close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

завдання для підготовки олімпіади з математики

код для вставки
2012-2013
6 клас
Число а складає 75% від числа b і 40% від числа с. Число с на 42 більше за число b. Знайдіть числа а і b.
В акваріум, довжина якого 7 дм, ширина 4 дм і висота 35 см, налили воду до рівня 30 см. Скільки літрів води налили в акваріум і скільки ще можна долити?
З плиток доміно, розмір яких 2 х 4, Незнайко складає многокутники так, щоб сторони квадратів, на які поділені плитки, збігалися. Чи може Незнайко скласти многокутник, периметр якого дорівнює 102? Розв'яжіть у цілих числах рівняння xy = x + y .
7 клас
1. Знайдіть усі значення числа a, a, при яких корінь рівняння ax = a + 5x, кратний 3.
2. Кожна літера позначає цифру. Однаковими літерами позначено одну й ту ж цифру. Які цифри використані для запису рівності АБВГ+АБДГ=ВГДАГ?
3. Знайдіть усі трицифрові числа, які в 13 разів більші за суму своїх цифр.
4. Спростіть вираз:
(21 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1).
5. На шахівницю 8х8 поклали 8 квадратиків 2х2 так, що кожний з них
накриває тільки 4 клітинки дошки, а жодні два з квадратиків не накладаються один на одного. Довести, що в такий спосіб на шахівницю можна покласти ще один квадратик.
8 клас
1. Відомо, що 2x + 3y при деяких натуральних значеннях x та y ділиться на 17. Довести, що при цих значеннях x та y вираз 9x + 5y також ділиться на 17.
2. Чи можна на колі розставити 13 натуральних чисел так, щоб кожне з них було сумою або різницею сусідніх?
3. При яких значеннях m нерівність mx2 + (2 - m)x + 3 - 2m 0 виконується тільки для одного дійсного значення x?
4. Турист вирушив з турбази на байдарці о 10 год 15 хв і повинен повернутися не пізніше 13 год того ж дня. Відомо, що швидкість течії 1,4 км/год, а швидкість байдарки у стоячій воді 3 км/год. На яку максимальну відстань турист може відпливти від турбази, якщо через кожні 30 хв веслування він 15 хв відпочиває, не пристаючи до берега, і може повернути назад тільки після відпочинку.
5. Відомо, що в трапецію можна вписати коло. Доведіть, що кола, які побудовані на її бічних сторонах як на діаметрах, дотикаються одне одного.
9 клас
1. Знайдіть суму .
2. Розв'яжіть рівняння
3. Розв'яжіть рівняння
[x]+{x}+1 = ,
де [x] - ціла частина, {x} - дробова частина числа x .
4. При яких значеннях параметра k сума квадратів коренів рівняння 4x2 -28x + k = 0 дорівнює 22,5?
5. Із вершини B паралелограма ABCD проведено його висоти BK і BH .
Відомо, що KH = a, BD = b. Точка P - ортоцентр трикутника BKH . Знайдіть відстань BP .
10 клас
При якому значенні параметру m сума квадратів коренів рівняння x^2+(m-1)x+m^2-1,5=0 є найбільшою?
Якщо двозначне число розділити на добуток його цифр, то частка дорівнюватиме 1, а лишок буде 16. Якщо до квадрату різниці цифр цього числа добавити добуток його цифр, то отримаємо дане число. Знайти це двозначне число.
Дано два трикутника зі спільною вершиною А. Інші вершини трикутників розміщено на двох прямих, що проходять через точку А. Довести, що відношення площин цих трикутників дорівнює відношенню добутків сторін цих трикутників, що містять вершину А.
Довести нерівність
a^4+b^4+c^2≥2√2|abc|
На столі лежать три купи сірників: у першій 100 сірників, у другій - 200, у третій - 300. Грають двоє. Вони ходять по черзі. За один хід гравець повинен забрати одну купу, а одну з тих, що залишилися, розділити на дві непорожні частини. Програє той, хто не зможе зробити свій хід. Хто виграє за правильної гри - той, хто починає гру, чи його суперник?
11 клас
Розв 'яжіть рівняння .
Учень 11 класу взяв участь у пробному комплексному тестуванні з хімії, фізики та математики, на якому з усіх предметів пропонувалась однакова кількість задач. З математики учень правильно розвʼязав 19 задач, з фізики - рівно 30% від кількості задач з цього предмета, а з хімії кількість правильно розвʼязаних задач виявилась меншою, аніж з фізики. Загалом учень правильно розвʼязав рівно половину від загальної кількості задач. Скільки всього задач пропонувалось на комплексному тестуванні? Відповідь обґрунтуйте.
У квадратного тричлена два корені, причому один з них належить інтервалу , а другий - ні. Доведіть, що .
Чи можна в таблиці розміром розставити всі натуральні числа від 1 до 144 (у кожній клітинці записується одне число, і кожне натуральне число від 1 до 144 має бути записаним до однієї з клітинок) так, щоб суми чисел у будь-якому стовпчику, будь-якому рядочку та на обох "головних" діагоналях таблиці були непарними? Відповідь обґрунтуйте. ("Головними" вважаються діагоналі, які сполучають ліву нижню кутову клітинку з правою верхньою, а також ліву верхню кутову клітинку з правою нижньою.)
Нехай - центр описаного кола гострокутного трикутника , - середина сторони , - основа висоти, проведеної з вершини . Півпрямі і перетинаються в точці . Доведіть, що .
Інтелектуальні змагання з базових дисциплін серед учнів сільських шкіл 2013 року Одеської області
Завдання ІІ туру з математики
7 (8) клас
В країні Мульти-Пульти випущені у обіг банкноти номіналом 43 сантика. Малюк та Карлсон, маючи лише такі банкноти, зайшли до кафе. Карлсон замовив 5 склянок газованої води та 16 тістечок і заплатив за них без решти. Малюк замовив 3 склянки газованої води та 1 тістечеко. Доведіть, що скільки б не коштували газована вода та тістечка, Малюк теж може розрахуватись без решти (всі ціни у країні Мульти-Пульти) - цілі числа).
З чисел А, В і С одне додатне, одне від'ємне і одне дорівнює 0. Відомо, що А=В(В-С). Яке з чисел додатне, яке від'ємне і яке дорівнює 0? Відповідь поясніть.
Чи можна з цифр 1, 2, 3, 4, 5 скласти одне двозначне і одне тризначне число так, щоб друге ділилось на перше? (Кожна цифра повинна бути використана лише один раз). Якщо відповідь ствердна, то наведіть приклад таких чисел. Доведіть, що ребус ЗАДАЧА+ЗАДАЧА=ТУРНІР не має розв'язків.
8(9) клас
Петрик та Михайлик зробили у тирі по п'ять пострілів кожен. Першими трьома пострілами вони вибили порівну, а останніми трьома Петрик вибив у три рази більше очок, ніж Михайлик. На мішені залишились пробитими сектора10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2. Куди потрапив кожен з них третім пострілом? Наведіть всі можливі варіанти і доведіть, що інших немає. Коли Вінні-Пух зайшов у гості до Кролика, то він з'їв 3 тарілки меду, 4 тарілки згущеного молока та 2 тарілки варення, а після цього не зміг вийти ззовні через те, що дуже розтовстів від такої їжі. Але відомо, що якби він з'їв 2 тарілки меду, 3 тарілки згущеного молока та 4 тарілки варення або 4 тарілки меду, 2 тарілки згущеного молока та 3 тарілки варення, то спокійно зміг би покинути нірку гостинного Кролика. Від чого більше товстіють: від варення чи від згущеного молока? Відповідь поясніть.
Серед цілих чисел від 8 до 17 включно закресліть як можна менше чисел так, щоб добуток тих чисел, які залишились, був точним квадратом. У відповідь вкажіть суму всіх викреслених чисел. Дві бісектриси трикутника перетинаються під кутом 60°. Доведіть, що один з кутів цього трикутника дорівнює 60°.
9 (10) клас
На столі лежать 2013 монет. Двоє грають в наступну гру: ходять по черзі, за один хід перший може взяти зі стола будь-яку непарну кількість монет від 1 до 99, другий будь-яку парну кількість монет від 2 до 100. Програє той, хто не зможе зробити хід. Хто виграє при правильній грі? Цілі числа a, b, c і d задовольняють рівність a2 + b2 + c2 = d2. Доведіть, що число abc ділиться на 4.
Стрілок десять разів вистрелив по стандартній мішені та вибив 90 очок. Скільки влучень було в 7, 8 та 9, якщо десяток було чотири, а інших влучень та промахів не було? Відповідь поясніть.
На основах AB і CD трапеції ABCD взяли точки K і L. Нехай E - точка перетину відрізків AL і DK, F - точка перетину відрізків BL і CK. Довести, що сума площ трикутників ADE і BCF дорівнює площі чотирикутника EKFL.
10 (11) клас
Знайдіть многочлен з цілими коефіцієнтами, коренем якого є число .
Розв'яжіть рівняння .
Лист паперу розрізали на 5 частин, деякі з цих частин розрізали на 5 частин і т.д. Чи можна через деяку кількість розрізань одержати 2013 листків паперу? Відповідь поясніть.
Чи існує многогранник з непарною кількістю граней, кожна з яких є многокутником з непарною кількістю сторін? Відповідь поясніть. 7 балів за кожне завдання
Всеукраїнська Інтернет-олімпіада з математики
ІI (заочний) тур 2013рік
9 клас
На одній основі побудовано множину трикутників з однаковим кутом при вершині. Знайти геометричне місце точок перетину медіан цих трикутників.
На площині задані коло з центром у точці О і точка А зовні нього. За допомогою циркуля і лінійки провести через точку А до цього кола січну ВС так, щоб АВ=ВС.
Числа a,b,c,d належать проміжку [2;4]. Довести нерівність
25(ab+cd)2 ≥16(a2+d2)(b2+c2).
Довести, що для кожного натурального числа n>2 Проїжджаючи повз кінотеатр учень встиг побачити лише години ( а не хвилини ) початків чотирьох сеансів:
1-й сеанс - 12год. ... хв.
2-й сеанс - 13 год. ... хв.
.............................
7-й сеанс - 23 год. ... хв.
8-й сеанс - 24 год. ... хв.
Як за цими даними відновити початок кожного з восьми сеансів? Мається на увазі, що тривалість всіх сеансів однакова і виражається числом хвилин, кратним 5.
Всеукраїнська Інтернет-олімпіада з математики
ІI (заочний) тур 2013 рік
10 клас
Скільки існує пар цілих чисел х та у між 1 та 1000, таких, що х2+у2 ділиться націло на 49?
Нехай х0=1, хn+1=xn-(xn2/2002). Довести, що х2002 <1/2. Відрізки АМ та ВН - відповідно медіана та висота гострокутного трикутника АВС. Відомо, що АН=1, кут МАС у два рази менше за кут МСА. Знайти довжину сторони ВС.
Чи існує квадратний тричлен f(x) з додатними коефіцієнтами такий, що для будь-якого додатного числа х має місце рівність [f(x)]=f([x]), де [x] - ціла частина числа х.
Довести, що якщо k - будь яке задане натуральне число більше за одиницю, с - будь яка цифра десяткової системи числення, то існує натуральне число n таке, що k-та з кінця цифра у десятковому записі числа 2n є цифра с.
Всеукраїнська Інтернет-олімпіада з математики
ІI (заочний) тур 2013 рік
11 клас
2. Для кожного значення параметра розв'яжіть нерівність:
3. Розв'язати рівняння:
4. Нехай сторона ромба дорівнює 100. Бісектриси кутів та перетинаються в точці , а бісектриси кутів та в точці , відрізок перетинає діагональ в точці . Довжини відрізків . Знайдіть площу ромба.
5. Нехай та . Визначте, чи рекурентна при ситема . Знайти .
9 клас
1. Довести нерівність при , (15 балів)
2. У хорі число дівчаток відносилось до хлопчиків як 4:3. Після того, як до хору прийшли двоє новеньких, це співвідношення стало 3:2. Скільки хлопчиків було в хорі спочатку? (15 балів)
3. В паралелограмі ABCD сторони АВ і ВС дорівнюють 4 і 7 відповідно. Бісектриси AK і BM кутів паралелограма перетинаються в точці О (точки K і M лежать на сторонах BC і AD відповідно). У скільки разів площа п'ятикутника OKCDM більше за площу трикутника OAB? (20 балів)
4. Розв'язати рівняння в натуральних числах (20 балів)
5. Про ціле число n і просте число p відомо, що числа та діляться на р. Довести, що число так само ділиться на р. (30 балів)
11 клас
1. Обчисліть суму: (15 балів)
2. В трапеції ABCD довжина основи AD дорівнює , а довжина основи ВС дорівнює . А = 15°, D = 30°. Знайдіть довжину бічної сторони АВ. (15 балів)
3. При яких значеннях а квадратні рівняння та мають спільний корінь? (20 балів)
4. Функція задовольняє при всіх значеннях х умові: . Знайдіть цю функцію. (20 балів)
5. Знайдіть цілу частину числа . (30 балів)
10 клас
1. Розв'язати нерівність < 4. (15 балів)
2. На площині дано відрізок АВ. Де може бути розташована точка С, щоб ∆АВС був гострокутним? (15 балів)
3. Яке число менше чи ? (20 балів)
4. Доведіть, що сума двох простих чисел ділиться на 12, якщо їх різниця дорівнює 2, а менше число більше ніж 3. (20 балів)
5. - многочлен четвертого степеня такий, що та . Доведіть, що для будь-якого х. (30 балів)
Автор
ershoffka
Документ
Категория
Математика
Просмотров
2 188
Размер файла
129 Кб
Теги
завдання, підготовки
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа