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Комплексные упражнения по математике для подготовке к ЕГЭ и олимпиадам (с решениями) 7-11 классы

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Комплексные упражнения по математике для подготовки
к ЕГЭ и олимпиадам
(с решениями)
7?11 классы
? Графики
? Уравнения
? Неравенства
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2010
www.phoenixbooks.ru
??? 373.167.1:51
??? 22.1?72
??? 444
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?????): 7?11 ?????? / ?.?. ??????. ? ???-
??? ?/? : ??????, 2010. ? 219, [3] ?. ? (????-
??? ????????).
ISBN 978-5-222-16526-3
? ???????????? ??????? ?????????? ??????????? ??-
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???????? ???? ?????????? ? ???, ??? ?????? ?? ??? ?????????? ????????? ??? ?? ????????? ??????????, ? ???-
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???, ???????? ?????????? ???????? ?? ?????, ?????????? ???????? ???????? ????????? ????????? ??????????, ? ????????? ??????? ????????? ????????? ??????? ????? ?????????????????? ????????. ??? ?????????? ???????? ?????????, ? ?????? ????? ?????????? ?????? ??? ???????-
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??????????????? ???? ??? ?????????? ? ?????????? ???-
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??? 373.167.1:51
ISBN 978-5-222-16526-3 ??? 22.1?72
© ?????? ?.?., 2010
© ??????????: ??? «??????», 2010
www.phoenixbooks.ru
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www.phoenixbooks.ru
4
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??? ?????????? ????????? ? ???????? ?????????.
www.phoenixbooks.ru
????? 1. ??????????? ??????????. 7?9 ?????? 5
????? 1
??????????? ?????????? 7?9 ??????
§1. ??????? ???????
????????? ??????? ???????.
1.
y + 2
y
= 2
x
+ |x|.
???????.
1) 0,0,
;
2 2
x y
y x
y x
0,0,
2 2;
x y
y y x x
0,0,
.
x y
x y
2) 0,0,
;
2 2
x y
y x
y x
0,0,
2 2;
x y
y y x x
0,0,
3.
x y
y x
?????? 2) ??????????.
3) 0,0,
;
2 2
x y
y x
y x
0,0,
.
x y
y x
?????? 3) ??????????.
1
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6
??????????? ?????????? ?? ??????????...
4) 0,0,
;
2 2
x y
y x
y x
0,0,
1
.
3
x y
y x
2.
x
y
= y
x
.
???????.
D: x 0, y 0.
1) 0,0,
;
x y
x y
y x
2 2
0,0,
0;
x y
y x
0,0,
.
x y
y x
2) 0,0,
;
x y
x y
y x
2 2
0,0,
;
x y
y x
? ?????? ???????-
???.
3) 0,0,
;
x y
x y
y x
2 2
0,0,
;
x y
y x
? ?????? ???????-
???.
4) 0,0,
;
x y
x y
y x
2 2
0,0,
;
x y
x y
y = x.
0?1 1 2 x
y
1
0?1?2 1 2 x
y
1
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????? 1. ??????????? ??????????. 7?9 ?????? 7
3.
|x| + |y| = 2x.
???????.
?? ??????? , ??? x 0, ????? 2x ? |y| = |x|.
???????? 2 ??????.
1) 0,0,
2;
x y
x y x
0,0,
.
x y
y x
2) 0,0,
2;
x y
x y x
0,0,
.
x y
y x
4.
|y| = 0
3 tg45
1
x
x
.
???????.
D: x 0, x 1. |y| = 3 1 1
1x
; |y| = 2
1x
.
1) 0,
2
;
1
y
y
x
2) 0,
2
.
1
y
y
x
0
?1
2 x
y
1
1
0
?1
?2
?3
1
2
3
3 4
5
2
x
y
1
www.phoenixbooks.ru
8
??????????? ?????????? ?? ??????????...
5.
y = 2
3
2 4
8
x x
x
.
???????.
D: x ±2.
1) 0,
1
;
2
x
y
x
2) 2
3
0,
2 4
;
( 8)
x
x x
y
x
0,
1
.
2
x
y
x
6.
|y|y = 2
4 4 1
1 2
x x
x
.
???????.
D: x 1
2
.
|y|y = 2
(1 2 )
1 2
x
x
=
= 2
1 2
1 2
x
x
= |1 ? 2x| y 0, |y| = y,
y
2
= |1 ? 2x|, y = 1 2x
.
0
?1
?1
?2
?2
?3
?3
?4
?4
1
2
2
3
3
4
4
x
y
1
0
?1 ?0,5
0,5
0,5
1
2
2
x
y
1
www.phoenixbooks.ru
????? 1. ??????????? ??????????. 7?9 ?????? 9
7.
y = 2
4
(4 )
x
x
.
???????.
?
4
x
0 x = 0, ????? y = 1.
8.
y = 2
4 4
(3 )
x x
x
.
???????.
y = 2
( 2)
(3 )
x
x
?(x ? 2)
2
= 0; x = 2,
????? y = 1.
9.
y = sin 30 ctg 60 · 2
9
3
x
x
.
???????.
D: x ±3.
1) 2
0,
1 1 9 1
( 3)
2 3 3 6
x
x
y x
x
2) 2
0,
1 9 1
( 3)
6 3 6
x
x
y x
x
0?1
?1
1
2
2
x
y
1
0
?1
1
2
2
x
y
1
0
?1
?1
?2?3
1
2
3
x
y
1
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10
??????????? ?????????? ?? ??????????...
10.
y = 2 2
5
sin
4
x x
.
???????.
y = |x|
2
sin
4
x
=
=|x|
2
sin
4
x
= |x|
1
2
x
;
D: x 0,5.
11.
y = 1
3
2
8 6 ( 2)
x
x x x
? 0
2
4(3 )x
x
.
???????.
y = 3
( 2)
2
x
x
? 2
4x
= |x ? 2| ? 2|x|;
D: 3,
2,
0.
x
x
x
1) 0,
2 2;
x
y x x
0,
2;
x
y x
0
?1 0,5
1
x
y
1
0
0
?1
?1
?2
?3
?4
?2
?3
2
3
2
x
y
1
1
2
www.phoenixbooks.ru
????? 1. ??????????? ??????????. 7?9 ?????? 11
2) 0 2,
2 2 3 2;
x
y x x x
3) 2,
2 2 2.
x
y x x x
12.
y = 2
9
3
x
x
+ 2 1
1
k
k
x
x
? x
k
? 2x
0
.
???????.
y = ( 3)( 3)
3
x x
x
+ x
2k ? 1 ? k + 1
? x
k
? 2 =
= ( 3)( 3)
3
x x
x
+ x
k
? x
k
? 2 = ( 3)( 3)
3
x x
x
? 2;
D: 0,
3.
x
x
1) 3,
3 2;
x
y x
3,
1.
x
y x
2) 3,
( 3)( 3)
2;
( 3)
x
x x
y
x
3,
5.
x
y x
0
?1?2
?5
?8
?5
1
1
4
x
y
3
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12
??????????? ?????????? ?? ??????????...
13.
y = |x ? 2| + (x + 1)
2
? 4x + (2 ? x)(x + 2).
???????.
y = |x ? 2| + x
2
+ 2x + 1 ? 4x ? (x
2
? 4) =
= |x ? 2| ? 2x + 5.
1) 2,
2 2 5;
x
y x x
2,
3 7.
x
y x
2) 2,
2 2 5;
x
y x x
2,
3.
x
y x
14.
y = 2
x
x
.
???????.
y = 2
x
x
= |x|;
D: x 0.
1) 0,
;
x
y x
2) 0,
.
x
y x
0
?1
?2
1
2
3
x
y
3
7
1
0
?1?2
1
2
2
x
y
1
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????? 1. ??????????? ??????????. 7?9 ?????? 13
15.
y = 2
x
x
.
???????.
y = 2
x
x
= 1
x
y > 0;
D: x 0.
1) 0,
1
;
x
y
x
2) 0,
1
.
x
y
x
16.
y = 3
x
x
.
???????.
D: x 0.
1) 2
0,
;
x
y x
2) 2
0,
.
x
y x
17.
y = 3
x
x
.
???????.
D: x 0.
0
?1
?2
1
2
3
2
x
y
1
0
?1
?2
?1
?2
?3
?4
1
2
3
4
2
x
y
1
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14
??????????? ?????????? ?? ??????????...
1) 2
0,
1
;
x
y
x
2) 2
0,
1
.
x
y
x
18.
y = 1
3 4
2
4 2
16 8
· x
2+3n
x
?3n
+ (?1)
2n+1
.
???????.
y = 1
6 4
8 3
2 2
2 2
· x
2
x
3n
x
?3n
? 1;
y = 1
10
11
2
2
· x
2
? 1 = 2x
2
? 1;
y = 2x
2
? 1.
19.
y = 2
4
x
x
x
.
???????.
D: 0,
4.
x
x
1) 0 4,
2 4;
x
y x
2) 0,
2 4.
x
y x
0
?1
?2
?3
?1
?2
?3
?4
1
2
3
3
4
2
x
y
1
0
?1
?1
?2
1
2
2
3
x
y
1
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????? 1. ??????????? ??????????. 7?9 ?????? 15
20.
y ? |y| = x ? |x|.
???????.
1) 0,0,
,
0 0;
x y
y y x x
2) 0,0,
,
;
x y
y y x x
y x
0
?1
?1
?2?3
?4
?5
?2
?3
?4
?5
1
2 3
4
5
2
3
4
5
x
y
1
0
?1
?1
?2
?3
?2?3
1
2
3
2
3
x
y
1
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220
??????????? ?????????? ?? ??????????...
??????????
1. ?????? ?.?. ?????????? ?? ?????????? ??? ?????????? ? ???. ? ?????? ?/?, 2008.
2. ?????? ?.?. ????????? ?? ?????????? ??? ??-
????????? ? ????. ???. 8-?. ? ?????? ?/?, 2010.
3. ?????? ?.?. ??????????. ????-????????? ??? ???????????. ? ?????? ?/?, 2006.
4. ?????? ?.?. ??????????? ?????????? ? ????-
???? ????????????? ??????? ? ??? ?? ??????????. ???. 2-?. ? ?????? ?/?, 2004.
5. ?????? ?.?. ??????????? ?????????? ?? ??-
???????? ? ?????????. 7?11 ??????. ? ???????, 1995.
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?????????? 221
??????????
??????????? .......................................................3
????? 1. ??????????? ?????????? 7?9 ?????? ....5
§1. ??????? ??????? ...........................................5
?????? ??? ???????????????? ??????? ............31
§2. ????????? ...................................................33
?????? ??? ???????????????? ??????? ............57
§3. ??????????? .................................................58
?????? ??? ???????????????? ??????? ............88
????? 2. ??????????? ?????????? 10?11 ?????? .......................................................90
§4. ??????? ??????? .........................................90
?????? ??? ???????????????? ??????? ..........116
§5. ????????? .................................................118
?????? ??? ???????????????? ??????? ..........146
§6. ??????????? ...............................................148
?????? ??? ???????????????? ??????? ..........170
????? 3. ??????? ????????????? ???????? ?? ????? ?????????? 7?11 ??????? ................173
???????? ??????????? .....................................173
??????? .........................................................177
§1. ????? ? ???????? ????????? ......................178
§2. ?????????????? ????????? .........................190
§3. ????????? .................................................197
§4. ????????????? ?????????????? ????????????? ? ??????????????? ????????? ................................................204
§5. ??????????? ...............................................207
§6. ??????? ...................................................213
?????????? ............................................................220
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??????? ????????
?????? ?????? ??????????
Комплексные упражнения
по математике
для подготовки к ЕГЭ
и олимпиадам
(с решениями)
7?11 классы
????????????? ???????? ?. ???????
??????????? ???????? ?. ??????????
??????? ?. ????????
???????????? ??????? ?. ????????
?????????? ?. ??????????, ?. ????????
????? ? ????? 25.08.2009. ????????? ? ?????? 15.11.2009.
?????? 84 108 1/32. ?????? ??? ? 2.
????????? SchoolBook?. ?????? ????????. ???. ???. ?. 11,76. ????? 2500 ???. ????? ?
??? «??????»
344082, ?. ??????-??-????, ???. ????????????, 80.
?????????? ? ??????? ???????????? ? ??? «?????»
344019, ?. ??????-??-????, ??. ?????????, 57.
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