yy
yy
Задача 4. При подготовке к экзамену студент за t
дней изучает ю
k
t
t
часть курса, а забывает ю
t
часть. Сколько дней нужно затратить на подготовку, чтобы была изучена максимальная часть курса? k=1/2, .81/2
;
81
2
1
2
2
81
2
2
/
1
)( t
t
t
t
t
t
tS .
81
2
)12(
2
81
2
)12(
212
2)(
22
tt
tt
tS ,81)12(
.0)(
2
t
tS
5
1
t не удовлетворяет условию задачи. .4
2
t Точка 2
t является точкой минимума. Ответ:
4 дня. Задача 5. Исследовать поведение функций в окрестностях заданных точек с помощью производных высших порядков. .2),2cos(24
0
2
xxxxy .2)2(),2cos(2
;0)2(),2sin(2
;0)2(),2cos(22
;0)2(),2sin(224
||
VV
yxy
yxy
yxy
yxxy
Т.к. ,0
|
V
y то в точке 2
0
x функция имеет максимум. Задача 6. Найти асимптоты и построить графики функций. .
5
4
17
2
x
x
y 1) ;
4
5
4
5
;)(yD. 2) Функция ни четная, ни нечетная. 3) а) 54
17
lim
2
0
4
5
x
x
x
, ,
54
17
lim
2
0
4
5
x
x
x
4
5
x -вертикальная асимптота. б) .
4
1
)54(
17
lim
)(
lim
2
xx
x
x
xf
k
xx
16
5
2016
568
lim
454
17
lim))((lim
2
x
xx
x
x
kxxfb
xxx
. Следовательно, 16
5
4
1
xy - наклонная асимптота. 4) .
)54(
68104
)54(
)17(4)54(2
2
2
2
2
x
xx
x
xxx
y
y
не существует при .
4
5
x 5) Найдем точки пересечения с осями: При
0
x
5
17
y. При 0
y 12,4
x. Задача 7. Провести полное исследование функций и построить их график. .
1
33
2
x
xx
y 1) ;11;)(yD. 2) Функция ни четная, ни нечетная. 3) а) 1
33
lim
2
01
x
xx
x
, ,
1
33
lim
2
01
x
xx
x
1
x
-вертикальная асимптота. б) .1
)1(
33
lim
)(
lim
2
xx
xx
x
xf
k
xx
2
1
32
lim
1
33
lim))((lim
2
x
x
x
x
xx
kxxfb
xxx
. Следовательно, 2
xy - наклонная асимптота. 4) .
)1(
)2(
)1(
)33()1)(32(
22
2
x
xx
x
xxxx
y
0
y при 1
,0
x
x
y
не существует при .1
x
3;0 -точка максимума функции. 1;2 -точка минимума функции. 5) ,
)1(
2
)1(
)2)(1(2)1)(22(
34
22
xx
xxxxx
y
y
не существует при .1
x
6) Найдем точки пересечения с осями: При
0
x
3
y. При 0
y квадратное уравнение не имеет корней, следовательно график не пересекается с осью .Оx
Задача 8. Провести полное исследование функций и построить их графики. .
)1(2
)1(2
x
e
y
x
1) ;11;)(yD. 2) Функция ни четная, ни нечетная. 3) а) )1(2
lim
)1(2
01
x
e
x
x
, ,
)1(2
lim
)1(2
01
x
e
x
x
1
x
-вертикальная асимптота. б) ,
)1(2
lim
)(
lim
)1(2
xx
e
x
xf
k
x
xx
.0
)1(2
lim
)(
lim
)1(2
xx
e
x
xf
k
x
xx
.0
)1(2
lim
)1(2
x
e
b
x
x
. Следовательно, 0
y - горизонтальная асимптота. 4) .
)1(2
)12(
)1(
)1(2
2
1
2
)1(2
2
)1(2)1(
x
ex
x
eex
y
xxxe
0
y при 5,0
x , y
не существует при .1
x
e;
2
1
-точка минимума функции. 5) ,
)1(
)122(
3
)1(22
x
exx
y
x
y
не существует при .1
x
6) Найдем точки пересечения с осями: При
0
x
2
2
e
y . При 0
y квадратное уравнение не имеет корней, следовательно график не пересекается с осью .Оx
Задача 9. Провести полное исследование функций и построить их графики. .)14)(2(
3
2
xxxy 1) .;)( yD 2) Функция ни четная, ни нечетная. 3) а) вертикальных асимптот нет. б) ,1
)14)(2(
lim
)(
lim
3
2
x
xxx
x
xf
k
xx
.2
1
2
)14)(2()14()2(
2692
lim
)14)(2()14()2(
)14)(2(
lim))14)(2((lim
2
3
2
3
222
32
2
3
2
3
222
32
3
2
xxxxxxxx
xxx
xxxxxxxx
xxxx
xxxxb
x
xx
. Следовательно, 2
xy - наклонная асимптота. 4) .
)14()2(
34
)14()2(
3129
3
1
3
222
2
3
222
2
xxx
xx
xxx
xx
y 0
y при 3
,1
x
x
, y
не существует при ,
.32
,2
x
x
3
2;1 -точка минимума функции, 3
2;3 - точка максимума функции. 5) ,
)14()2(
)10814164(
3
525
234
xxx
xxxx
y 0
при 73,0
;94,0
x
x
, y
не существует при ,
.32
,2
x
x
6) Найдем точки пересечения с осями: При
0
3
2y. При 0
.32
,2
x
x
Задача 10. Провести полное исследование функций и построить их графики. .
cossin xx
ey
1) .;)( yD 2) Функция ни четная, ни нечетная. 3) а) вертикальных асимптот нет. б) наклонных асимптот нет. 4) функция является периодической .,
4
znnT .
cossin xx
ey
)
4
cos(2
)
4
cos(2
)
4
sin(2
,
x
x
exy
ey
0
y,тогда ,0)
4
sin( x zkkx ,
4
. 6) 4
cos2
4
cos2
4
sin2
4
sin2
4
cos2
xx
exxexy .
4
cos2
4
cos22
4
sin2
4
cos2
2
4
cos2
2
4
cos2
xxe
xxe
x
x
0
y при .,2
4
4
znnx .,2
44
.,2
44
zkkx
znnx
.,2
.,2
2
zkkx
znnx
При
knx 2;2
2
функция вогнута, т.к. 0
y. При
nkx 2
2
;2 функция выпукла, т.к. 0
y. Точки перегиба: 2
2
;2
2
,;2 enek . 4. Дифференциальные уравнения Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде ).),( Cyx
.01
1
1
2
2
y
x
yy .1arcsin
,arcsin1
,
11
,1
1
1
,1
1
1
2
2
22
2
2
2
2
yxC
Cxy
x
dx
dy
y
y
y
x
y
dx
dy
y
x
yy
Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. .
2
2
yx
yx
y
,
2
21
x
y
x
y
y
Введем замену .xuuyuxyu
x
y
,
1
2
,
2
1
,
2
21
2
2
x
dx
du
u
u
u
u
dx
du
x
u
u
dx
du
xu
,
11
2
22
x
dx
du
u
u
u
.lnln1ln
2
1
2
,lnln1ln
2
1
2
2
2
2
Cx
x
y
x
y
arctg
Cxuarctgu
Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. .
34
32
yx
yx
y
,
1
1
nyy
kxx
344
322
11
11
1
nkyx
nkyx
y Пусть .
1
1
,
034
032
h
k
hk
hk
.
4
21
,
4
2
1
1
1
1
1
11
11
1
x
y
x
y
y
yx
yx
y
Введем замену .
1111
1
1
xuuyuxyu
x
y
,
)1(
3
12
1
,
)1(
4
,
4
)1(
,
4
21
,
4
21
1
1
22
1
1
2
2
1
2
1
1
x
dx
du
uuu
u
x
dx
du
u
u
u
u
x
dx
du
u
uu
xu
u
u
xuu
.1ln
1
)1(
)(
ln
2
1
,ln1ln
2
1
,ln
1
3
)1(ln
2
1
,ln
1
3
12ln
2
1
2
2
1
11
1
2
1
1
1
2
1
2
Cx
xy
x
x
xy
Cx
xy
x
x
y
Cx
u
u
Cx
u
uu
Задача 4. Найти решение задачи Коши. .0)0(,2sin
2
1
cos yxxyy )()( xfyxPy
, Пусть .
uv
y
Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции v
, находим dte
dtxdx
tx
xdxxexdxedx
e
x
u
eeev
txx
x
x
xdxdxxP
cos
sin
cossin2sin
2
12sin
2
1
.
sinsin
sin
sin
cos)(
.sin
sinsin
CexeCetedtete
ev
dtedv
dtdu
tu
xxtttt
t
t
).1(sin
.1)110(100)0(
),(sin
sinsinsin
sinsinsin
xxx
xxx
exeey
CCy
Cexeey
Задача 5. Решить задачу Коши. .,0)1(
1|
2
eydyxydxy
x
.0
1
,0)1(
2
2
y
y
x
dy
dx
xy
dy
dx
y
Пусть .
uv
x
.0
1
,0
1
,
2
2
y
vu
y
v
vu
y
y
uv
vuvu
vuvu
dy
dx
Разделим переменные в этом дифференциальном уравнении относительно функции v
, находим 1) ,,0
y
v
dy
dv
y
v
v .
1
lnln,
y
vyv
y
dy
v
dv
2) ,0
1
2
y
vu ,ln
,
,
1
,
11
2
Cyu
y
dy
du
ydy
du
y
y
u
)(ln
1
Cy
y
x -общее решение ДУ. ;1
1|
eCey
x
)1(ln
1
ey
y
x
-частное решение ДУ. Задача 6. Найти решение задачи Коши. .3)1(,ln)(3
2
yxyyyx .
3
ln
2
x
xy
x
y
y .
3
ln
,
22
x
xvu
x
uv
vuvu
uv
y
1) Пусть ,0
x
v
v .
1
lnln
,
,
x
vxv
x
dx
v
dv
x
v
dx
dv
2) ,
ln
22
x
xvu
vu ,
1ln
1
,
1ln
,
1ln1
,
ln
,
ln1
22
3
2
Cxx
y
Cxx
x
u
C
x
x
u
dx
x
x
u
du
x
xu
xdx
du
.
3
2
ln
3
3
.
3
/
2
3
)
1
(
x
x
y
C
y
Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. .0)2()sec(
22
dytgxxydxxyy ,cos
1
2sec2
,2),(
,sec),(
2
2
22
x
yxy
y
P
tgxxyyxQ
xyyyxP
.
,
cos
1
2
2
x
Q
y
P
x
y
x
Q
).(secsec
),()2(),(
2222
2
xxyyxyy
x
U
xytgxxydytgxxyyxu
.),(
.)(
,0)(
2
Cytgxxyyxu
Cx
x
Задача 8. Для данного дифференциального уравнения методом изоклин построить интегральную кривую, проходящую через точку. ).1,0(,Mxyy
,xykconstky
,
x
k
y т.е. гипербола. Задача 9. Найти линию, проходящую через точку 0
M, если отрезок любой ее касательной между точкой касания и осью Oy делится на точке пересечения с осью абсцисс в отношении ba:
(считая от оси Oy ). .1:2:),2,1(
0
baM )(
00
xxyyy уравнение касательной. );( xy -координаты произвольной точки, принадлежащие касательной. По условию ,
1
2
BM
AB
AOB
D
и BCM
D
подобны. ).1(
3
2
22
1
2
,
xxxxx
xx
x
BC
OB
BM
AB
BBB
B
B
Точка )0;(
B
xB принадлежит касательной, поэтому подставим координаты координаты точки )0;(
B
xB в уравнение касательной. ).2(),(
y
y
xxxxyy
BB
Подставим (1) в (2). .lnln3ln
,3
,
3
1
,
3
2
3
CxyCxy
x
dx
y
dy
x
y
y
y
y
xx
.
8
1
21)2,1(
3
0
CCM Отсюда, 3
2
x
y уравнение искомой линии. Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения. .022
yxctgy Замена: ).(
),(
xzy
xzy
.0
2
2
,022
xctg
z
z
zxctgz
Предположим, что .
uv
z
.0
2
2
,0
2
2
xctg
v
vuvu
xctg
uv
vuvu
Пусть .0
2
2 xctg
v
v
,
2
2
,
2
2
xctg
dx
v
dv
xctg
v
dx
dv
.2cos
4
1
2sin
2
1
.2sin
2
1
2cos
.2cos
,
,02cos
,0
.2cos2coslnln
32121
211
1
1
CxCxCdxCxCy
CxCdxxCy
xCz
Cu
x
dv
du
vu
xvxv
Задача 11. Найти решение задачи Коши. .6)2(,1)2(,72
3
yyyy Замена: ).()(
),(
yzyzy
yzy
,72
,72
,72
3
3
3
yyzz
yz
y
z
yzz
y
.023636
.236)()(
236
,18
2
1
11
1
4222
.1
42
1
42
CC
Cyyyz
Cyz
Cyz
.
)(6
1
,
6
1
,
6
,36
,36
2
2
2
4
4
Cx
y
Cx
y
dx
y
dy
y
dx
dy
y
yy
1,2
yx, .
6
13
)2(6
1
1
2
2
C
C
.
13
6
1
x
y Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения. .123
2
xyyy .
ЧНОООН
yyy 023
23
-характеристическое уравнение. ,2,1,0
321
x
ОО
eCCCy
321
-общее решение однородного уравнения. .1266)418(6
,16618246
,6
,26
,3
,
,)(
22
22
23
23
2
xCBABAxAx
xABAxCBxAx
Ay
BAxy
CBxAxy
CxBxAxy
xCBxAxy
ЧН
ЧН
.
3
1
2
6
6
,
13
4
0418
,
6
1
16
C
C
B
A
BBA
AA
Отсюда 3
3
4
6
1
2
xxxy
ЧН
- частное решение неоднородного уравнения. Общее решение .3
3
4
6
1
232
321
xxxeCeCCy
xx
OН
Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения. .)1216(254
x
exyyyy
.
ЧНОООН
yyy 054
23
-характеристическое уравнение. ,1,2
3,21
xx
ОО
exCCeCy )(
32
2
1
-общее решение однородного уравнения. .1216146)4234()1048(10
,)261869(
,)2646(
,)23(
,)(
,)(
23
223
223
223
23
2
xBAABxBAxAx
eBBAxBxAxBxAxy
eBAxBxAxBxAxy
eBxAxBxAxy
eBxAxy
exBAxy
x
x
x
x
ЧН
x
ЧН
.
16
3
0146
,
16
7
123442
BBA
ABA
Отсюда x
ЧН
exxy
23
37
16
1
- частное решение неоднородного уравнения. Общее решение .37
16
1
)(
23
32
2
1
xxx
OН
exxexCCeCy
Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения. .7sin37cos2 xxyy
.
ЧНОООН
yyy 0
2
-характеристическое уравнение. ,1,0
21
x
ОО
eCCy
21
-общее решение однородного уравнения. .7sin37cos27sin)497(7cos)497(
,7sin37cos27cos77sin77sin497cos49
,7sin497cos49
,7cos77sin7
,7sin7cos
xxxBAxAB
xxxBxAxBxA
xBxAy
xBxAy
xBxAy
ЧН
.
2450
133
,
350
17
3497
,2497
B
A
BA
AB
Отсюда xxy
ЧН
7sin
2450
133
7cos
350
17
- частное решение неоднородного уравнения. Общее решение .7sin
2450
133
7cos
350
17
21
xxeCCy
x
OН
Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения. .2cos6sin2
x
exxyy .
ЧНОООН
yyy 0
2
-характеристическое уравнение. ,1,0
21
x
ОО
eCCy
21
-общее решение однородного уравнения. .2cos6sin22
,2cos6sin2sincossincos
,sincos
,cossin
,sincos
xx
xxx
x
x
x
ЧН
exxCe
exxCexBxACexBxA
CexBxAy
CexBxAy
СexBxAy
.122
CC
Отсюда x
ЧН
ey - частное решение неоднородного уравнения. Общее решение .
21
xx
OН
eeCCy Задача 16. Найти решение задачи Коши. .2)4/(,3)4/(,244
yyxctgyy .
ЧНОООН
yyy 04
2
-характеристическое уравнение. ,4,0
21
x
ОО
eCCy
4
21
-общее решение однородного уравнения. .
24)4(0
,01
,
)(
,0
4
4
21
21
xctgevu
evu
xfyvyu
yvyu
x
x
.24
240
01
,24
424
0
,4
40
1
2
4
4
4
1
4
4
4
xctg
xctg
xctge
exctg
e
e
e
e
x
x
x
x
x
x
,sinln
2
1
2
.2
4
24
,2
4
24
3
4
4
2
4
4
1
Cxxdxctgu
xctge
e
xctg
v
xctg
e
xctge
u
x
x
x
x
.2
4
1
2
2
1
2
4
444
Cxctgexctgexdxctgev
xxx
,2
4
1
sinln
2
1
,2
4
1
2
2
1
sinln
2
1
4
4
3
4
44
3
CeCxctgxy
CxctgexctgeCxy
x
ЧН
xx
ЧН
.
8
2
2
ln425
,
8
,4
4
sin2
1
42
1
22
4
,
2
2
ln
2
1
33
4
3
4
4
2
43
C
e
C
Cectgy
eCCy
Общее решение .
8
2
2
ln425
2
4
1
sinln
2
1
e
xctgxy
OН
5. Производные Задача 1. Исходя из определения производной, найти )0(
'
f. .0,0
;0),
3
sinsin(
)(
x
x
x
x
xf .
3
sinlim
3
sin
3
sin
lim
3
sin
3
sin
3
sinsin
lim
3
sinsin
lim)0(
0000
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
xxxx
Задача 2. Составить уравнение нормали (в вариантах 1-12) или уравнение касательной (в вариантах 13-31) к данной кривой в точке с абсциссой 0
x. 1,
0
3
xxxy ,2)(
,0)(
,31
0
0
2
xy
xy
xy
)(
)(
1
)(
0
0
0
xx
xy
xyy -уравнение нормали, .
2
1
2
1
),1(
2
1
xy
xy
Задача 3. Найти дифференциал dy. .0),21arccos2(
2
xxtgy .
21)21arccos2(cos2
4
212
4
)21arccos2(cos
1
212
4
21(1
2
1arccos2(cos
1
2222222
2222
dx
xx
dx
xx
x
x
dx
x
x
xx
dy
Задача 4. Вычислить приближенно с помощью дифференциала. 3
xy , 21,1
x. Выберем ,1
0
x следовательно .21,0
x ,
3
1
.)()()()(
3 2
000
x
y
xxyxyxxyxy
,1)(
0
xy .07,121,0
3
1
1
,
3
1
)(
0
y
xy
Задача 5. Найти производную. .
312
4
2
x
x
y
.
)31()31(2
12124
2
1
)31(2
12)31(4
2
1
31
312
12
312
2
1
3434
55
34
54
4
4
23
4
x
x
x
xxx
x
xxx
x
x
xx
xx
y
Задача 6. Найти производную. ).1ln(
1
1
x
x
e
e
xy .
1)1(
1
1)1(
0
1
22 x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
e
e
e
e
e
e
y
Задача 7. Найти производную. )cos1(ln
3
xy .
cos
1
)cos1(lnsin3
cos
1
sin
)cos1(ln3
2
2
x
xx
x
x
xy
Задача 8. Найти производную. .
40
sin
20cos
40
1
)5(cos
2
x
x
ctgy .
40sin2
40cos20cos240sin
40sin
40cos20cos4040sin20sin20cos40
40
1
40sin
40cos20cos4040sin)20sin(2cos202
40
1
0
2
22
2
2
2
2
x
xxxxxxxx
x
xxxxx
y
Задача 9. Найти производную. .
11
2
x
x
arctgy
.
)11((1
11
1
1)1(
)11(
11
1
)11(
1
1
2222
2
22
222
222
2
2
2
2
2
2
22
xxx
x
xx
xxx
xx
x
x
x
x
x
x
x
y
Задача 10. Найти производную. .
1
chx
shx
y
2
2
)1(
)1(
chx
xshchxchx
y
. Задача 11. Найти производную. .
3
sin x
xy .
sin
ln)cos(3
3
23
3
sin
x
x
xxxxy
x
Задача 12. Найти производную. .
2
14
2
1
3816
14
2
x
arctg
xx
x
y .
)3816(
72448
)3816(
381643264
18162
1
)3816(
43264
)14(2
2
2
4
)3816(
43264
2
4
2
)14(
1
1
2
1
)3816(
)832)(14()3816(4
22
2
22
22
222
2
222
2
222
2
xx
xx
xx
xxxx
xxxx
xx
xxx
xx
xxx
xxxx
y
Задача 13. Найти производную. ,12249
4
3
2
arcsin2
2
xx
x
y .
12249)43(
367227
12249)43(
)43)(129(12
12249
129
12249)43(
12
12249)43(
12
)43(
6
416249
43
2
)12492
2418
)43(
32
)43(
4
1
1
2
2
2
2
222
2
222
2
2
xxx
xx
xxx
xx
xx
x
xxxxxx
x
xx
x
xx
x
x
x
y
Задача 14. Найти производную. ).ln(
sin
1
ctgtgxy .
)(cossin
1
cos
11
sin
1
22
ctgtgxxxctgtgx
y
Задача 15. Найти производную x
y
. .1
,1
2
ttgy
tx
.
1cos12
1
12
1
1cos
1
)(
,
1
)(
.
22
2
tttt
ty
t
t
tx
x
y
y
t
t
x
.
1cos12
1
2
2
ttt
t
y
x
Задача 16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра 0
tt . .0,
3
1
2
1
,
4
1
2
1
0
32
42
ttty
ttx
.0)(
,0)(
0
0
ty
tx
.
,
2
3
tty
ttx
),0(10
,1)(
0
xy
ty
x
x
y
=
- уравнение касательной, )0(10
-
-
=
-
xy x
y
-
=
- уравнение нормали. Задача 17. Найти производную n
-го порядка. .
3x
ay .)(ln3
,ln9
,ln3
)(3)(
23
3
nxnn
x
x
aay
aay
aay
Задача 18. Найти производную указанного порядка. ),1ln()72(
2
xxy .
)1(
120
)1(
24
)1(
8
,
)1(
30
)1(
8
)1(
4
,
)1(
10
)1(
4
1
4
)1(
)742)(1(2)1)(44(
)1(
4)1(4
1
4
,
)1(
742
1
4
)1ln(4
)1(
)72()1(4
1
4
)1ln(4
,
1
72
)1ln(4
543
432
|
32
4
22
2
2
2
2
2
2
xxx
y
xxx
y
xx
x
x
xxxxx
x
xx
x
y
x
xx
x
x
x
x
xxx
x
x
xy
x
x
xxy
V
V
Задача 19. Найти производную второго порядка xx
y
от функции, заданной параметрически. .1
,1
2
ty
tx
.
1
,
1
2
2
t
y
t
t
x
.
111
3
22
2
t
t
t
t
t
y
x
4
22
3
2
111
t
t
t
t
t
t
y
xx
Задача 20. Показать, что функция y
удовлетворяет данному уравнению. ,
sin
x
x
y xyyx cos
.
sincos
2
x
xxx
y
.
0
0
,coscos
,cos
sinsincos
,cos
sinsincos
xx
x
x
xxxx
x
x
x
x
xxx
6. Интегралы Задача 1. Найти неопределенные интегралы. .22)14ln(
2
2
1
2)14ln(
14
1
12)14ln(
14
8)14ln(
14
8
)14ln(
)14ln(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Cxxarctgxx
Cxarctgxxxdx
x
xx
dx
x
x
xx
xv
x
x
du
dxdvxu
dxx
Задача 2. Вычислить определенные интегралы. .6sin
27
2
6cos
9
4
3sin
9
1
6cos
3
2
3
2
3cos
3
1
3cos
3
1
3
2
3cos
3
1
3sin
3sin
3
2
3sin)4(
3
1
3sin
3
1
2
3cos4
3cos)4(
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
2
0
2
2
x
xdxxx
xvdxdu
xdxdvxu
xdxx
xx
xvxdxdu
xdxdvxu
dxxx
Задача 3. Найти неопределенные интегралы. .
sin
1
)cos1(
sin
)sin(
cos1
1
22
C
xx
Ct
t
dt
dtdxx
txx
dx
xx
x
Задача 4. Вычислить определенные интегралы. .
32
2ln0
162
1
02ln2
2
1
41ln
)(2
41
8
41
28
22
2/1
0
2
2/1
0
2
2/1
0
2/1
0
2
2/1
0
2
xarctgx
arctgxxdarctgdx
x
x
dx
x
xarctgx
Задача 5. Найти неопределенные интегралы. .
)2)(3)(4(
123
23
dx
xxx
xx
Разделим дробь 12
26
6
1
24269
24269
123
2
23
23
23
x
x
xxx
xxx
xx
dx
xxx
xx
dx
xxx
xx
)2)(3)(4(
12266
1
)2)(3)(4(
123
223
Разложим дробь )2)(3)(4(
12266
2
xxx
xx
на простейшие .
)2)(3)(4(
)3)(4()2)(4()2)(3(
234)2)(3)(4(
12266
2
xxx
xxCxxBxxA
x
C
x
B
x
A
xxx
xx
.9136)1()2)(1()2)(1()2(
2323
xxxxDxxCxxBxA При 4
x
, ;242
AA При 3
x
, ;1212
BB При 2
x
, ;8162
CC Отсюда dx
xxx
dx
xxx
xx
2
8
3
12
4
2
1
)2)(3)(4(
12266
1
2
.2ln83ln124ln2 Cxxxx Задача 6. Найти неопределенные интегралы. .
)2)(1(
9136
3
23
dx
xx
xxx
Разложим дробь 3
23
)2)(1(
9136
xx
xxx
на простейшие .
)1(
)1()2)(1()2)(1()2(
)2()2(
2`
)2)(1(
9136
23
323
23
x
xDxxCxxBxA
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
xxx
.12266)3)(4()2)(4()2)(3(
2
xxxxCxxBxxA При 1
x
, ;1
A При 2
x
, ;11
DD Приравнивая коэффициенты при 3
x, ;01
BBA Приравнивая коэффициенты при 0
x, ;09248
CDCBA Отсюда .
)2(2
1
1ln
)2(
1
1
1
23
C
x
xdx
x
x
Задача 7. Найти неопределенные интегралы. .
)4()2(
4125
22
23
dx
xx
xxx
Разложим дробь )4()2(
4125
22
23
xx
xxx
на простейшие .
)4()2(
)2)(()4()4)(2(
4)2(
2
)4()2(
4125
22
222
2222
23
xx
xDCxxBxxA
x
DCx
x
B
x
A
xx
xxx
.4125)44)(()4()4)(2(
23222
xxxxxDCxxBxxA При 2
x
, ;188
BB Приравнивая коэффициенты при 3
x, ;01
ACA Приравнивая коэффициенты при x
, ;112444
CDCA Приравнивая коэффициенты при 0
x, ;24448
DDBA Отсюда .
4
2
4
2
2
1
2
1
4
2
)2(
1
2222
x
dx
x
x
x
dx
x
x
x
.
2
4ln
2
1
2
1
2
C
x
arctgx
x
Задача 8. Вычислить определенные интегралы. .
)1(
)21(2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
2
sin
1
2
1
1
cos
2
)sin1(
sincos
1
0
4
2
1
0
22
2
22
2
22
2
2
2/
0
2
dt
t
tt
t
dt
t
t
t
t
t
t
t
t
x
t
dt
dx
t
t
xt
x
tg
dx
x
xx
Разложим дробь )1(
)21(2
4
2
t
tt
на простейшие .
)1(
)1()1()1(
)1()1()1(
1
)1(
)242
4
23
4324
2
t
DtCtBtA
t
D
t
C
t
B
t
A
t
tt
.242)1()1()1(
223
ttDtCtBtA При t
1
;4
D Приравнивая коэффициенты при 3
t, ;0
A Приравнивая коэффициенты при 2
t, ;223
BBA Приравнивая коэффициенты при t
, ;0423
CCBA Отсюда .
6
1
2
3
4
1
83
4
1
2
)1(3
4
)1(
2
)1(
4
1
0
3
1
0
24
t
t
dt
tt
Задача 9. Вычислить определенные интегралы. .
)53(2
1
)1(
1
2
)53(
1
2
2sin
1
2sin)53(
3
1
3
1
2
2
2
2
3
4/
tt
dt
t
t
t
t
dt
t
t
x
t
dt
dx
ttgx
xtgx
dx
arctg
.1)53(
,
)53(
)53(
53)53(
1
BttA
tt
BttA
t
B
t
A
tt
При 0
t
, ;
5
1
A При 3
5
t, ;
5
3
B Отсюда 3
1
3
1
)8ln014ln3(ln
10
1
53lnln
10
1
53
31
10
1
ttdt
tt
.
7
12
ln
10
1
14
24
ln
10
1
Задача 10. Вычислить определенные интегралы. .
8
35
)sin
3
1
(sin4
8
35
)(sin)sin1(44sin
32
1
2sin
4
7
sin3
8
35
cos)sin1(44cos
8
1
2cos
2
7
cos3
8
35
)coscos4cos6cos31(
)coscos21()cos1(
2
cos2
0
3
0
2
0
0 0
2
0
432
0
22
0
4
0
84
xx
xdxxxxx
xdxxdxxxx
dxxxxx
dxxxdxxdx
x
Задача 11. Вычислить определенные интегралы. .
2
3
3
2
3
3
3
sin3
3
2
sin32)
3
1
2sin(3
3
1
6)32sin(336
212
29
2sin3
212
29
6)2sin(36
)2cos1(6sin12cos12
cos
)1(
12
)1(
12
)1(
12
212
29
212
29
9
6
222
2
22
2
22
2
2
9
6
arctgarctgarctgarctg
x
x
arctg
x
x
artctgarctgtarctgT
daaadaadatg
a
da
dt
tgat
t
t
dt
t
t
t
dt
t
t
dx
t
x
x
dx
x
x
Задача 12. Вычислить определенные интегралы. .
18
2
sin
27
3
cos
27
3
cos
cos
27
3
cos)99(
3
cos
3
3
)9(
4/
0
4/
0
4/
0
2
3
4/
0
22/32
2
3
0
2/32
ttdtdt
t
t
tttg
dt
t
dt
dx
tgtx
x
dx
Задача 13. Найти неопределенные интегралы. .
1
1
5
6
10
3
44
1
)1(4)1(
1
1
1)1(4
)1(4
1
)1(
)1(
3
5
10
3
3
7
3
2
2
2
3
2
232
3
2
2
3
11
2
32
2
2
1
3
2
6
11
6 5
3
2
C
x
Ctdtt
dt
t
t
ttdttt
t
t
dtttdx
tx
dxxxdx
xx
x
Задача 14. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций. .84,)2(
3
xyxy .8282
2
1
24)4
4
1
2(2)86(2
)812684(2))2(84(2
243
2
0
243
2
0
32
2
0
23
2
0
3
xxxdxxxx
dxxxxxdxxxS
Задача 15. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями. ).1(1
,sin2
,cos22
3
3
xx
ty
tx
.)()( dttxtyS
Пределы интегрирования найдем из решения неравенства nntt 2
4
;2
4
1cos22
3
.
4/
4/
24
4/
4/
23
1)2cos1(
2
1
)32cos44(cos
8
1
121cossin12
11)sin(cos26sin2
dtttttdtt
dttttSSS
ABDEABCDE
.7,116sin
12
1
2sin
4
1
4sin
4
1
16
12
1)16cos
2
1
2cos
2
1
4cos(
16
12
4/
4/
4/
4/
tttt
dtttt
Задача 16. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями в полярных координатах. ).2(2,cos4
rrr
.
2
1
3cos
,
2
3
cos
4
Отсюда ,,
3
2
93
2
9
,2
3
32
3
Zn
nn
Znnn
2
1
2
,)(
2
1
drS .8)0
6
1
3
00(24
)6sin
6
1
(24)cos61(243cos16
2
1
6
0
3/
0
3/
0
3/
2
ddS
Задача 17. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат. 9
8
0,arcsin1
2
xxxy. 9/8
0
9/8
0
9/8
0
9/8
0
9/8
0
2
9/8
0
2
22
9/8
0
2
2
2
222
.
3
24
229/22)29/2(2
1
2
1
2
1
2
1
22
1
121
1
)1(
1
,)(1
.
1
1
1
1
1
x
x
dx
dx
x
dx
x
x
dx
x
xxx
dx
x
x
l
dxyl
x
x
xx
x
y
b
a
Задача 18. Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями. .
2
0
),cos(sin4
),sin(cos4
t
ttty
tttx
.sin4)sincos(cos4
,cos4)cossinsin(4
tttttty
ttttttx
.82224sin16cos16
,)()(
2
2
0
2
2
0
2
0
2222
2
ttdtdtttttl
dtyxl
b
a
tt
Задача 19. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в полярных координатах. .2/2/
,2
3/4
e
.
3
8
;)(
3/4
22
e
dL
2/
2/
3/4
2/
2/
3/8
2/
2/
3/83/8
9
100
9
64
4
dededeeL
.
2
5
4
3
3
10
3
2
3
2
2/
2/
3/4
eee Задача 20. Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями. .0,4,1
64
9
16
222
zz
zyx
Поперечным сечением является эллипс. .1
64
19
64
116
2
2
2
2
z
y
z
x
Площадь эллипса .
64
112)(
2
z
abzS Объем .52
192
125
512
192
12
64
112
5
0
3
2
2
z
zdz
z
V Задача 21. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций, относительно оси вращения Оx
. .2,2
2
xyxxy .
30
46
3
13
2
3
5
1
824
3
104
24
5
32
46
3
13
2
3
5
1
)412136(
)23()22(
.
2
1
2345
2
1
234
2
1
2
1
2222
2
xxxxxdxxxxx
dxxxdxxxxV
dxyV
b
a
Задача 22. Варианты 1-10. Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, сечение которой имеет форму равнобочной трапеции (рис.4.1). Плотность воды, 3
1000
м
кг
,ускорение свободного падения положить равным g
=
2
10
с
м
. Указание. Давление на глубине x
равно gx
. .0,4,8,10,6,6 мhмbмa
.
2
hdh
ba
ghdF
.1856000
3
87000
2
8,106,6
101000
2
4
0
3
4
0
2
4
0
2
H
h
dhhdhh
ba
gF .56,18 kHF
7. Пределы Задача 1. Доказать, что aa
n
n
lim (указать )(
N ).
,
2
1
,
4
2
21
2
2
a
n
n
a
n
0
. ,
2
1
42
21
2
2
n
n
aa
n
,
)42(2
4242
2
22
n
nn
,
)42(2
4
2
n
,
2
1
2
1
n 2
1
2
1
)(
N при )(
Nn
выполняется неравенство aa
n
, следовательно .
2
1
4
2
21
lim
2
2
n
n
n
Задача 2. Вычислить пределы числовых последовательностей. .
7
12
14
24
/3514
24
lim
3514
24
lim
)21()1236(
)1236()1236(
lim
)1()6(
)6()6(
lim
22
22
22
22
n
n
n
nnnn
nnnn
nn
nn
n
nnn
Задача 3. Вычислить пределы числовых последовательностей. .7
111
1
7
11
lim
1
71
lim
2
4
1211
3
97
4 12
33 2
nnn
nn
nnn
nn
nn
Задача 4. Вычислить пределы числовых последовательностей. .1
/11/11
2
lim
11
2
lim
11
)11(
lim
11
11)(11(
lim)11(lim
222222
22
22
2222
22
nnnn
n
nn
nnn
nn
nnnnn
nnn
nnn
nn
Задача 5. Вычислить пределы числовых последовательностей. .0
48
4
3
2
lim
484
32
lim
)22()32)(22(
)22(1
lim
)!22()!32(
)!22()!12(
lim
2
2
2
n
n
n
n
nn
n
nnn
n
nn
nn
nn
nn
Задача 6. Вычислить пределы числовых последовательностей. .
12
2
1lim
12
2
1lim
12
32
lim
/12
/22
lim
12
22
lim
)1(
12
2
2
12
11
e
e
e
nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Задача 7 . Доказать (найти )(
), что .6
1
187
lim
2
1
x
xx
x
.7/1
,176176
1
187
,6
1
187
2
2
x
xx
x
xx
x
xx
При 0
.7/)(
Это значит, что при 1
x
функция имеет пределом число 6
Задача 8 . Доказать, что функция )(xf непрерывна в точке 0
x (найти )(
). .3,42)(
0
2
xxxf 0
()( xfxf при )(
0
xx, 92182)492(42
222
xxx, ,2/9
2
x 2/)3)(3( xx
2/3 x )()(
0
xfxf выполняется при .2/)(
0
xx Задача 9 . Вычислить пределы функций. .0
)1(
)3()1(
lim
)3)(1(
)3()1(
lim
0
0
34
)32(
lim
2
3
22
3
23
22
3
xx
xx
xxx
xx
xxx
xx
xxx
Задача 10 . Вычислить пределы функций. .
4
1
2
1
lim
)2)(4(
4
lim
)2)(4(
)2)(2(
lim
0
0
4
2
lim
4
16
4
16
4
44
16
4
16
x
xx
x
xx
xx
x
x
x
xxx
Задача 11 . Вычислить пределы функций. .
2
3
1
3
2
1
3
1
123
lim
2
1
12
1
31
3
lim
2
1
112
)31ln(
lim
2
1
0
0
248
)31ln(
lim
0
000
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
Задача 12 . Вычислить пределы функций. .2)2(lim
2
lim
)1ln(
1)1(
lim
0
1
0
0
ln
1
lim
0
2
0
2
0
2
1
y
y
yy
y
y
y
yx
x
x
yyyx
Задача 13 . Вычислить пределы функций. .21
2cos
1
)2(cos
1
lim
)1(1
)2(cos1
lim
)1ln(
2)2(
lim
)1ln(sin
2)2(
lim
0
2
0
0
)1ln(sin
2
lim
2
22
0
2
0
002
tg
y
y
y
y
y
tgytg
y
tgytg
y
yx
x
tgtgx
yy
yyx
Задача 14 . Вычислить пределы функций. .0
1
3ln27ln3
lim
)13()17(
lim
0
037
lim
2
0
3
23
0
3
23
0
x
xx
xxxtgx
x
xx
x
xx
x
Задача 15. Вычислить пределы функций. .
22
cos
2
cos
2
lim
0
0
sin
1
lim
1
2
1
x
x
x
x
xx
Задача 16. Вычислить пределы функций. .
1
)
2
sin21(lim1)(coslim
2
1
2
0
lim
2
2
sin2
0
lim
1
2
2
sin2
2
2
sin2
2
0
1
0
e
ee
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Задача 17. Вычислить пределы функций. .1
3
2
3
2
lim
3sin
2sin
lim
0
2
0
2
0
x
x
x
x
x
x
x
x
Задача 18. Вычислить пределы функций. .
1
1lim
1
1lim1
12
lim
3
1
3
3
2
1
lim
)1(
)1
3
3
2
)(1(
1
lim
)1
3
3
2
)(1
3
(
)1
3
3
2
)(1(
1
lim
)1
3
(
1
1
lim
)1
3
(
1
1
1
)1
3
/(1
1
)1
3
/(1
1
e
e
e
e
e
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
xxx
x
xxxx
xxx
x
xx
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
Задача 19. Вычислить пределы функций. .2sin)2(sin)(sinlim
1)1/(3
2
x
x
x Задача 20. Вычислить предел функции или числовой последовательности. .2
1
2
/7/
/sin2
lim
7
sin2
lim
3 33 3
nnnn
nn
nn
nn
nn
8. Линейная алгебра Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены сумма любых двух элементов a
и b
и произведение любого элемента a
на любое число Множество всех сходящихся последовательностей n
ua , n
vb ; сумма nn
vu , произведение n
u. Проверим выполнение аксиом для линейного пространства: abbaА :
1
— выполняется, )()(:
2
cbacbaА — выполняется, :
3
А в качества нуля возьмём }0{0
выполняется, :
4
А в качестве противоположного элемента возьмём n
ua , aaB :
1
— выполняется, aaB )()(:
2
— выполняется, aaaB )(:
3
— выполняется, babaB )(:
4
— выполняется. Т.е. множество всех сходящихся последовательностей с введёнными операциями сложения и умножения на число является линейным пространством. Задача 2. Исследовать на линейную зависимость систему векторов. }.3,1,8{
,2,3,3
},3,4,5{
c
b
a
Составляем определитель из координат данных векторов. .0)361072(64945
318
233
345
),,( cba Т.к. определитель равен нулю, то данная система векторов линейно зависима. Задача 3. Найти общее решение для каждой из данных систем и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства, выделить частное решение неоднородной системы). .054194
,02310
,022
54321
54321
54321
xxxxx
xxxxx
xxxxx
.234
,33472
,123
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Решение системы 1. Выписываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводим ее к треугольному виду. .
0
3
1
0
3
2
0
8
3
0
21
10
0
0
1
3
3
1
3
3
2
8
8
3
21
21
10
0
0
1
1
1
1
5
1
2
4
2
3
19
1
10
4
2
1
1
1
1
5
2
2
4
3
2
19
10
1
4
1
2
Полагаем 13
CX , 24
CX , 35
CX . 35
24
13
3212
3211
35
24
13
3212
32121
7
1
7
1
21
8
7
3
7
4
21
17
33821
2310
cx
cx
cx
cccx
cccx
cx
cx
cx
cccx
cccxx
Базис: 0
0
1
21
8
21
17
1
X, 0
1
0
7
1
7
4
2
X, 0
0
1
7
1
7
3
1
X. Размерность линейного пространства решений равна 3. Решение системы 2. Выписываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводи ее к треугольному виду. .
0
1
1
0
1
2
0
2
1
0
1
3
0
0
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
3
0
0
1
2
3
1
1
3
2
3
4
1
4
7
3
1
2
1
Полагаем 13
CX , 24
CX , тогда: 24
13
212
211
24
13
212
2121
21
552
21
213
cx
cx
ccx
ccx
cx
cx
ccx
ccxx
Общее решение: .
1
0
1
5
0
1
2
5
0
0
1
2
21
ССX
Частное решение при 1
21
СС: .
1
1
2
2
4
X
Задача 4. Найти координаты вектора x
в базисе )',','(
321
eee, если он задан в базисе ),,(
321
eee. }.1,3,6{
x .'
,4'
,
3
4
'
3213
212
3211
eeee
eee
eeee
111
014
3/411
А, ;
1
1 np
А
А
А 332313
322212
312111
AAA
AAA
AAA
A
np
, .1
111
014
3/411
A ,1
11
A,4
12
A.3
13
A ,
3
1
21
A
,
3
7
22
A.2
23
A ,
3
4
31
A
,
3
16
32
A.5
33
A 523
3/163/74
3/43/11
1
А; 53/163/4
23/73/1
341
1
Т
А; ;)('
1
xAx
T
,
19
7
15
1
3
6
53/163/4
23/73/1
341
'
'
'
z
y
x
значит координаты }1,3,6{
x относительно базиса },,{
'
3
'
2
'
1
eee будут }19,7,15{
. Задача 5. Пусть ),,(
321
xxxx . Являются ли линейными следующие преобразования: ).0,23,456(
),,23,456(
),,23,456(
321
3
321
232121
2321321
xxxxxxCx
xxxxxxBx
xxxxxxxAx
Здесь линейным преобразованием будет преобразование А, т. к. при линейном преобразовании координаты получившегося вектора будут линейными комбинациями координат исходного вектора. Матрица линейного оператора А: 010
123
456
А. Задача 6. Пусть }.,2,{},,,{},,,{
13231132321
xxxBxxxxxxAxxxxx Найти: 2
xAB };2;{},;;{},;;{
13231132321
xxxBxxxxxAxxxX
xx
010
002
200
001
200
010
001
200
010
2
BBB, ,
111
003
110
101
001
110
010
002
200
2
AB ,3
111
003
110
)(
321
1
32
3
2
1
2
xxx
x
xx
x
x
x
xAB т.е. 321132
2
xxxxxxxAB Задача 7. Найти матрицу линейного оператора в базисе )',','(
321
eee, где 321332123211
2',2','eeeeeeeeeeee , если она задана в базисе ),,(
321
eee. TATAА 1
'?,' 111
110
102
A, 121
211
111
Т. Найдем 1
Т
. 1
121
211
111
Т, 011
123
135
1
T. .
011
144
456
121
211
111
012
037
1411
121
211
111
111
110
102
011
123
135
'
A
Значит матрица в базисе },,{
'
3
'
2
'
1
eee имеет вид 011
144
456
. Задача 8. Доказать линейность, найти матрицу (в базисе kji,,), образ и ядро оператора поворота относительно оси Oz
в положительном направлении на угол 2. Если },,,{
321
xxxx то },,{
312
xxxxA . Оператор является линейным, если xAxA и yAxAyxA )(. xAxxxxAxxxx );;()();;(
312321
. };;{
332211
yxyxyxyx . }.;;{)(
331122
yxyxyxyxA Т.е. оператор А является линейным и его матрица 100
001
010
A. Область значений оператора А — это множество всех векторов };;{
312
xxxxAy . Ядро линейного оператора — множество векторов, которые А отображает в нуль-вектор: }0;0;0{
KerA. Задача 9. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы. .
111
021
012
Составляет характеристическое уравнение и находим его решение. .0)3()1(
,0)34)(1(
,0)1()1)(2)(2(
,0
111
021
012
2
2
Собственные значения: .3,1
32,1
Найдем собственные вектора. 1
2,1
, 23
12
11
21
21
21
0
0
0
Cx
Cx
Cx
xx
xx
xx
; 3
3
, 13
12
11
321
21
21
02
0
0
Cx
Cx
Cx
xxx
xx
xx
. Собственные вектора: .
1
1
1
,
1
0
0
,
0
1
1
321
XXX Задача 10. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа. .23484
2
3
2
23121
2
1
xxxxxxx ,
)22()2(22
22222)2(23484
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
321
2
3
2
2
2
3
2
232
3121
2
1
2
3
2
23121
2
1
yyy
xxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
где 33223211
,,22 xyxyxxxy . Задача 11. Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием. .6623
323121
2
3
2
2
2
1
xxxxxxxxx 333
311
311
А, .36125)3()1(9
)1(999)3()1(
333
311
311
23
2
Задача 12. Исследовать кривую второго порядка и построить ее. .01128433
22
yxxyyx cos'sin'
,sin'cos'
yxy
yxx
.
4
,2
2211
12
aa
a
tg .1
3
''
2
''
,2;
5
2
''0
''2'
,''2'5
,3)2'()2'5(
,012)2'22'(2)2'522'5(
,01'22'210''5
.01)sin8cos12(')sin12cos8('
)sin(cos''4)cossin43(')sincos43('
,01)cos'sin'(12)sin'cos'(8
)cos'sin')(sin'cos'(4)cos'sin'(3)sin'cos'(3
22
22
22
2222
22
yx
yy
xx
yx
yyxx
yxyx
yx
yxyx
yxyx
yxyxyxyx
9. Ряды Задача 1. Найти сумму ряда. .
4
1
6
1
3
)6)(4(
6
2410
6
7 77
2
n nn
nnnn
nn
Сумма ряда ,lim
n
n
SS
где n
S - сумма n первых членов ряда. .
4
1
5
1
2
1
13
4
1
6
1
5
1
7
1
6
1
8
1
...
5
1
3
1
4
1
2
1
3
1
13
nn
nnnnnn
S
n
Сумма ряда .
2
9
2
3
3
4
1
5
1
2
1
1lim3 nn
S
n
Задача 2. Исследовать на сходимость ряд. .
3ln
2
2
2
n nn
nn
При любых значениях n выполняется неравенство .
13ln
2
2
n
nn
nn
Ряд 2
1
n
n
является расходящимся (гармонический ряд), значит расходится и исследуемый ряд. Задача 3. Исследовать на сходимость ряд. 1
.cos1
n
n
Сравним этот ряд с рядом 1
2
1
n
n
. Мы можем сделать это, т.к. .
2
1
/
1
cos1
lim
2
n
n
n
Интегральный признак Коши 1
1
0
1
22
.11
1
lim|
1
limlim
Dx
x
dx
x
dx
D
D
DD
Ряд 1
2
1
n
n
сходится, значит сходится и исследуемый ряд. Задача 4. Исследовать на сходимость ряд. .
)!(
4
1
2
n
n
n
Воспользуемся признаком Даламбера .10
)1(
1
lim4
))!1((4
)!(44
lim
)!(
4
))!1((
4
limlim
22
2
2
2
1
1
nn
n
n
n
a
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Ряд сходится. Задача 5. Исследовать ряд на сходимость. .
5
3
1
2
n
n
n
n
Радикальный признак Коши .1
8
1
/12
/21
lim
12
2
lim
12
2
limlim
33
3
1
3
3
n
n
n
n
n
n
n
na
n
n
n
n
n
n
n n
n
Ряд сходится. Задача 6. Исследовать на сходимость ряд. 2
.
ln13
1
n
nn
Сравним данный ряд с рядом 2
.
ln3
1
n
nn
Мы можем сделать это, руководствуясь предельным признаком сравнения. .1
ln)13(
ln3
lim
ln3
1
ln)13(
1
lim nn
nn
nn
nn
nn
Интегральный признак Коши ))2ln(ln)(ln(lnlim
3
1
|)ln(lnlim
3
1
ln
)(ln
lim
3
1
ln3
2 2
0
2
Dx
x
xd
xx
dx
D
D
DD
. Ряд 2
ln3
1
n
nn
расходится, значит расходится и исследуемый ряд. Задача 7. Исследовать на сходимость ряд. 1
.
sin
)1(
n
n
nn
nn
Рассмотрим ряд из модулей 1
.
sin
n
nn
nn
При любых значениях n выполняется неравенство nnnn
nn 1)sin(
. Рассмотрим ряд 1
.
1
n
nn
Интегральный признак Коши .21
1
lim2|
1
lim2lim
1 1
1
33
Dx
x
dx
x
dx
D
D
D
DD
Ряд 1
1
n
nn
сходится, значит наш знакопеременный ряд обладает абсолютной сходимостью. Задача 8. Вычислить сумму ряда с точностью . .001,0,
2
)1(
1
3
1
n
n
n
Сумма ряда: nn
RSS , где n
R остаток ряда. По условию задачи .001,0
n
R Для знакопеременных рядов остаток ряда по модулю меньше первого отброшенного члена. .001,0
)22(
1
3
n
R
n
Последнее неравенство выполняется при n=5, значит достаточно оставить первые пять членов ряда .488,0
1000
1
512
1
216
1
64
1
2
1
2
)1(
1
3
1
n
n
n
Задача 9. Найти область сходимости ряда. 1
1ln
1
.
1
n
x
n
n
Ряд будет сходится при .1)1ln(
x Причем при 1)1ln(
x - условно имеем 1)1ln(
x. Следовательно .11
exex
1
1
)1(
1
n
n
n
ex сходится условно. Область сходимости ;1ex. Задача 10. Найти область сходимости ряда. .
3
)5(
1
n
n
n
x
Радикальный признак Коши .
2
8
3
5
3
,1
3
5
3
)5(
limlim
x
x
x
x
U
n
n
n
n
n
n
n Исследуем сходимость на концах интервала 8
x
1
)1(
n
n
расходится, т.к. .011limlim n
n
n
a 2
x
1
1
n
n
расходится, т.к. .011limlim n
n
n
a Область сходимости 2;8 x. Задача 11. Найти область сходимости ряда. .4
1
1
2
n
x
n
n
Радикальный признак Коши .20
2
1
,144
1
limlim
2
1
2
x
x
n
U
x
n
x
n
n
n
n
n
Область сходимости .2;x Задача 12. Найти сумму ряда. 1
2
1
2
1
3
).(
)1()1(
n
n
n
n
xSx
nn
x
x
nn
x
1
;
n
n
n
x
dx
dS
1 1
1
2
2
;1
1
1
1
11
n n
nn
x
xx
x
x
x
x
x
dx
Sd
.1ln
1
x
x
dx
dx
dS
.1ln)1(1ln1ln
1
1
1)1ln(
1
1ln).1ln()(
xxxxxxx
dx
x
xxdx
x
x
xxdxxxS
)1ln()(
)1(
323
1
3
xxxx
nn
x
n
n
.1x Задача 13. Найти сумму ряда. 0 0
55656
.)()1()1(
n n
nn
xSxxnxxn .
1
1
6
1
6
1
6
1
)1()()(
6
6
0
66
0 0
6656
x
xxxxdxxndxxSxF
n
n
n n
nn
.
)1()1(
6)1(6
6
1
)(
26
5
26
6565
x
x
x
xxxx
dx
dF
xS
0
26
6
.1
)1(
1
)1(
n
n
x
x
xn Задача 14. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x
. .
16
5
1
2
1
516
4
1
4
xx Воспользуемся известным разложением. ...
!
3
)2)(1(
!
2
)1(
1)1(
32
x
mmm
x
mm
mxx
m
...
2
875
8192
75
64
5
1
...
16
5
!3
64
21
16
5
!2
16
3
16
5
4
1
1
16
5
1
3
19
2
32
4
1
xxx
xxxx
...
2
875
2
75
2
5
2
1
516
3
20
2
147
4
xxxx Задача 15. Вычислить интеграл с точностью до 0,001. 2,0
0
12,0
0
.
11
dx
x
e
x
dx
x
e
xx
...
!
3
!
2
1
32
xx
xe
x
.190,0001,02,0|...
!33!22
....
!3!2
1...
!3!2
1
11
2,0
0
32
2,0
0
2,0
0
232
xx
x
dx
xx
dx
xx
xx
10. Кратные интегралы Задача 1. Изменить порядок интегрирования. .
2
2
2
1
0
2
0 0
0
1
1
2
x
x
y y
fdydxfdxdyfdxdy
Задача 2. Вычислить. D
xyxyxDdxdyyxxy.,,1:;)246(
233
.1|
2
1
2
1
)633()246()246(
1
0
1263
2
1
0
115233
1
0
33
xxx
dxxxxdyyxxydxdxdyyxxy
x
x
D
Задача 3. Вычислить. D
xyyxDxydxdyy.,,0:;cos
2
.1)11(
2
1
|cos
2
1
sincoscos
0
2
0
2
0
2
0
2
ydyyyxydxydyxydxdyy
y
D
Задача 4. Вычислить. V
dxdydzxychy;)2(
2
.2,0
,4,2,0
zz
xyyx
V
.2|2
2
1
2
2
1
22
1
)2()2(
2
0
0
2
2
0
2
2
0
0
4
2
0
2
2
0
2
chzch
dzchdy
y
yshdzdxxychydydzdxdydzxychy
V
y
Задача 5. Вычислить. V
xdxdydz; .0,,1,0,10:
zxyzxyxyV V
x
xy
x
xdxxydyxdxxdzdydxxdxdydz
1
0
1
0
54
10
0
2
1
00
10
0
1
0
.10|1050
Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями. .8,20
2
xyxy .288|4
3
1
20)820(
10
2
10
2
2
20
8
10
2
232
x
x
xxxdxxxdydxS Задача 7. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями. .3,
3
,010,04
2222
xy
x
yxyyxyy .25)5(
,4)2(
22
22
xy
xy
Полярная система координат: sin
,cos
y
x
.
4
7
12
21
632
21
|
2
21
2
21
3
6
3
6
5
2
3
6
dddS Задача 8. Пластинка D
задана ограничивающими ее кривыми, поверхностная плотность. Найти массу пластинки. .);0,0(0,0,16,1:
22
2222
yx
yx
yxyxyxyxD
Полярная система координат: sin
,cos
y
x
.6)1001(3
|)cos(sin3)sin(cos3)sin(cos
2
0
2
0
4
1
2
0
dddM
Задача 9. Пластинка D
задана ограничивающими ее кривыми, поверхностная плотность. Найти массу пластинки. .;
3
2
;0;2
4
9
1:
22
x
y
xyy
yx
D Обобщенная полярная система координат: sin2
,cos3
y
x
Якобиан перехода: .6|cos6sin6||
sin2cos2
cos3sin3
|||
22
yy
xx
I .3ln213ln||cos|ln2
24
cos3
sin2
6
3
2
0
3
2
0
3
2
0
2
1
2
1
3
2
0
arctg
arctgarctgarctg
dtgdtgdddm
Задача 10. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями. .0,4,3,6 zyzxyyx .45|
3
1
3
4
12
3
4
4244
4
0
3
0
3
0
3
0
43232
6
2
3
1
6
2
3
1
3
0
y y
y
y
y
yyydyyyyydxdydzdxdyV Задача 11. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями. ).0(0,0,
,11,8
22
2222
yyzyxz
xyxxyx
Цилиндрические координаты: .
,sin2
,cos3
zz
ry
rx
.182
3
1
30
4
273
|3sin
3
1
sin3
4
273
)3coscos3(
4
273
cos273
0
2
cos11
cos8
0
2
0
2
32
0
2
cos11
cos8 0
0
2
dddrrddzrdrdV
r
Задача 12. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями. .65,35,1,12
22222
yxzyxzyxy .8
3
1
1
3
1
16
|
3
1
6)22(33
1
1
2
2
1
1
1
1
32
1
1
2
2
1
1
3
2
5
2
6
2
5
2
1
1
x x
yx
yx
xxdxxdydxdzdydxV
Проекция на XOY. Задача 13. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями. .10,3
2222
yxzyxz Цилиндрические координаты: .
,sin
,cos
zz
ry
rx
2
0
2
0
2
0
23
2
0
2
0
2
0
2
10
3
.16|88)310(
ddrrrrddzrdrdV
r
r
Задача 14. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями. .443,3)(22
22
yzyxz Цилиндрические координаты: .
,sin
,cos
zz
ry
rx
.11)360(
3
11
|32sin24sin
4
1
3
11
)32cos44(cos
3
11
sin
3
88
)22sin44(
)322sin443(
2
2 2
43
sin2
0
2
2
sin2
0
3
22
sin2
0
sin443
3
2
22
d
dddrrrd
drrrrddzrdrdV
r
r
Задачи 15. Найти объем тела, заданного неравенствами. .33
,
99
,361
22
222
xyx
yx
zzyx
Сферическая система координат: .cos
,sinsin
,cossin
rz
ry
rx
.
3
7
3
2
2
7
|
2
7
2
35
5
1
5
1
10
1
2sin2
3
3
3
3
6
1
6
1
3
3
3
3
2
3
3
6
1
2
10
1
arccos
2
drdrddr
r
rdddrrdV
r
Задача 16. Тело V
задано ограничивающими его поверхностями, -плотность. Найти массу тела. .5),0,0(0,0,0,8,4
2222
xyxzyxzyxyx Цилиндрическая система координат: .
,sin
,cos
zz
ry
rx
.
2
5
|sin
2
5
cos
2
5
cos
8
5
cos5
2
0
8
2
0
2
0
2
0
3
2
0
2
0
2
0
r
ddrrddzrrdrdm
11. Векторный анализ Задача 1. Найти производную скалярного поля ),,( zyxu в точке М
спо направлению проходящей через эту точку нормали к поверхности S
, образующей острый угол с положительным направлением оси Oz
. ).4,0,3(
,23496:
,)1ln(
222
2222
M
zzyxxS
zxyxu
.1cos,0cos;0cos
.12)12(00
,1200|
.)42(18)62(
,23496
).,,(
222
222
N
kjiN
kzjyixk
z
F
j
y
F
i
x
F
gradF
zzyxxF
zyxgradFN
M
.coscoscos z
U
y
U
x
U
N
U
;0|;0|;6,0|
.0;
1
2
;
1
2
2222
MMM
z
U
y
U
x
U
z
U
yx
y
y
U
yx
x
x
U
.0)1(00006,0 N
U
Задача 2. Найти угол между градиентами скалярных полей ),,( zyxu и ),,( zyxv в точке М
юс
с
.
3
1
,
2
1
,
2
1
,,3
2
222
M
yz
x
uzyxv
искомый угол. ;
)(
cos
gradUgrad
gradUgrad
,622 kzjyixgrad ,3222| kjigrad
M
,4)32()2()2(
222
grad ,
21
3222
k
yz
x
j
zy
x
i
yz
gradU ,362323| kjigradU
M
,12)36()23()23(
222
grad .1
12
4
3632232232
cos Задача 3. Найти векторные линии в векторном поле a
. .63 zkxia
Дифференциальные уравнения векторных линий поля a
: z
dz
x
dx
Cydy
z
dzdy
x
dx
2
,0
603
0
.
,lnlnln2
2
Czx
Czx
Задача 4. Найти поток векторного поля а
через поверхности S, вырезаемую плоскостью P
(нормаль внешняя к замкнутой поверхности, образуемой данными поверхностями). .4:),0(:,)1(
2222
zPzzyxSkzyzjxzia 4
0
4
0
43
4
0
2
22
22
4
0
22
.32|
4
1
2
1
2
1
|arcsin
22
,
zdzzdz
z
yz
yz
y
z
dyyzzdzdydzyzzxzdydzdydza
dxdyadxdzadydzadSna
z
z
z
zS S S
x
S
zyx
S
.32|
4
1
2
1
2
1
|arcsin
22
4
0
4
0
4
4
0
3
2
22
4
0
2222
zdzzdz
z
xz
xz
x
z
dxxzzdzdxdzxzzyzdxdzdxdza
z
z
S S S
z
z
y
.
176
112
32
32
,112|5656|
2
1
4
1
)(
)1()1()1(
2
0
2
0
2
0
2
0
4
0
24
4
0
3
2
0
2222
dddd
dddxdyyxdxdzzdxdya
S S S
z
z
z
Задача 5. Найти поток векторного поля a через часть плоскости P
, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью Oz. .132:,432
zyxPzkyjxia ,
14
1
cos,
14
3
cos,
14
2
cos
.14194}1,2,3{
.)cos4cos3cos2(
,)coscoscos(
nn
dzyx
daaadna
S
zyx
.
4
1
|25
2
7
3
1
610
2
7
3
1
)344(
))321(494(14
14
4
14
33
14
22
,14941)()(1
2/1
0
3
2
3
1
0
2/1
0
2/1
0
322
2/1
0
3
2
3
1
0
2'2'
x
x
Dxy
yx
xxxdxxxdyyxdx
dyyxyxdxdxdy
zyx
dxdydxdydxdyzzd
Задача 6. Найти поток векторного поля a
через часть плоскости P
, расположенную в 1 октанте (нормаль образует острый угол с осью ).Oz .1:,)17(9
zyxPkzyja
,
3
1
cos,
3
1
cos,
3
1
cos
.3}1,1,1{
.)cos4cos3cos2(
,)coscoscos(
nn
dzyx
daaadna
S
zyx
.|
2
9
2
7
78)9778(
3
3
1
)1)1(7
3
1
9
3
1
0
,3111)()(1
1
0
1
0
1
0
1
0
22
1
0
1
0
2'2'
x
x
ч
yx
dxyyxyydyyyxdx
dyyxydx
dxdydxdydxdyzzd
.
6
910
|
32
97
2
98
2
99
2
97
)98(
2
99
1
0
322
xxxdxxx Задача 7. Найти поток векторного поля а
через замкнутую поверхность S
(нормаль внешняя). .0,0,0,22:,)()3()(
2
zyxzyxSkxzjyxzixea
z
;
321
JJJJ .
3
1
|
12
1
2
1
4
1
1|
4
1
2
1
2
1
2
1
1)(
2
0
322
2
0
22
2
0
2
0
2
2
0
2
0
1
yyye
dyyyedyzyzze
dzzyedydydzxeJ
y
y
y
z
yoz
D
y
zz
.
6
13
6
7
1
2
1
3
2
56|
2
1
3
2
5622106
|6
2
3
6
2
1
636)3(
1
0
432
1
0
32
1
0
22
0
22
1
0
22
0
2
xxxxdxxxx
dxxzzzxzdzxzxzdxdzdxyxzJ
x
xoz
D
x
.
3
8
6
5
6
13
3
1
.
6
5
2
1
3
4
22|
2
1
3
4
222442
|
2
1
2222)(
321
1
0
432
1
0
32
1
0
22
0
22
1
0
22
0
22
3
JJJJ
xxxxdxxxx
dxyxyxyydyxyxdxdxdyxzJ
x
yox
D
x
Задача 8. Найти поток векторного поля а
через замкнутую поверхность S
(нормаль внешняя). ,3 zjxia
).0(
,6
:
222
22
zyxz
yxz
S .303
,
z
a
y
a
x
a
adiv
dxdydzadivdanП
z
y
x
V
Перейдем к цилиндрической системе координат zz
ry
rx
sin
cos
0
0
0
6
0
23
0
6
0
2
2
6
0
6
00
.)629(6|)629(6)629(6)6(6
)6(6233
ddrrrrd
drrrrddzrdrddxdydzП
V
r
Задача 9. Найти поток векторного поля а
через замкнутую поверхность S
(нормаль внешняя). ,)()()(
2
kyzxjzxyiyzxa .1,0
,2
:
22
zz
yx
S
Воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса. .
,
zyz
z
a
y
a
x
a
adiv
dxdydzadivdSanП
z
y
x
S V
.)( dxdydzzyxП Цилиндрический системы координат .
,sin
,cos
zz
ry
rx
Отсюда, dvrrddzzrrrdvd
2
0
1
0
22
2
0
1
0
1
0
2
1
sincos)sincos(
.
3
1
3
1
0|
2
1
cos
3
1
sin
3
1
2
1
sin
3
1
cos
3
1
|
2
1
sin
3
1
cos
3
1
2
0
2
0
2
0
1
0
33
ddvrr
Задача 10. Найти работу силы F
при перемещении вдоль линии L
от точки M
к точке N
. :,)2()2(
22
LjxyiyxF отрезок ).2,0(),0,4(,NMMN
MO
.04,0,0
xdyy L
xdxxdyxydxyx
0
4
0
4
3222
.
3
64
|
3
1
)2()2(
2) ON
.20,0,0
ydxx L
ydyydyxydxyx
2
0
2
0
3222
.
3
8
|
3
1
)2()2(
L
dyxydxyx.24
3
72
3
8
3
64
)2()2(
22
Задача 11. Найти циркуляцию векторного поля а
вдоль контура Г
чв направлении, соответствующем возрастанию параметра ).t ,
2
ykjzxia .3sin3cos4
,sin3,cos2
:
ttz
tytx
Г
.cos3sin4
,cos3
,sin2
ttdz
tdtdy
tdtdx
Г
zyx
tttttdzadyadxaЦ
2
0
)3sin3cos4(cos3sincos22(
.24|)12sin92(cos)cos9122sin2()cossin9sin12
cos9cossin9cos122sin2())cos3sin4(sin3
2
0
2
0
2
2
0
2
tttdtttdtttt
tttttdtttt
Задача 12. Найти модуль циркуляции векторного поля а
вдоль контура Г
. ,352 xkzjyia
+
+
=
.3
,122
:
22
zyx
yx
Г
Воспользуемся формулой Стокса: darotndSnaЦ
Г
.235
352
kji
kzy
zyx
kji
arot .)cos2cos3cos5( ddarotn .
3
1
coscoscos3},1,1,1{ nn
.3)1()1(1)()(1
222'2'
dxdydxdydxdyzzd
yx
2/1
0
2/1
0
2
2
0
2
0
.5
2
1
2
1
210|
2
1
|1010
sin
cos
10
3
2
3
3
3
5
3
rrdrd
ry
rx
dxdydxdyЦ
Dxy Dxy
Документ
Категория
Математика
Просмотров
1 692
Размер файла
629 Кб
Теги
задач, кузнецов, сборник, математика, высшая
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа