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Начертательная геометрия учебное пособие (купить в магазине www.phoenixbooks.ru) (Автономова, Степанова)

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2009
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НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
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??????, ?.?. ?????????.? ?????? ?/?: ??????, 2009.?
283, [1] ?. ? (?????? ???????????).
ISBN 9785222155530
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??? 514(075.8)
??? 22.151.3?73
© ?.?. ??????????, ?.?. ?????????, 2009
© ??????????, ??? «??????», 2009
SBN 9785222155530
www.phoenixbooks.ru
Предисловие
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
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??????????? ?????, ? ????? ?? ??????????? ??????? ? ????????
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4
Начертательная геометрия
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www.phoenixbooks.ru
Предисловие
5
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??? ???????????? ????????????? ????? ??????? ???????? ???
????? ??????????, ?????????? ???????????? ????????, ??????????
??????? ??? ???? ????????????? ???????????? ?????? ??????????
??????????, ?????????? ?? ?? ?????????, ? ????? ??????????? ??
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www.phoenixbooks.ru
6
Начертательная геометрия
ВВЕДЕНИЕ
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Предисловие
7
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
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Р а з д е л 1. Ортогональные проекции
Раздел 1
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ
Тема 1. ИЗОБРАЖЕНИЕ ТОЧКИ
И ПРЯМОЙ, ИХ ВЗАИМНОЕ
РАСПОЛОЖЕНИЕ
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1. ???????? ?? ??????? ??? ????????????.
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Р а з д е л 1. Ортогональные проекции
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1.1. Ортогональные проекции точки
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1.2. Система координат в ортогональных
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1.3. Изображение прямой
на ортогональном чертеже
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Т е ма 1. Изображение точки и прямой...
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1.4. Взаимное расположение двух точек
???? ??? ????? ?????????, ?? ??? ????? ?????????? ??????
????, ? ??????? ???????? ????? ????? ????????. ?? ???. 11 ????
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1
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?????? ?? ??? ??? ????? ? ?????????? ?? ??? ??????). ??? ??
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12
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1
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2
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1
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2
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1
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2
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1
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2
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1
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2
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1
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2
1
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2
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16
Р а з д е л 1. Ортогональные проекции
????????? ????? ?????????? ???????. ??????????? ????? ?????
?? ???????? ?????? ??????????? ???????.
1.5. Определение длины отрезка
?????????? ?????? ?????? ????????? ?? ? ?? ???????? ?
1
?
1
??
????????? ?
1
(???. 12). ????? ????? ? ???????? ?????? ??? || ?
1
?
1
.
????? ? ?????????????, ??? ??? ??
1
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1
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1
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1
. ????? = 90°.
????? ??? = z
? ? z
?
, ?.?. ????? ???????? ?????????? ?? ????? ? ? ?
?? ????????? ?
1
. ????? ??? = ?
1
?
1
, ?.?. ????? ????? ???????????
??? ???????? ???????. ??????????? ????? ??????? ?? ???? ????
?????? ????? ????????????. ???????? ????? ?????? ?????? ??? ??
????????? ?????????????? ????????? ?
1
. ??????? ?????
0
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???? ??????? ??? ?? ?????????? ? ?????????? ?
1
. ???????
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1
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0
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1
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1
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0
= 90°, ?
1
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0
? ??????????, ?.?. ??????????? ??????
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1
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1
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1
?
0
= Z
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Z
?
.
??????????? ????????? ??????? ???????? ?????????? ??????????"
???? ????????????, ????? ??????? ???????? ?????? ???????? ?????"
??, ? ?????? ? ???????? ???????? ?????? ??????? ?? ?????????, ??
??????? ????? ???????? ??? ???? ?? ??????? (???. 13).
???? ? ??????? ?????? ? ????????? ?
1 ???????????? ? ??
1
?
1
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0
.
???? ????????? ?????????? ???? ? ??????? ?????? ?? ? ?????????
?
2
, ?? ???? ????????? ????????????? ??????????? ?? ????????
??? ???????? ?
2
?
2
. ?????? ??????? ????? ???????? ???????? ??
??? ?? ????????? ?
2
, ?.?. Y
? ? Y
?
. ???? ????? ?
2
?
2
? ???????????
????? ???????. ??????????? ???????? ??????? ?? ? ????? ??
???? ??????????? ????????????? ????? ???? ? ?? ??.
???. 12???. 11
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12
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1 B
1
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1
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2
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2
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D
1 C
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2
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1
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B ?
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A
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0
A
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12
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B
0
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Т е ма 1. Изображение точки и прямой...
17
1.6. Взаимное расположение точки
и прямой
????? ????? ???????????? ? ?? ???????????? ??????. ????
????? ??????????? ??????, ?? ???????? ????? ????? ?? ????????"
??? ????????? ??????.
?? ???. 14, ? ???? ?????? ? ? ????? ? ? ?. ??????????? ????
????? ???????? ?
2 ? ?
2
. ????? ? ? ? , ??? ??? ?
2 ? ?
2
, ????? ? ? ?,
??? ??? ?
2 ? ?
2
, ?
1 ? ?
1
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?????????? ?????? ?D ? ????? ? (???. 14, ?). ???? ?????????
?
2
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2
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2
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2 = C
1
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1
:?
1
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1
, ?? ????? ? ? ?D. ??? ???????? ???????? ?
????? ?? ???????? (?
1
D
1
) ?????? ??? ???????????? ????? ? ??
????? ?? ??? ??????? D
1
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0 = D
2
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2 ? ?
0
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0 = ?
2
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2
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0
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1
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0 ???????? ?
0
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1
? || ?
0
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1
. ??? ??? ?
1
?? ?
1
, ??????,
????? ? ?? ??????????? ?????? ?D.
???. 13
???. 14
??
A
1
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B ?
z
A
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1
B
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12
A
2
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2
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1
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2
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2
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1
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0
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1
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Р а з д е л 1. Ортогональные проекции
1.7. Взаимное расположение двух прямых
? ?????????????? ?????? m ? n ????? ??????????? ???????????
???????? ?
2
? ?
1 ????? ?? ????? ????? ????? (???.15, ?). ?
2
= m
2
Ч n
2
;
K
1
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1
Ч n
1
.
? ???????????? ?????? ? ? b (???. 15, ?) ??????????? ????????
??????????? (?
2
|| b
2
? ?
1
|| b
1
). ?????????????? ?????? ????????
????????? (????????, ??????????) ??????????? ??? ??????
??????? ????????? ????????. ??? ?????????????? ?????? ? ? d
(???. 15, ?) ?????????? ???????? ?????????????? ? ?????????
???. 15
?
?
?
??? ??????. ? ????? ??????????? ??????????? ???????? ?
2 Ч d
2
????????? ??? ???????? ????? 1 ? 2 (1 ?
?; 2 ? d), ??????? ?? ??
??? ?????????????? ? ?
2
. ??????? ?? ??? ??????? (?? ????????
??? Y) ?? ???? ??????. ? ??????????? ????? ????? 21, ?, ??????,
?????? d. ????? 1 ? 2 ?????????? ?????????????? ? ????????????
??? ??????????? ????????? ?????? ?? ???????.
????????. ????? ???? ??? ?????????? ????? ???????, ??????
???? ????????? ? ???????? ??? ???????????? ? ??????? 1?4.
K
1
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12
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1
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2
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1
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2
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2
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1
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2
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1
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1
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2
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1
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2
1
1
3
2
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1
4
2
3
1 4
1
1
2 2
2
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Т е ма 1. Изображение точки и прямой...
19
???????? ??????
1. ?????????? ??????? ?? ???????????? ??????? ???, ???????
???????? ?? ?????? ??????. ?????? ??????? ??????? ? ???????, ??"
????????? ? ???????.
1. ??? ?????????? ??????????? z
?
????? ??
?) ?????????? ?? ????? ? ?? ????????? ?
1
;
?) ?????????? ?? ????? ? ?? ????????? ?
3
.
2. ?????? ???????????? ???????????? ??????????? ????????
??????
?) ? ? y;?) z ? y; ?) z ? ?.
3. ?? ????? ??????? ???? ??????????? ?????? ?????? ??????"
??? (???. 16)?
??????? 1 2 3 4
??????
???. 16
????
4. ? ????? ?????? ???? ??????????? ?????????????? ???????
?) ???? ?????????????? ???????? ?????? ??????????? ??? ?
12
;
?) ???? ??????????? ???????? ?????? ??????????? ??? ?
12
;
?) ???? ?????????????? ? ??????????? ???????? ?????? ???
???????????? ??? ?
12
.
X
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1
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2
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1
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2
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1
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1
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Р а з д е л 1. Ортогональные проекции
5. ? ????? ?????? ???? ???????? ???????? ?????????????? ???????
?) ???? ??????????? ???????? ?????? ??????????? ?????
?????;
?) ???? ????? ??????????? ??????????? ???????? ?? ????? ??
????? ????? ?????;
?) ???? ????? ??????????? ??????????? ???????? ????? ??
????? ?????????????? ? ??? ?
12
.
???????? ??????
?????????? ?????? ??????????? ??????.
?????? 5. ????????? ???????? ????? ? ? ?, ???????? ??????
??????: ? (40, 10, 0), ? (10, 15, 20).
?????? 6. ????????? ????????? ??????????? ?????? ? ? ????
????? ?? ???????? ?? ????????????? ??????? (?? ???????????
????? ? ? ?) (???. 17).
???. 17
?????? 7. ????????? ??????????? ???????? ?
2 ????? ?, ???
?????????? ?????? ??, ????????? ?????????????????? ????????
?? ? ?? (???. 18).
?????? 8. ?????????? ???? ??????? ??????? ?D ? ?????????? ?
1
? ?
2
? ??????????? ???????? ??????? CD (???. 19).
??????????: ?????? ????? ?????????? ?? ?????, ??????? ?????
?? ?????? ?? ??????????????? ????????? ????????.
?
1
X
12
a
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2
O
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2
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2
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Y?
3
Y?
1
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Т е ма 1. Изображение точки и прямой...
21
?????? 9. ????? ????? ? ???????? ?????? m ???, ????? ??? ??
????????? ? ?????? ?? ? ???? ??????????? ????????? ?
2
(???. 20).
???. 19???. 18
???. 20
???? ???????: 1) ??????????, ????? ???????? ?????? m ?????
?????? ??? ?
12
, ? ???????? ??? ???????? ????? ????? ?; 2) ?????????
??? ???????? ????? ? = ?? Ч m; 3) ????????? ????? ?
2
? ?
2 ? m
2
.
A
1
B
1
M
1
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12
O
A
2
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2
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1
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1
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2
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1
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2
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Р а з д е л 1. Ортогональные проекции
Тема 2. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.
ТОЧКА И ПРЯМАЯ В ПЛОСКОСТИ.
ОСОБЫЕ ПРЯМЫЕ ПЛОСКОСТИ
???????
1. ???????? ?? ??????? ??? ????????????.
1.?????? ??????????????? ?????????? ????? ?????? ????
??????
2.????? ????????? ?????????? ??????????: ?) ?????? ??????
???; ?) ???????? ??????????
3.????? ????????? ???????? ????????? ?? ???????
4.????? ????????? ???????? ???????? ????????? ????????
??????????
5.????? ????? ? ?????? ??????????? ??????????
6.????? ?????? ?????? ????? ???????? ? ????????? ??????
??????????
2. ?????? ? ??????? ????????? ??????.
?????? 10. ? ????????? ? (?, ?) ?????? ????????? ?????????:
?) ??? ?????????????? ??????; ?) ??? ???????????? ?????? (??
???? ????????).
?????? 11. ????????? ????????
??? ???????? ?????? ???, ????
??? ? ????????? ?, ???????? ?????
??????? ?, ?, ? (???. 21).
???? ???????: 1) ????????? ???
??? ?? ? ?; 2)?????????? ?????
??????? ????? D
1
, ?
1
, F
1
?? ??????,
???????? ?????? ?
1
D
1
, ?
1
?
1
, ?
1
F
1
?
?????????? ????? ??????????? ?
?????? ??; 3) ????????? ????????
??? ???????? ???? ?????? ? ?????
??????.
???. 21
A
1
B
1
C
1
X
12
A
2
B
2
C
2
M
1
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Т е ма 2. Изображение плоскости. Точка и прямая в плоскости...
23
?????? 12. ????? ??????? ?? ???????? ?????????? ?????????
??? ????????? ?, ????? ?D ? ????????????? ????????????
????????? ?. ?????? ?? ?????????? ????????? ????????????
?????? (???. 22).
???. 22
?????? 13. ????? ????? D(D
1
), ????????????? ????????? ?
(m || n), ???????? ??????????? ????????? ? (???. 23).
???? ???????: 1) ????????? D
2 ? ?, ? ? ? (?
1
Ч m
1 = 1
1
, ?
1 Ч n
1 = 2
1
,
?
2 ? 1
2
, 2
2
);
2) ????????? h
2 ? D
2
, h
2
|| ?
12
(h
2 Ч m
2 = 3
2
, h
2 Ч n
2 = 4
2
); 3) h
1 ? 3
1
, 4
1
.
???. 23
????????. ???? ?????? ?? ??????, ??????? ?????????? ? ?????
?????.
A
1
B
1
X
12
A
2
B
2
C
1
X
12
D
1
C
2
D
2
X
12
D
1
m
1
n
2
n
1
m
2
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268
Начертательная геометрия
ПРИМЕРЫ СТУДЕНЧЕСКИХ РАБОТ
(Аксонометрия)
??????
??????
???? 1 ???? 1 ??????
????????? ?.
??? ??????? ????
????? ?????? ???? 3
02.03.11
? 1:1
????????????? ?????????
1
1
1
X
Y
Z
X
1
Y
1
O
1
X
2
Z
2
O
2
1
1
X
Y
Z
X
1
Y
1
X
2
Z
2
120°
45°
45°
45°
45°
120°
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Примеры студенческих работ
269
X
Y
Z
O
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2
Z
2
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3
Z
3
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3
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2
X
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3
Y
3
X
2
Z
2
O
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2
O
3
??????
??????
???? 1 ???? 1 ??????
????????? ?.
??? ??????? ????
????? ??????
???? 4
02.04.14
? 1:1
????????????? ????????????? ????????
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270
Начертательная геометрия
??????
??????
??? ???. ???. 2 ????
???????
??? ??????? ???? ??????
???? 4
03.02.12
?
????????????? ????????
?????????
X
Y
Z
X
1
X
2
Z
2
O
O
2
O
1
X
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1
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45°
41°
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7°
70°
Y
1
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Примеры студенческих работ
271
??????
??????
??? ???. ???. 1 ????
????????????
??? ??????? ???? ?????? 5 ???? 3
02.01.
????????????? ?????????
X
Z
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1
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1
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2
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272
Начертательная геометрия
??????
??????
??? 2 ???? ?????.
??????
??? ??????? ???? ?????? 6
???? 2
03.02.12
? 1:1
????????????? ????????
?????????
X
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Z
X
1
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2
Z
2
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2
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1
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2
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2
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41°
45°
7°
70°
Y
1
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Примеры студенческих работ
273
??????
??????
???? 1 ???? 3 ??????
?????????
??? ??????? ????
02.03.01
?
????????????? ????????? ????
?????????
X
Y
Z
X
1
X
2
Z
2
O
O
2
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1
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1
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45°
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274
Начертательная геометрия
??????
??????
???? 1 ???? 1 ??????
?????
??? ??????? ????
????? ?????? ???? 2
05.02.01
? 1:1
????????????? ?????????
?????????
X
Y
Z
X
1
X
2
Z
2
O
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2
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1
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120°
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Y
1
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45°
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Примеры студенческих работ
275
??????
??????
???? 1 ???? 3 ??????
???????????
??? ??????? ????
?????? 1
???? 1
02.04
? 1:1
????????? ?????????????
?????????
X
Y
Z
X
1
Y
1
X
2
Z
2
O
1
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2
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276
Начертательная геометрия
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
????????????? ????? ?????????????? ????????????? ???????
?? ?????????? ?? ?????? ????????????, ?? ? ?????????? ??????
??, ??? ???????? ???????????? ?????? ???????????? ???????????
???????? ? ????????, ????????????, ?????????. ??????????????
????????? ????????? ???????????????? ???????????, ?????? ??
?????? ???????? ??????????? ?????, ???????, ?????????, ????
????? ? ???????????? ?????? ????????. ? ?????? ???????? ?????
?????? ????? ???????????? ??????????. ?? ??? ??????? ?????? ??
???????????? ?????????? ??????? ????? ????????. ???????? ??
??? ?? ???????????? ?????? ?????????? ????. ??? ????????
???? ????????? ????? ?????????????? ????????? ? ??????.
1810 ?.? ?????? ???????? ??????? ????????? ????? ??????
??? (???? ?. ?????).
1821 ?.? ?. ?. ??????????? ????? ???? ?????????????? ??????
??? ?? ??????? ?????.
1886 ?.? ?.?. ???????? (1853?1904) ????? 40 ????? ?? ????
???????? ?????????????? ?????????.
????????? ?.?. ??????? (1853?1919) ??????? ???? ???????
??????? ????????? ? ???????????????.
????????? ?.?. ????? (1877?1912) ????????? ????? ????? ??
???????????? ? ??????????? ??????????.
??????? ????? ? ???????? ????? ? ??????? ??????????? ??????
?????????? ?.?. ???????? (1895?1947), ?.? ?????? (1880?1949),
?.?. ?????????? (1891?1974) ? ??. ?.?. ???????? ???????? ????
?????????? ??????????? ? ??????? ????????????? ? ??????????
?????????????? ???????. ? 1942 ?. ?? ????? ??????? ??? ????
???????????????????? ????? ? ???????????.
????????? ?.?. ?????? ?????? ????????? ?????? ?? ?????
????? ??????? ?????????? ? ??????? ??????? ???????????.
????????? ?.?. ?????????? ???????? ??? ????? ???????????
??? ???????????? ? ???????? ?????? ? ??????? ??????????? ?
??????????? ??????? ???????????.
????????????????? ???????? ????? ??????? ??????????,
??? ??? ???????? ??????? ???????????? ? ??????????? ??????
?????????. ? ??????? ????? ??????????? ?????????? ??????
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Заключение
277
???????????? ?????????????????? ??????????, ?????????? ??
????? ??????? ???????? ???????????, ????????? ? ???????????
???????? ??? ??????????? ?????????? ??????????? ?????????
??? ????????? ??? ??????????? ???????? ???????????. ?????
?? ?????????? ???????????? ? ?????? ????????, ??????????? ?
???, ????????? ? ?????? ???????, ????????? ????????????? ?
??????????? ???????, ????????? ?? ?????????????? ??????????
?? ??????, ???? ??????????? ????????? ?????????????? ????
??? ??? ????????????? ???????????. ? ?????????? ????????????
?????????? ?????????? ????? ??????????? ?????????? ??????
?????, ???????? ? ??????????? ???????? ????????. ????? ????,
????????? ?????????? ???????? ?? ????? ???????????? ???????
??: ????? ???????????? ???????????? ???? ??????, ?????, ???????
??????, ??????????? ? ??????????? ????????????? ?????????? ??
???, ???? ??????????? ?????????? ??????????? ? ??????? ???
???????? ??????? ? ?????????????????, ???????????.
?????? ?????????????? ????????? ??????? ???????? ????????
???????????: ???????????, ?????????????????, ?????????????
????????, ???????? ? ????????? ?????????. ??? ?? ???? ????
??? ???????? ? ??????? ???????.
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278
Начертательная геометрия
ЛИТЕРАТУРА
?????????? ?.?. ?????????????? ?????????. ?., 1985.
????????. ?.?. ?????????????? ?????????. ?., 1975.
?????????? ?.?. ?????????????? ?????????. ?????, 1977.
???????? ?.?., ?????????? ?.?. ????????????. ?., 1953.
?????? ?.?. ? ??. ??????? ????? ?? ????? ?????????????? ???
??????. ?., 1999.
???????? ?.?. ?????????????? ?????????. ?., 1973.
???????? ?.?. ??????? ????? ?? ?????????????? ?????????.
?., 1982.
??????? ?.?., ???????? ?.?. ? ??. ???? ?????????????? ??????
???. ????, 1961.
?????? ?.?. ?????????????? ?????????. ?., 2001.
?????? ?.?., ????????????? ?.?. ? ??. ?????????????? ??????
???. ?., 1965.
???????? ?.?. ?????????????? ?????????. ?., 1969.
?????? ?.?. ??????? ???? ?????????????? ?????????. ?., 2001.
?????? ?.?. ???????? ?? ?????????????? ?????????. ?., 1999.
???????? ?.?., ??????? ?.?. ?????????? ???????. ?., 2001.
??????? ?.?. ?????????????? ?????????. ?., 2001.
?????? ?.?. ????????????????? ??????????? ???????????
??????? ???????. ?., 1976.
????????? ?.?. ?????????????? ?????????. ????, 1978.
???????? ?.?. ????????????. ?????????, 1993.
?????? ?.?. ?????????????? ?????????. ?., 1978.
???????? ?.?. ?????????? ???????. ?., 1999.
???????? ??. ?????????????? ????????? ? ????????. ?., 1999.
?????????? ?.?., ???????? ?.?. ? ??. ???? ?????????????? ???
??????. ?., 1963. ?. 411?415.
Klix Nickel. Darstellende Geometrie. Leipzig?Kцln, 1994.
www.phoenixbooks.ru
Содержание
279
СОДЕРЖАНИЕ
???????????..................................................................................3
????????........................................................................................6
???????? ???????????...................................................................7
?????? 1. ????????????? ????????.................................8
???? 1. ??????????? ????? ? ??????, ?? ????????
????????????......................................................................8
1.1. ????????????? ???????? ?????...........................................10
1.2. ??????? ????????? ? ????????????? ?????????.................11
1.3. ??????????? ?????? ?? ????????????? ???????................14
1.4. ???????? ???????????? ???? ?????......................................15
1.5. ??????????? ????? ???????..................................................16
1.6. ???????? ???????????? ????? ? ??????.............................17
1.7. ???????? ???????????? ???? ??????..................................18
???? 2. ??????????? ?????????. ????? ? ?????? ? ?????????.
?????? ?????? ?????????................................................22
2.1. ??????????? ????????? ?? ???????.....................................24
2.2. ????????? ?????? ? ???????? ?????????...........................24
2.3. ???????? ???????????? ????? ? ?????????........................26
2.4. ???????? ???????????? ?????? ? ?????????.....................26
2.5. ?????? ?????? ?????????....................................................27
???? 3. ???????? ???????????? ?????? ? ?????????, ????
??????????........................................................................33
3.1. ???????? ???????????? ?????? ? ?????????.....................35
3.1.1. ?????? ??????????? ?????????............................................35
3.1.2. ??????, ???????????? ?????????...........................................36
3.1.3. ??????, ?????????????? ? ???????????? ??????????.....36
3.2. ???????? ???????????? ???? ??????????............................37
3.2.1. ????????? ????????????........................................................37
www.phoenixbooks.ru
280
Начертательная геометрия
3.2.2. ????????? ??????????????. ?????????? ?????
??????????? ????????? ?????? ?????????
? ???????????? ??????????.......................................................38
???? 4. ??????????? ???? ??????????, ?????? ? ??????????
?????? ?????????.............................................................42
4.1. ????? ??????? ?????? ? ???????????? ??????????..........45
4.2. ????? ??????????? ????????? ?????? ?????????
? ???????????? ??????????................................................46
4.3. ??????????? ???? ?????????? ?????? ?????????...............47
4.4. ??????????? ?????? ? ?????????? ?????? ?????????......48
???? 5. ???????? ?????????????????? ?????? ? ?????????,
???? ??????????................................................................54
5.1. ??????????? ??????? ???? ?? ???????.................................56
5.2. ????? ??????????? ????? (??????) ?????????....................57
5.3. ????????????? ? ?????????..................................................59
5.4. ????????????? ? ?????? ?????? ?????????.....................63
5.5. ??????? ???????????????? ?????????...............................64
???? 6. ??????? ?????????????? ???????. ????????
?????????????? ?????????? ?????????...............................68
6.1. ??????? ?????????????? ???????........................................70
6.2. ???????? ????? ?????????????? ????????? ????????......70
6.3. ???????? ???? ? ????? ?????????????? ??????????
????????.................................................................................75
???? 7. ??????? ????????. ??????????????????
???????????.....................................................................80
7.1. ???????? ?????? ???, ???????????????? ? ?????????
????????.................................................................................82
7.2. ?????????????????? ??????????? (??? ????????
??? ???????? ????)..................................................................85
7.3. ???????? ?????? ???, ???????????? ?????????
????????.................................................................................88
???? 8. ??????????? ????????????, ?? ?????????????.
??????????? ?????????????? ???. ??????? ???????.
?????????.........................................................................93
8.1. ??????????? ????????????....................................................96
www.phoenixbooks.ru
Содержание
281
8.2. ?????? ?????.........................................................................98
8.3. ???????? ?????? ?????.......................................................99
8.4. ?????? ???????????. ?? ????????????.............................100
8.4.1. ?????????? ?????????????? ???????????...........................101
8.4.2. ?????????? ???????????????? ???????????.......................104
8.4.3. ???????????? ???????????????? ???????????...................108
8.5. ?????? ??????????? ???????? ????.....................................110
8.5.1. ???????? ???????????...........................................................110
8.5.2. ??????????? ????????...........................................................113
8.5.3. ??????? ???????????..............................................................115
8.6. ??????????? ?????????????? ???........................................116
8.7. ??????? ??????? ?????????????? ???..................................120
8.8. ?????????...............................................................................129
???? 9. ??????????? ?????? ? ????????????.........................138
9.1. ???????? ??????????? ??????.............................................141
9.2. ?????????? ????? ?????????????? ???????????????
?????????...............................................................................143
9.3. ?????????? ????? ??????????? ??????
? ????????????......................................................................144
???? 10. ???????? ??????????? ????????????.........................150
10.1. ???????? ??????????? ????????????.
????? ??????????...........................................................152
10.2. ?????? ????????? ??????????. ?????????? ?????
???????????......................................................................152
10.3. ?????? ?????????????? ???. ???? ?????
???????????......................................................................154
10.4. ??????? ?????????? ????? ???????????
????????????....................................................................154
10.4.1. ?????? ??????????????? ??????? ??????????..................154
10.4.2. ??????? ??????????????? ??????????? ???????????.....159
?????? 2. ????????????.....................................................170
???? 11. ???????????? ????????????....................................170
11.1. ????? ????????...............................................................170
11.2. ??????????? ????????????????? ????????..................172
www.phoenixbooks.ru
282
Начертательная геометрия
11.2.1. ????????????? ?????????....................................................173
11.2.2. ????????????? ????????.....................................................174
11.2.3. ???????????? ??????????? ?????????................................174
11.2.4. ???????????? ??????????? ????????.................................175
11.2.5. ???????????? ?????????????? ?????????...........................175
???? 12. ??????? ?????????? ????????????..........................177
12.1. ?????? ?????????............................................................177
12.2. ?????? ?????????????????? ?????????????................180
???? 13. ????????????? ????????????..................................181
13.1. ????????????? ????????????? ????????????.................181
13.2. ??????????? ????????????...............................................185
13.2.1. ???????? ???????????? ????????????..................................188
13.2.2 ??????????? ??????? ??? ??????, ??????????
??????????????? ??????????.................................................191
13.3. ??????????? ?????????? ? ???????????
????????????? ????????????........................................194
13.3.1. ?????????? ??????????? ??????????
?? ????????????? ??????? ????..............................................194
13.3.2. ?????????? ??????????? ??????????
?? ????????????? ??????? ????..............................................195
13.3.3. ??????????? ?????????? ???????? ?????????.................199
13.3.4. ??????????? ?????????? ?????? ?????????...................200
13.4. ????? ???????????? ???? ??? ???????????
????????????...................................................................205
13.5. ??????? ?????????? ??????????? ?????????????
????????????...................................................................206
13.6. ?????? ????????? ???? ?????????? ???????????
? ????????????? ????????.............................................210
???? 14. ??????? ????? ?? ?????????????? ??????????
? ????????????? ????????????........................................218
14.1. ?????????? ??????? ??????? ?????????????? ???.
????? ?????......................................................................218
14.2. ???????? ??????????? ?????????????? ???.
???? ? ????????................................................................218
14.3. ???????????? ????...........................................................226
www.phoenixbooks.ru
Содержание
283
???? 15. ?????????????? ????????? ???????????
? ????????????? ????????????........................................229
15.1. ????????? ???????????? ?????????? ???????????
? ????????????? ????????????.....................................229
15.2. ????????? ???????? ????????????..............................239
???? 16. ???????????? ????????????.....................................242
16.1. ?????????? ???????????? ????????????
? ?????????????? ??????????? ????????...................243
16.2. ??????????? ?????????? ? ????????????
????????????...................................................................246
16.3. ?????????? ??????????? ????????? ?????????
? ????????????? ?????????? ? ????????????
????????????...................................................................248
???????????? ??????? ??????????? ?????
(????????????? ????????).........................................................251
??????? ???????????? ????? (????????????).............................268
??????????................................................................................276
??????????.................................................................................278
www.phoenixbooks.ru
284
Начертательная геометрия
????? «?????? ???????????»
?????????? ???? ????????,
????????? ???? ????????
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
??????? ???????
????????????? ???????? ?. ???????
??????????? ???????? ?. ??????????
??????? ?. ????????
???????????? ??????? ?. ????????
?????????? ?. ??????????, ?. ???????
????? ? ????? 15.01.2009. ????????? ? ?????? 25.07.2009.
?????? 60Ч84/16. ?????? ????????. ????????? Newton?.
?????? ????????. ???.???.?. 16,74. ????? 2500 ???.
????? ?
??? «??????»
344082, ?. ????????????, ???. ????????????, 80.
?????????? ? ??????? ???????????? ? ??? «???????»
358000, ?. ??????, ??. ??????, 245.
www.phoenixbooks.ru
???? ?????? ??????????
??????????, ?????????? ?? ?? ?????????, ? ????? ??????????? ??
?????????????? ???????????? ?????? ????????????. ? ???????
??????? ????? ?????????????? ????????? ?????????? ???????
??????? ????? ?? ????????????? ????????? ? ??????? ?????
????? ???????????? ????? ?? ????????????.
www.phoenixbooks.ru
6
Начертательная геометрия
ВВЕДЕНИЕ
????? ?????? ?????? ???????? ????????? ????????, ??????
????? ??? ????????????? ?????????? ?????? ????????????? ?
????????????????? ???????? ? ????????????, ????????????? ?
??????????? ??????????????. ????????????? ???????? ??????
???????? ??????? ??????????? ??????????? ????????????? ??
????? ????????. ? ????????????? ? ????????????? ??????????
?? ???????? ?? ?????? ????????? ??????, ?????? ??????????
?????? ?????? ? ?????????????, ??????? ??????????????? ????
??. ? ???????????? ? ?????????? ????? ???????? ?????????? ?
?????????????? ????????, ?????????? ?? ?????????? ???????
????????????? ????????????, ??? ??????? ???????? ????????
????? ? ?????????? ???????? ?????????? ??? ?????????? ???
???????? ?????????, ?????????. ????? ?????? ????????
???????? ????????? ??????????? ?????????? ? ?????????????
????????????? ? ????????????????? ???????? ? ????????????
???????????? ??????? ????????????.
?????? ??????? ??????? ? ?????? ??????? ?????????? ??????
??? ?????, ??????????? ?? ????????????? ??????????????? ??
???????, ??????? ? ???????? ???????? ?? ???????? ???????????
?????????????? ??????????. ??????? ????????? ???????? ????
????? ?? ?????????????? ????????? ??? ??? ?????? ????????
?????? ? ?????????? ?????? ?? ?????????? ??????????? ????
??????, ? ?? ?????????????? ?????????????. ??????? ???????
????? ???? ????? ???????????? ??? ?????????? ????????????,
?????????? ? ???????????? ?????? ????????.
www.phoenixbooks.ru
Предисловие
7
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
1.????? ? ???????????? ? ????????????? ????????? ????????
???? ?????????? ??????? ?????????? ????????: A, B, C, D,
E... ? ??????? 1, 2, ..., ? ????????????: A, B, C, D, E, ...
2.?????? ? ?????? ????? ? ???????????? ????????????
????????? ??????? ?????????? ????????: a, b, c, d, e... ? ?.?.
3.????????????? ???????? ????? ? ?????? ????????????
???? ?? ???????, ??? ? ? ??????, ? ??????????? ???????
??????? ? ???????????? ? ???????? ????????? ????????: ?
1
,
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2
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1
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3
...
4.????????? ???????????? ????????? ??????? ??????????
????????: ?, ?, ?, ?, ?..., ?? ???????? ???????????? ???? ??
??????? ? ?????? ????????: ?
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5.??????????? ???????????? ?????????? ??????? ????????
?? ????????: ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ?, ...
6.??? ???????? ?? ????????????? ??????? ????????????
??????? ?
12
, Z
23
? ?.?. ????? ??????????, ? ?????????? ??
????????? ????? ?????????? ???????? ?????????? ??????
???.
7.?????????? ???? ????????? ???????????? ?????? : ? ?;
a b. ??????????? ???? ??????, ?????????? ????????????
?????? Ч : a Ч b = K, ? Ч ? = l... ?????????????? ??????,
?????????? ???????????? ?????? || .
8.?????? ???? ???????????? ?????.
9.?????????????????? ??????, ??????????, ?????? ? ????
????? ???????????? ?????? ? .
www.phoenixbooks.ru
8
Р а з д е л 1. Ортогональные проекции
Раздел 1
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ
Тема 1. ИЗОБРАЖЕНИЕ ТОЧКИ
И ПРЯМОЙ, ИХ ВЗАИМНОЕ
РАСПОЛОЖЕНИЕ
???????
1. ???????? ?? ??????? ??? ????????????.
1.??? ?????????? ????????????? ?????????
2.?????? ?????????? ???????? ????????????? ???????
3.??? ?????????? ??????????? ??????
4.?????? ???????????? ???????????? ????????? ???????
??????? ? ??????????? ???????? ??????
5.????? ?????? ???????? ????????? ?? ??????? ????????
????? ?? ???????? ?? ???????.
6.??? ????????????? ???????? ??????????????, ?????????
??? ? ?????????????? ???????
7.??? ????????????? ?????? ?????????????? ????????????
??? ??????????? ??????????? ???????? ????????
2. ?????? ? ??????? ????????? ?????? (??????? ????? ????????
??????).
?????? 1. ????????? ????????????? ????????:
?) ????? ?, ????????? ?? ????????? ?
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2
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1
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? ?? 25 ??;
www.phoenixbooks.ru
Т е ма 1. Изображение точки и прямой...
9
???? ???????: 1) ???????? ?????????? ?????? ?????, ????????:
? (?, y, z); 2) ????????? ???????? ????? ?, ?, ? ?? ????? ???????.
?????? 2. ????????? ???????? ??????? ??, ???? ????? ??????
?? ?????????? ? ????????? ?
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?? ????????; 2) ????????? ?????? ????????????? ????????????
(?? ??????????? ? ?????????????? ???????? ???????).
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1
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2
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12
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?????? 4. ????? ????? ? ???????? ?????? ??, ????????????
?????????? ?????? KL, ????????? ?????????? ???????? ??????
??? ?????????????????? ???????????? ???????? (???. 2).
???. 2???. 1
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A
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K
1
L
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A
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K
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L
2
Y
13
Z
23
0
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10
Р а з д е л 1. Ортогональные проекции
???. 4???. 3
??????????
1.1. Ортогональные проекции точки
?????????? ?? ????????? ??????????? ????????????? ?? ???
??????? ???????????????? ????????? ?
1
? ?
2
????? ??????? ??
?????????? ?????, ?????? ?? ??????? ??????????????? ? ????
??????????? ?????????. ??? ???????????????? ?????? ????????
???? ?? ???. 3. ???? ???? ????????????? ?? ????????? ?
1
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2
????? ?, ?? ?? ??? ???????? ?????????????? ? ? b ?? ?????????
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1
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??????? ???????? ?????????????? ???????.
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12
.
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b
A
2
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C
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Т е ма 1. Изображение точки и прямой...
11
???????? 2. ????????? ????? ? ???????????? ????????????
?????????? ???????? ?????? ???????????? ?????????????? ???
??????? ?????.
????? ???. 4, ??? ?????? ??? ???????? ????? ?. ????????
?????????? ????????? ? ???????? ????????? ?
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(?.?. ? ????????? ?????). ??? ??????
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1
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1
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? ? ???????? ??????? ?????????, ?.?. ????? ? ?????????? ?????
???: ? ? ?
1
, ? ? ?
2
.
1.2. Система координат в ортогональных
проекциях
????? ?????? ? ???????????? ????????? ?????, ?????????? ???
????? ?????????? (?????????????) ???? ?????????. ? ???????
??? ???????????? ??? ??????? ???? ???????????????? ????. ??
???????, ??? ????????? ???????? ?
1
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??????????? ???????????? ????. ????? ???????????? ??? ?, Y, Z
???????? ? ????? ?????????? ???????? ?
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13
, Z
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????? ? ? ???????????? ???????????? ???????????? ??
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3
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?????????? ??????????? ????? (???. 5).
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12
Р а з д е л 1. Ортогональные проекции
???. 6
???. 5
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1
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Т е ма 1. Изображение точки и прямой...
13
????? ? ? ?? ???????? ????? ????????? ?? ??????????, ??????
?????? ???? ? ?? ?????? ?????????.
???????? ?????????? ??????????? ????????, ?????????? ???
????????????? ????????????? ??? ?? ??? ????????? ????????, ?????
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????? ????? ????? ?? ????? ?????????????? ? ??? Z
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3
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??? ?????? ????? ???????????? ?????.
3. ?? ??? ???????????????, ??????? ?????????? ?????????
???? ?????? ? ??????? ??????????? ???????????? ??????????
? ??????????? ????????, ?????, ??? ??
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12
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Р а з д е л 1. Ортогональные проекции
???. 8
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2
, ? ????? ? ???
(???. 8). ???????????? ??? ? ? ?
1
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2
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??? ?
1
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12
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?????? ?? ?
12
?? ????????? ?????? ???. 3. ????? ?????????? ??
????????? ?
3
, ?
1
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2
?? ???????? ?????????? 20, 0, 25 ?? ???????
?????, ??????????????? ???? X, Y, Z.
1.3. Изображение прямой
на ортогональном чертеже
?????? ? ???????????? ???????? ????? ???????. ?? ??????? ?
?????????? ???? ?????. ??????? ?????? ?????? ????????? ?
???????????? ?? ???????? ???????? ? ??? ?
12
. ???????????? ???
??? ??, ???????? ?? ???. 9, ??? ?????? ?????????. ????????
??? ?? ?????????????? ???????? ?
1
?
1
. ?????? ????????? ????? ?
????, ??? ?. ????? ??????, ??? ?????? ?? ????????? ? ? ????
?????? ?
1
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2
, ?? ?????????.
???. 9
X
12
B
1
B
2
B
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1
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2
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B
1
B
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B
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B
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Т е ма 1. Изображение точки и прямой...
15
??????, ???????????? ??? ???????????????? ?????????? ?????"
???, ?????????? ??????? ???????? ?????????.
? ???????, ?????????????? ?????? ? || ?
1
(???. 10).
???. 10
??? ????? ?????? ??????? ?? ????????? ?
1
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?????????? z. ??????? ??????????? ???????? ?
2
??????????? ???
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12
. ??????????? ?????? b || ?
2.
.??? ????? ??????? ?? ????????? ?
2
?? ?????????? ?????????? y. ??????? ?????????????? ????????
b
1
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12
. ???????????? ??????????? ?????? ?, b, c, d, f, e ???????
??? ? ????????? ???????????? ???????? ???? ?????? ?? ?????
??. ?????? ? ? ?
1
?????????? ????????????? ???????????? (???
????????? ? ???????????? ????????????? ?? ????????? ?
1
), ??
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1
???????????? ? ???? ?????. ?????? d ? ?
2
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?????? ????????????. ?? ??????? ? ?????????? ???????????
???????? d
2
? ?????. ?????? ? || ?
3
? ?????????? ??????, f ? ?
3
?
????????? ???????????? ??????.
1.4. Взаимное расположение двух точек
???? ??? ????? ?????????, ?? ??? ????? ?????????? ??????
????, ? ??????? ???????? ????? ????? ????????. ?? ???. 11 ????
???? ??? ????????? ????? ? ?. ?? ??????????? ???????? ??
?????: ?
1
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1
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2
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2
. ? ?????? ? ? D ????? ??????? ?? ?????.
????? D ???? ????? ?. ???? ??? ? ????????? ?? ????? ????????
???? ???? ? ? ?
(???????????? ????????????? ? ?? ?
1
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?????? ?? ??? ??? ????? ? ?????????? ?? ??? ??????). ??? ??
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12
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1
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16
Р а з д е л 1. Ортогональные проекции
????????? ????? ?????????? ???????. ??????????? ????? ?????
?? ???????? ?????? ??????????? ???????.
1.5. Определение длины отрезка
?????????? ?????? ?????? ????????? ?? ? ?? ???????? ?
1
?
1
??
????????? ?
1
(???. 12). ????? ????? ? ???????? ?????? ??? || ?
1
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1
.
????? ? ?????????????, ??? ??? ??
1
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1
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1
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1
. ????? = 90°.
????? ??? = z
? ? z
?
, ?.?. ????? ???????? ?????????? ?? ????? ? ? ?
?? ????????? ?
1
. ????? ??? = ?
1
?
1
, ?.?. ????? ????? ???????????
??? ???????? ???????. ??????????? ????? ??????? ?? ???? ????
?????? ????? ????????????. ???????? ????? ?????? ?????? ??? ??
????????? ?????????????? ????????? ?
1
. ??????? ?????
0
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???? ??????? ??? ?? ?????????? ? ?????????? ?
1
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1
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0
= 90°, ?
1
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? ??????????, ?.?. ??????????? ??????
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1
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1
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1
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Z
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??????????? ????????? ??????? ???????? ?????????? ??????????"
???? ????????????, ????? ??????? ???????? ?????? ???????? ?????"
??, ? ?????? ? ???????? ???????? ?????? ??????? ?? ?????????, ??
??????? ????? ???????? ??? ???? ?? ??????? (???. 13).
???? ? ??????? ?????? ? ????????? ?
1 ???????????? ? ??
1
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.
???? ????????? ?????????? ???? ? ??????? ?????? ?? ? ?????????
?
2
, ?? ???? ????????? ????????????? ??????????? ?? ????????
??? ???????? ?
2
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2
. ?????? ??????? ????? ???????? ???????? ??
??? ?? ????????? ?
2
, ?.?. Y
? ? Y
?
. ???? ????? ?
2
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2
? ???????????
????? ???????. ??????????? ???????? ??????? ?? ? ????? ??
???? ??????????? ????????????? ????? ???? ? ?? ??.
???. 12???. 11
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12
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1
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2
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D
1 C
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B ?
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A
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0
A
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12
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B
0
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Т е ма 1. Изображение точки и прямой...
17
1.6. Взаимное расположение точки
и прямой
????? ????? ???????????? ? ?? ???????????? ??????. ????
????? ??????????? ??????, ?? ???????? ????? ????? ?? ????????"
??? ????????? ??????.
?? ???. 14, ? ???? ?????? ? ? ????? ? ? ?. ??????????? ????
????? ???????? ?
2 ? ?
2
. ????? ? ? ? , ??? ??? ?
2 ? ?
2
, ????? ? ? ?,
??? ??? ?
2 ? ?
2
, ?
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1
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2
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, ?? ????? ? ? ?D. ??? ???????? ???????? ?
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1
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1
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????? ?? ??? ??????? D
1
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2
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0
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1
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1
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????? ? ?? ??????????? ?????? ?D.
???. 13
???. 14
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A
1
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B ?
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1
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12
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2
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2
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1
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1
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2
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2
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0
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Р а з д е л 1. Ортогональные проекции
1.7. Взаимное расположение двух прямых
? ?????????????? ?????? m ? n ????? ??????????? ???????????
???????? ?
2
? ?
1 ????? ?? ????? ????? ????? (???.15, ?). ?
2
= m
2
Ч n
2
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1
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1
Ч n
1
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? ???????????? ?????? ? ? b (???. 15, ?) ??????????? ????????
??????????? (?
2
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2
? ?
1
|| b
1
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????????? (????????, ??????????) ??????????? ??? ??????
??????? ????????? ????????. ??? ?????????????? ?????? ? ? d
(???. 15, ?) ?????????? ???????? ?????????????? ? ?????????
???. 15
?
?
?
??? ??????. ? ????? ??????????? ??????????? ???????? ?
2 Ч d
2
????????? ??? ???????? ????? 1 ? 2 (1 ?
?; 2 ? d), ??????? ?? ??
??? ?????????????? ? ?
2
. ??????? ?? ??? ??????? (?? ????????
??? Y) ?? ???? ??????. ? ??????????? ????? ????? 21, ?, ??????,
?????? d. ????? 1 ? 2 ?????????? ?????????????? ? ????????????
??? ??????????? ????????? ?????? ?? ???????.
????????. ????? ???? ??? ?????????? ????? ???????, ??????
???? ????????? ? ???????? ??? ???????????? ? ??????? 1?4.
K
1
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12
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1
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2
n
1
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2
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2
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1
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2
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1
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1
c
2
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1
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2
1
1
3
2
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1
4
2
3
1 4
1
1
2 2
2
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Т е ма 1. Изображение точки и прямой...
19
???????? ??????
1. ?????????? ??????? ?? ???????????? ??????? ???, ???????
???????? ?? ?????? ??????. ?????? ??????? ??????? ? ???????, ??"
????????? ? ???????.
1. ??? ?????????? ??????????? z
?
????? ??
?) ?????????? ?? ????? ? ?? ????????? ?
1
;
?) ?????????? ?? ????? ? ?? ????????? ?
3
.
2. ?????? ???????????? ???????????? ??????????? ????????
??????
?) ? ? y;?) z ? y; ?) z ? ?.
3. ?? ????? ??????? ???? ??????????? ?????? ?????? ??????"
??? (???. 16)?
??????? 1 2 3 4
??????
???. 16
????
4. ? ????? ?????? ???? ??????????? ?????????????? ???????
?) ???? ?????????????? ???????? ?????? ??????????? ??? ?
12
;
?) ???? ??????????? ???????? ?????? ??????????? ??? ?
12
;
?) ???? ?????????????? ? ??????????? ???????? ?????? ???
???????????? ??? ?
12
.
X
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1
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2
b
1
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2
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1
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n
1
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Р а з д е л 1. Ортогональные проекции
5. ? ????? ?????? ???? ???????? ???????? ?????????????? ???????
?) ???? ??????????? ???????? ?????? ??????????? ?????
?????;
?) ???? ????? ??????????? ??????????? ???????? ?? ????? ??
????? ????? ?????;
?) ???? ????? ??????????? ??????????? ???????? ????? ??
????? ?????????????? ? ??? ?
12
.
???????? ??????
?????????? ?????? ??????????? ??????.
?????? 5. ????????? ???????? ????? ? ? ?, ???????? ??????
??????: ? (40, 10, 0), ? (10, 15, 20).
?????? 6. ????????? ????????? ??????????? ?????? ? ? ????
????? ?? ???????? ?? ????????????? ??????? (?? ???????????
????? ? ? ?) (???. 17).
???. 17
?????? 7. ????????? ??????????? ???????? ?
2 ????? ?, ???
?????????? ?????? ??, ????????? ?????????????????? ????????
?? ? ?? (???. 18).
?????? 8. ?????????? ???? ??????? ??????? ?D ? ?????????? ?
1
? ?
2
? ??????????? ???????? ??????? CD (???. 19).
??????????: ?????? ????? ?????????? ?? ?????, ??????? ?????
?? ?????? ?? ??????????????? ????????? ????????.
?
1
X
12
a
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2
O
A
2
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2
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2
A
B
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Z
23
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Y?
3
Y?
1
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Т е ма 1. Изображение точки и прямой...
21
?????? 9. ????? ????? ? ???????? ?????? m ???, ????? ??? ??
????????? ? ?????? ?? ? ???? ??????????? ????????? ?
2
(???. 20).
???. 19???. 18
???. 20
???? ???????: 1) ??????????, ????? ???????? ?????? m ?????
?????? ??? ?
12
, ? ???????? ??? ???????? ????? ????? ?; 2) ?????????
??? ???????? ????? ? = ?? Ч m; 3) ????????? ????? ?
2
? ?
2 ? m
2
.
A
1
B
1
M
1
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12
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A
2
B
2
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1
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1
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2
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2
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Р а з д е л 1. Ортогональные проекции
Тема 2. ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ.
ТОЧКА И ПРЯМАЯ В ПЛОСКОСТИ.
ОСОБЫЕ ПРЯМЫЕ ПЛОСКОСТИ
???????
1. ???????? ?? ??????? ??? ????????????.
1.?????? ??????????????? ?????????? ????? ?????? ????
??????
2.????? ????????? ?????????? ??????????: ?) ?????? ??????
???; ?) ???????? ??????????
3.????? ????????? ???????? ????????? ?? ???????
4.????? ????????? ???????? ???????? ????????? ????????
??????????
5.????? ????? ? ?????? ??????????? ??????????
6.????? ?????? ?????? ????? ???????? ? ????????? ??????
??????????
2. ?????? ? ??????? ????????? ??????.
?????? 10. ? ????????? ? (?, ?) ?????? ????????? ?????????:
?) ??? ?????????????? ??????; ?) ??? ???????????? ?????? (??
???? ????????).
?????? 11. ????????? ????????
??? ???????? ?????? ???, ????
??? ? ????????? ?, ???????? ?????
??????? ?, ?, ? (???. 21).
???? ???????: 1) ????????? ???
??? ?? ? ?; 2)?????????? ?????
??????? ????? D
1
, ?
1
, F
1
?? ??????,
???????? ?????? ?
1
D
1
, ?
1
?
1
, ?
1
F
1
?
?????????? ????? ??????????? ?
?????? ??; 3) ????????? ????????
??? ???????? ???? ?????? ? ?????
??????.
???. 21
A
1
B
1
C
1
X
12
A
2
B
2
C
2
M
1
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Т е ма 2. Изображение плоскости. Точка и прямая в плоскости...
23
?????? 12. ????? ??????? ?? ???????? ?????????? ?????????
??? ????????? ?, ????? ?D ? ????????????? ????????????
????????? ?. ?????? ?? ?????????? ????????? ????????????
?????? (???. 22).
???. 22
?????? 13. ????? ????? D(D
1
), ????????????? ????????? ?
(m || n), ???????? ??????????? ????????? ? (???. 23).
???? ???????: 1) ????????? D
2 ? ?, ? ? ? (?
1
Ч m
1 = 1
1
, ?
1 Ч n
1 = 2
1
,
?
2 ? 1
2
, 2
2
);
2) ????????? h
2 ? D
2
, h
2
|| ?
12
(h
2 Ч m
2 = 3
2
, h
2 Ч n
2 = 4
2
); 3) h
1 ? 3
1
, 4
1
.
???. 23
????????. ???? ?????? ?? ??????, ??????? ?????????? ? ?????
?????.
A
1
B
1
X
12
A
2
B
2
C
1
X
12
D
1
C
2
D
2
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12
D
1
m
1
n
2
n
1
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2
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268
Начертательная геометрия
ПРИМЕРЫ СТУДЕНЧЕСКИХ РАБОТ
(Аксонометрия)
??????
??????
???? 1 ???? 1 ??????
????????? ?.
??? ??????? ????
????? ?????? ???? 3
02.03.11
? 1:1
????????????? ?????????
1
1
1
X
Y
Z
X
1
Y
1
O
1
X
2
Z
2
O
2
1
1
X
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Z
X
1
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1
X
2
Z
2
120°
45°
45°
45°
45°
120°
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Примеры студенческих работ
269
X
Y
Z
O
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2
Z
2
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3
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3
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3
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2
X
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3
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3
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2
Z
2
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2
O
3
??????
??????
???? 1 ???? 1 ??????
????????? ?.
??? ??????? ????
????? ??????
???? 4
02.04.14
? 1:1
????????????? ????????????? ????????
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270
Начертательная геометрия
??????
??????
??? ???. ???. 2 ????
???????
??? ??????? ???? ??????
???? 4
03.02.12
?
????????????? ????????
?????????
X
Y
Z
X
1
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2
Z
2
O
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2
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1
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7°
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??????
??????
??? ???. ???. 1 ????
????????????
??? ??????? ???? ?????? 5 ???? 3
02.01.
????????????? ?????????
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Начертательная геометрия
??????
??????
??? 2 ???? ?????.
??????
??? ??????? ???? ?????? 6
???? 2
03.02.12
? 1:1
????????????? ????????
?????????
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2
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2
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2
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41°
45°
7°
70°
Y
1
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Примеры студенческих работ
273
??????
??????
???? 1 ???? 3 ??????
?????????
??? ??????? ????
02.03.01
?
????????????? ????????? ????
?????????
X
Y
Z
X
1
X
2
Z
2
O
O
2
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1
X
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X
1
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1
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120°
45°
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1
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45°
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274
Начертательная геометрия
??????
??????
???? 1 ???? 1 ??????
?????
??? ??????? ????
????? ?????? ???? 2
05.02.01
? 1:1
????????????? ?????????
?????????
X
Y
Z
X
1
X
2
Z
2
O
O
2
O
1
X
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1
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45°
Y
1
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1
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45°
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Примеры студенческих работ
275
??????
??????
???? 1 ???? 3 ??????
???????????
??? ??????? ????
?????? 1
???? 1
02.04
? 1:1
????????? ?????????????
?????????
X
Y
Z
X
1
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1
X
2
Z
2
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1
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2
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276
Начертательная геометрия
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
????????????? ????? ?????????????? ????????????? ???????
?? ?????????? ?? ?????? ????????????, ?? ? ?????????? ??????
??, ??? ???????? ???????????? ?????? ???????????? ???????????
???????? ? ????????, ????????????, ?????????. ??????????????
????????? ????????? ???????????????? ???????????, ?????? ??
?????? ???????? ??????????? ?????, ???????, ?????????, ????
????? ? ???????????? ?????? ????????. ? ?????? ???????? ?????
?????? ????? ???????????? ??????????. ?? ??? ??????? ?????? ??
???????????? ?????????? ??????? ????? ????????. ???????? ??
??? ?? ???????????? ?????? ?????????? ????. ??? ????????
???? ????????? ????? ?????????????? ????????? ? ??????.
1810 ?.? ?????? ???????? ??????? ????????? ????? ??????
??? (???? ?. ?????).
1821 ?.? ?. ?. ??????????? ????? ???? ?????????????? ??????
??? ?? ??????? ?????.
1886 ?.? ?.?. ???????? (1853?1904) ????? 40 ????? ?? ????
???????? ?????????????? ?????????.
????????? ?.?. ??????? (1853?1919) ??????? ???? ???????
??????? ????????? ? ???????????????.
????????? ?.?. ????? (1877?1912) ????????? ????? ????? ??
???????????? ? ??????????? ??????????.
??????? ????? ? ???????? ????? ? ??????? ??????????? ??????
?????????? ?.?. ???????? (1895?1947), ?.? ?????? (1880?1949),
?.?. ?????????? (1891?1974) ? ??. ?.?. ???????? ???????? ????
?????????? ??????????? ? ??????? ????????????? ? ??????????
?????????????? ???????. ? 1942 ?. ?? ????? ??????? ??? ????
???????????????????? ????? ? ???????????.
????????? ?.?. ?????? ?????? ????????? ?????? ?? ?????
????? ??????? ?????????? ? ??????? ??????? ???????????.
????????? ?.?. ?????????? ???????? ??? ????? ???????????
??? ???????????? ? ???????? ?????? ? ??????? ??????????? ?
??????????? ??????? ???????????.
????????????????? ???????? ????? ??????? ??????????,
??? ??? ???????? ??????? ???????????? ? ??????????? ??????
?????????. ? ??????? ????? ??????????? ?????????? ??????
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Заключение
277
???????????? ?????????????????? ??????????, ?????????? ??
????? ??????? ???????? ???????????, ????????? ? ???????????
???????? ??? ??????????? ?????????? ??????????? ?????????
??? ????????? ??? ??????????? ???????? ???????????. ?????
?? ?????????? ???????????? ? ?????? ????????, ??????????? ?
???, ????????? ? ?????? ???????, ????????? ????????????? ?
??????????? ???????, ????????? ?? ?????????????? ??????????
?? ??????, ???? ??????????? ????????? ?????????????? ????
??? ??? ????????????? ???????????. ? ?????????? ????????????
?????????? ?????????? ????? ??????????? ?????????? ??????
?????, ???????? ? ??????????? ???????? ????????. ????? ????,
????????? ?????????? ???????? ?? ????? ???????????? ???????
??: ????? ???????????? ???????????? ???? ??????, ?????, ???????
??????, ??????????? ? ??????????? ????????????? ?????????? ??
???, ???? ??????????? ?????????? ??????????? ? ??????? ???
???????? ??????? ? ?????????????????, ???????????.
?????? ?????????????? ????????? ??????? ???????? ????????
???????????: ???????????, ?????????????????, ?????????????
????????, ???????? ? ????????? ?????????. ??? ?? ???? ????
??? ???????? ? ??????? ???????.
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278
Начертательная геометрия
ЛИТЕРАТУРА
?????????? ?.?. ?????????????? ?????????. ?., 1985.
????????. ?.?. ?????????????? ?????????. ?., 1975.
?????????? ?.?. ?????????????? ?????????. ?????, 1977.
???????? ?.?., ?????????? ?.?. ????????????. ?., 1953.
?????? ?.?. ? ??. ??????? ????? ?? ????? ?????????????? ???
??????. ?., 1999.
???????? ?.?. ?????????????? ?????????. ?., 1973.
???????? ?.?. ??????? ????? ?? ?????????????? ?????????.
?., 1982.
??????? ?.?., ???????? ?.?. ? ??. ???? ?????????????? ??????
???. ????, 1961.
?????? ?.?. ?????????????? ?????????. ?., 2001.
?????? ?.?., ????????????? ?.?. ? ??. ?????????????? ??????
???. ?., 1965.
???????? ?.?. ?????????????? ?????????. ?., 1969.
?????? ?.?. ??????? ???? ?????????????? ?????????. ?., 2001.
?????? ?.?. ???????? ?? ?????????????? ?????????. ?., 1999.
???????? ?.?., ??????? ?.?. ?????????? ???????. ?., 2001.
??????? ?.?. ?????????????? ?????????. ?., 2001.
?????? ?.?. ????????????????? ??????????? ???????????
??????? ???????. ?., 1976.
????????? ?.?. ?????????????? ?????????. ????, 1978.
???????? ?.?. ????????????. ?????????, 1993.
?????? ?.?. ?????????????? ?????????. ?., 1978.
???????? ?.?. ?????????? ???????. ?., 1999.
???????? ??. ?????????????? ????????? ? ????????. ?., 1999.
?????????? ?.?., ???????? ?.?. ? ??. ???? ?????????????? ???
??????. ?., 1963. ?. 411?415.
Klix Nickel. Darstellende Geometrie. Leipzig?Kцln, 1994.
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Содержание
279
СОДЕРЖАНИЕ
???????????..................................................................................3
????????........................................................................................6
???????? ???????????...................................................................7
?????? 1. ????????????? ????????.................................8
???? 1. ??????????? ????? ? ??????, ?? ????????
????????????......................................................................8
1.1. ????????????? ???????? ?????...........................................10
1.2. ??????? ????????? ? ????????????? ?????????.................11
1.3. ??????????? ?????? ?? ????????????? ???????................14
1.4. ???????? ???????????? ???? ?????......................................15
1.5. ??????????? ????? ???????..................................................16
1.6. ???????? ???????????? ????? ? ??????.............................17
1.7. ???????? ???????????? ???? ??????..................................18
???? 2. ??????????? ?????????. ????? ? ?????? ? ?????????.
?????? ?????? ?????????................................................22
2.1. ??????????? ????????? ?? ???????.....................................24
2.2. ????????? ?????? ? ???????? ?????????...........................24
2.3. ???????? ???????????? ????? ? ?????????........................26
2.4. ???????? ???????????? ?????? ? ?????????.....................26
2.5. ?????? ?????? ?????????....................................................27
???? 3. ???????? ???????????? ?????? ? ?????????, ????
??????????........................................................................33
3.1. ???????? ???????????? ?????? ? ?????????.....................35
3.1.1. ?????? ??????????? ?????????............................................35
3.1.2. ??????, ???????????? ?????????...........................................36
3.1.3. ??????, ?????????????? ? ???????????? ??????????.....36
3.2. ???????? ???????????? ???? ??????????............................37
3.2.1. ????????? ????????????........................................................37
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Начертательная геометрия
3.2.2. ????????? ??????????????. ?????????? ?????
??????????? ????????? ?????? ?????????
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4.1. ????? ??????? ?????? ? ???????????? ??????????..........45
4.2. ????? ??????????? ????????? ?????? ?????????
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4.3. ??????????? ???? ?????????? ?????? ?????????...............47
4.4. ??????????? ?????? ? ?????????? ?????? ?????????......48
???? 5. ???????? ?????????????????? ?????? ? ?????????,
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5.1. ??????????? ??????? ???? ?? ???????.................................56
5.2. ????? ??????????? ????? (??????) ?????????....................57
5.3. ????????????? ? ?????????..................................................59
5.4. ????????????? ? ?????? ?????? ?????????.....................63
5.5. ??????? ???????????????? ?????????...............................64
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?????????????? ?????????? ??
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Математика
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начертательная, геометрия, учеб, пособие
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