close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Готовимся к ЕГЭ по математике 11-й класс учеб. пособие

код для вставкиСкачать
А.Н. Манова
???? ???: ?? ? ?? ?
ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
РОСТОВ-на-ДОНУ
ЕНИКС
2 0 1 1
????????????? ? ?????????? ???
?????????????? ????????????
????????? ??????? ??????? ?????
????????? ??? ??????????????? ??????
11-
Й
КЛАСС
У
ЧЕБНОЕ
ПОСОБИЕ
www.phoenixbooks.ru
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я 72
КТК 444
М 23
Манова А.Н.
М23 Готовимся к ЕГЭ по математике : 11-й класс : учебное пособие / А.Н. Манова. — Ростов н/ Д : Феникс, 2011. — 347 с. — (Весь ЕГЭ: от В до С)
ISBN 978-5-222-18376-2
В учебном пособии представлены справочные матери-
алы, методические рекомендации с учетом современных требований, образцы решения типовых задач, учебно-
тренировочные тесты, задания для самостоятельной работы.
Пособие адресовано выпускникам средних школ для самостоятельной подготовки к единому государственному экзамену по математике. УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я 72
ISBN 978-5-222-18376-2
© Манова А.Н., 2011
© Оформление: ООО «Феникс», 2011
www.phoenixbooks.ru
Предисловие
Учебное пособие составлено с учетом особенностей единого государственного экзамена по математике и в соответствии с кодификаторами содержания и требований экзаменационной работы ЕГЭ.
Цель пособия — помочь участникам ЕГЭ полу-
чить полное представление о структуре, форме и уровне сложности заданий, которые им предстоит выполнить на экзамене.
Книга состоит из трех частей. В первой части — тео ретический справочник, который кроме основной информации по всему курсу математики средней школы содержит методические рекомендации, облег-
чающие применение знаний и умений в конкретных ситуациях, а также алгоритмы решения всех видов уравнений и неравенств, методы решения задач.
Во второй части пособия рассматриваются зада-
ния базового и повышенного уровней сложности. Здесь представлены образцы решения типовых задач, материал для самостоятельной работы. При решении первой части экзаменационной работы предлагаются примеры для подготовки к решению задач повышенной сложности (С1–С4).
Мы не стремимся «натаскивать» учащихся на выполнение заданий, дублирующих демоверсию, а научить выпускников ориентироваться в незнако-
мой математической ситуации, опираясь на основы теоретических знаний.
В третьей части предлагаются 10 вариантов тес-
тов, соответствующих по структуре и содержанию демоверсии.
Все задания для самостоятельной работы снаб-
жены ответами.
Желаем успеха на экзамене!
www.phoenixbooks.ru
СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ЕГЭ
Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и количеству заданий.
В часть 1 включены 12 заданий базового уров-
ня. Решения этой части не проверяются. В бланк ответов № 1 учащиеся вносят результат. Задание считается выполненным, если внесен правильный результат (либо целое число, либо конечная деся-
тичная дробь). Правильное решение одного зада-
ния первой части оценивается одним первичным баллом.
Часть 2 содержит 4 задания повышенного уровня сложности (С1–С4) и 2 задания высокого уровня (С5; С6). Здесь требуется развернутый ответ, т.е. необходимо записать полное решение с обоснова-
нием выполненных действий. Полное правильное решение каждого из заданий С1 и С2 оценивается 2 баллами, С3 и С4 — по 3 балла, С5 и С6 — по 4 балла. Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.
Максимальное количество баллов за всю рабо-
ту — 30 первичных баллов, которые переводятся в тестовые (см. таблицу).
Выполнение не менее пяти заданий экзаменаци-
онной работы отвечает минимальному уровню под-
готовки, подтверждающему освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования.
www.phoenixbooks.ru
Таблица перевода первичных баллов в тестовые (2010 г.)
Первичный балл
Тестовый балл
Первичный балл
Тестовый балл
0 0 16 69
1 11 17 71
2 16 18 73
3 21 19 75
4 25 20 77
5 29 21 79
6 34 22 81
7 38 23 83
8 41 24 85
9 45 25 87
10 48 26 90
11 52 27 92
12 56 28 95
13 60 29 97
14 63 30 100
15 66
www.phoenixbooks.ru
Глава I
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК
Предлагаемый справочник содержит основные формулы, определения и правила математических операций, знание которых предусмотрено действу-
ющей программой по математике (11-й класс), а также основные методы решения алгебраических уравнений и неравенств.
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
N — множество натуральных чисел;
Z — множество целых чисел;
Q — множество рациональных чисел;
R — множество действительных чисел;
R
+
— множество положительных чисел;
? — следует;
? — равносильно, эквивалентно;
? — для всех, для любого, для каждого;
D(f) — область определения функции у = f(x);
E(f) — множество значений функции у = f(x) (об ласть изменения, область значений функции);
const — постоянная величина;
? — принадлежит. Например, х ? Z — х принад-
лежит множеству целых чисел, т. е. х является целым числом; 0 ? N — 0 не является натуральным числом;
www.phoenixbooks.ru
7
????? 1. ????????????? ??????????
? — пустое множество, т. е. множество, которое не имеет элементов;
? — объединение множеств;
? — пересечение множеств;
(a; b) — промежуток (интервал); концы проме-
жутка исключаются;
[a; b] — закрытый интервал, концы интервала принадлежат множеству; отрезок;
r — радиус окружности, вписанной в много-
угольник;
R — радиус окружности, описанной около мно-
гоугольника;
C — длина окружности;
?AB — дуга AB;
S — площадь геометрической фигуры;
V — объем геометрического тела;
?
— знак подобия геометрических тел;
P — периметр треугольника, многоугольника;
?, ?, ? — углы треугольника, многоугольника;
h
a
, h
b
, h
c
, — высоты геометрических фигур.
АРИФМЕТИКА
Дроби
Выражение вида a
b
, где a и b — числа, одночле-
ны или многочлены, называется дробью. a — числитель дроби, b — знаменатель.
1. Дробь существует (имеет смысл), если ее знаме-
натель не равен нулю (на ноль делить нельзя).
2. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
a
b
a
b
?
?
?
?
0
0
0
,
,
.
если www.phoenixbooks.ru
8
????????? ? ??? ?? ??????????
3. Дробь равна единице, если числитель равен зна менателю (числитель и знаменатель не равны нулю):
a
b
a b? ? ?1 0,. если 4. 0
0
— неопределенность.
5. Основное свойство дроби. Величина дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умно жить (или разделить) на одно и то же число, отлич ное от нуля:
a
b
a m
b m
?
?
?
a
b
a m
b m
m b? ? ?
:
:
,,.0 0
6. Сократить дробь — это значит числитель и знаменатель разделить на одно и то же число (или выражение), не равное нулю, если числитель и зна-
менатель имеют одинаковые делители.
7. Дробь положительна, если числитель и зна-
менатель имеют одинаковые знаки.
8. Дробь отрицательна, если числитель и знаме-
натель имеют противоположные знаки.
ЗАПОМНИТЕ!
Если a < b, то a
b
— правильная дробь (a ? N, b ? N), a
b
?1
— правильная дробь меньше единицы.
Если m ? n, то m
n
— неправильная дробь (m ? N, n ? N), m
n
?1
— неправильная дробь больше едини-
цы или равна единице.
??
www.phoenixbooks.ru
9
????? 1. ????????????? ??????????
9. Простую дробь можно обратить в десятичную, разделив ее числитель на знаменатель.
Например:
4
5
0 8?,;
3
9
20
3 45?,;
1
3
0 333?,...
(0,333ѕ беско-
нечная периодическая дробь).
Если среди делителей знаменателя простой дроби есть только цифры 2 и (или) 5, то эту дробь можно обратить в десятичную, используя основное свойство дроби.
Например:
7
20
7 5
20 5
35
100
0 35?
?
?
? ?,;
3
4
3 25
4 25
0 75?
?
?
?,;
3
5
3 2
5 2
0 6?
?
?
?,.
Десятичную дробь можно обратить в простую.
Например: 0 6
6
10
3
5
,;? ?
7 55 7
55
100
7
11
20
,.? ?
ЗАПОМНИТЕ!
Если среди делителей знаменателя простой дроби есть только цифры 2 и (или) 5, то эта дробь обраща-
ется в конечную десятичную дробь.
Например: 3
20
0 15?,.
Если среди делителей знаменателя простой дроби кроме цифр 2 и 5 есть другие числа, то эта дробь об-
ращается в бесконечную десятичную дробь.
Например: 1
6
0 1666 0 1 6? ?,...,( ).
?
?
www.phoenixbooks.ru
10
????????? ? ??? ?? ??????????
ЗАПОМНИТЕ!
Десятичная дробь увеличится в 10, 100, 1000 и т. д. раз, если запятую перенести вправо через столь-
ко знаков, сколько нулей содержит множитель.
Например: 13,2457 · 100 = 1324,57.
Десятичная дробь уменьшится в 10, 100, 1000 и т д. раз, если запятую перенести влево через столько знаков, сколько нулей содержит делитель.
Например: 253,7 : 100 = 2,537.
Проценты
Процент — это сотая часть числа.
1% — 0,01. Процент можно обратить в дробь, разделив его на 100%.
Три типа задач на проценты
1. Найти проценты данного числа:
а) Процент обратить в дробь (разделить на 100%).
б) Данное число умножить на полученную дробь.
Например: найти 20% числа 180.
а) 20% : 100% = 0,2; б) 180 ? 0,2 = 36.
2. Найти число по известной величине неко-
торо го процента этого числа.
а) Процент обратить в дробь.
б) Известную величину процента разделить на полученную дробь.
Например: найти число, 5% которого составля-
ют 9.
а) 5% : 100% = 0,05; б) 9 : 0,05 = 180.
Данный вопрос можно рассматривать и так:
5% неизвестного числа — это 9, т.е.
5%x — 9; (5% это 0,05);
0,05x = 9;
x = 9 : 0,05 = 180.
?
?
www.phoenixbooks.ru
11
????? 1. ????????????? ??????????
3. Процентное отношение двух чисел показы-
вает, сколько процентов одно число составляет от другого числа.
Чтобы найти процентное отношение чисел a и b, нужно отношение чисел a и b умножить на 100%, т. е. a
b
? 100%
— процентное отношение чисел a и b.
Например: если в 80 г сплава содержится 20 г серебра, то 20
80
100 25? ?% %
— процентное содержа-
ние серебра в сплаве.
4. Формула сложного процента
x x
p
n
n
? ? ?
?
?
?
?
?
?
0
1
100
,
где p% — увеличение первоначальной величины в процентах на каждом этапе, x
0
— первоначальная величина, n — количество этапов.
ЗАПОМНИТЕ!
За 100% всегда принимают то число, с ко торым сравнивают.
Если число увеличивают на n%, то новое число составляет (100 + n)% первоначального, т.е. число увеличивается в 1
100
?
?
?
?
?
?
?
n
раз.
Если число уменьшается на m%, то новое число составляет (100 ? m)% первоначального, т.е. число уменьшается в 1
100
?
?
?
?
?
?
?
m
раз.
Если b кг некоторого вещества содержатся в a кг смеси (сплава, раствора), то процентное со держание этого вещества в смеси равно процентному отношению чисел b и a, т. е. b
a
? 100%.
?
?
www.phoenixbooks.ru
Глава II
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ
ЧАСТЬ 1
Ответом к заданиям этой части (В1–В12) является целое число или конечная десятичная дробь. Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера соответствующего зада-
ния, начиная с первой клеточки, без пробелов. Каждую цифру, знак «минус» и запятую пишите в отдельной клеточке в соответствии с приве-
денными в бланке образцами. Единицы измерения писать не нужно.
Задания В1; В2; В5
В этой части экзаменационной работы предлага-
ются задания, выполнение которых свидетельствует о наличии у участников ЕГЭ общематематических навыков, необходимых человеку в современном обществе. Эти задания проверяют базовые вычис-
лительные и логические умения и навыки, умение анализировать информацию, представленную в графиках и таблицах. Справочный материал для решения заданий В1 смотрите на с. 6–12.
1. Проездной билет на один месяц стоит 600 р., разовый — 20 р. Пассажир за месяц совершил 42 поездки. Сколько денег он сэкономил, купив проездной билет?
www.phoenixbooks.ru
117
????? II. ??????? ??? ?????????? ? ???
2. Тетрадь стоила 22 р. Какое наибольшее ко-
личество тетрадей можно купить на 150 р. после повышения цены на 15%?
Решение.
Цена повышена на 15%, т.е. новая цена состав-
ляет 115% от первоначальной 22 р. (100%). Необ-
ходимо найти 115% от числа 22.
22???1,15???25,3 (р.). 150???25,3???5,9.
Значит, денег хватит на 5 тетрадей.
Ответ: 5.
Примечание. На ЕГЭ в заданиях части 1 нужно писать только ответ, решение не проверяется.
3. Стул стоил 960 р. Какое наибольшее количес-
тво стульев можно купить на 6000 р. после повы-
шения цены на 18%?
4. В цветочном магазине цветы, не проданные в первый день, в начале каждого следующего дня уцениваются на 20%. По какой цене продается роза в третий день продажи, если первоначальная цена была 60 р.?
Решение.
Во второй день уценили на 20%, значит, цена составляет 80% (100% ? 20%) от первоначальной, т.е. надо найти 80% от числа 60 р. Для этого 60 0 8 48
80
100
0 8? ? ?
?
?
?
?
?
?
,
%
%
,
.
Цена розы в третий день продажи: 48? ?? 0,8? ??
??38,4 (р.).
Ответ: 38,4.
5. В комиссионном магазине товар, не проданный в первую неделю, в начале каждой последующей уценивается на 15%. Сколько стоит пиджак на www.phoenixbooks.ru
118
????????? ? ??? ?? ??????????
третьей неделе, если его первоначальная цена была равна 1200 р.?
6. Флакон шампуня стоит 160 р. Во время рас-
продажи скидка составляет 15%. Какое наибольшее количество флаконов шампуня можно купить на 500 р. на распродаже?
7. Ручка стоит 18 р. На школьной ярмарке на все товары предлагается скидка 20%. Какое наиболь-
шее количество ручек можно купить на 80 р.?
8. Теплоход рассчитан на 800 пассажиров и 25 членов экипажа. Какое наименьшее количество спасательных шлюпок, вмещающих 40 человек, должно быть на теплоходе?
9. Сервиз после повышения цены на 22% сто-
ит 10 980 р. Сколько стоил сервиз до повышения цены?
Решение.
Цена повышена на 22%, значит, новая цена со-
ставляет 100% + 22% = 122% (1,22) первоначаль-
ной. Пусть x р. — первоначальная цена.
1,22x???10 980 ; x???10 980???1,22???9000 (р.).
Ответ: 9000.
10. Стоимость оборудования мастерской со-
ставляет 500 000 р. Через год стоимость этого обо-
рудования будет равна 456 250 р. Найдите процент ежегодной амортизации оборудования.
11. Цена клубники летом ниже, чем весной, на 40%. Сколько клубники можно купить летом за те деньги, на которые весной можно было купить 2,4 кг?
12. Цена на куртку была повышена на 20%, и куртка стала стоить 2280 р. Сколько стоила куртка до повышения цены?
www.phoenixbooks.ru
119
????? II. ??????? ??? ?????????? ? ???
13. После повышения цены на 21% кресло стало стоить 3025 р. Сколько стоило кресло до повыше-
ния цены?
14. Сколько потребуется автобусов (46 мест) для перевозки 250 детей и 48 воспитателей?
15. Билет на поезд стоит 1600 р., в период ка-
никул на детский билет действует скидка 40%. Какую сумму заплатит семья из двух взрослых и трех детей?
16. Билет на поезд стоит 1400 р., в период ка-
никул на детский билет действует скидка 45%. При поездке на автомобиле на 100 км расходуется 9 л бензина, 1 л стоит 23 р. Сколько денег может сэкономить семья из двоих взрослых и троих детей, выбрав более выгодную поездку, если расстояние между городами равно 1100 км?
17. Пара ботинок стоила 860 р., после снижения цены стала стоить 688 р. На сколько процентов была снижена цена ботинок?
Решение.
1-й способ.
Найдем, сколько процентов число 688 (новая цена) составляет от числа 860 (первоначальная цена).
688 100
860
80
?
?
%
%
. Значит, цена была снижена на 100% — 80% = 20%.
2-й способ.
1) 860– 688 = 172 (р.).
2) 172 100
860
20
?
?
%
%
.
Ответ: 20.
18. Для отделки стен ван ной комнаты (рис. 177) поку пается керамическая плитка, цена которой www.phoenixbooks.ru
120
????????? ? ??? ?? ??????????
равна 500 р. за 1 м
2
. Опре-
делите стоимость плитки, если стены оклеива ются полностью, за исключе нием двери, и плитка поку пается с запасом в 10%.
19. Для ремонта здания необходимо 430 кг це мента. Сколько мешков цемента необходимо приоб рести, если в одном мешке 50 кг?
20. Сколько рулонов обоев необходимо приоб-
рести для оклейки стен комнаты, длина которой равна 4,5 м, ширина — 4,2 м, высота 2,5 м? В ру-
лоне содержится 10 м обоев шириной 0,5 м. В ком-
нате имеется дверь шириной 1,25 м и высотой 2 м и окно длиной 2,2 м и высотой 1,6 м. Обои следует покупать с запасом 5% от оклеиваемой площади.
21. Сколько денег нужно внести в банк, который платит 10% годовых, чтобы через 3 года на счету была сумма, равная 66 550 р.?
22. Светильник стоил 400 р., после повышения цены — 480 р. На сколько процентов была повы-
шена цена светильника?
23. При покупке сотового телефона в кредит покупатель заплатил 900 р., что составляет 15% стоимости телефона. Сколько стоит телефон?
Решение.
Пусть x р. — стоимость телефона. 15% числа x составляют 900 р., т.е. 0,15 x = 900.
x = 900 : 0,15 = 6000 (р.).
Ответ: 6000.
24. Дневная норма ученика слесаря составляет 80% дневной нормы мастера. На сколько процентов дневная норма мастера больше дневной нормы уче-
ника?
3,2 м
0,8 м
2,4 м
2,6 м
2 м
Рис. 177
www.phoenixbooks.ru
121
????? II. ??????? ??? ?????????? ? ???
Решение.
Пусть x — дневная норма мастера, тогда 0,8 x — норма ученика.
x – 0,8x = 0,2 x.
На 0,2 x норма мастера больше нормы ученика. Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо найти процентное отношение чисел 0,2 x и 0,8 x (сравни-
вают с дневной нормой ученика).
0 2 100
0 8
100
4
25
,%
,
%
%
x
x
?
? ?
.
Ответ: 25.
25. Килограмм рыбы на 37,5% дешевле кило-
грамма говядины. На сколько процентов говядина дороже рыбы?
26. Инженер зарабатывает на 25% больше, чем практикант. На сколько процентов меньше, чем инженер, зарабатывает практикант?
27. Семья из трех человек отправилась на автомо-
биле в город, расстояние до которого равно 1000 км. Литр бензина стоит 24 р., на 100 км расходуется 8 л. Билет на поезд стоит 1600 р. Сколько процен-
тов стоимость поездки на автомобиле составляет от стоимости поездки на поезде для этой семьи?
28. Стоимость костюма с 5000 р. была снижена до 3900 р. На сколько процентов снижена цена?
29. По карте постоянного покупателя магазин предоставляет скидку 15%, платье куплено за 1870 р. Сколько стоит платье без скидки?
30. После повышения цены на 16% чайный сервиз стоит 3480 р. Сколько стоил сервиз до по-
вышения цены?
31. Платье стоит 1200 р. Цена непроданного то-
вара в начале каждой недели (начиная со второй) понижается на 10%. По какой цене будет прода-
ваться платье в течение третьей недели?
www.phoenixbooks.ru
122
????????? ? ??? ?? ??????????
32. Булка стоила 9 р. Какое наибольшее количес-
тво булок можно купить на 40 р. после повышения цены на 15%?
33. Железнодорожный билет стоит 940 р., школь-
нику — скидка 40%. Какую сумму должна запла-
тить группа из 17 школьников и 3 взрослых?
34. Больному прописано пить таблетки по 0,25 г 3 раза в день в течение 18 дней. В аптеке оказалось прописанное лекарство в таблетках по 0,5 г. В упа-
ковке 8 таблеток. Какое наименьшее количество упаковок должен купить больной?
35. Участок прямоугольной формы, ширина которого 30 м, длина 40 м, нужно огородить метал-
лической сеткой. Ширина деревянных ворот равна 3 м (рис. 178). Шири-
на рулона сетки — 2 м, цена 1 м
2
равна 60 р. Вычислите стоимость сетки, необходимой для ограждения.
Решение.
1-й способ.
Необходимо найти, сколь ко квадратных метров со ставляет забор, т. е. найти площадь боковой по-
верхности призмы.
1) S
б.
???P
осн.
???H???2?
?
40???30
?
???2???280 ?
?
м
2
?
?.
2) S
ворот
???3???2???6 ?
?
м
2
?
?.
3) 280???6???274 ?
?
м
2
?
?.
4) 274???60???16 440 ?
?
р.
?
?.
2-й способ.
Один погонный метр сетки имеет площадь 2 м
2
и стоит 120 р. Значит, приобрести нужно количес-
тво метров сетки, равное периметру участка без ворот.
2 м
Рис. 178
www.phoenixbooks.ru
274
????????? ? ??? ?? ??????????
S
ABCD
???
?
NC???MD
?
?NM (рис. 333) (NM = h);
1) ?AMB????CMD?
?
AB???CD; AM???MD ; ???A?????D
?
???
??BM???MC.
2) ?ABN????NCD ?
?
AB???CD; BN???NC, ???B?????C
?
???
??AN???ND, MN — биссектриса ???BMC и ???AMD.
3) В ?AMN AM???h?tg?75?.
В ?BMN BN???h?tg?15?.
4) Следовательно, S
ABCD
? ?? h
2
?
?
?tg?15?? ?? tg?75??
?
? ?
??
4 90
15 75
4 2
2 15 15
sin
cos sin
?
?
?
?
? ? ?
; S
ABCD
?
?
?
8
30
16
sin
.
Ответ: 16.
796. Диагональ равнобедренной трапеции равна 10, площадь — 48. Найдите высоту трапеции.
797. Найдите величины острых углов прямо-
угольного треугольника, если отношение радиусов вписанной в этот треугольник окружности и опи-
санной около него равно 3 1?
.
798. В треугольник с периметром, равным 20, вписана окружность. Параллельно основанию к ок-
ружности проведена касательная, отрезок которой, заключенный между сторонами треугольника, равен 2,4. Найдите длину основания треугольника.
799. Биссектриса угла треугольника делит про-
тиволежащую сторону на отрезки длиной 4 и 2, высота, проведенная к той же стороне, равна 15.
Найдите длину большей стороны треугольника, если известно, что она выражается целым числом.
800. В треугольник с основанием, равным 3, вписан квадрат, одна из его сторон лежит на осно-
вании треугольника. Площадь квадрата составляет 1
6
площади треугольника. Найдите длины высоты треугольника и стороны квадрата.
www.phoenixbooks.ru
Глава III
УЧЕБНО-ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ
Вариант 1
ЧАСТЬ 1
В1 При покупке сотового телефона в кредит по-
купатель заплатил 750 р., что составило 15% стоимости телефона. Сколько стоит телефон?
В2 На графике (рис. 334) изображен расход бензи-
на при движении автомобиля на 100 км пути в зависимости от рельефа дороги и скорости автомобиля.
0
1 2 3 4 5 6
A B C D E
10
20
30
40
Рис. 334
Укажите номер участка пути, на котором расход бензина был меньше 1 л на 100 км.
В3 Найдите корни уравнения 32
x–4
= 0,25.
www.phoenixbooks.ru
276
????????? ? ??? ?? ??????????
В4 Найдите значение выражения sin cos
ctg sin cos
2 2
10 10
5 10 10
? ?
? ? ?
?
?
.
В5 В ??ABC угол C равен 90°, AC ? 4 6
; косинус угла B равен 5
7
. Найдите AB.
В6 Найдите площадь пя-
тиугольника ABCDE (рис. 335).
В7 Найдите значения выра-
жения log
log
5
10
5
81
9
.
В8 Прямая, проходящая через начало координат, касается графика функции y???f(x) в точке B с абсциссой, равной 5. Найдите ординату точки B, если f
?
?(5)???1,4.
В9 Площадь боковой поверхности цилиндра равна 18. Радиус основания уменьшили в 3 раза, а высоту увеличили в 2 раза. Найдите площадь боковой поверхности полученного цилиндра.
В10 Количество электричества, протекающего че-
рез проводник, начиная с момента t = 0, опре-
деляется формулой q = 2t
2
+ 3t + 1. Найдите силу тока в конце 5-й секунды.
В11 Найдите наименьшее значение функции f(x)???tg x???ctg 2x на отрезке ? ?
6 3
;
?
?
?
?
?
?
.
В12 A и B — две пристани на озере, расстояние между ними равно 154 км. Баржа отплыла от A в B и через сутки отправилась обратно со E
C
D
A
B
Рис. 335
www.phoenixbooks.ru
277
????? III. ??????-????????????? ?????
скоростью на 3 км/ч большей прежней, сделав по пути трехчасовую остановку. В результате время, затраченное на путь из A в B и из B в A, оказалось одинаковым. Найдите скорость баржи на пути из A в B.
ЧАСТЬ 2
C1 Решите уравнение 2 1
2
0
2
cos sin –
– cos
x x
x
?
?
.
C2 В правильной шестиугольной призме AѕF
1
сто-
рона основания равна 7, высота — 1. Найдите угол между F
1
B
1
и плоскостью AF
1
C
1
.
C3 Решите неравенство x
x
x x
x
x x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3 6 9 1
5 1
4
6 9 1
5 1
2 2
2
– –
– –
– –
– –
.
C4 На стороне BA угла ABC, равного 30°, взята точка D так, что AD = 2 и BD = 1. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой BC.
C5 Найдите все значения a, при каждом из ко-
торых уравнение x
2
? ?? ?
?
?
?
?a? ?? 5?
?
?? ?? ?
?
?a? ?? 5?
?
?
?
?x? ??
??
?
a???12
?
?
?
a???12
?
???0 имеет два различных от-
рицательных корня.
C6 Найдите наибольший общий делитель всех чи-
сел вида p
2 – 1, где p — простое число, большее 3, но меньшее 2010.
Вариант 2
ЧАСТЬ 1
В1 На распродаже тетрадь стоимостью 30 р. про-
дается со скидкой 20%. Какое наибольшее ко-
личество тетрадей можно купить на 100 р.?
www.phoenixbooks.ru
278
????????? ? ??? ?? ??????????
В2 На рис. 336 изображен график изменения стоимости акций компании в первые две не-
дели апреля. В первую неделю бизнесмен ку-
пил 18 акций и продал их на второй неделе. Какую наибольшую прибыль бизнесмен мог получить?
150
7 14
300
450
600
750
900
Рис. 336
Дни
Р.
В3 Найдите корень уравнения 1
9
81
5
?
?
?
?
?
?
?
x–
.
В4 Найдите длину стороны треугольника, лежа-
щую против угла 60°, если прилежащие к этому углу стороны равны 10 и 16.
В5 Используя данные, приведенные в таблице, выберите наиболее выгодный тариф, предла-
гаемый телефонной компанией, для абонен-
та, который пользуется телефоном 600 мин в месяц.
Тариф
Абонентская плата в месяц, р.
Плата за 1 мин разговора, р.
Повременный 145 0,35
Комбинированный
250 за 450 мин в месяц
0,28 свыше 450 мин
Безлимитный 420 р.
www.phoenixbooks.ru
279
????? III. ??????-????????????? ?????
В6 Найдите площадь параллелограмма (рис. 337).
В7 Найдите значение выражения ?log?
25 36???log?
6 125???
?log
,0 5
2
8
.
В8 Прямая, проходящая через точку М (2; 3), касается графика функции y = f(x) в точке N(–2; 4). Найдите f?(?2).
В9 В основании прямой призмы прямоугольный треугольник с катетами 6 и 6 3
, высота приз-
мы равна 3
?
. Найдите объем описанного около этой призмы цилиндра.
В10 Тело движется прямолинейно по закону S(t) = t
2
+ 8t + 10 (t — в секундах, S — в метрах). Через сколько секунд скорость будет равна 20 м/с?
В11 Найдите наибольшее значение функции y x x? ?
1
2
2cos sin
на отрезке 0
2
;
?
?
?
?
?
?
?
.
В12 Моторная лодка проплыла из города M в го-
род N и обратно за 10 ч. Расстоянием между городами равно 20 км. Найдите скорость те-
чения реки, если лодка 2 км против течения проплывает за такое же время, как 4 км по течению.
ЧАСТЬ 2
C1 Решите уравнение 6 11 4 4 0
2
sin – sin cosx x x?
? ?
? ?
.
1 см
1 см
Рис. 337
www.phoenixbooks.ru
280
????????? ? ??? ?? ??????????
C2 Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA
1
B
1
C
1
равна 6. На ребре СС
1
, равном 18 3
, взята точка M так, что CM:MC
1
? ? 2:1. Найдите величину угла между плоскос-
тями ABC и ABM.
C3 Решите неравенство 5 8
6
2
log –
–x
x x ?
?
?
16
4
8 16
2
6
2
2
log –
–x
x
x
x x?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
.
C4 Прямая, содержащая биссектрису угла B ?ABC, пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке D. Сторона AC = 6 и делит отрезок BD в отношении 7:9, считая от точки B. Найдите периметр ??ABC.
C5 Найдите все значения a, при которых реше-
ния неравенства ?
?
?2x???a?
?
???1???
?
?x???3?
?
? образуют отрезок, длина которого равна 1.
C6 Найдите все пары целых чисел (x; y), удовлет-
воряющих системе x y x y
y x y
2 2
2 2
18 20 166
32 12 271
? ?
? ? ?
?
?
?
– –,
–.
Вариант 3
ЧАСТЬ 1
В1 Стул стоил 1200 р. Цена выросла на 15%. Какое наибольшее количество стульев можно купить на 7500 р.?
В2 На рис. 338 изображен график изменения температуры на территории дачного участка в 1
Дни
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
8
9
10
11
12
13
Рис. 338
www.phoenixbooks.ru
326
????????? ? ??? ?? ??????????
ОТВЕТЫ К ТЕСТАМ
Ответы к заданиям части 1 (В1–В12)
Номер варианта
Номер задания
В1В2В3В4В5В6В7В8В9В10В11В12
1500033,6–21419,50,271223111
2413 50031429235–6–0,2510860,751,5
356–11415 00021–13148161,253
4205–1,2512,541–0,750,5320,8214
5180448 000–0,53240–10,5272,504
630 0003–0,81,89054,538330150620
73(0;4)0617 44238,51643845,5–6,7530
812 28825 0000,25383196–0,81728200,560
94100–0,3122 10062151,51211,25339,6
10525–16,411527,511–1,2353122
www.phoenixbooks.ru
327
????? III. ??????-????????????? ?????
Ответы к заданиям части 2
Номер варианта
Номера заданий
С1С2С3С4С5С6
1
7
6
2
?
???nnZ,
arcsin
151
151
012
3445
???
????
xx
xx
;;
;
1 или 7–13 < a < –1224
2
?
?
2
?n
; 5
6
2
?
???nnZ,
?
arctg 4
013
4556
???
????
xx
xx
;;
;
14a = –2,5; a = –9,5
(12; –8)
3
???
2
3
2
?
?nnZ,
arctg
8
3
012
3445
???
????
xx
xx
;;
;
13
8
9
или 21
2
3
a?????2; 0??
(–7; 7) и (–6; 6)
4
xnnZ???
5
4
2
?
?,;
y???0,5
arctg
16
15
–2 < x < 1; –1 < x < 0;
0 < x < 1; 2 < x < 3; x > 3
bcbc
22
12?–,
или bcbc
22
12??,
a????0,25; 2??
m = n = k = 2
www.phoenixbooks.ru
328
????????? ? ??? ?? ??????????
Номер варианта
Номера заданий
С1С2С3С4С5С6
5
x = 5 ynnZ????
?
?
3
2,
arccos
2
4
–;––;
;;
;
2110
0126
6
??
?
??
?
?
??
?
??
?
???
??
57?
или 57–
a?????3; 3??
11
6
3; 2
arctg
1
8
?
???;??2,5???
????0; 0,5??
22
или 23
a?????0,25; 0,5??
1996
7
xnnZ???
5
6
2
?
?,;
y?–
3
2
??arccos
1
3
?
??
log?
3 10;?????
8 или 6
a????2; 2,2??
n = 2; k = 5
Продолжение табл.
www.phoenixbooks.ru
329
????? III. ??????-????????????? ?????
Номер варианта
Номера заданий
С1С2С3С4С5С6
8
x???2?n, n???Z;
y???3?
2 arctg
3
5
x?????2;??1????
???1; 2??
20 и 10
или
40 и 5
3; 11m = 150; n = 30 или m = 650; n = 26
9
?
?
2
?n,
7
6
2
?
???nnZ,
60°–15 или 30
a??
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
–;––
–;
–;
237
237
84
a = 2; b = 5
10
???
?
?
3
2nnZ,
arccos
5
5
29 или 39
b?
1
9
m
n
??
?
1
0
;
Окончание табл.
www.phoenixbooks.ru
1. 240
3. 5
5. 867
6. 3
7. 5
8. 21
10. 8,75
11. 4
12. 1900
13. 2500
14. 7
15. 6080
16. 2833
18. 13 760
19. 9
20. 8
21. 5000
22. 20
23. 6000
25. 60
26. 20
27. 40
28. 22
29. 2200
30. 3000
31. 972
32. 3
33. 12 408
34. 4
36. 29
37. 76
39. 5
40. 0,72
42. 38
43. 68
44. 9
45. 24
Ответы к заданиям для самостоятельной работы
48. 48 800
49. 24
50. 34 000
51. 400
52. 20
54. 8843,4
55. 7
56. 20
57. 20
58. 254 800
59. 7
60. 9600
61. 3200
62. 252 300
63. 8400
64. 850
65. 2888
66. 2360
67. 245
68. 9
69. 80
71. 165
73. 2,75
74. 145
78. –1
79. 0,125
80. –1,5
81. 4,75
82. 1,5
83. 3,5
84. 4
85. 1
86. –2,5
87. –2,5
88. –4
89. 0
90. 3
91. –1,125
92. 2
93. 1; 3
94. –8
95. 6
96. 10,5
97. 1,5
98. –1
99. ???
1
100. ???3
101. 27,75
102. 53
103. 35
104. –7,6
105. 12
106. 38,4
107. –4,5
108. –1
109. 8
110. 0,25
111. 0,25
112. 9
113. 7
114. 0,2
115. –2
116. 2
117. 0
118. –3
119. –1
120. –1
121. 3
122. 6
123. 0
124. 2
125. 2
128. ???1
131. ???4
www.phoenixbooks.ru
331
132. 1; 2
133. 0; 0,5
134. –1; 0
135. 0,5
136. –2
138. 2
139. 3
140. –1
141. 6
144. 6
145. 14
146. ?n; ?
?
?1
?
n
?
3
???
???n, n???Z 148. ???1
149. 2
150. 9
151. 0
155. –1
156. 3
157. x > 0,75
158. (–1; 1)
159. [–8; 4]
160. –1
164. 10
165. 16
167. 3
168. 7,5
170. 14
172. 9
173. 18
174. 0,2
175. 7,5
176. 0,6
177. 0,8
178. 2,25
179. 7,5
180.1. 14
180.2. 60
181.2. –1
181.3. –1,5
183. 0,6
184. 0,7
185. 0,6
186. 0,8
187. 9,6
189. 16
192. 10,5
194. 4
195. 4
196. 80
197. 198,1
198. 72
199. 40
200. 48
201. 3,2
202. 12,8
203. 0,5; 4
204. 17
207. 5
208. 42
209. 4
211. 0,5
213. 4
214. 4,5
215. 15
216. 8
217. 0,6
218. 0,125
219. 6,25
222. 43
223. 38
224. 24
225. 34
226. 9
227. 40
228. 24
229. 13,5
230. 25
231. 1,8
232. 30
233. 2,25
234. 8
235. 21
236. 15
237. 16
238. 3
239. 7
240. 2
241. 625
242. 13
243. 3
244. 343
245. 1,44
246. 4,5
247. 64
248. 35
249. 1,8
250. 2
251. 400
253. 3
254. 147,2
255. 2
256. –27
257. 1
258. 2
259. –16
261. 3
262. 2
263. –3
264. 2
266. –31,25
267. –2028
268. –4
269. 2
270. –0,45
271. –0,5
274. –1,75
275. 5
276. 2
277. –8
278. 2
279. 2
?????? ? ???????? ??? ??????????????? ??????
www.phoenixbooks.ru
332
????????? ? ??? ?? ??????????
281. 4
282. 0,2
284. 12
285. 0,25
286. –12
287. –2,75
288. 91
289. 2
291. 1,75
292. 1201
294. 0
295. 378
296. 5
297. 18
298. 7,2
300. 0,25
301. 506
302. –69
303. 3,25
304. 81
305. 2,5625
307. –15
308. –6
309. –3
310. 2
311. 3
312. 1
313. 1
314. 28
315. –1
316. –98
317. –30
318. 9
319. 2,75
320. 8
321. –6
322. 19
323. 4
325. 10
326. 0
327. 0
328. –1
329. –45
331. –7,35
332. 0,9
333. 1
334. 6,01
335. 4
336. 16,5
337. 16
338. ???
339. 10
340. 4
341. 0,0625
342. 0,5
346. 20
347. 100
349. 14
350. 84
351. –0,8
352. 0
353. 0,04
354. 5
355. 64
356. –1; 0
357. 0,1; 10
358. 2; 16
359. 0 < x < 1
360. 0 < x < 16
362. [–1; 0,5)
363. 4
364. 3
365. 5
366. [–6; 5]
367. 4
368. 8
369. 0
370.1. 1,5
370.2. –2,5
371. 2
372. 3
373. 2
374. 5
375. 6
376. –4
377. 3
378. –3
379. 8
380. (4; 0); (1; –27)
382. 3
4
?
383. –3,5
384. ?
4
385. 1
386. 2
387. 2
388. –1,5
389. –2
390. (2; 3)
391. (3; –1,5)
393. (5; –0,5)
394. 2
395. –4,5
397. 1,5
398. –0,6
399. –0,6; 1
400. –5
401. 2,75
403. 0,4
404. –0,75
405. 0,75
406. 4
407. 0; 3
408. 7
409. [–3; 1]
410. 8
www.phoenixbooks.ru
333
412. 0,5
413. (10; –0,5)
416, б. 15
418. 9
419. 2
420. 32
421. 2
422. 24
423.1. 63
423.2. 6
424. 16
425. 0,6
426. 60
427. 24
429. 12
430. 144
431. 972
432. 75
434. 288
435. 348,16
436. 1,5
437. 4
438. 7,5
439. 50
440.1. 192
440.2. 60
441. 120
443. 24
444. 3
445, б. 3
446. 2,6
451.1. 12
451.2. 6
453. 38
454. 1,8
455. 13,6
456. 1,5
457. 3,2
458. 98
459. 5
461. 30
462. 8
463. 8,8
464. 40
465. 0,13
466. 36
467. 10
468.1. 12
468.2. 8
471. 1,5
472. 3
474. 0
475. –26
476. 3
477. 1
478. –1
479. 18
480. 19
480. 19
481. 13,5
482. 8
484. 3
485. 5
487. –72
488. –10
489. –2
490. 2,125
491. 382
492. 3
493. A(4;0); B(1;27)
494. A –;;1
2
3
?
?
?
?
?
?
B –;1
2
3
?
?
?
?
?
?
495. A?
?
3;0,5
?
?;
B 2
2
3
;
?
?
?
?
?
?
496. A(–2;2); B(2;2)
497. –2
499. 1
500. 10
501. 12
502. y = –3x + 6
503. y = –1,5x + + 0,3125
504. y = ex
506. y = 2x + 5
509. –10
510. 8
512. –4
513. 43
514. –1
515. 2,125
516. 16
517. 8
518. 7
519. 16
520. 1
521. 3
523. 1
524. 1
525. 2
526. 3
528. 0
530. –1; –4
531. 3
532. 15
533. –10
534. 2
535. –0,5
536. –28
537. –1,75
538. 1
539. 20
540. 1
541. 2
?????? ? ???????? ??? ??????????????? ??????
www.phoenixbooks.ru
334
????????? ? ??? ?? ??????????
542. 1
543. 2
544. 0
545. 3
546. 0
547. –7
548. 3
549. –1
550. 3
551. 0,25
552. y y
y x
max min
–;;
,
? ?
? ?
4 4
11 25 13
553. –1
554. –1
555. 3
556. 3
557. 1
558. 5
559. 2
560. –21
561. 2
562. 2
563. –1,8
564. 3,5
565. –2
566. –1
567. 2
568. 3
569. 5
572. 11
573. 5
574. 60; 120
575. 10,5
576. 52
577. 20
578. 40
579. 12
581. 60
582. 12
583. 5
584. 40
585. 4
586. 28
587. 14
588. 40
589. 2
591. 15
592. 3
593. 3
596. 8
597. 1
600. 15
601. 3
602. 24
603. 2
604. 11
605. 28
606. 2
607. 12
608. 4
609. 12,5
610. 3
613. 15
615. 29
616. 5
617. 20
618. 7,5
619. 24
620. 120
622. 20
623. 20
624. 25
626. 14
627. 62,5
628. 25
629. 4
630. 25
631. 27
632. 20
636. 9
638. 40
639. 30
640. 40
641. 30
642. 20
643. 36
646. 13,5
647. 150; 450
649. 40; 100
650. 1,5
651. 40
652. 39
654. 90
655. 36
656. 170
657. 6
658. 40; 100
659. 150
660. 55
663. 2
664. 24
666. 32
667. 1864
668. 17
670. 24
671. 25
673. 83
674. 48
676. 702
677. 14
678. 7
www.phoenixbooks.ru
335
679. ?
?
?
?
?2 1
2
3
2
2
n n n n Z?
? ?
? ? ?;,,
681. 1
682. –1
683. –;–arccos
2
3
2
2
3
2
?
? ?? ?n n
684. 0
685. –1
686. –1
687. ???2
688. 2
690. x y n n Z
n
? ?
? ?
? ?
1
6
1
6
;–,
?
?
691. x y n n Z
n
? ?
? ?
? ?
?
7 1
6
1
;–;
?
?
692. x y n n Z? ? ? ? ?–;;1
2
3
2
?
?
693. x y n n Z? ? ? ? ?2
2
3
2;;
?
?
694. x y n n Z
n
? ?
? ?
? ?
?
1 5 1
6
1
,;–;
?
?
695. x y n x y n n Z
n
1 1 1 2
0 5 1
4
? ? ? ?
? ?
? ?;;;–;?
?
?
696. x y n n Z? ? ? ?–;–;
4
3 2
2
?
?
697. –;–arcsin ( ),
5
6
2
2
3
2 1
?
? ?? ? ? ?n n n Z
698. ?
?
?n n n Z;–;
2
3
2? ?
700. ?
?
?n n n Z;–;
3
2? ?
701. ?
?
3
2? ?n n Z;
?????? ? ???????? ??? ??????????????? ??????
www.phoenixbooks.ru
336
????????? ? ??? ?? ??????????
702. 7
12
2
?
?? ?n n Z;
704. ? ? ?
?
?
3
2 n n Z;
705. ?
?
?n n n Z;–;
3
2? ?
706. ?
?
?
?
2
2
3
2? ? ?n n n Z;–,
707. x y n n Z
n
? ?
? ?
? ?
?
1 1
6
1
;–,
?
?
708. x y n n Z? ? ? ?0 5
2
3
2,;–,
?
?
709. x y n n Z
n
? ?
? ?
? ?
?
–;–,1 1
6
1
?
?
710. ?
?
?
?
?n y n n n Z;–;–,? ? ? ?
2
2
3
4
2
711. ? ? ?
2
3
2
?
?n n Z,
712. ?
?
?
?
4
2
3
2? ? ?n n n Z;–,
713. ? ? ?
2
3
2
?
?n n Z,
714. 30°
715. arcsin
2 3
9
716. 0,25
719. 30°
720. arctg 2
723. 30°
725. 60°
726. 45°
728. 0 25 2,
www.phoenixbooks.ru
337
729. 25 2
3
730. 60°
731. 60°
732. arccos
2
3
733. 45°
734. ?arc?tg 3 5
10
735.1. 60°
735.2. arcsin
1
11
736.1. 60°
736.2. ?arc?tg3
737. arctg 2
738. 3
12
739. ?arccos?0,25
740. arcsin,0 8 2
741. 5 3
744. 2,5
745. 60°
747. 60°
748. 2 3
750. 5
5
751. arccos
3
3
755. 45°
?????? ? ???????? ??? ??????????????? ??????
www.phoenixbooks.ru
338
????????? ? ??? ?? ??????????
756. arccos
4
7
757. arctg 2
758. ?arctg 2
759. arcsin
2
4
760, а. arctg 2
760, б. arctg 2
761, б. 90?
762. 0???x???1; x???2; 3???x???4; 4???x???5
763. 0???x???1; x???3; 4???x???5; 5???x???6
764. ?
?
?log
3 10; ???
?
?
765. 3
766. log;;
2
2
3
0 1
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
767. –;–
2
3
1
3
?
?
?
?
?
?
768. ?
?
?7; 6
?
???
?
2; 2,5
?
???
?
4; 4,5
?
?
770. 2
772. –1
774. ?
?
?0,5; 0
?
???
?
1; 4
?
?
775. x < –2; x > –2
776. ?
?
0;???
?
?
777. ?
?
0; 0,1
?
???
?
1;???
?
?
778. [–2; 1]
779. [–2; 2]
780. ?
?
?0,5; 0
?
???
?
1; 4
?
?
782. 1,44 или 36
783. 30° или 150°
www.phoenixbooks.ru
339
784. 60° или 120°
786. a R r
2
2
– –
? ?
или a R r
2
2
– ?
? ?
787. a 3 3
6
?
? ?
или a 3 3
6
–
? ?
788. 6 2 1?
? ?
:
или 3 1 2?
? ?
:
789. 10 или 5
790. 84
791. 7 или 17
792. b c bc
2 2
1 2? –,
или b c bc
2 2
1 2? ?,
796. 6 или 8
797. 30° или 60°
798. 4 или 6
799. 8
800. 0 5 3 6,?
? ?
и 3 5 2 6?
? ?
или 0 5 3 6,–
? ?
и 3 5 2 6–
? ?
?????? ? ???????? ??? ??????????????? ??????
www.phoenixbooks.ru
ЛИТЕРАТУРА
Высоцкий И.Р. и др. Типовые тестовые зада-
ния. — М.: Экзамен, 2011.
Демонстрационный вариант контрольных из-
мерительных материалов для проведения в 2011 году единого государственного экзамена по мате-
матике.
Егерев В.К. и др. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / под ред. М.И. Ска-
нави. — М.: Оникс 21 век, Мир и образование, 2005.
Кодификатор элементов содержания к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений для проведения в 2011 году Единого государственного экзамена по математике. Откры-
тый банк заданий ЕГЭ по математике (электронный ресурс) — www.mathege.ru.
Манова А.Н. Тематические задания для подго-
товки к ЕГЭ по математике. — Ростов н/Д: Феникс, 2010.
Шахмейстер А.Х. Задачи с параметрами в ЕГЭ. — М.: Изд-во МГУ, 2006.
www.phoenixbooks.ru
Оглавление
Предисловие .........................................................3
Структура и содержание ЕГЭ .................................4
Таблица перевода первичных баллов в тестовые (2010 г.) .........................................................5
Глава I
ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК
Условные обозначения ..........................................6
Арифметика ..........................................................7
Дроби ..............................................................7
Проценты .......................................................10
Три типа задач на проценты ....................10
Пропорции .....................................................12
Некоторые производные пропорции .............13
Алгебра .............................................................14
Изменение знаков в алгебраическом выражении 14
Степени и корни .............................................15
Формулы сокращенного умножения ..................17
Модуль (абсолютная величина) числа ................18
Уравнения ......................................................19
Квадратное уравнение .....................................20
Формулы корней квадратного уравнения ....20
Неполные квадратные уравнения ...............21
Свойства корней квадратного уравнения (теорема Виета) ......................................22
Иррациональные уравнения .............................22
Решение уравнений с применением теоремы Безу ..................................................23
Свойства числовых неравенств .........................24
Квадратные неравенства ..................................25
План решения квадратного неравенства ....26
Иррациональные неравенства ...........................28
Основные методы решения показательных уравнений и неравенств ...................................28
Логарифмы ...................................................31
Свойства логарифмов ................................32
Основные методы решения логарифмических www.phoenixbooks.ru
342
????????? ? ??? ?? ??????????
уравнений ................................................33
Логарифмические неравенства ...................36
Прогрессии .....................................................37
Арифметическая прогрессия (А.П.) ............37
Характеристическое свойство арифметической прогрессии .......................38
Геометрическая прогрессия (Г.П.) .............38
Характеристическое свойство геометрической прогрессии ........................38
Общие свойства функций .................................39
Графики основных элементарных функций .......43
Линейная функция ..................................43
Обратная пропорциональная зависимость ..44
Квадратичная функция ............................45
Степенная функция ..................................47
Показательная функция ...........................49
Логарифмическая функция ........................50
Графики тригонометрических функций
y???sin?x; y???cos?x ......................................50
y???tg?x; y???ctg?x ........................................51
Преобразования графиков ................................51
Построение графиков функций, содержащих модуль ...........................................................53
Построение графика функции y???
?
f ?
?
?x?
?
?
.....53
Построение графика функции y???f ?
?
?
?x?
?
?
.....53
Тригонометрия ...................................................53
Радианное измерение углов ........................53
Определения тригонометрических функций острого и произвольного углов ....................54
Единичная окружность .............................54
Знаки тригонометрических функций по чет-
вертям ...................................................55
Формулы приведения .................................55
Определения и свойства обратных тригонометрических функций ...................56
Простейшие тригонометричекие уравнения ................................................58
Основные методы решения тригонометрических уравнений .................61
Ноль в произведениии ................................61
www.phoenixbooks.ru
343
Введение новой переменной ........................61
Однородные уравнения I степени ...............62
Однородные уравнения II степени ..............62
Начала математического анализа ........................64
Производная функции. Определение .................64
Основные правила дифференцирования .......64
Геометрический смысл производной ...........64
Механический (физический) смысл производ-
ной функции .............................................66
Возрастание, убывание функции. Экстремумы функции ...............................66
Условия существования максимума функции ...................................................67
Условия существования минимума функции ...................................................67
Нахождение наибольшего и наименьшего
значения функции на отрезке ....................69
Понятие о выпуклости графика функции ...69
Физический смысл второй производной .......70
Первообразная. Интеграл .................................70
Правила вычисления интегралов................71
Применение интеграла для вычисления площадей плоских фигур ............................72
Геометрический смысл определенного интеграла ................................................73
Планиметрия ......................................................73
Треугольники .................................................73
Соотношения между сторонами треугольника (неравенство треугольника) ......................73
Соотношение между углами треугольника .74
Соотношения между сторонами и углами треугольника ...........................................74
Признаки равенства треугольников ...........74
Замечательные отрезки в треугольнике и их свойства ...........................................75
Равнобедренный треугольник .....................79
Свойства равнобедренного треугольника ....79
Равносторонний треугольник ....................80
Прямоугольный треугольник .....................81
??????????
www.phoenixbooks.ru
344
????????? ? ??? ?? ??????????
Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника ......................83
Признаки подобия треугольников ...............83
Теорема Фалеса ........................................85
Пропорциональные отрезки .............................85
Параллелограмм .............................................86
Виды параллелограмма ..............................87
Ромб ........................................................87
Прямоугольник .........................................88
Квадрат ..................................................88
Трапеция .......................................................88
Свойства равнобедренной трапеции ...........90
Многоугольники .............................................90
Правильные многоугольники ......................91
Окружность и круг .........................................92
Теоремы о касательных и секущих ............92
Углы, связанные с окружностью ................94
Стереометрия ......................................................96
Многогранники ..............................................101
Параллелепипед .......................................101
Пирамида......................................................102
Правильная пирамида ..............................103
Правильный тетраэдр .............................105
Сфера и шар ..................................................105
Цилиндр. Конус .............................................106
Комбинации многогранников с шаром .............107
Объемы и площади поверхностей многогранников .............................................108
Прямая призма ......................................108
Прямоугольный параллелепипед ................109
Наклонная призма ..................................109
Пирамида ...............................................109
Правильная усеченная пирамида .............110
Цилиндр круговой (прямой и наклонный) ..110
Конус .....................................................111
Усеченный конус ....................................111
Шар .......................................................111
Шаровой сегмент ....................................112
Шаровой сектор .....................................112
Координаты и векторы ...................................113
Свойства скалярного произведения ............114
www.phoenixbooks.ru
345
Глава II
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ
Задания В1; В2; В5 ........................................116
Задания В3. Подготовка к выполнению заданий С1 ....................................................131
Задания В4. Подготовка к выполнению заданий С2, С4 ...........................................................141
Задания В6. Измерение геометрических величин: площадь треугольника, параллелограмма, трапе-
ции, круга, сектора ........................................155
Задания В7. Подготовка к выполнению заданий С1 и С3 .............................................159
Задания В8 ...................................................170
Задания В9. Подготовка к выполнению заданий С2 ....................................................184
Задания В10 ..................................................192
Задания В11 ..................................................198
Задания В12 ..................................................211
Задачи на движение .................................212
Задачи на движение по реке ......................218
Задачи на совместную работу и производительность труда ....................224
Задачи на проценты ................................231
Задачи на числа .......................................238
Задания С1 ....................................................242
Задания С2 ....................................................248
Задания С3 ....................................................262
Задания С4 ....................................................267
Глава III
УЧЕБНО-ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ
Вариант 1 .....................................................275
Вариант 2 .....................................................277
Вариант 3 .....................................................280
Вариант 4 .....................................................284
Вариант 5 .....................................................286
Вариант 6 .....................................................289
Вариант 7 .....................................................292
Вариант 8 .....................................................295
Вариант 9 .....................................................298
Вариант 10 ....................................................302
??????????
www.phoenixbooks.ru
346
????????? ? ??? ?? ??????????
Решение заданий варианта 3 ..............................304
Общие требования к выполнению заданий с развернутым ответом ..........................304
Основная информация ........................................311
Среднее арифметическое и среднее геометрическое ..............................................311
Степени и корни ............................................311
Таблица квадратов чисел ................................312
Формулы сокращенного умножения .................312
Квадратное уравнение ....................................312
Разложение квадратного трехчлена на множители ................................................312
Теорема Виета ...............................................313
Решение иррациональных уравнений ...............313
Иррациональные неравенства ..........................313
Модуль (абсолютная величина) числа ...............313
Арифметическая прогрессия ...........................314
Геометрическая прогрессия .............................314
Логарифмы ...................................................314
Определения и знаки тригонометрических функций .......................................................315
Значения тригонометрических функций некоторых углов ............................................315
Основные тригонометрические тождества .....316
Формулы суммы и разности двух аргументов ................................................316
Формулы двойного и половинного аргументов ................................................316
Формулы понижения степени .....................316
Выражение синуса и косинуса угла через тангенс половинного угла ...................317
Формулы тройного аргумента ....................317
Преобразование суммы и разности тригонометрических функций в произведение ............................................317
Простейшие тригонометрические уравнения ..................................................318
Частные случаи .........................................318
Частные случаи .........................................319
Таблица производных основных элементарных функций ..................................319
www.phoenixbooks.ru
347
Уравнение касательной ............................320
Условие параллельности двух прямых .......320
Условие перпендикулярности двух прямых 320
Геометрический смысл производной ..........320
Экстремумы функции ..............................320
Условия существования экстремума ........321
Планиметрия .................................................321
Теорема синусов ......................................321
Теорема косинусов ...................................321
Площадь треугольника.............................321
Прямоугольный треугольник ....................322
Равносторонний треугольник ...................322
Произвольный треугольник.......................322
Произвольный выпуклый четырехугольник 322
Параллелограмм ......................................322
Ромб .......................................................323
Прямоугольник ........................................323
Квадрат .................................................323
Трапеция .................................................323
Многогранники ..............................................323
Прямая призма .......................................323
Произвольная призма ...............................323
Прямоугольный параллелепипед ................323
Произвольная пирамида ...........................324
Правильная пирамида .............................324
Правильный тетраэдр .............................324
Произвольная усеченная пирамида ............324
Правильная усеченная пирамида ..............324
Цилиндр ..................................................324
Конус ......................................................325
Усеченный конус .....................................325
Шар ........................................................325
Шаровой сектор.......................................325
Шаровой сегмент .....................................325
Ответы к тестам .................................................326
Ответы к заданиям части 1 (В1–В12) ...............326
Ответы к заданиям части 2 .............................327
Ответы к заданиям для самостоятельной работы ..........................................................330
Литература .......................................................340
??????????
www.phoenixbooks.ru
Серия «Весь ЕГЭ: от В до С»
Манова Альбина Николаевна
ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ
11-й класс
У
ЧЕБНОЕ
ПОСОБИЕ
Ответственный редактор С. Осташов
Технический редактор Л. Багрянцева
Художник В. Вартанов
Корректоры Н. Никанорова, В. Югобашян
Подписано в пе чать 10.03.2011.
Формат 84Ч108/32. Бум. тип. № 2. Гарнитура School. Печать офсетная. Усл. п. л. 18,48. Тираж 2500 экз. Зак. № ООО «Феникс»
344082, г. Ростов-на-Дону, пер. Халтуринский, 80
Отпечатано с готовых диапозитивов в ЗАО «Книга» 344019, г. Ростов-на-Дону, ул. Советская, 57
www.phoenixbooks.ru
Автор
phoenixbooks
Документ
Категория
Методические пособия
Просмотров
1 625
Размер файла
230 Кб
Теги
егэ, учеб, класс, математика, пособие, готовимся
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа