close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Математика тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ 7-11 классы

код для вставкиСкачать
 .. 7
11
• 20 новых тестов
• Решения вариантов
• Анализ типичных ошибок
• Краткая теория и справочные материалы по курсу алгебры и геометрии
Ростов-на-Дону
еникс
2011
www.phoenixbooks.ru
УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я72
КТК 444
Б20
Балаян Э.Н.
Б20 Математика : тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ : 7–11 классы / Э.Н. Балаян. — Ростов н/Д : Феникс, 2011. — 319 с. — (Большая перемена)
ISBN 978-5-222-18061-7
Предлагаемая вниманию читателя книга предназна-
чена для самостоятельной и эффективной подготовки выпускников к сдаче ЕГЭ по математике.
В книге содержится 20 новых типовых тестов.
В ней классифицированы типичные ошибки, до-
пускаемые абитуриентами на ЕГЭ, дается их анализ с указанием причин таких ошибок. Упражнения для са-
мостоятельного решения позволят закрепить усвоенный материал.
Для удобства пользования книгой приводятся краткие теоретические сведения по курсу математики 7–11 клас-
сов, основные справочные материалы и таблицы.
Книга адресована старшеклассникам общеобразова-
тельных школ, абитуриентам, слушателям подготови-
тельных отделений вузов, учителям математики средних школ, гимназий, лицеев и репетиторам.
УДК 373.167.1:51
ISBN 978-5-222-18061-7 ББК 22.1я72
© Балаян Э.Н., 2010
© Оформление, ООО «Феникс», 2010
www.phoenixbooks.ru
Предисловие 3
Посвящается моим близким друзьям и коллегам — Гзогян Сурену Николаевичу и Людми-
ле Васильевне.
Предисловие
Содержащиеся в книге 20 новых типовых тестов написаны в соответствии с новым кодификатором требований к уровню подготовки выпускников по математике и спецификацией.
В экзаменационную работу 2011 г. включена группа заданий, выполнение которых будет свиде-
тельствовать о наличии у выпускника общемате-
матических навыков, которые понадобятся в совре-
менном обществе. Задания этой группы преследуют цель проверить вычислительные и логические уме-
ния и навыки, умение анализировать информацию, ориентироваться в простейших ситуациях.
В экзаменационную работу не включены задания с выбором ответа (типа А). Кроме того, по сравне-
нию с предыдущими моделями экзаменационной работы уменьшено общее число заданий, одновре-
менно увеличено число заданий и с краткими, и с развернутыми ответами.
Общее число заданий уменьшено с 26 до 18, а время на их выполнение осталось прежним — 4 часа (240 мин).
Часть 1 содержит 12 заданий базового уровня (В1–В12). Часть 2 содержит четыре задания повы-
шенного уровня (С1–С4) и два задания высокого уровня (С5–С6).
www.phoenixbooks.ru
4
Математика. Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ
Оптимальное соотношение теоретического и практического материала (тесты, тренировочные упражнения с решениями и для самостоятельного решения, анализ типичных ошибок на ЕГЭ) позво-
ляет одновременно совместить функции учебного пособия, репетитора для самостоятельных занятий и экзаменатора для самопроверки.
Назначение предлагаемой книги определило и ее структуру. Книга состоит из шести глав.
В первой главе приводятся 20 новых тестов и ин-
струкция по выполнению работы.
Во второй главе варианты № 1 и 10 приводятся с полными решениями и обоснованиями с тем, что-
бы читатель мог самостоятельно решить остальные варианты.
В третьей главе приводятся типичные ошибки, допускаемые абитуриентами и выпускниками на ЕГЭ и вступительных экзаменах в вузе, в том числе вычислительные ошибки, ошибки в тождественных преобразованиях, при решении различных типов уравнений, неравенств, при исследовании функ-
ций, их свойств и построении графиков.
Ошибки классифицированы, указаны их при-
чины и приведены правильные решения. Следует отметить, что большинство ошибок абитуриенты делают от незнания правил, неумения применять их на практике. Для устранения этих пробелов при-
водятся боле 200 примеров для самостоятельного решения, которые помогут закрепить усвоенный материал (в пособии они отмечены темным круж-
ком перед каждым номером, например ● 18).
www.phoenixbooks.ru
Предисловие 5
В четвертой и пятой главах для удобства поль-
зования книгой приводятся краткие теоретические сведения по курсу алгебры и геометрии 7–11 классов.
В заключительной, шестой главе приводятся основные формулы алгебры и начал анализа (спра-
вочные материалы).
В дополнение к этой книге и для основательной подготовки к ЕГЭ автор настоятельно рекомендует использовать вышедшие в издательстве «Феникс» книги «Репетитор по математике для старше-
классников и поступающих в вузы» (9-е издание) и «Сборник задач по математике для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам» (9–11-е классы).
www.phoenixbooks.ru
6
Математика. Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ
Спецификация контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2010 г. по математике
1. Преамбула
Представленная модель экзаменационной работы по математике (кодификаторы элементов содержа-
ния и требований к уровню подготовки выпускни-
ков, спецификация, демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов и система оценивания экзаменационной работы) предназначе-
на для использования в качестве комплекта норма-
тивных документов, регламентирующих разработ-
ку контрольных измерительных материалов ЕГЭ по математике в 2010 г., и имеет некоторые отличия от моделей предыдущих лет.
В соответствии с нормативными документами 2009 г. результат выполнения экзаменационной работы ЕГЭ не влияет на аттестационную отметку выпускника. По результатам ЕГЭ устанавливается только пороговый балл, достижение которого необ-
ходимо для получения аттестата о среднем (полном) общем образовании. В этих условиях в экзамена-
ционную работу 2010 г. включена группа заданий, выполнение которых свидетельствует о наличии у выпускника общематематических навыков, необхо-
димых человеку в современном обществе. Задания этой группы проверяют базовые вычислительные и логические умения и навыки, умение анализи-
ровать информацию, представленную в графиках и www.phoenixbooks.ru
Спецификация КИМ ЕГЭ 2010 г. по математике 7
таблицах, ориентироваться в простейших геометри-
ческих конструкциях.
В экзаменационную работу не включены зада-
ния с выбором ответа, что отвечает существующим традициям преподавания математики в российской школе и позволяет качественно проверить усвоение математических знаний, умений и навыков на базо-
вом уровне. По сравнению с предыдущими моделя-
ми экзаменационной работы общее число заданий уменьшено. В то же время число заданий с кратким и с развернутым ответом увеличено.
В целях более эффективного отбора выпускников для продолжения образования в высших учебных заведениях с различными требованиями к уровню математической подготовки учащихся расширена вторая часть работы, состоящая из заданий с раз-
вернутым ответом. Задания этой части предназна-
чены для проверки знаний на том уровне требова-
ний, который традиционно предъявляется вузами с профильным экзаменом по математике. Последние два задания второй части предназначены для кон-
курсного отбора в вузы с повышенными требова-
ниями к математической подготовке абитуриентов.
Значительно изменена по сравнению с предыду-
щими моделями система оценивания заданий с раз-
вернутым ответом. Новая система, продолжающая традиции выпускных и вступительных экзаменов по математике, основывается на следующих принципах:
1. Возможны различные способы решения и запи-
си развернутого ответа. Главное требование — ре-
шение должно быть математически грамотным, из него должен быть понятен ход рассуждений автора работы. В остальном (метод, форма записи) решение может быть произвольным. Полнота и обоснован-
www.phoenixbooks.ru
8
Математика. Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ
ность рассуждений оцениваются независимо от вы-
бранного метода решения.
2. При решении задачи можно использовать без доказательств и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных по-
собиях, допущенных или рекомендованных Мини-
стерством образования и науки РФ.
Настоящая модель экзаменационной работы разработана в предположении, что варианты ЕГЭ могут формироваться с использованием открытого банка заданий, доступного школьникам, учителям и родителям.
Экзаменационные задания разрабатываются на основе Федерального компонента государственного образовательного стандарта среднего (полного) об-
щего образования. Тексты заданий предлагаемой модели экзаменационной работы в целом соответ-
ствуют формулировкам, принятым в учебниках и учебных пособиях, включенных в федеральный перечень.
2. Назначение контрольных измерительных материалов
Контрольные измерительные материалы позво-
ляют установить уровень освоения выпускниками федерального компонента государственного обра-
зовательного стандарта среднего (полного) общего образования.
Результаты единого государственного экзамена по математике признаются общеобразовательны-
ми учреждениями, в которых реализуются образо-
вательные программы среднего (полного) общего образования как результаты государственной (ито-
говой) аттестации, а образовательными учрежде-
www.phoenixbooks.ru
Спецификация КИМ ЕГЭ 2010 г. по математике 9
ниями среднего профессионального образования и образовательными учреждениями высшего профес-
сионального образования как результаты вступи-
тельных испытаний по математике.
3. Документы, определяющие нормативно-
правовую базу экзаменационной работы
Содержание экзаменационной работы определя-
ется на основе Федерального компонента государ-
ственного стандарта основного общего и среднего (полного) общего образования (приказ Минобразо-
вания России «Об утверждении федерального ком-
понента государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) об-
щего образования» от 05.03.2004 г. № 1089).
4. Характеристика структуры и содержания экзаменационной работы
Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий. Определяющим признаком каждой части работы является форма заданий:
– часть 1 содержит задания с кратким ответом;
– часть 2 содержит задания с развернутым ответом.
Задания с кратким ответом части 1 экзамена-
ционной работы предназначены для определения математических компетентностей выпускников образовательных учреждений, реализующих про-
граммы среднего (полного) общего образования на базовом уровне.
Задание с кратким ответом считается выпол-
ненным, если верный ответ зафиксирован в бланке www.phoenixbooks.ru
Спецификация КИМ ЕГЭ 2010 г. по математике 17
Обобщенный план контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2010 г. по математике
Обозначение заданий в работе и бланке ответов: В — задания с кратким ответом, С — задания с развернутым ответом.
Уровни сложности задания: Б — базовый, П — повышенный, В — высокий.
№ п/п
Обо-
зна-
чение зада-
ния в работе
Проверяемые тре-
бования (умения)
Коды про-
веряемых требо-
ваний (умений) (по КТ)
Коды про-
веряемых элементов содержания (по КЭС)
Уро-
вень слож-
ности зада-
ния
Макси-
маль-
ный балл за выпол-
нение зада-
ния
Пример-
ное время выпол-
нения задания учащим-
ся, изу-
чавшим матема-
тику на базовом уровне
Пример-
ное время выпол-
нения задания учащим-
ся, изу-
чавшим математи-
ку на про-
фильном уровне
123456789
1В1
Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической дея-
тельности и повсе-
дневной жизни
6.1
1.1.1, 1.1.3, 2.1.12
Б152
www.phoenixbooks.ru
18
Математика. Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ
123456789
2В2
Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической дея-
тельности и повсе-
дневной жизни
3.1, 6.23.1–3.3, 6.2.1Б152
3В3
Уметь решать урав-
нения и неравен-
ства
2.12.1Б183
4В4
Уметь выполнять действия с геомет-
рическими фигура-
ми, координатами и векторами
4.1, 1.2, 1.3
5.1.1, 5.5.1, 1.1, 1.2, 1.4
Б1103
5В5
Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической дея-
тельности и повсе-
дневной жизни
6.2, 6.3
1.4.1, 2.1.12, 6.2.1
Б1157
Продолжение табл.
www.phoenixbooks.ru
Спецификация КИМ ЕГЭ 2010 г. по математике 19
123456789
6В6
Уметь выполнять действия с геомет-
рическими фигура-
ми, координатами и векторами
4.1, 5.2
5.1.1–5.1.4, 5.5.5
Б1145
7В7
Уметь выполнять вычисления и пре-
образования
1.1–1.31.1–1.4Б1103
8В8
Уметь выполнять действия с функ-
циями
3.1–3.34.1–4.2Б1145
9В9
Уметь выполнять действия с геомет-
рическими фигура-
ми, координатами и векторами
4.25.2–5.5Б1255
10В10
Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической дея-
тельности и повсе-
дневной жизни
6.2–6.32.1–2.2Б12210
Продолжение табл.
www.phoenixbooks.ru
20
Математика. Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ
123456789
11В11
Уметь выполнять действия с функ-
циями
3.2–3.34.1–4.2Б12010
12В12
Уметь строить и ис-
следовать простей-
шие математиче-
ские модели
5.12.1–2.2П22210
13С1
Уметь решать урав-
нения и неравен-
ства
2.1–2.32.1–2.2П23020
14С2
Уметь выполнять действия с геомет-
рическими фигура-
ми, координатами и векторами
4.2–4.35.2–5.6П34025
15С3
Уметь решать урав-
нения и неравен-
ства
2.32.1–2.2П3—30
Продолжение табл.
www.phoenixbooks.ru
22
Математика. Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ
Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников по математике для составления контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2010 г.
Кодификатор требований к уровню подготовки по математике выпускников средней (полной) шко-
лы составлен на основе Обязательного минимума содержания основных образовательных программ и Требований к уровню подготовки выпускни-
ков средней (полной) школы (Приказ МО РФ «Об утверждении федерального компонента Государ-
ственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования от 05.03.2004 г. № 1089).
Кодификатор требований по всем разделам включает в себя требования к уровню подготовки выпускников средней (полной) школы (базовый уровень). В соответствии со стандартом средней (полной) школы в требования к уровню подготовки включаются также знания, необходимые для освое-
ния соответствующих умений.
В первом столбце таблицы указаны коды разде-
лов, на которые разбиты требования к уровню под-
готовки по математике. Во втором столбце указан код требования, для которого создаются экзамена-
ционные задания. В третьем столбце указаны требо-
вания (умения), проверяемые заданиями экзамена-
ционной работы.
www.phoenixbooks.ru
Кодификатор требований к уровню подготовки... 23
Код раз-
дела
Код контроли-
руемого требования (умения)
Требования (умения), проверяемые зада-
ниями экзаменационной работы
1 2 3
1
Уметь выполнять вычисления и преобра-
зования
1.1
Выполнять арифметические действия, сочетая устные и письменные приемы; на-
ходить значения корня натуральной степе-
ни, степени с рациональным показателем, логарифма
1.2
Вычислять значения числовых и буквен-
ных выражений, осуществляя необходи-
мые подстановки и преобразования
1.3
Проводить по известным формулам и пра-
вилам преобразования буквенных выраже-
ний, включающих степени, радикалы, ло-
гарифмы и тригонометрические функции
2
Уметь решать уравнения и неравенства
2.1
Решать рациональные, иррациональные, показательные, тригонометрические и ло-
гарифмические уравнения, их системы
2.2
Решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков; использовать для прибли-
женного решения уравнений и неравенств графический метод
2.3
Решать рациональные, показательные и логарифмические неравенства, их системы
3
Уметь выполнять действия с функциями
3.1
Определять значение функции по значе-
нию аргумента при различных способах задания функции; описывать по графику поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наи-
меньшие значения; строить графики из-
ученных функций
www.phoenixbooks.ru
24
Математика. Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ
1 2 3
3.2
Вычислять производные и первообразные элементарных функций
3.3
Исследовать в простейших случаях функ-
ции на монотонность, находить наиболь-
шие и наименьшие значения функций
4
Уметь выполнять действия с геометриче-
скими фигурами, координатами и векто-
рами
4.1
Решать планиметрические задачи на на-
хождение геометрических величин (длин, углов, площадей)
4.2
Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических ве-
личин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометри-
ческих задач планиметрические факты и методы
4.3
Определять координаты точки; проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векто-
рами
5
Уметь строить и исследовать простейшие математические модели
5.1
Моделировать реальные ситуации на язы-
ке алгебры, составлять уравнения и нера-
венства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры
5.2
Моделировать реальные ситуации на язы-
ке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; ре-
шать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин
5.3
Проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения
Продолжение табл.
www.phoenixbooks.ru
Кодификатор требований к уровню подготовки... 25
1 2 3
6
Уметь использовать приобретенные зна-
ния и умения в практической деятельно-
сти и повседневной жизни
6.1
Анализировать реальные числовые дан-
ные; осуществлять практические расчеты по формулам, пользоваться оценкой и при-
кидкой при практических расчетах
6.2
Описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами и интерпретировать их графики; извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках
6.3
Решать прикладные задачи, в том числе социально-экономического и физического характера, на наибольшее и наименьшее значения, на нахождение скорости и уско-
рения
Окончание табл.
www.phoenixbooks.ru
26
Математика. Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ
Глава 1
ТЕСТЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ
§1. Инструкция по выполнению работы
На выполнение экзаменационной работы по ма-
тематике дается 4 часа (240 мин). Работа состоит из двух частей и содержит 18 заданий.
Часть 1 содержит 12 заданий с кратким ответом (В1–В12) базового уровня по материалу курса ма-
тематики. Задания части 1 считаются выполнен-
ными, если экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.
Часть 2 содержит 6 более сложных заданий (С1–
С6) по материалу курса математики. При их выпол-
нении надо записать полное решение и ответ.
Советуем для экономии времени пропускать за-
дание, которое не удается выполнить сразу, и пе-
реходить к следующему. К выполнению пропущен-
ных заданий можно вернуться, если у вас останется время.
Желаем успеха!
www.phoenixbooks.ru
Глава 1. Тесты для подготовки к ЕГЭ 27
ВАРИАНТ 1
Часть 1
Ответом на задания В1–В2 должны быть целое число или конечная десятичная дробь.
Ответ следует записать в бланк ответов № 1 справа от номера выполняемого задания, начиная с первой клеточки.
Каждую цифру, знак «минус» и запятую пиши-
те в отдельной клеточке в соответствии с приве-
денными в бланке образцами. Единицы измерения писать не нужно.
В1.
Билет на автобус стоит 10 рублей. Какое мак-
симальное число билетов можно будет купить на 50 рублей после повышения цены билета на 20%?
В2. На графике показано изменение темпера-
туры в классе после включения кондиционера. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат — температура в градусах Цельсия. Когда температура достигает определенного значения, кондиционер автоматически выключается и тем-
T, °C
t (мин)
8642 10 18161412 20
18
20
28
26
24
22
30
34
32
0
www.phoenixbooks.ru
28
Математика. Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ
пература начинает расти. По графику определите, сколько минут работал кондиционер до первого вы-
ключения.
В3.
Найдите корень уравнения 13
1
3
x
= 27.
В4.
В ABC C = 90°, AB = 15, AC = 12. Найдите sin A.
В5.
Мебельная фабрика планирует приобрести 180 м
2
фанеры у одного из трех поставщиков. Цены и условия доставки приведены в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую по-
купку с доставкой?
По-
став-
щик
Стоимость фанеры (руб. за 1 м
2
)
Стоимость доставки
Дополнительные условия
I 35 1000 руб.При заказе на сумму больше 6000 руб. доставка бесплатно
II 34 2000 руб.
III 33 3000 руб.При заказе на сумму больше 6000 руб. доставка бесплатно
В6.
Найдите площадь треугольни-
ка, изображенного на клетчатой бу-
маге с размером клетки 1 см 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
В7.
Найдите значение выраже-
ния 3
2 log 7
3
.
В8.
На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точ-
ке с абсциссой x
0
. Найдите значение производной функции f(x) в точке x
0
.
1 см
www.phoenixbooks.ru
Глава 2. Решения вариантов 1, 10 103
Глава 2
РЕШЕНИЯ ВАРИАНТОВ 1, 10
ВАРИАНТ 1
Часть 1
В1.
Решение.
20% = 20 : 100 = 0,2; 10 · 0,2 = 2 рубля — на-
столько повысилась цена билета, тогда 10 + 2 =
= 12 рублей — новая цена. Значит, на 50 рублей мож-
но купить 50 : 12 = 1
4
6
, т. е. максимально 4 билета.
Ответ: 4.
В2.
Решение.
Как видно из рисунка, до первого выключения кондиционер работал 4 минуты при температуре 20 °С.
Ответ: 4.
В3.
Решение.
Так как 27 = 3
3
= 3
1
3
, то получим
13
1
3
x
= 3
1
3
, или x – 13 = –3, откуда x = 10.
Ответ: 10.
www.phoenixbooks.ru
104
Математика. Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ
В4.
Решение.
По определению сину-
са острого угла имеем sin A = BC
AB
= 15
BC
.
Длину катета BC най-
дем по теореме Пифаго-
ра AC
2
+ BC
2
= AB
2
, или BC
2
= 15
2
– 12
2
, BC
2
= 81, откуда BC = 9.
Значит, sin A = 9
15
= 3
5
= 0,6.
Ответ: 0,6.
В5.
Решение.
Для первого поставщика стоимость фанеры 35 · 180 = 6300 > 6000,
поэтому доставка бесплатна и стоимость покупки равна 6300 рублей.
Для второго поставщика стоимость фанеры 34 · 180 = 6120
плюс доставка 2000, тогда стоимость покупки равна 8120 рублей.
Для третьего стоимость фанеры
33 · 180 = 5940 < 6000,
поэтому доставка составит 3000 и стоимость покуп-
ки будет равна 5940 + 3000 = 8940 рублей.
Следовательно, за самую дешевую покупку с до-
ставкой придется заплатить 6300 рублей.
Ответ: 6300.
В6.
Решение.
S
ABC
= 1
2
AB · CD, где AB = 3 см —
основание, CD = 2 см — высота. Тогда S
ABC
= 1
3 2
2
= 3 (см
2
).
Ответ: 3.
12
15
A
B
C
1 см
A
B
CD
www.phoenixbooks.ru
124
Математика. Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ
Глава 3
ТИПИЧНЫЕ ОШИБКИ АБИТУРИЕНТОВ НА ЕГЭ И ПИСЬМЕННОМ ЭКЗАМЕНЕ
§2. Вычислительные ошибки
2.1. Действия с обыкновенными и десятичными дробями
Пример 1.
4
5
+ 5
6
9
11
.
Правильное решение.
4
5
+ 5
6
= 6 4 5 5
30
= 24 25
30
= 49
30
= 1
19
30
.
Пример 2.
7 – 3
4
6
3
4
.
Правильное решение. 7 – 3
4
= 6
4
4
– 3
4
= 6
1
4
.
Пример 3.
11
5
8
– 7
3
5
4
2
40
.
Правильное решение. 11
5
8
– 7
3
5
= 4
25 24
40
= 4
1
40
.
www.phoenixbooks.ru
Глава 3. Типичные ошибки абитуриентов на ЕГЭ 125
Пример 4.
12,70
8,43
4,33
— неверное решение.
Правильное решение. 12,70
8,43
4,27
Пример 5.
18,6 · 0,001 0,186.
Правильное решение. 18,6 · 0,001 = 0,0186.
Пример 6.
26,4 : 0,04 66.
Правильное решение. 26,4 : 0,04 = 2640 : 4 = 660.
2.2. Нахождение значений выражений, содержащих степени
Пример 7.
Найдите значение выражения
(5
–1
+ 7
–1
)
–2
(5
–1
)
–2
+ (7
–1
)
–2
.
Правильное решение.
(5
–1
+ 7
–1
)
–2
= 2
1 1
5 7
= 2
7 5
35
= 2
12
35
=
= 2
35
12
= 1225
144
= 8
73
144
.
Пример 8.
Вычислите: 1
2
12
· 1
2
12
1
4
12
.
Правильное решение. 1
2
12
· 1
2
12
= 1 1
2 2
12
= 12
1
= 12.
Пример 9.
Вычислите: 1
3
216
216
3
.
Правильное решение. 1
3
216
= 1
3
3
(6 )
= 6
–1
= 1
6
.
www.phoenixbooks.ru
Глава 4. Краткие теоретические сведения по курсу алгебры 195
Глава 4
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО КУРСУ АЛГЕБРЫ VII–XI КЛАССОВ
§7. Числа и числовые выражения
7.1. Число
Множество натуральных чисел обозначают сим-
волом N:
N = {1, 2, 3, …, n, …}.
Множество целых чисел обозначают символом Z:
Z = {0, ±1, ±2, ±3, …}.
Множество рациональных чисел обозначают символом Q:
Q = m
n
, где m Z, n N.
Множество действительных чисел обозначают
символом R. Это объединение множества рациональ-
ных чисел и множества иррациональных чисел.
Множество комплексных чисел обозначают сим-
волом C. Это числа вида a + bi где a и b — действи-
тельные числа, i
2
= –1.
7.2. Числовые промежутки
Это отрезки, интервалы и полуинтервалы, лучи.
Отрезок [a; b] — множество чисел x, удовлетво-
ряющих нера венствам a x b, где a < b. Например, отрезок [–3; 1] — это мно жество чисел x, удовлетво-
ряющих неравенствам –3 x 1.
www.phoenixbooks.ru
198
Математика. Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ
Простейшие выражения с модулем
a
Выражение
Равносильное выражение
Множество решений
Графическое решение
a > 0
|x| = a
,xa
xa
{–a; a}
|x| a
,xa
xa
(–; –a] [a; +)
|x| > a
,xa
xa
(–; –a) (a; +)
|x| a
,xa
xa
[–a; a]
|x| < a
,xa
xa
(–a; a)
–a
–a
–a
–a
–a
a
a
a
a
a
www.phoenixbooks.ru
Глава 5. Краткие теоретические сведения по курсу геометрии 239
Глава 5
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО КУРСУ ГЕОМЕТРИИ VII–XI КЛАССОВ
14. Планиметрия
14.1. Углы
Углом называется геометрическая фигура (рис. 1), образован ная двумя лучами, исходящими из одной точки.
Точка O — вершина угла, а лучи OA и OB — стороны угла.
Обозначение: AOB или ab.
Угол в 90° называется прямым (рис. 2).
Угол, меньший прямого, называется острым (рис. 3).
Угол, больший прямого, но мень ший развернуто-
го, называется тупым (рис. 4).
Рис. 1
Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4
A
B
O
www.phoenixbooks.ru
240
Математика. Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ
Два угла называются вер-
тикальными, если стороны одного угла являются про-
должениями сторон другого (рис. 5).
AOC и DOB; BOC и AOD — вертикальные.
Вертикальные углы равны: AOC = DOB и BOC = AOD.
Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие составляют прямую ли-
нию (рис. 6), AOC и BOC — смежные.
Рис. 5
Рис. 6
Сумма смежных углов равна 180°.
Биссектрисой угла называ-
ется луч, про ходящий между сторонами угла и деля щий его пополам (рис. 7).
Биссектрисы вертикальных углов состав ляют продолже-
ние друг друга (рис. 8).
Биссектрисы смежных уг-
лов взаимно перпендикулярны (рис. 9).
Рис. 7
Рис. 8
A
B
C
D
O
AB
C
O
www.phoenixbooks.ru
Глава 6. Основные формулы алгебры и начал анализа 285
Глава 6
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА
6.1. Уравнение I степени (линейное)
Общий вид: ax + b = 0.
1) Если a 0, a R, b R, то x = –b/a (корень уравнения).
2) Если a = 0, b 0, то корней нет.
3) Если a = b = 0, то уравнение имеет бесконечно много корней.
6.2. Уравнение II степени (квадратное)
Общий вид: ax
2
+ bx + c = 0, где a 0.
a — I (старший) коэффициент, b — II коэффици-
ент, c — свободный член.
D = b
2
– 4ac — дискриминант (различитель).
1) Если D > 0, то уравнение имеет два различных действительных корня x
1,2
= 2
b D
a
.
2) Если D = 0, то x = 2
b
a
— один корень.
3) Если D < 0, корней нет (действительных).
www.phoenixbooks.ru
286
Математика. Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ
Частные случаи
1) Неполные квадратные уравнения:
а) ax
2
+ c = 0, x
1,2
= c
a
, если a и c имеют
разные знаки; если a и c имеют одинаковые знаки, то корней нет;
б) ax
2
+ bx = 0, x
1
= 0, x
2
= –b/a;
в) ax
2
= 0, x = 0.
2) Квадратное уравнение приведенного вида
x
2
+ px + q = 0, x
1,2
= 2
2 2
p p
q
.
3) Квадратное уравнение вида
ax
2
+ 2kx + c = 0, x
1,2
= 2
k k ac
a
.
6.3. Теорема Виета
а) для квадратного уравнения общего вида:
x
1
+ x
2
= b
a
, x
1
x
2
= c
a
;
б) для приведенного вида:
x
1
+ x
2
= –p; x
1
x
2
= q.
Теорема, обратная теореме Виета
Если p, q, x
1
, x
2
таковы, что x
1
+ x
2
= –p, x
1
x
2
= q, то x
1
и x
2
— корни уравнения x
2
+ px + q = 0.
6.4. Разложение квадратного трехчлена
ax
2
+ bx + c = a(x – x
1
)(x – x
2
),
где x
1
и x
2
— корни трехчлена, D > 0.
Если D = 0, то ax
2
+ bx + c = a(x – x
1
)
2
.
www.phoenixbooks.ru
308
Математика. Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ
Приложение Условные обозначения
N — множество натуральных чисел;
Z — множество целых чисел;
Z
0
— множество целых неотрицательных чисел;
Q — множество рациональных чисел;
R — множество действительных чисел (числовая прямая);
C — множество комплексных чисел;
[a; b], или a x b — замкнутый промежуток (или отрезок) с началом a и концом b;
(a; b), или a < x < b — открытый промежуток (или интервал);
(a; b], или a < x b; [a; b), или a x < b — полуот-
крытые промежутки (полуинтервалы);
[a; +), или x a, (–; b], или x b — лучи;
(a; +), или x > a, (–; b), или x
< b — открытые лучи;
(–; +) = R — числовая прямая;
a = b — a равно b;
a b — a не равно b;
a b — a приближенно равно b;
a > b — a больше b;
a b — a больше или равно b;
a < b — a меньше b;
a b — a меньше или равно b;
a A — a принадлежит множеству A;
www.phoenixbooks.ru
Приложение 309
a A — a не принадлежит множеству A;
B A — B является подмножеством A;
A B — объединение множеств A и B;
A B — пересечение множеств A и B;
— пустое множество;
% — процент;
‰ — промилле;
НОД (a; b) — наибольший общий делитель чисел a и b;
НОК (a; b) — наименьшее общее кратное чисел a и b;
|a| — модуль (абсолютная величина) действитель-
ного числа a;
a
n
— n-я степень числа a;
n
a
— корень n-й степени из числа a;
a
— арифметический квадратный корень из числа a;
3,1415 — отношение длины окружности к
диаметру;
e 2,71828 — основание натурального логарифма;
log
a
x, где x > 0, a > 0, a 1 — логарифм числа x по основанию a;
lgx — десятичный логарифм числа x;
ln x — натуральный логарифм числа x;
sin x — синус x;
cos x — косинус x;
tg x — тангенс x;
ctg x — котангенс x;
1/sin x — косеканс x;
1/cos x — секанс x;
arcsin x — арксинус x;
arccos x — арккосинус x;
arctg x — арктангенс x;
www.phoenixbooks.ru
310
Математика. Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ
arcctg x — арккотангенс x;
x — приращение аргумента;
y — приращение функции;
y, f(x) — производная функции y = f(x) в точке x;
y
наиб
, [;]
max ( )
a b
f x
— наибольшее значение функции на отрезке [a; b];
y
наим
, [;]
min ( )
a b
f x
— наименьшее значение функции на отрезке [a; b];
( )
b
a
f x dx
— интеграл функции f(x) от a до b;
A — точка A;
a, AB — прямая a, прямая AB;
, ABС — плоскость , плоскость ABС;
ABС — треугольник ABС;
— знак угла, например, ab, ABС;
|| — знак параллельности, например, a || b, || ;
— знак перпендикулярности, например, a b, ;
— знак дуги, например, AB;
~ — знак подобия, например, ABC ~ A
1
B
1
C
1
;
M(x) — точка M на координатной прямой имеет координату x;
M(x; y) — точка M в прямоугольной (декартовой) системе координат имеет абсциссу x и ординату y;
M(x; y; z) — точка в пространстве имеет абсциссу x, ординату y, аппликату z.
www.phoenixbooks.ru
Приложение 311
Таблицы
Таблица 1
Квадраты натуральных чисел от 10 до 99
Единицы
Десятки
0123456789
1100121144169196225256289324361
2400441484529576625676729784841
390096110241089115612251296136914441521
41600168117641849193620252116220923042401
52500260127042809291630253136324933643481
63600372138443969409642254356448946244761
74900504151845329547656255776592960846241
86400656167246889705672257396756977447921
98100828184648649883690259216940996049801
www.phoenixbooks.ru
314
Математика. Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ
ЛИТЕРАТУРА
Базылев Д.Ф. Диофантовы уравнения. Спра-
вочное пособие к решению задач. — Минск: НТЦ «АПИ», 1999.
Балаян Э.Н. Репетитор по математике для стар-
шеклассников и поступающих в вузы. — 9-е изд. — Ростов н/Д: Феникс, 2010.
Балаян Э.Н. Тренировочные тесты по математи-
ке для подготовки к ЕГЭ по материалам ЕГЭ 2001–
2010 гг. — Ростов н/Д: Феникс, 2010.
Балаян Э.Н. Сборник задач по математике для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам. 9–11 классы. — Ростов н/Д: Феникс, 2010.
Балаян Э.Н. Математика. ЕГЭ. Это очень про-
сто! — 3-е изд. — Ростов н/Д: Феникс, 2010.
Белоненко Т.В. и др. Сборник конкурсных задач по математике. — СПб.: Специальная литература, 1997.
www.phoenixbooks.ru
Оглавление 315
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...........................................................3
Спецификация контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2010 г. по математике .........................................................6
Обобщенный план контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2010 г. по математике .....................17
Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников по математике для составления контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2010 г. ...........................22
Глава 1. Тесты для подготовки к ЕГЭ .......................26
§1. Инструкция по выполнению работы ....................26
Вариант 1 ............................................................27
Вариант 2 ............................................................31
Вариант 3 ............................................................35
Вариант 4 ............................................................38
Вариант 5 ............................................................41
Вариант 6 ............................................................44
Вариант 7 ............................................................48
Вариант 8 ............................................................51
Вариант 9 ............................................................54
Вариант 10 ...........................................................57
Вариант 11 ...........................................................61
Вариант 12 ...........................................................64
Вариант 13 ...........................................................67
Вариант 14 ...........................................................71
Вариант 15 ...........................................................74
Вариант 16 ...........................................................78
Вариант 17 ...........................................................81
Вариант 18 ...........................................................85
Вариант 19 ...........................................................88
Вариант 20 ...........................................................92
Ответы к тестам ....................................................95
www.phoenixbooks.ru
316
Математика. Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ
Глава 2. Решения вариантов 1, 10 .........................103
Вариант 1 ..........................................................103
Вариант 10 .........................................................113
Глава 3. Типичные ошибки абитуриентов на ЕГЭ и письменном экзамене ....................................124
§2. Вычислительные ошибки .................................124
2.1. Действия с обыкновенными и десятичными дробями ......................................................124
2.2. Нахождение значений выражений, содержащих степени .....................................125
2.3. Нахождение значений выражений, содержащих корни .......................................126
2.4. Вычисления логарифмов ...............................127
2.5. Преобразования тригонометрических выражений ..................................................127
§3. Ошибки в тождественных преобразованиях ........130
3.1. Действия с многочленами ..............................130
3.2. Действия с алгебраическими дробями .............131
3.3. Преобразования выражений, содержащих корни и степени с дробными показателями ......133
3.4. Тождественные преобразования тригонометрических выражений ....................135
§4. Ошибки при решении различных типов уравнений .....................................................136
§5. Ошибки при решении неравенств ......................154
§6. Ошибки при исследовании функций, их свойств и построении графиков ........................169
Глава 4. Краткие теоретические сведения по курсу алгебры VII–XI классов ...................................195
§7. Числа и числовые выражения ...........................195
7.1. Число ..........................................................195
7.2. Числовые промежутки ..................................195
7.3. Модуль действительного числа .......................200
7.4. Числовое выражение .....................................201
7.5. Стандартный вид числа .................................201
7.6. Целая часть числа. Дробная часть числа ..........201
7.7. Погрешность приближения ............................202
7.8. Пропорции. Производные пропорции ..............202
7.9. Периодические дроби ....................................203
7.10. Проценты...................................................205
www.phoenixbooks.ru
Оглавление 317
7.11. Деление числа на части прямо и обратно пропорционально данным ..............................206
§8. Алгебраические выражения ..............................207
8.1. Алгебраическое выражение и его ОДЗ .............207
8.2. Одночлен .....................................................208
8.3. Многочлен ...................................................209
8.4. Разложение многочлена на множители ............210
8.5. Дробь ..........................................................210
8.6. Тождество ....................................................212
8.7. Корень n-й степени из действительного числа ..212
8.8. Степень с целым и дробным показателем .........213
§9. Уравнения ......................................................214
9.1. Уравнение с одним неизвестным .....................214
9.2. Основные свойства уравнений ........................214
9.3. Общие методы решения уравнений .................216
9.4. Система двух уравнений с двумя неизвестными 217
9.5. Линейные уравнения ....................................220
9.6. Квадратные уравнения ..................................220
9.7. Теорема Виета ..............................................222
9.8. Иррациональные уравнения ...........................222
§10. Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений ....................................................224
10.1. Показательные уравнения ............................224
10.2. Показательно-степенные уравнения ..............225
10.3. Логарифмические уравнения ........................225
§11. Тригонометрические уравнения ........................226
11.1. Типы тригонометрических уравнений и методы их решения ....................................227
§12. Неравенства ...................................................228
12.1. Числовые неравенства .................................228
12.2. Основные свойства числовых неравенств ........228
12.3. Действия с неравенствами ............................229
12.4. Неравенства с одним неизвестным .................229
12.5. Рациональные неравенства ...........................231
12.6. Неравенства с модулем ................................231
12.7. Системы неравенств ....................................232
§13. Функции .......................................................233
13.1. Способы задания функции ...........................234
13.2. Монотонность функции ...............................234
www.phoenixbooks.ru
Оглавление 315
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...........................................................3
Спецификация контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2010 г. по математике .........................................................6
Обобщенный план контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2010 г. по математике .....................17
Кодификатор требований к уровню подготовки выпускников по математике для составления контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2010 г. ...........................22
Глава 1. Тесты для подготовки к ЕГЭ .......................26
§1. Инструкция по выполнению работы ....................26
Вариант 1 ............................................................27
Вариант 2 ............................................................31
Вариант 3 ............................................................35
Вариант 4 ............................................................38
Вариант 5 ............................................................41
Вариант 6 ............................................................44
Вариант 7 ............................................................48
Вариант 8 ............................................................51
Вариант 9 ............................................................54
Вариант 10 ...........................................................57
Вариант 11 ...........................................................61
Вариант 12 ...........................................................64
Вариант 13 ...........................................................67
Вариант 14 ...........................................................71
Вариант 15 ...........................................................74
Вариант 16 ...........................................................78
Вариант 17 ...........................................................81
Вариант 18 ...........................................................85
Вариант 19 ...........................................................88
Вариант 20 ...........................................................92
Ответы к тестам ....................................................95
www.phoenixbooks.ru
316
Математика. Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ
Глава 2. Решения вариантов 1, 10 .........................103
Вариант 1 ..........................................................103
Вариант 10 .........................................................113
Глава 3. Типичные ошибки абитуриентов на ЕГЭ и письменном экзамене ....................................124
§2. Вычислительные ошибки .................................124
2.1. Действия с обыкновенными и десятичными дробями ......................................................124
2.2. Нахождение значений выражений, содержащих степени .....................................125
2.3. Нахождение значений выражений, содержащих корни .......................................126
2.4. Вычисления логарифмов ...............................127
2.5. Преобразования тригонометрических выражений ..................................................127
§3. Ошибки в тождественных преобразованиях ........130
3.1. Действия с многочленами ..............................130
3.2. Действия с алгебраическими дробями .............131
3.3. Преобразования выражений, содержащих корни и степени с дробными показателями ......133
3.4. Тождественные преобразования тригонометрических выражений ....................135
§4. Ошибки при решении различных типов уравнений .....................................................136
§5. Ошибки при решении неравенств ......................154
§6. Ошибки при исследовании функций, их свойств и построении графиков ........................169
Глава 4. Краткие теоретические сведения по курсу алгебры VII–XI классов ...................................195
§7. Числа и числовые выражения ...........................195
7.1. Число ..........................................................195
7.2. Числовые промежутки ..................................195
7.3. Модуль действительного числа .......................200
7.4. Числовое выражение .....................................201
7.5. Стандартный вид числа .................................201
7.6. Целая часть числа. Дробная часть числа ..........201
7.7. Погрешность приближения ............................202
7.8. Пропорции. Производные пропорции ..............202
7.9. Периодические дроби ....................................203
7.10. Проценты...................................................205
www.phoenixbooks.ru
Оглавление 317
7.11. Деление числа на части прямо и обратно пропорционально данным ..............................206
§8. Алгебраические выражения ..............................207
8.1. Алгебраическое выражение и его ОДЗ .............207
8.2. Одночлен .....................................................208
8.3. Многочлен ...................................................209
8.4. Разложение многочлена на множители ............210
8.5. Дробь ..........................................................210
8.6. Тождество ....................................................212
8.7. Корень n-й степени из действительного числа ..212
8.8. Степень с целым и дробным показателем .........213
§9. Уравнения ......................................................214
9.1. Уравнение с одним неизвестным .....................214
9.2. Основные свойства уравнений ........................214
9.3. Общие методы решения уравнений .................216
9.4. Система двух уравнений с двумя неизвестными 217
9.5. Линейные уравнения ....................................220
9.6. Квадратные уравнения ..................................220
9.7. Теорема Виета ..............................................222
9.8. Иррациональные уравнения ...........................222
§10. Тождественные преобразования показательных и логарифмических выражений ....................................................224
10.1. Показательные уравнения ............................224
10.2. Показательно-степенные уравнения ..............225
10.3. Логарифмические уравнения ........................225
§11. Тригонометрические уравнения ........................226
11.1. Типы тригонометрических уравнений и методы их решения ....................................227
§12. Неравенства ...................................................228
12.1. Числовые неравенства .................................228
12.2. Основные свойства числовых неравенств ........228
12.3. Действия с неравенствами ............................229
12.4. Неравенства с одним неизвестным .................229
12.5. Рациональные неравенства ...........................231
12.6. Неравенства с модулем ................................231
12.7. Системы неравенств ....................................232
§13. Функции .......................................................233
13.1. Способы задания функции ...........................234
13.2. Монотонность функции ...............................234
www.phoenixbooks.ru
318
Математика. Тренировочные тесты для подготовки к ЕГЭ
13.3. Четные и нечетные функции ........................234
13.4. Периодические функции ..............................235
13.5. Обратная функция ......................................235
31.6. Экстремумы функции ..................................235
13.7. Необходимое и достаточное условия экстремума функции ....................................236
13.8. Наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке ...............................237
13.9. Область определения основных элементарных функций ................................237
13.10. Множество (область) значений основных элементарных функций ...............................238
Глава 5. Краткие теоретические сведения по курсу геометрии VII–XI классов ................................239
§14. Планиметрия ................................................239
14.1. Углы ........................................................239
14.2. Многоугольник ..........................................241
14.3. Правильные многоугольники ......................243
14.4. Треугольник ..............................................243
14.5. Признаки равенства треугольников ..............246
14.6. Неравенства треугольника...........................247
14.7. Определение вида треугольника по его сторонам ...................................................247
14.8. Прямоугольные треугольники (некоторые свойства) ..................................................247
14.9. Признаки равенства прямоугольных треугольников ...........................................248
14.10. Четыре замечательные точки треугольника ...250
14.11. Произвольный треугольник ........................252
14.12. Теорема Чевы ...........................................253
14.13. Теорема Менелая .......................................253
14.14. Теорема синусов ........................................254
14.15. Теорема косинусов .....................................254
14.16. Площадь треугольника ..............................254
14.17. Равносторонний (правильный) треугольник ....255
14.18. Подобные треугольники .............................255
14.19. Признаки подобия треугольников ...............256
14.20. Четырехугольник ......................................257
14.21. Параллелограмм .......................................259
14.22. Трапеция..................................................260
14.23. Прямоугольник .........................................263
www.phoenixbooks.ru
Оглавление 319
14.24. Ромб ........................................................263
14.25. Квадрат ....................................................264
14.26. Окружность ..............................................265
14.27. Свойства касательных к окружности ...........266
14.28. Окружность и треугольник .........................266
14.29. Окружность и четырехугольник ..................267
14.30. Углы и окружность ...................................268
14.31. Метрические соотношения в окружности .....270
14.32. Длина окружности. Площадь круга и его частей .......................................................271
§15. Стереометрия ................................................271
Многогранники ..................................................271
15.1. Призма ......................................................272
15.2. Параллелепипед .........................................273
15.3. Пирамида ..................................................274
15.4. Дополнительные соотношения между элементами призмы и пирамиды ...................277
15.5. Круглые тела ..............................................279
15.6. Цилиндр ....................................................280
15.7. Конус ........................................................280
15.8. Шар ..........................................................282
Глава 6. Основные формулы алгебры и начал анализа ..............................................285
Приложение .......................................................308
Условные обозначения ..........................................308
Таблицы ..............................................................311
Литература .........................................................314
www.phoenixbooks.ru
Серия «Большая перемена»
7
11
Ответственный редактор С. Осташов
Технический редактор Л. Багрянцева
Обложка А. Вартанов
Корректоры О. Милованова, М. Лепехина
Сдано в набор 15.09.2010. Подписано в печать 29.10.2010.
Формат 84 108 1/32. Бумага тип № 2. Гарнитура SchoolBook. Печать офсетная. Усл. печ. л. 17,64. Тираж 2500 экз. Заказ №
ООО «Феникс»
344082, г. Ростов-на-Дону, пер. Халтуринский, 80.
Отпечатано с готовых диапозитивов в ЗАО «Книга»
344019, г. Ростов-на-Дону, ул. Советская, 57.
www.phoenixbooks.ru
Автор
phoenixbooks
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3 225
Размер файла
176 Кб
Теги
егэ, тренировочные, класс, математика, тест, подготовки
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа