close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Отчёт 3

код для вставкиСкачать
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Вятский государственный университет"
(ФГБОУ ВПО "ВятГУ")
Факультет автоматики и вычислительной техники
Кафедра электронных вычислительных машин
ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ И РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
Отчет
Лабораторная работа №3 по дисциплине
"Моделирование"
Вариант 6
Выполнил студент группы ВМ-32 ____________/Койков С.В./
Проверил старший преподаватель ____________/Блинова С.Д./
Киров 2012
1 Цель работы и общие требования к её выполнению
Целью лабораторной работы является построение и использование алгоритмических моделей, а также использование математических, программных моделей. Субъектом моделирования выступает проводящий работу студент.
2 Транспортная задача 2.1 Постановка задачи 1
Требуется решить транспортную задачу, которая формулируется следующим образом: имеется пять пунктов производства и четыре пункта распределения продукции. Задача должна быть решена с помощью программной модели Поиск решения. Стоимость перевозки единицы продукции с одного из пяти пунктов производства в один из четырёх пунктов распределения приведена в таблице 1.
Таблица 1- Исходные данные
Пункт
производстваПункт распределенияОбъем
производства123416131202345830359322042484205321510 Спрос50302020 120:100
Необходимо составить план перевозок по доставке требуемой продукции, минимизирующий суммарные транспортные расходы.
Объект моделирования - процесс получения оптимального плана перевозок, цель - минимизация транспортных расходов на перевозку. 2.2 Разработка математической модели метода решения задачи
Исходными данными для транспортной задачи являются значения, представленные в таблице 1. Так как суммарный объём доставленной продукции в данной задаче не равен суммарному объёму потребностей в ней, модель является не сбалансированной. В данной задаче производство меньше спроса, поэтому необходимо добавить фиктивный пункт производства, с объемом производства в двадцать единиц. Это отражено в таблице 2.
Таблица 2 - Стоимость перевозок в сбалансированном виде
Пункт
производстваПункт распределенияОбъем
производства1234161312023458303593220424842053215106000020Спрос50302020120:120 Данная задача относится к классу транспортных задач, для которых математическая модель состоит из целевой функции и ограничений. Целевая функция в данном случае описывает суммарные транспортные расходы, которые следует минимизировать. Таким образом, целевая функция Z будет иметь вид
, (1)
где -стоимость перевозки единицы продукции с i-ого пункта производства в j-ый пункт распределения;
- объём перевозок с -ого пункта производства в -ый пункт распределения;
i=1-6;
j=1-4.
Исходя из условий задачи, на целевую функциию (1) накладываются следующие ограничения:
* все потребности в центрах распределения должны быть удовлетворены;
* вся продукция с пунктов производства должна быть реализована.
Эти ограничения можно выразить следующей системой
,(2)
где - объём производства на -м пункте производства, i=1-6;
- спрос в -ом центре распределения, j=1-4.
2.3 Разработка алгоритмической модели метода решения задачи 1
Поскольку для решения задачи следует использовать программную модель Поиск решения, необходимо разработать алгоритмическую модель её использования. Такая модель в виде схемы работы системы разработана и приведена на рисунке 1.
Рисунок 1 - Алгоритмическая модель решения задачи в виде схемы работы системы
2.4 Оценка полученных результатов
Результат решения транспортной задачи с помощью алгоритмической модели, представленной на рисунке 1, приведён на рисунке 2.
Рисунок 2 - Результаты решения транспортной задачи Оптимальный план перевозок, представленный на рисунке 2, отображает, как грузы перемещаются из пунктов производства в пункты распределения. Причём, этому плану соответствуют минимальные затраты на перевозку грузов равные 200 условным единицам. После подстановки для проверки полученных значений объёмов перевозок в формулу (1), получено верное значение целевой функции
F(x) = 20*1+30*3+20*2+20*2+10*1=200.
Пункты распределения под номерами 2 и 3 недополучили продукцию, так как в оптимальный план был включён фиктивный пункт распределения, в который не требуется доставлять грузы.
3 Задача о назначениях 3.1 Постановка задачи 2
Требуется решить задачу о назначениях, которая формулируется следующим образом: имеются пять рабочих и четыре вида работ. Задача должна быть решена с помощью программной модели Поиск решения. Стоимость выполнения рабочими различных работ приведена в таблице 3.
Таблица 3 - Стоимость работ
Номер
рабочегоНомер работы1234193272549837811041910352785
Необходимо составить план работ так, чтобы все работы были выполнены с минимальными затратами при условии, что каждый рабочий был занят только на одной из них.
Объект моделирования - процесс получения оптимального плана работ. Цель - минимизация затрат на выполнение работ.
3.2 Разработка математической модели метода решения задачи
Исходными данными в задаче являются значения, представленные в таблице 3. Данная задача относится к классу линейных оптимизационных задач, для которых модель состоит из целевой функции и ограничений. Данная задача не сбалансирована, так как число рабочих превосходит число работ. В связи с этим необходимо ввести фиктивный столбец с большими штрафными стоимостями работ. Новые данные для задачи представлены в таблице 4.
Таблица 4 - Стоимость работ с учетом пятой работы Номер
рабочегоНомер работы12345193271002549810037811010041910310052785100 Целевая функция Z для задачи 2 имеет вид
(3)
где сij - стоимость выполнения i-ым рабочим j-ой работы;
- переменная, равна единице, если -ым рабочим выполняется -ая работа и равна нулю в противном случае;
i=1-5, j = 1-5.
Исходя из условий задачи, на данную модель накладываются следующие ограничения:
* все работы должны быть выполнены;
* на одной работе должен быть занят только один рабочий.
Эти ограничения можно описать следующей системой
, (4)
где ;
i=1-5;
j=1-5.
3.3 Разработка алгоритмической модели метода решения задачи 2
Поскольку для решения задачи следует использовать программную модель Поиск решения, необходимо разработать алгоритмическую модель её использования. Такая модель в виде схемы работы системы приведена на рисунке 1.
3.4 Оценка полученных результатов Результаты решения задачи о назначениях с помощью алгоритмической модели, представленной на рисунке 1, приведены на рисунке 3.
Рисунок 3 - Результаты решения задачи о назначениях Затраты, соответствующие оптимальному плану, составляют 135 условных единиц. Четвёртый рабочий останется без работы, так как изначально число рабочих было больше числа работ. Для решения задачи была введена фиктивная работа, выполняемая четвёртым рабочим. Выполнение фиктивной работы не требуется. Для проверки стоимости работ необходимо в целевую функцию (3) подставить значения из таблицы 4 и значения из полученного оптимального плана работ. Таким образом, значение целевой функции равно Z = 9+9+10+100+7-100 = 35.
4 Система нелинейных уравнений
4.1 Постановка задачи 3
Найти все решения системы нелинейных уравнений с помощью программной модели Поиск решения
(5)
где х, у - неизвестные переменные.
Объект моделирования - процесс получения решения системы уравнений (5), цель- нахождение корней системы уравнений (5). 4.2 Разработка математической модели решения задачи 3
Исходными данными к задаче 3 являются коэффициенты системы (5). Поскольку для решения задачи следует использовать программную модель Поиск решения, то необходимо преобразовать систему нелинейных уравнений (5) к целевой функции вида
(3x2 + 5y2 -3)2 + (5x + 2y - 2)2 = 0. (6)
Решениями системы (5) являются пары (x,y), при которых значение целевой функции (6) равно нулю.
4.3 Разработка алгоритмической модели метода решения задачи 3
Поскольку для решения задачи следует использовать программную модель Поиск решения, необходимо разработать алгоритмическую модель её использования. Такая модель в виде схемы работы системы приведена на рисунке 1.
4.4 Оценка полученных результатов Результаты решения системы нелинейных уравнений с использованием алгоритмической модели, представленной на рисунке 1, приведены на рисунке 4.
Рисунок 4 - Результаты решения системы нелинейных уравнений В результате решения были найдены пары корней: (0,091399; 0,771368),
(0,091494; 0,771377). Для проверки результата найденные корни необходимо подставить в исходную систему
3*0,0913992+5*0,7713682=3;
5*0,091494+2*0,771377=2.
5 Решение уравнения регрессии с использованием линейной модели
5.1 Постановка задачи 4
Требуется построить линейную модель для наблюдаемой величины: объема реализованных фирмой автомобилей в указанный срок, используя программную модель Поиск решения. Параметры задачи приведены в таблице 5.
Таблица 5 - Сведения об объёмах продаж автомобилей
Неделя123456789Количество машин101822283439465154
Объект моделирования - построение зависимости объема продаж от времени. Цель - прогнозирование объема продаж.
5.2 Построение математической модели задачи 4
Входными данными являются значения, представленные в таблице 5.
Линейную модель для данной задачи можно представить следующим уравнением , (7)
где y - объём продаж автомобилей;
x - номер недели;
m и b - коэффициенты линейного уравнения.
Математическую модель (7) необходимо конкретизировать. Для этого коэффициенты m и b подбираются так, чтобы минимизировать сумму квадратов разностей Z между наблюдаемыми и теоретическими значениями зависимой переменной (8)
где yi - объём продаж автомобилей;
xi - номер недели;
n- число наблюдений;
i=1-9. Функция Z является математической моделью для нахождения коэффициентов m и b.
5.3 Построение алгоритмической модели получения значения коэффициентов, необходимых для решения задачи
Поскольку для получения необходимых для решения задачи коэффициентов следует использовать программную модель Поиск решения, необходимо разработать алгоритмическую модель её использования. Такая модель в виде схемы работы системы приведена на рисунке 1.
5.4 Оценка полученных результатов Результатом решения задачи 4 является график динамики продаж автомобилей, построенный по коэффициентам, найденным с помощью алгоритмической модели, представленной на рисунке 1, представленный на рисунке 5.
Рисунок 5 - Результаты решения задачи
Значение квадрата коэффициента корреляции, R2 как видно из рисунка 5, равно 0,9952. По величине коэффициента корреляции можно судить о правомерности использования линейной модели. В данном случае его значение близко к единице, следовательно, данная линейная модель может быть использована для прогнозирования.
6 Анализ результатов и выводы по достижению цели работы
В ходе лабораторной работы для каждой из задач были составлены алгоритмические модели, которые в ходе моделирования с помощью программной модели Поиск решения доказали свою эффективность. Результаты, полученные в ходе решения каждой задачи на данных моделях, имеют высокую точность и удовлетворяют всем ограничениям, наложенным на них условиями задачи. 
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
49
Размер файла
220 Кб
Теги
отчет
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа